Enaritmètica iàlgebra, laquartapotència d'un númeron és el resultat de multiplicar quatre instàncies den una darrera l'altre. (concepte semblant a lasegona potència,tercera potència, cinquena potència, sisena potència, setena potència, etc.). És a dir:

n⁴ =n ×n ×n ×n

També es formen les quartes potències multiplicant un número pel seu cub. A més a més, sónquadrats de quadrats.

La seqüència de quartes potències delsenters (també coneguts com abiquadrats onombres de Tesseract) és:

0, 1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, 14641, 20736, 28561, 38416, 50625, 65536, 83521, 104976, 130321, 160000, 194481, 234256, 279841, 331776, 390625, 456976, 531441, 614656, 707281, 810000, ... (successióA000583 a l'OEIS)

Es poden mostrar fàcilment els dos últims dígits d'una quarta potència d'un enter a la base 10 (per exemple, calculant els quadrats dels dos últims dígits possibles dels nombres quadrats) per limitar-los a nomésdotze possibilitats:

• si un número acaba en 0, la seva quarta potència acaba en${\displaystyle 00}$ (de fet en${\displaystyle 0000}$)
• si un número acaba en 1, 3, 7 o 9, la seva quarta potència acaba en${\displaystyle 01}$,${\displaystyle 21}$,${\displaystyle 41}$,${\displaystyle 61}$ or${\displaystyle 81}$
• si un número acaba en 2, 4, 6 o 8, la seva quarta potència en${\displaystyle 16}$,${\displaystyle 36}$,${\displaystyle 56}$,${\displaystyle 76}$ or${\displaystyle 96}$
• si un número acaba en 5, la seva quarta potència en${\displaystyle 25}$ (de fet en${\displaystyle 0625}$)

Aquestes 12 possibilitats es poden expressar convenientment com 00,e 1,o 6 o 25 ono és unestrany dígits ie 1fins i tot dígits.Cada enter positiu es pot expressar com la suma de com a màxim 19 quarts de potències; cada enter prou gran es pot expressar com la suma de com a màxim 16 quarts de potències (vegeu:problema de Waring).

Fermat sabia que un quarta potència no pot ser la suma de dues altres potències de quart (el casn = 4del darrer teorema de Fermat ; (vegeu: teorema del triangle rectangle de Fermat).Euler va conjecturar que un quarta potència no es podria escriure com la suma de tres quartes potències, però 200 anys més tard, el 1986, Elkies va negar-ho amb:

${\displaystyle {20615673}^4={18796760}^4+{15365639}^4+{2682440}^4.}$

Elkies va mostrar que hi ha infinits altres contraexemples per a l'exponent quatre, alguns dels quals són:^[1]

${\displaystyle {2813001}^4={2767624}^4+{1390400}^4+{673865}^4}$ (Allan MacLeod)

${\displaystyle {8707481}^4={8332208}^4+{5507880}^4+{1705575}^4}$ (D.J. Bernstein)

${\displaystyle {12197457}^4={11289040}^4+{8282543}^4+{5870000}^4}$ (D.J. Bernstein)

${\displaystyle {16003017}^4={14173720}^4+{12552200}^4+{4479031}^4}$ (D.J. Bernstein)

${\displaystyle {16430513}^4={16281009}^4+{7028600}^4+{3642840}^4}$ (D.J. Bernstein)

${\displaystyle {422481}^4={414560}^4+{217519}^4+{95800}^4}$ (Roger Frye, 1988)

${\displaystyle {638523249}^4={630662624}^4+{275156240}^4+{219076465}^4}$ (Allan MacLeod,1998)

Que l'equacióx⁴ +y⁴ =z⁴ no tingués solucions en enters no habituals (un cas especialdel darrer teorema de Fermat) era conegut perFermat ; (vegeu: teorema del triangle rectangle de Fermat) .

Les equacions de quart grau, que contenen unpolinomi de quart grau (però no més alt) són, pelteorema d'Abel-Ruffini, les equacions de grau més alt que tenen una solució general usantradicals.

• Quadrat (àlgebra)
• Potenciació

• Seqüències d'enters
• Teoria de nombres
• Nombres enters

• Pàgines amb traduccions sense revisar