Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Vés al contingut
Viquipèdial'Enciclopèdia Lliure
Cerca

Quadrivector

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

Unquadrivector és unvector d'unespai vectorial real de quatre dimensions, anomenatespai de Minkowski, les components del qual es transformen igual que lescoordenades espacials i temporals (t,x,y,z) sotarotacions espacials i canvis d'unsistema de referència inercial a un altre. El conjunt d'aquestes transformacions, anomenadestransformacions de Lorentz, queda descrit per un conjunt dematrius 4×4, que forma l'anomenatgrup de Lorentz. Els quadrivectors i l'espai de Minkowski permeten una formulació acurada i còmoda de lateoria de la relativitat.

Formulació matemàtica

[modifica]

Un punt en l'espai de Minkowski s'anomena «esdeveniment» i es descriu mitjançant elquadrivector posició:

xa:=(ct,x,y,z){\displaystyle x^{a}:=\left(ct,x,y,z\right)}

amba = 0, 1, 2, 3 i essentc és lavelocitat de la llum.

Elproducte intern de dos quadrivectorsx iy es defineix (ambnotació d'Einstein) com

x⋅y=ηabxayb=(x0x1x2x3)(−1000010000100001)(y0y1y2y3)=−x0y0+x1y1+x2y2+x3y3{\displaystyle x\cdot y=\eta _{ab}x^{a}y^{b}=\left({\begin{matrix}x^{0}&x^{1}&x^{2}&x^{3}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}y^{0}\\y^{1}\\y^{2}\\y^{3}\end{matrix}}\right)=-x^{0}y^{0}+x^{1}y^{1}+x^{2}y^{2}+x^{3}y^{3}}

onη és lamètrica de Minkowski; aquest producte s'anomenainterval d'espaitemps. Els quadrivectors conformen el diagrama d'espaitemps o diagrama de Minkowski i es poden classificar en espacials, temporals o nuls, segons que el seu producte intern amb ells mateixos sigui superior, inferior o igual a zero.

Exemples en dinàmica relativista

[modifica]

Quan es consideren fenòmens físics apareixen de manera natural equacions diferencials, que ens representen les variacions de les magnituds respecte al temps i respecte a l'espai. Nogensmenys, al considerar les derivades espacials i temporals de funcions, cal saber el sistema de referència respecte al qual s'estan prenents aquestes derivades. Per conveni es considera que les derivades temporals es prenen respecte altemps propi (τ) en el sistema de referència considerat. Llavors és important trobar una relació entre aquesta derivada temporal i una altra derivada temporal respecte a un altre sistema inercial. Aquesta informació la proporciona la transformació de Lorentz del temps:

dτdt=1γ{\displaystyle {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{\gamma }}}

on γ és el factor gamma relativista. Sabent aquesta relació es poden definir quadrivectors importants en relativitat; elquadrivector posició ja l'hem definit anteriorment. Elquadrivector velocitat oquadrivelocitat es defineix doncs com la derivada respecte al temps propi del quadrivector posició:

Ua:=dxadτ=dxadtdtdτ=(γc,γu){\displaystyle U^{a}:={\frac {dx^{a}}{d\tau }}={\frac {dx^{a}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=\left(\gamma c,\gamma \mathbf {u} \right)}

on

ui=dxidt{\displaystyle u^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}}

per ai = 1, 2, 3 i que és la velocitat habitual en mecànica newtoniana. Notem que

UaUa=−c2{\displaystyle U^{a}U_{a}=-c^{2}\,}

Elquadrivector acceleració oquadriacceleració es defineix com:

Aa:=Ua,bUb=∂Ua∂xbUb=dUadτ=(γγ˙c,γγ˙u+γ2u˙){\displaystyle A^{a}:=U_{a,b}U^{b}={\frac {\partial U_{a}}{\partial x^{b}}}U^{b}={\frac {dU^{a}}{d\tau }}=\left(\gamma {\dot {\gamma }}c,\gamma {\dot {\gamma }}\mathbf {u} +\gamma ^{2}\mathbf {\dot {u}} \right)}

Com la magnitudUa{\displaystyle U^{a}} és constant

0=∂UaUa∂xb=2Ua,bUa{\displaystyle 0={\frac {\partial U^{a}U_{a}}{\partial x^{b}}}=2U_{a,b}U^{a}\,}

multiplicant els dos costats perUb{\displaystyle U^{b}} obtenim la identitat

AaUa=0{\displaystyle A^{a}U_{a}=0\,}

que és cert per a qualsevol distribució de velocitats.

Elquadrivector moment oquadrimoment es defineix com:

Pa:=m0Ua=(mc,p){\displaystyle P^{a}:=m_{0}U^{a}=\left(mc,\mathbf {p} \right)}

onm0 és lamassa en repòs de la partícula (ambm = γm0) ip =mu.

Finalment elquadrivector força és:

Fa:=m0Aa=(γm˙c,γf){\displaystyle F^{a}:=m_{0}A^{a}=\left(\gamma {\dot {m}}c,\gamma \mathbf {f} \right)}

on

f=m0γ˙u+m0γu˙{\displaystyle \mathbf {f} =m_{0}{\dot {\gamma }}\mathbf {u} +m_{0}\gamma \mathbf {\dot {u}} }.
Registres d'autoritat
Bases d'informació
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Quadrivector&oldid=32856749»
Categoria:
Categoria oculta:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp