Algunes prediccions de la relativitat general difereixen significativament de les de la física clàssica, especialment les que involucren el pas del temps, la geometria de l'espai, el moviment dels cossos encaiguda lliure i la propagació de la llum. Alguns exemples d'aquestes diferències inclouen ladilatació gravitacional del temps, leslents gravitatòries, eldesplaçament cap al roig degut a la gravitació i l'efecte Shapiro. Les prediccions de la relativitat general s'han complert en totes les observacions i experiments fins a l'actualitat. Encara que la relativitat general no és l'única teoria relativista de la gravetat, és lateoria més senzilla consistent amb les dades experimentals. Tanmateix hi segueix havent preguntes sense resposta, la més important de les quals sent com es pot reconciliar la relativitat general amb les lleis de lafísica quàntica per produir una teoria completa de lagravetat quàntica.
La teoria d'Einstein té implicacions astrofísiques importants. Per exemple, implica l'existència delsforats negres (regions de l'espai en què l'espai i el temps estan distorsionats de tal manera que res, ni la llum, en pot escapar) com a estat final delsestels massius. Hi ha moltes proves que la radiació intensa emesa per certs tipus d'objectes astronòmics es deu als forats negres; per exemple, elsmicroquàsars i lesgalàxies actives provenen de la presència deforats negres estel·lars i delsforats negres d'un tipus més massiu, respectivament. La deformació de la llum per part de la gravetat produeix lents gravitatòries, que poden fer que múltiples imatges del mateix objecte astronòmic distant es vegin al cel. La relativitat general també preveu l'existència d'ones gravitatòries, que s'han observat indirectament; alguns projectes com elLIGO i laLaser Interferometer Space Antenna de la NASA/ESA pretenen mesurar-la directament. A més, la relativitat general és la base dels modelscosmològics actuals d'ununivers en expansió.
El factor és simplement una normalització necessària per obtenir el límit newtonià correcte.
L'equació tensorial d'Einstein seria equivalent a un sistema de 10 equacions escalars independents. Aquesta equació indica que la curvatura de l'espaitemps en qualsevol lloc de l'Univers (terme esquerre de l'equació) ha de ser igual a la distribució tant de la matèria com de l'energia en aquesta part de l'Univers (terme dret de l'equació).[2][3]
La teoria de lagravitació proposada perNewton alsegle xviii[a] es basa a la noció deforça de gravitació actuant segons el principi d'acció a distància. Aquest caràcter instantani és incompatible amb la teoria de larelativitat especial proposada per Einstein el1905. En efecte, segons aquesta darrera, cap informació no es pot propagar més ràpidament que lavelocitat de la llum albuit. D'altra banda, el principi d'acció a distància reposa sobre el de lasimultaneïtat de dos esdeveniments : la força que elSol exerceix sobre laTerra en un instant concret és determinada per les seves propietats en « aquell instant», independentment de la distància que els separa. La relativitat especial estipula que el concepte de simultaneïtat de dos esdeveniments no està definit:[b] la proposició precedent és incompatible amb la relativitat especial, suposant-se universal. Aquesta contradicció va portar a Einstein a desenvolupar una teoria de la gravitació que fos compatible amb la relativitat especial. El resultat de la seva recerca és la teoria de la relativitat general.
La descripció geomètrica de lateoria física que fa Einstein té els seus orígens als avenços de lageometria no euclidiana, resultat de les diferents temptatives que al llarg dels segles van intentar de demostrar el cinquè postulat d'Euclides, que afirma que:per un punt exterior a una recta r, només és possible de dibuixar una única paral·lela a r.Aquests esforços van concloure alsegle xix amb el descobriment pelsmatemàticsNicolaï Ivanovitch Lobatchevsky,János Bolyai iCarl Friedrich Gauss que aquell postulat podia ser substituït per un altre (moltes possibles paral·leles, o cap paral·lela), i, per tant, no era més que unaxioma arbitrari. Cap d'aquestes noves geometries no és méscerta que la d'Euclides: simplement es tracta d'eines conceptuals diferents que poden servir de suport per a usos també diferents. La superfície d'unaesfera, per exemple, pot ser considerada de manera indiferent com la superfície d'un objecte dins d'un espai euclidià de tres dimensions o dins d'un espai no euclidià particular de dues dimensions, la segona representació pot resultar més còmoda en certs casos.
Per il·lustrar que l'univers es caracteritza per una geometria d'aquest tipus podrien portar a terme una experiència com aquesta: si un físic sosté un bastó verticalment i a una certa distància uncartògraf mesura la seva longitud per mitjà d'una tècnica detriangulació basada en la geometria euclidiana, res no pot garantir que n'obtindrà el mateix resultat que si el físic porta el bastó i el mesura directament.[c]
La generalització d'aquests resultats, denominatsgeometria no euclidiana, va ser realitzada perBernhard Riemann, un deixeble de Gauss, però va ser considerada com una simple curiositat matemàtica fins que Einstein va utilitzar els treballs del seu professorHermann Minkowski (que utilitzavanombres complexos per obtenir espais no euclidians fàcils d'utilitzar engeometria analítica i que el1907 va expressar latransformació de Lorentz amb una descripció d'aquest tipus) per desenvolupar la sevateoria de la relativitat general.
Espai pla
De la relativitat de Galileu a la relativitat especial
Al segle xviGalileu va afirmar i explicar que les lleis de la física són les mateixes per a diferents observadors situats ensistemes de referència enmoviment rectilini i uniforme els uns respecte dels altres. Aquest és el principi de relativitat de Galileu.
També s'utilitza el sumatori de les velocitats que té com a conseqüència que no sigui important la velocitat a la que s'arribi: només és una qüestió de mitjà. En poques paraules: si una pilota roda a 10 km/h dins d'un tren en el sentit de la marxa, i el tren va a 100 km/h en relació al terra, llavors la pilota va a 110 km/h respecte del terra.
dins d'un medielectroestàtic de constant imagnetoestàtic de constant. Aquesta velocitat extraordinàriament gran, fins i tot en un medi enrarit com l'aire tindria el mateix valor que la velocitat de propagació de lallum. Maxwell va proposar que la llum no era altra cosa que una ona electromagnètica.
Les teories corpusculars de la llum semblaven compatibles amb el principi de relativitat de Galileu mentre que la teoria de Maxwell es postulava en favor de l'existència de l'èter lumínic considerat perHuygens. Mesurar la velocitat delsistema solar amb relació a aquell medi elàstic fou l'objectiu delsexperiments d'interferometria que van ferAlbert Abraham Michelson iEdward Morley entre1881 i1887. Els seus treballs van demostrar que el vent aparent d'èter era nul, en qualsevol època de l'any. Suposar que l'èter era enganxat permanentment a la terra hauria estat un replantejament molt important del principi de relativitat de Galileu. D'altra banda, l'èter presentava l'inconvenient de ser al mateix temps intocable i molt "rígid" atès que era capaç de propagar les ones a una velocitat extraordinària.
Va fer falta esperar el1905 per tal queEinstein tornés a posar en dubte de manera radical la noció de l'èter, portés a l'extrem el principi de relativitat de Galileu en postular que les equacions de Maxwell obeïen a aquest principi, i tragués conseqüències revolucionàries en un article cèlebre:De l'electrodinàmica dels cossos en moviment.[4]
Es conserva el principi de relativitat de Galileu.
La invariància de lesequacions de Maxwell comporta de manera immediata la constància de lavelocitat de la llumc a tots elssistemes de referència galileans: el sumatori de les velocitats ja no és possible i la velocitat de la llum només és assolible per la llum.
Les mesures de longitud, d'interval de temps, (i de velocitat) no són les mateixes sinó que depenen del sistema de referència de l'observador: la mesura de la longitud del vagó dona resultats diferents segons l'observador sigui dins del vagó o que sigui fora i immòbil a terra (però no és el cas de l'amplada del vagó, una longitud perpendicular a la velocitat); el mateix per al pas del temps; el camp elèctric esdevé magnètic i a la inversa. Totes aquestes transformacions de sistemes de coordenades del continuespaitemps i delcamp electromagnètic van ser formalitzats a latransformació de Lorentz (paradoxalment creada per tal de defensar l'existència de l'èter perHendrik Antoon Lorentz iHenri Poincaré).
La noció de temps absolut desapareix: dos grups de dos rellotges perfectament sincronitzats immòbils a un sistema de referència galileà, i altres dos també perfectament sincronitzats a un altre sistema de referència galileà presentaran defectes de sincronització respecte a l'altre.
En escriure l'expressió de l'energia cinètica d'un cos de massam de la manera més simple possible i respectant el principi de relativitat, Einstein va fer aparèixer una energia en repòs el sentit d'aquesta energia no tindria grans conseqüències fins que trenta anys més tardLise Meitner va comprendre l'origen de l'energia de lafissió nuclear.
De la relativitat especial a la relativitat general
Larelativitat especial (1905) modificava les equacions utilitzades per comparar les mesures de longitud i de duració fetes des de diferents sistemes de referència en moviment relatiu respecte a ells: això va tenir com a conseqüència que la física ja no podia tractar el temps i l'espai separadament, sinó com un espai de quatre dimensions, l'espaitemps deHermann Minkowski.
En efecte, en cas de moviments a velocitats properes ac (la velocitat de la llum albuit), el temps i l'espai s'alteren de manera vinculada, de manera semblant com engeometria analítica s'alteren, de manera vinculada, les coordenades d'un punt quan es giren els eixos de referència.
Per exemple, en geometria euclidiana la distància Δl entre dos punts de coordenades (x,y,z) i (x',y',z') verifica(Δl)²= (Δx)²+(Δy)²+(Δz)² (ambΔx=x'-x, etc.), però a l'espai de Minkowski dos punts són referenciats per les coordenades (t,x,y,z) i (t',x',y',z'), on t i t' són les coordenades de temps, i la "distància" Δl entre els punts verifica(Δl)²= (c.Δt)²-(Δx)²-(Δy)²-(Δz)². Aquest càlcul dona una "distància" nul·la entre dos punts de la trajectòria d'un raig de llum, també dona totes les mesures de longitud físiques, dels intervals de temps i de les velocitats en relativitat especial que sempre generen sorpresa.
L'espaitemps de Minkowski és tanmateix decurvatura nul·la (això vol dir que és pla) i se'l qualifica d'espaipseudo euclidià.[5]
Un espai com aquest devia ser per Einstein un espai sense gravetat (i sense acceleració per a l'observador). Lagravitació newtoniana es propagava instantàniament i no era compatible amb ell, per tant, Einstein va haver de buscar una nova teoria de la gravitació.
Einstein va admetre la igualtat entre la massa gravitatòria i la massa inercial com ahipòtesi, la famosa equació E=mc² autoritzava a utilitzar l'energia total d'un cos en comptes de la seva massa. Això es farà gràcies a una eina matemàtica anomenadatensor d'energia.
Expert en experiències teòriques, va imaginar un disc en rotació vist per un observador situat al seu centre i girant amb ell: com perHuygens, hi ha una força centrífuga al perímetre que és percebuda com una força gravitacional (atès per hipòtesi la massa gravitatòria i la massa inert són idèntiques). A més, en voler quedar dins de la relativitat especial, va concloure que l'observador devia constatar la reducció del perímetre però no del raig: això no és possible dins d'un espai pla. La conclusió seria que la gravitació obliga a utilitzar unageometria no euclidiana.
Einstein va imaginar un observador tancat dins d'un ascensor amb les parets opaques, sotmès a una pujada a acceleració constant: per la persona seria impossible de saber si hi ha una acceleració constant o una atracció gravitacional (atès que per hipòtesi la massa gravitatòria i la massa inert són idèntiques). La conclusió seria l'equivalèncialocal entre el moviment accelerat i la gravitació, i que s'hauria de trobar a les equacionsdiferencials de la nova teoria. Es tracta delprincipi d'equivalència.
Finalment, Einstein volia trobar una expressió de les lleis de la natura (a la seva època:dinàmica,gravitació ielectromagnetisme) que no canviessin en funció delsistema de referència (accelerat, galileà, etc.): es tracta de la relativitat galileana generalitzada a tots els punts de referència (covariança).
Essent la major dificultat posar aquells principis en forma matemàtica, Einstein en va discutir ambDavid Hilbert, que era el principal matemàtic de l'escola alemanya de l'època. Aquest fet va originar posteriorment certa controvèrsia sobre la paternitat d'alguns aspectes de la formulació matemàtica de la relativitat general.
Larelativitat general afegeix a larelativitat especial la possibilitat que la presència de matèria podria deformar localment l'espaitemps, de manera que les trajectòriesgeodèsiques (les de longitud mínima) a través de l'espaitemps tenen propietats de curvatura.
Trajectòries geodèsiques
El càlcul de la "distància" dins d'aquest espaitemps corbat és més complicat que en la relativitat especial, de fet, la fórmula de la "distància" va ser creada per la curvatura i viceversa.
Les geodèsiques són les trajectòries que verifiquen elPrincipi de mínima acció i són seguides per lespartícules de prova (això vol dir que la influència sobre el camp de gravitació dins del qual es desplacen és negligible, és el cas, per exemple, d'unsatèl·lit artificial entorn de laTerra o el d'unfotó passant al costat delSol, però no el d'unaestrella orbitant entorn d'una altra formant unsistema binari oscil·lant). Per tant, les geodèsiques tenen una gran importància pràctica per a la comprensió intuïtiva d'un espai corbat.
Einstein va calcular immediatament (1915) la desviació de la posició aparent de les estrelles a causa del Sol: el 29 de maig del1919 SirArthur Eddington va fer unes mesures aprofitant uneclipsi solar, i malgrat algunes imprecisions va ser la primera confirmació de la teoria.
Aquesta teoria preveu una lenta desviació de l'el·lipsi de revolució deMercuri que concorda amb les observacions.
La força gravitatòria d'un planeta hauria de contreure les longituds observades des d'una posició llunyana. A hores d'ara això no ha pogut ser observat directament.
Karl Schwarzschild va trobar el1916 una solució exacta a les equacions de la gravitació i va demostrar que podien existir les condicions on podria aparèixer un fenomen deforat negre. L'astronomia ha observat fenòmens similars.
En determinades condicions, lesones gravitatòries discretes s'haurien de propagar a l'espai. L'observatoriVIRGO, un projecte patrocinat perItàlia i perFrança, intenta detectar-les.
Una altra conseqüència pràctica de la relativitat general: elsrellotges atòmics enòrbita al voltant de la Terra que pertanyen alSistema de posicionament global oGPS (Global Positioning System) necessiten correccions a causa de l'alentiment degut a la gravetat terrestre.
Com a resum de la teoria es pot explicar el que Einstein va dir a uns periodistes: "Imagineu que podeu mirar lluny, molt lluny davant vostre, i que teniu molt bona vista, una vista extraordinàriament bona, llavors arribaríeu a veure ... la vostra esquena".
La idea central de la relativitat és que no podem parlar de valors referits a la velocitat o l'acceleració sense haver escollit prèviament un sistema de referència, definit a un punt determinat. Llavors qualsevol moviment serà descrit relativament al sistema de referència escollit.La relativitat especial postula que aquest sistema de referència es pot estendre indefinidament per l'espai i el temps. Però només tracta el cas dels sistemes de referència inercials, aquells que tenen un moviment a velocitat constat i sense canvi de direcció.La relativitat general tracta tant els sistemes de referència accelerats (en el sentit vectorial) com els inercials. S'admet que només es pot definir un sistema de referència local amb una precisió donada sobre un temps finit i dins d'una regió finita de l'espai (de la mateixa manera, a causa de la curvatura de la superfície terrestre, només és possible de dibuixar un mapa sense distorsions d'una regió limitada).En relativitat general les lleis de Newton només són unes aproximacions vàlides a un sistema de referència local inercial. En particular, la trajectòria de les partícules lliures com elsfotons és una línia recta dins d'un sistema de referència local inercial. Quan aquestes línies s'estenen més enllà del sistema de referència local, ja no són rectes i són conegudes amb el nom degeodèsiques. Cal reemplaçar la primera llei de Newton per la llei del moviment geodèsic.
La trajectòria d'un fotó és, per exemple, una geodèsica de longitud nul·la: la part positiva del quadrat d'aquesta longitud (x²+y²+z²) és, en efecte, igual a la seva part negativa (-c²t²).
Reprenent el tema del sistema de referència inercial, podem diferenciar els sistemes de referència inercials en els quals un cos, lliure de qualsevol acció exterior, manté un moviment uniforme, els sistemes de referència no inercials als quals un cos lliure rep una acceleració l'origen de la qual és l'acceleració del mateix sistema de referència. Un exemple és laforça centrífuga que es nota quan el vehicle que ens transporta fa un canvi ràpid de direcció, un altre exemple és laforça de Coriolis, una manifestació de la rotació terrestre. La força centrífuga és fictícia i no és més que una manifestació de la inèrcia (primer principi de Newton).
Atès que mai ha estat possible de trobar cap prova de la més mínima diferència entre lamassa inercial (resistència d'un cos a canviar el seu estat demoviment) i lamassa gravitacional (força d'interacció a un camp gravitatori), en relativitat general elprincipi d'equivalència estableix quelocalment no és possible de diferenciar un moviment de caiguda lliure (sense rotació) que es produeix en un camp gravitacional, d'un moviment uniformement accelerat en absència de camp gravitacional. Al voltant de la Terra la caiguda lliure pot ser, per exemple, una caiguda cap el Sol o el moviment d'un satèl·lit.
Aquest resultat només és local, és a dir, vàlid per un espai restringit. Per contra, a un volum amb acceleròmetres sensibles s'observarà un camp de gravetat (forces concurrents), una acceleració (forces paral·leles) i un efecte centrífug (forces divergents). Es tracta d'unificar el que és semblant als fenòmens per tal de tractar-los amb una mecànica única.
Aquesta equivalència s'utilitza a l'entrenament delsastronautes, fan pràctiques a avions que efectuen vols parabòlics on la força centrífuga compensa durant alguns minuts la força de gravetat, simulant la "caiguda lliure" d'un cos en òrbita (que en tenir una òrbita circular està indefinidament en caiguda lliure).
Des d'aquesta perspectiva, la gravitació que s'observa a la superfície terrestre és la força observada a un sistema de referència definit a un punt de la superfície terrestre que no és lliure, però sobre ell actua tota la força del nucli terrestre que és del mateix tipus que la força centrífuga que notaria una nau espacial, prou allunyat per gairebé no sentir l'atracció de la Terra, fent un canvi de direcció. O d'una altra manera, el Sol empeny un objecte a fer la caiguda lliure cap amunt; en mecànica newtoniana hom té la tendència a considerar que la caiguda lliure és una acceleració cap a baix, mentre que en aquest cas la caiguda lliure és l'estat de referència i l'estat de repòs en relació al Sol una acceleració cap amunt.
En resum, el principi d'equivalència equival a considerar que la massa inercial i la massa gravitacional representen la mateixa cosa.
Matemàticament parlant, Einstein va modelitzar l'espaitemps amb una variació pseudo-riemanniana quadri-dimesional, i la seva equació del camp gravitacional relaciona la curvatura de lavarietat en un punt altensor impuls-energia d'aquest punt, aquest tensor és una mesura de la densitat de matèria i d'energia (considerant que matèria i energia són equivalents).
Aquesta equació és la base de la famosa fórmula que afirma que la curvatura de l'espai defineix el moviment de la matèria, i la matèria defineix la curvatura de l'espai (les dues expressions són equivalents). La millor manera de representar la geometria de l'espaitemps és la d'imaginar que es comporta com una superfície elàstica afectada localment per la presència d'un objecte massiu, com una bola per exemple.
El camí més curt entre dos punts -el que queda de la definició de la "línia recta"- no serà, per tant, el mateix que en absència de deformació: si la trajectòria passa a prop de la bola el recorregut s'allargarà a causa de la depressió de la fulla de cautxú. Hom ressalta que en aquesta analogia no s'ha considerat ni el temps ni la gravetat perquè el que hom desitja és descriure'ls.
En traslladar aquesta imatge a l'espai físic, la presència d'un cos massiu afectarà a la curvatura de l'espai, ivist des de l'exterior semblarà alterar la trajectòria d'un raig de llum o d'un objecte en moviment que passi a la vora. Utilitzant una frase cèlebre deJohn Archibald Wheeler:La massa i l'energia li diuen a l'espai com s'ha de corbar, i la curvatura de l'espaitemps li diu a la matèria com s'ha de comportar.
Enastronomia això té com a conseqüència l'efecte delent gravitatòria (que s'anomena així malgrat no tenir ni les propietats d'una lent convergent ni les d'una lent divergent).
Aquesta noció decurvatura de l'espai explica la curvatura dels raigs lluminosos davant la proximitat d'un astre massiu, que no podia ser explicada per la llei deNewton en tant que elsfotons no tenenmassa.
L'equació de camp d'Einstein no és l'única solució i hi ha espai per a altres models si són d'acord amb les observacions.
La relativitat general es diferencia de les altres teories existents per la simplicitat de l'acoblament entre matèria i curvatura geomètrica, però en resta per fer la unificació entre la relativitat general i lamecànica quàntica, a més del reemplaçament de l'equació del camp gravitacional per una llei quàntica més general.
Hi ha pocs físic que dubtin que unaTeoria del tot permetria la utilització de les equacions de la relativitat general dintre de certs límits d'aplicació, de la mateixa manera que la relativitat general permet de predir les lleis de la gravitació de Newton dintre dels límits de les velocitats febles (dites velocitats no relativistes).
L'equació de camp conté una paràmetre "suplementari" anomenatconstant cosmològica que va ser introduïda originalment per Einstein per tal que en un univers estàtic (un univers que no està enexpansió ni en contracció) fos la solució de la seva equació.
Aquest esforç es va saldar amb un fracàs per dues raons: l'univers estàtic descrit per aquesta teoria era inestable, i les observacions de l'astrònomEdwin Hubble deu anys més tard demostraren que l'Univers era en expansió. Per tant, fou abandonada, però recentment alguns tècnics en astronomia han demostrat que és necessari un valor no nul de per tal d'explicar algunes observacions.
L'estudi de solucions de l'equació d'Einstein és una branca de la física anomenadacosmologia. Entre altres coses, permet d'explicar l'avançament del periheli de Mercuri, predir l'existència deforats negres, de lesones gravitacionals i d'estudiar els diferents escenaris d'evolució de l'Univers. Cal notar que el conegut astrofísicStephen Hawking ha demostrat que un univers com el nostre comporta necessàriament certes singularitats gravitacionals.
Més recentment (octubre del2004), les mesures fetes per mitjà delàser amb elssatel·lits LAGEOS han demostrat que el camp gravitacional de la Terra genera distorsions de posicionament de laLluna de 10 metres per any[6] en comparació al que hom preveuria a partir de les lleis de Newton. Aquest valor difereix en un 1% del que preveu la Relativitat General.
Hom se li suposa una validesa universal a aquest principi, Einstein va cercar una teoria de la gravitació que fos compatible amb ell, i el resultat fou la teoria de la relativitat general.
La nostra percepció intuïtiva ens indica que l'espaitemps es mostra regular icontinu, és a dir, "sense forats". Matemàticament, aquestes propietats es tradueixen en el fet que l'espaitemps serà modelitzat per unavarietat diferenciable de quatre dimensions, és a dir, un espai de 4 dimensions pel qual la proximitat de cada punt s'assembla localment a unespai euclidià de 4 dimensions.
La varietat diferenciable[d]M porta unamètrica lorentziana definida per untensor mètricg, i constitueix així unavarietat lorentziana, que és un cas particular de la varietat pseudo-riemanniana.
Sigui un sistema de coordenades qualsevol entorn d'un punt, i essent una base local de, espai tangent a la varietat del punt. Un vector tangent s'escriu llavors com la combinació lineal:
Les reben el nom de componentscontravariants del vectorw. El tensor mètric és la forma bilinear simètrica:
on designa labase dual de a l'espai cotangent, és a dir, unfuncional lineal sobre tal que:
Els components del tensor mètric varien de manera contínua a l'espaitemps. (De manera més precisa, han de ser com a mínim de la classe C²).
El tensor mètric també pot ser representat per una matriu 4x4 realsimètrica:
Ara bé, tota matriu 4x4 real posseeix a priori 4 x 4 = 16 elements independents. La condició de simetria redueix aquest nombre a 10: en queden 4 elements diagonals, als quals cal afegir (16 - 4)/2 = 6 elements no diagonals. Per tant, el tensor posseeix només 10 components independents.
El tensor mètric definit per cada punt de la varietat pseudo-producte escalar a l'espai euclidià tangent aM al punt. Si i són dos vectors de, el seu producte escalar s'escriu:
En particular, prenent dos vectors de base, s'obtenen els components:
Observació: denomina els componentscontravariants del vectorw, de la mateixa manera hom pot definir els seus componentscovariants:
Considerem el vector desplaçament elemental entre el puntP i un punt infinitesimal veí:. La seva norma infinitesimal invariant és el nombre real escrit com, i tenim:
Si els components del vector desplaçament s'escriuen segons el costum de la física, la longitud infinitesimal s'escriu formalment com:
Atenció: en aquesta equació, representa unnombre real que s'interpreta físicament com la "variació infinitesimal" de la coordenada, no es tracta d'una forma diferencial!
Amb l'adjectiulorentziana hom vol indicar que el tensor mètric és de signatura (1,3). Elprincipi d'equivalència assegura que és possible d'eliminar localment un camp gravitacional si hom pren un sistema de coordenades localment inercial ben escollit. A aquest sistema de coordenades localment inercial entorn del punt precedent, l'invariant s'escriu:
on és el pla mètric de Minkowski. Aquí s'adopta la convenció de tipus MTW:[7]
A partir d'aquí s'utilitzaran les següents convencions usuals:
un índexgrec varia de 0 a 3. És associat a una magnitud de l'espaitemps.
un índexllatí varia d'1 a 3. És associat als components espacials d'una magnitud a l'espaitemps.
Per exemple, a un sistema de coordenades localment inercial elquadrivector posició s'escriu:
El caràcter lorentzià de la varietatM assegura que l'espai euclidià tangent aM posseeix a cada punt un pseudo-producte escalar, tenint 3 valors nets estrictament positius (associats a l'espai) i un valor estrictament negatiu (associat al temps). De manera particular, l'interval elemental detemps net que separa dues ocurrències verifica:
Nocions generals de connexitat i derivada covariant
De manera general hom denominaconnexitat a un operador que associa a uncamp vectorial de l'espai fibrat tangent un camp d'endomorfisme de lafibració. Si és un vector tangent al punt, habitualment s'escriu:
Hom diu que és laderivada covariant del vector a la direcció. A més, per a s'imposa la condició addicional que ha de verificar que per a tota funcióf, es tingui:
La derivada covariant verifica les següents propietats de linearitat:
linearitat aw, és a dir, siguin quins siguin els camp vectorialsw iu i els nombres realsa ib, hom tindrà:
linearitat a 'V, és a dir, siguin quins siguin els camp vectorialsX iY i els nombres realsa ib, hom tindrà:
Un cop s'ha definit la derivada covariant pels camps vectorials, pot ser estesa alscamps tensorials utilitzant la regla deLeibniz: si i són dostensors qualsevol, s'imposa que:
La derivada covariant d'un camp tensorial al llarg d'un vectorw és també un camp tensorial del mateix tipus.
Laconnexió de Levi-Civita es defineix com l'única que a més de verificar les condicions precedents, per a qualsevol camp vectorialX, Y, Z deTM, hom tindrà:
La derivada covariant d'un vector és unvector, i també pot ser expressada com una combinació linear de tots els vectors de base:
on representa la component del vector derivat covariant a la direcció (aquesta component depèn del vectorw escollit).
Per descriure la derivada covariant n'hi ha prou amb descriure la de cada un dels vectors de base al llarg de la direcció. Hom defineix llavors elssímbols de Christoffel dependents de 3 indexos[e] per:
La connexió de Levi-Civita es caracteritza pels símbols de Christoffel. Si apliquem la fórmula general:
sota la forma:
Sabent que, s'obté:
El primer terme d'aquesta fórmula descriu la "deformació" del sistema de coordinades amb relació a la derivada covariant, i el segon els canvis de coordinades del vectorV. Els indexos repetits seran sumats i hom pot reescriure la fórmula sota la forma:
I hom dedueix la fórmula a partir dels components:
Utilitzant la fórmula de Leibniz, es demostraria que:
Per calcular explícitament aquests components les expressions dels símbols de Christoffel han de ser determinats a partir de la mètrica. S'obtenen fàcilment escrivint les següents condicions:
El càlcul explícit d'aquesta derivada covariant porta a:
on són els components del tensor mètricinvers, definit per les equacions:
Els símbols de Christoffel tenen unasimetria en relació als indexos de base:
Observació: de vegades també es defineixen els símbols següents:
El tensor simètric, té 10 components independents, l'equació tensorial d'Einstein seria equivalent a un sistema de 10 equacions escalars independents. Aquest sistema de derivades parcials no lineals acoblades és habitualment el més difícil d'estudiar.
Eltensor energia-impuls es pot escriure sota la forma d'una matriu 4x4 realsimètrica:
A la matriu trobem les següents magnituds físiques:
T00 és ladensitat volúmica d'energia, que éspositiva.
T10, T20, T30 són lesdensitats de moment.
T01, T02, T03 són elsfluxos d'energia.
La submatriu 3x3 de components espacial-espacial:
és la matriu delsfluxos de moment. Enmecànica de fluids, la seva diagonal correspon a lapressió i els altres components corresponen als esforços tangencials deguts a laviscositat.
Per a unfluidenrepòs, el tensor energia-impuls es redueix a la matriu diagonaldiag(ρc^2,p,p,p) onρ és la massa volúmica i p la pressióhidroestàtica.
En elcas particular d'un camp central generat per un cos esfèric, la mètrica de Schwarzschild (1916) proporciona una solució exacta per a l'equació (que només és vàlida al'exterior del cos):
on M és la massa total del cos i el quadrat de la distància elemental sobre l'esfera euclidiana del radi unitat en coordenades esfèriques:
En relativitat general, el problema dels dos cossos no té una solució exacta, només la té el "problema d'un cos". Tanmateix hom pot trobar una solució aproximada pel que, de vegades, s'anomena "problema del moviment".
Al seu manuscrit de les darreries del1915, Einstein va començar per calcular el camp gravitatori d'un sistema de simetria esfèrica creat per un astre de massa, quan s'és lluny del centre l'astre el camp és d'intensitat feble. Tot seguit Einstein explorava el problema del moviment d'una "partícula de prova" de massa a aquest camp feble. Hom suposava que la partícula de prova no podia modificar el camp gravitatori creat per l'astre massiu.
D'altra banda, el principi d'equivalència havia de portar Einstein a postular les equacions del moviment de la partícula de prova de manera que les solucions fossin certesgeodèsiques de l'espaitemps. Matemàticament, les geodèsiques donen la pseudodistància extrema:
A un sistema de coordenades localment inercials,aquestes equacions de moviment s'escriuen:
on és eltemps net de la partícula de prova (que hom suposa massiva). A un sistema de coordenades qualsevol, les equacions del moviment prenen la forma següent:
Les solucions d'aquestes equacions defineixen lesgeodèsiques del gènere temps de l'espaitemps.
Al treball que va fer Einstein en col·laboració ambLéopold Infeld iBanesh Hoffmann[8] el1938 va demostrar que les equacions del moviment de la partícula de prova:
deriven de les equacions de camp. Per tant, no és necessari introduir-les per mitjà d'un postulat suplementari.
↑És únicament per a les situacions a les quals les velocitats relatives entre els objectes són febles.
↑Amb el benentès que en la pràctica la diferència seria tan insignificant que seria impossible de detectar-la amb l'ajut dels instruments de mesura tradicionals, però s'han fet experiments equivalents que han permès de detectar el caràcter no euclidià de l'espaitemps.
↑S'omet l'escriptura de l'índex 4 que precisa la dimensió de la varietatM.
↑Atenció, els símbols de Christoffel no són tensors.
↑Miguel Alcubierre. «Introducción a la relatividad numérica» (PDF) (en castellà). Universidad Nacional Autónoma de México: Instituto de Ciencias Nucleares, 31-10-2005. Arxivat de l'original el 9 maig 2015.
