Que sigui un concepte primitiu significa que no es pot definir un punt en termes d'objectes prèviament definits. És a dir, un punt es defineix únicament a partir d'unes certes propietats, anomenatsaxiomes, que ha de satisfer; per exemple,hi ha exactament unarecta que passi a través de dos punts diferents.
Alternativament, es pot dir que un punt és el lloc on es tallen dues línies i, per tant, una part de l'espai que no tédimensió. És un element infinitament petit, de fet, només és una posició en l'espai.[2]
Podem imaginar el punt com eltraç o senyal que deixa la punta del llapis o del bolígraf en tocar el full de paper sense lliscar. De fet, aquest traç o senyal és assimilable a uncercle deradi molt petit. En les representacions de lageometria plana o de lageometria descriptiva, el punt es representa com unax, és a dir, laintersecció de dos petitssegments.
Engeometria analítica, el punt és representat per un conjunt de 2 o 3 nombres ordenats que són lescoordenades del punt. Ja que l'extrem d'unvector és un punt, en l'espai de 3 dimensions, un vector des de l'origen delsistema de coordenades indica la posició d'un punt. Un punt descriu una posició en el pla, determinada respecte d'unsistema de coordenades preestablertes.[3]
El punt és la representació més petita i un dels elements bàsics de lageometria plana, juntament amb larecta i elpla, és la unitat més simple, irreductiblement mínima, de la comunicació visual.[4] Els punts s'identifiquen en un sistema d'eixos cartesians mitjançant unescoordenades X, Y i Z, que defineixen la seva posició dins d'unpla.
El concepte de punt com a entitat geomètrica va sorgir en l'antiga concepció grega de la geometria compilada aAlexandria perEuclides en el seu tractatElements, donant una definició de punt excloent: «allò que no té cap part». El punt, en lageometria clàssica, es basa en la idea que era un concepte intuïtiu, l'ens geomètric «sense dimensions» i només calia assumir la noció de punt.[5]
Actualment, la noció de punt, enmatemàtiques, ré un sentit molt ampli. Històricament, elspunts eren els «constituents» fonamentals, els «àtoms», de què estaven fetes lesrectes, elsplans i elsespais, tal com els concebien elsgeòmetresgrecs de l'edat antiga. Es deia, per tant que unarecta, unpla ol'espai sencer erenconjunts de punts.
En definitiva, n'hi ha prou que un matemàtic qualifiqui un cert conjunt com aespai, en el sentit més general d'aquest terme i doti de propietats particulars governades peraxiomes, perquè els seus elements siguin qualificats immediatament com apunts.
Així, avui, igual que el termeespai s'ha convertit en sinònim deconjunt, el termepunt és sinònim d'element. Així doncs, s'utilitzen aquests termesespai ipunt pel seu poder suggestiu, fins i tot quan els termes en qüestió no tenen res a veure amb lageometria.
Els punts, considerats en el marc de lageometria euclidiana, són un dels objectes més fonamentals.Euclides va definir originalment el punt com "allò que no té part".[6] En elpla euclidià bidimensional, un punt es representa per unparell ordenat (x,y) de nombres, on el primer nombre representa convencionalment l’horitzontal i sovint es denota ambx, i el segon nombre representa convencionalment la vertical i sovint és denotada pery. Aquesta idea es generalitza fàcilment al'espai euclidià tridimensional, on un punt està representat per un triplet ordenat (x,y,z) amb el tercer nombre addicional que representa la profunditat i sovint es denota perz. Les generalitzacions addicionals es representen mitjançant ungrup ordenat den termes,(a1, a₂, … , an) onn és ladimensió de l'espai on es troba el punt.[7]
Moltes construccions de la geometria euclidiana consisteixen en una col·leccióinfinita de punts que s'ajusten a certs axiomes. Normalment, es representa amb unconjunt de punts; com a exemple, unarecta és un conjunt infinit de punts de formaonc1 acn id són constants in és la dimensió de l'espai. Existeixen construccions similars que defineixen elpla, elsegment de línia i altres conceptes relacionats.[8] Un segment de línia format només per un punt s'anomena segment de línia degenerat.
A més de definir punts i construccions relacionades amb els punts, Euclides també va postular una idea clau sobre els punts, que dos punts qualsevol es poden connectar per una línia recta.[6] Això es confirma fàcilment sota les extensions modernes de la geometria euclidiana, i va tenir conseqüències duradores en la seva introducció, permetent la construcció de gairebé tots els conceptes geomètrics coneguts en aquell moment. No obstant això, la postulació dels punts d'Euclides no era ni completa ni definitiva, i ocasionalment assumia fets sobre punts que no seguien directament dels seus axiomes, com ara l'ordenació dels punts a la línia o l'existència de punts específics. Malgrat això, les ampliacions modernes del sistema serveixen per eliminar aquests supòsits.
En alguns textos de geometria se sol utilitzar una petita creu (+), un cercle (o), un quadrat o un triangle per designar un punt. Amb relació a altres figures, se sol representar el punt amb un petitsegment lineal perpendicular quan pertany a unarecta, a unasemirecta o a un segment.
Als punts se'ls sol anomenar amb lletres en majúscula: A, B, C, etc. (a les rectes amb lletres minúscules i als angles amb lletres gregues).
La forma de representar un punt mitjançant dos segments que es tallen (una petita “creu” +) pressuposa que el punt és una intersecció. Quan es representa amb un petitcercle, unacircumferència o una altrafigura geomètrica, pressuposa que el punt és el centre de tal figura.
La dimensió d'un espai vectorial és la mida màxima d'un subconjuntlinealment independent. En un espai vectorial format per un sol punt (que ha de ser el vector zero0), no hi ha cap subconjunt linealment independent. El vector zero no és en si mateix linealment independent, perquè hi ha una combinació lineal no trivial que el fa zero:.
La dimensió topològica d'un espai topològic es defineix com el valor mínim den, de manera que cadacoberta oberta finita de admet una coberta oberta finita de querefina en què no s'inclou cap punt en més den +1 elements. Si no existeix aquestan mínima, es diu que l'espai té una dimensió de cobertura infinita.
Un punt és zero-dimensional respecte a la dimensió de la coberta perquè cada coberta oberta de l'espai té un refinament que consisteix en un únic conjunt obert.
SiguiX unespai mètric. SiS ⊂X id ∈ [0, ∞), elcontingutd -dimensional de Hausdorff deS és l’ínfim del conjunt de nombres δ ≥ 0 de manera que hi ha alguna col·lecció (indexada) deboles. cobrintS ambri > 0 per a cadai ∈I que compleix
Ladimensió de Hausdorff deX es defineix per
Un punt té la dimensió Hausdorff 0 perquè pot ser cobert per una sola bola de radi arbitràriament petit.
Encara que la noció de punt es considera generalment fonamental en la geometria i la topologia corrents, hi ha alguns sistemes que la deixen de banda, per exemple, la geometria no commutativa i la topologia sense sentit. Un espai "inútil" o "lliure de punts" no es defineix com unconjunt, sinó a través d'alguna estructura (algebraica o lògica respectivament) que sembla un espai de funcions ben conegut en el conjunt: una àlgebra defuncions contínues o una àlgebra de conjunts respectivament.. Més precisament, aquestes estructures generalitzen espais defuncions coneguts de manera que l'operació "agafa un valor en aquest punt" potser no es defineix.[9] Una altra tradició parteix d'alguns llibres d’AN Whitehead en què la noció de regió s'assumeix com a primitiva juntament amb la d’inclusió oconnexió.[10]
Sovint, en física i matemàtiques, és útil pensar que un punt té una massa o càrrega diferent de zero (això és especialment comú enl'electromagnetisme clàssic, on els electrons s'idealitzen com a punts amb càrrega diferent de zero). Lafunció delta de Dirac, ofuncióδ, és (informalment) una funció generalitzada a la recta numèrica real que és zero a tot arreu excepte a zero, amb unaintegral d'un sobre tota la recta real.[12][13][14] La funció delta de vegades es pensa com una punta infinitament alta i infinitament prima a l'origen, amb una àrea total sota la punta, i representa físicament unamassa puntual idealitzada ocàrrega puntual.[15] Va ser introduït pel físic teòricPaul Dirac. En el context delprocessament del senyal, sovint s'anomenasímbol (o funció) d'impuls d'unitat.[16] El seu analògic discret és la funciódelta de Kronecker que normalment es defineix en un domini finit i pren els valors 0 i 1.
↑Karl Menger,General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted inClassics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993)ISBN 0-201-58701-7
↑Dondis, A. Donis.La sintaxis de la imagen. Introducción al alfabeto visual.. Gustavo Gili, 2011.
↑E. Szpilrajn «La dimension et la mesure». Fundamenta Mathematicae, vol. 28, 1937, pàg. 81–9.
.jpg)
