Unpolíedre és un cos geomètric, la superfície del qual es compon d'una quantitat finita depolígons plans. Els seus elements notables són lacara o faceta que és la porció de pla que limita el cos, l'aresta on es troben dues cares, i elvèrtex on es troben tres o més arestes. Encara que sempre s'ha concebut el políedre com un cos de tres dimensions, també hi ha semblants topològics en qualsevol dimensió; per exemple, el polígon és el semblant topològic de duesdimensions del políedre. Totes aquestes formes són conegudes com apolítops.
La paraulapolíedre deriva delgrec πολύεδρον (πολύς,polís = "molts" i ἕδρα,hédra = "seient, cara"). Molts objectes microscòpics naturals (molècules,protozous,virus, etc.) tenen una forma osimetria polièdrica. Elscristalls es poden presentar d'aquesta forma, fins i tot a escala microscòpica.
Enmatemàtiques no hi ha una definició única de políedre.[1] Una definició molt general és la següent:
Unpolíedre és la unió d'un nombre finit depolígons en l'espai, que es troben per parelles en els seus costats.
En altres paraules, cadascun dels costats de cadascun d'aquests polígons coincideix exactament amb un costat d'un altre polígon. En el cas més estudiat, els polígons formen unasuperfície que delimita una zona sòlida de l'espai: en aquest cas per políedre s'entén aquest sòlid i no només dels polígons que delimiten la seva superfície.
En els llibres de text la definició formal de "políedre" s'acompanya sovint d'altres hipòtesis tècniques afegides, dissenyades per excloure alguns casos considerats "patològics". Per exemple,[2][calcitació] es defineix unasuperfície polièdrica com un nombre finit de polígons a l'espai de tal manera que:
la intersecció de les dues cares és buida o és una aresta o un vèrtex;
cada aresta pertany precisament a dues cares;
dues cares adjacents no són coplanàries;
fixat un vèrtex i dues cares incidents a, existeix una cadena de cares que conté tal que, i és adjacent a per a cada.
L'elecció de les hipòtesis tècniques afegides no és única i depèn en gran manera de l'elecció de l'autor. Els supòsits enumerats aquí, respectivament, estan dissenyats per impedir que:
dues cares s'intersequin a l'interior (cosa que en canvi s'ha d'acceptar si es volen considerar políedres cossos geomètrics com elspolíedres de Kepler-Poinsot, que s'explicaran en aquest article);
una aresta pertanyi a 4, 6 o més cares, com en la unió de dos políedres que s'intersequen en una aresta;
dues cares se superposin, o que existeixin arestes "falses" amb angle díedre de 180°;
un vèrtex que pertanyi localment a 2 o més objectes diferents, com en la unió de dos políedres que s'intersequen en un únic vèrtex.
Uncub té 6 caresquadrades, 12 arestes i 8 vèrtexs.
Els polígons són lescares del políedre. Les cares poden tenir les formes més diverses: poden ser totescongruents (és a dir iguals tret de translacions, rotacions i simetries) com en el cub, tenir sempre el mateix nombre de costats, sense haver de ser congruents, com en el cas més genèric d'unparal·lelepípede, o poden tenir un nombre de costats variable com en unprisma de base no rectangular o unapiràmide de base no triangular.
Els costats de les cares són lesarestes del políedre. Per definició, una aresta pertany simultàniament a dues cares i la seva magnitud més representativa és lalongitud. Un políedre pot tenir arestes de longitud constant (com en elcub) o variable.
Les dues cares que toquen una aresta formen un angle,angle díedre que, en general, varia d'aresta en aresta, però que pot tenir un valor constant en alguns políedres; per exemple, en el cub forma unangle recte, mentre que en eltetràedre és aproximadament de 70° 32′.
Lapiràmide de base quadrada té un vèrtex on conflueixen quatre arestes i quatre vèrtexs on n'hi conflueixen tres arestes.
Elsvèrtexs de les cares (és a dir, els extrems dels costats) són elsvèrtexs del políedre. Cada vèrtex pertany almenys a tres cares diferents. El nombren de cares a les quals pertany també és igual al nombre d'arestes que toca.
En eltetraedre dues cares qualssevol són sempre adjacents.
S'anomenenvèrtexs adjacents del políedre dos vèrtexs que són extrems comuns d'una aresta; s'anomenenarestes adjacents del políedre a les que tenen un vèrtex en comú; s'anomenencares adjacents del políedre a les cares que tenen una aresta en comú. Cadascuna de les tres relacions d'adjacència entre els vèrtexs, les arestes i les cares d'un políedre és clarament unarelació simètrica. Per exemple, en un tetraedre dos vèrtexs i dues cares són sempre adjacents, mentre que una aresta és adjacent a totes les altres arestes tret d'una: l'arestaoposada.
Per fixar la terminologia, s'introdueixen també tresrelacions d'incidència. S'anomenenincidents:
un vèrtex i l'aresta de la qual el vèrtex n'és extrem;
un vèrtex i una cara de la qual el vèrtex en forma part;
una aresta i una cara de la qual l'aresta n'és un costat.
Per a cadaC superior o igual a 4 existeix un políedre ambC cares. Una primera classificació dels políedres es fa sobre la base del nombre de les seves cares: els políedres de 4, 5, 6, 7, 8 ... 12 ... 20 ... cares poden ser anomenats, respectivament,tetraedre,pentaedre,hexaedre,heptàedre,octaedre, ...dodecaedre, ...icosaedre, ... d'acord amb el prefixgrec corresponent al nombre de polígons utilitzats. Però els noms octaedre, dodecaedre i icosàedre, generalment es reserven a tres políedres molt específics i no genèrics d'un políedre amb 8, 12 i 20 cares: són tres dels 5sòlids platònics.
El nombre de cares, arestes i vèrtexs d'un políedre forma una tríada de nombres indicada amb. El tetraedre és el políedre més petit, en el sentit que té 4 cares, 6 d'arestes i 4 vèrtexs, mentre que tots els altres políedres tenen,,.
Unpolíedre convex és un políedre que materialitza un sòlidconvex. Aquesta condició es pot expressar de diverses maneres equivalents.
Per a cada parell de punts del sòlid, el segment que els uneix està totalment contingut en el sòlid (aquesta és la definició habitual de conjunt convex en l'espai);[3]
El pla que conté cadascuna de les cares divideix l'espai en dos semiespais, i el políedre està totalment contingut en un d'aquests semiespais.
Un políedre que no és convex, de vegades es diu que éscòncau.
Els políedres més coneguts són políedres convexos. Si bé la definició general d'un políedre varia segons l'autor, hi ha una definició d'un políedre convex universalment acceptada pels matemàtics, que es descriu a continuació. Unsemiespai és una de les dues parts de l'espai delimitada per un pla.
Unpolíedre convex és una zona limitada de l'espai obtinguda com laintersecció d'un nombre finit de semiespais.
A partir d'aquesta definició, es pot definir lacara com els polígons obtinguts intersecant el políedre amb els plans que delimiten aquest semiespai. Per exemple, el cub és un políedre convex amb 8 cares i es pot obtenir com la intersecció de 8 semiespais, delimitat pels plans que contenen les cares.
Els vèrtexs i les arestes d'un políedre formen ungraf, anomenatesquelet del políedre. Per exemple, l'esquelet deltetraedre és ungraf complet amb 4 vèrtexs.
L'esquelet d'un políedre convex és ungraf pla: De fet, es pot projectar el graf a partir d'un punt intern qualsevol del políedre sobre unaesfera centrada en el punt, i després en el pla, a través d'una projecció estereogràfica. El graf d'un políedre més complex pot no ser pla.
El desenvolupament pla d'un políedre és una figura plana que consta d'un nombre depolígons connectats al llarg d'alguns costats, que pot ser plegat en l'espai de forma que es tanca i forma el políedre. El desenvolupament pla és una eina pràctica útil per a la construcció de políedres de paper.
Qualsevol políedre convex es pot construir a partir d'un desenvolupament pla. El mateix políedre pot ser construït a partir de diferents desenvolupaments plans: el conjunt de polígons presents és sempre el mateix (són les cares de políedre), però la figura que formen pot ser diferent.[4]
Unparal·lelepípede té sempre la mateixa estructura combinatòria, al prescindir de les longituds dels costats i dels angles que formen.
L'estructura combinatòria d'un políedre és el conjunt dels seus vèrtexs, arestes i cares i les relacions d'incidència entre ells. En canvi, l'estructura mètrica d'un políedre és l'estructura del políedre com aespai mètric, és a dir, com a espai dotat de distància entre els punts.
Unarotació al voltant d'un eix o unatranslació deixen sense canvis les estructures mètrica i combinatòria d'un políedre. Unadilatació transforma l'estructura mètrica (per exemple, ja que modifica les distàncies entre els vèrtexs), però deixa sense canvis l'estructura combinatòria. Més en general, l'estructura combinatòria és més flexible: per exemple, dosparal·lelepípedes tenen la mateixa estructura combinatòria, però no necessàriament la mateixa estructura mètrica.
La tríada (V, A, C) dona una bona descripció de l'estructura combinatòria del políedre. Però la descripció no és completa, perquè no conté tota la informació sobre les adjacències. Una informació afegida és el nombre d'arestes incidents als vèrtexs.
Les propietats topològiques d'un políedre són les que descriuen només la forma global. Els políedres més estudiats (per exemple, els convexos), tenen tots la mateixa forma topològica: són «topològicament equivalents» a unabola, aquests políedres s'anomenensimples. Per als políedres simples es verifica una fórmula que és important: larelació d'Euler.
El gran icosàedre té 20 cares triangulars que s'entrecreuen entre si.
La superfície d'un políedre és la unió dels seus costats. En alguns casos, com en el gran icosàedre que es mostra a la imatge, aquestes cares poden entrecreuar-se i formar una figura complicada. Quan això succeeix, pot ser que no sigui clar quina és la porció sòlida de l'espai a considerar realment "compresa" dins de les cares. Aquest fenomen és similar al que succeeix en dimensió 2 en elspolígons estelats.
En els casos més estudiats, però, les cares no es creuen i formen efectivament unasuperfície que pot ser estudiada des d'un punt de vista topològic: és a dir, que descriu la forma global, sense ocupar-se dels angles formats localment per les diverses arestes i vèrtexs. Una superfície delimita sempre una part de l'espai.[5]
Un políedre amb un forat, té la topologia d'untorus.
Des d'un punt de vista topològic, unasuperfície en l'espai es caracteritza sobretot pel "nombre de peces disjuntes" i el "nombre de forats". Quan està formada d'una sola peça i no té forats, és equivalent a una esfera. Les peces disjuntes i el nombre de forats en matemàtiques es formalitzen respectivament amb els conceptes decomponent connexa igènere. Un políedre amb un forat té una seva superfície en forma d'untorus.
Un políedre les cares del qual formen una superfície d'una sola peça i sense forats s'anomenasimple. Els políedres convexos, i la majoria de políedres estudiats, són simples.
No és possible construir un políedre tal que a tots els vèrtexs hi incideixin tres arestes i amb totes les cares hexagonals. La pilota de futbol que es fa servir normalment és unicosàedre truncat, les cares del qual són 20 pentàgons i 12 hexàgons.
La relació d'Euler relaciona el nombre, i de cares, arestes i vèrtexs d'un políedre simple de la següent manera:
La relació d'Euler es pot fer servir per demostrar, per exemple, que no es pot construir una pilota de futbol similar a la de la foto, però amb totes les cares hexagonals.
La relació d'Euler pot no ser aplicable en políedres no simples. Per exemple, en un políedre en forma detorus com el que es presenta a la figura la relació val. La quantitat en realitat només depèn de la topologia del políedre i s'anomenacaracterística d'Euler-Poincaré és una quantitat molt important entopologia.
Els políedres més estudiats són els que presenten moltessimetries. Una simetria d'un políedre és unaisometria de l'espai que transforma el políedre en si mateix. Les simetries d'un políedre formen ungrup, anomenatgrup de simetria.
Simetries del tetraedre: la rotació al voltant d'un eix o la reflexió respecte d'un pla.
Hi ha dues classes d'isometries en l'espai euclidià tridimensional: les que preserven l'orientació de l'espai (és a dir, transformen una mà dreta en una mà dreta) i les que la inverteixen (transformen una mà dreta en una mà esquerra). La mateixa classificació es fa en les simetries d'un políedre.
Simetria d'un políedre que preserva l'orientació ha de ser necessàriament unarotació al voltant d'un eix.[6] Aquest eix és uneix de simetria de rotació.
Una simetria que no conserva l'orientació pot ser:
unareflexió respecte d'un pla, anomenatpla de simetria,
Per exemple, untetraedre té 7 eixos de simetria: quatre pels vèrtexs i tres per cada parell d'arestes oposades (vegeu la figura). Així mateix té 6 plans de simetria (un per a cada aresta). Les simetries són, però, en realitat 24. De les quals 12 mantenen l'orientació i són: laidentitat, 2 de rotacions al voltant de qualsevol eix del primer tipus (de 120° i 240°) i rotació de 180° al voltant d'un eix del segon tipus (és a dir,). També hi ha 12 simetries que no mantenen l'orientació: 6 són reflexions respecte del pla com a la figura, i altres 6 són composicions de reflexos i rotacions.
Els plans i els eixos de simetria són el resultat de la presència de simetries de reflexió i de rotació. La intersecció de tots els eixos i tots els plans de simetria pot ser un pla, una recta, un punt, o buida. La intersecció pot estar buida només si no existeixen simetries.[7] Si la intersecció és un punt, d'aquest punt se'n diucentre del políedre. Si la intersecció és una recta, aquesta és l'eix del políedre.
Per exemple, el tetraedre i el cub tenen un centre. Unapiràmide de base quadrada no té un centre,[8] però té un eix.
Elcub xato és quiral; és a dir, no és equivalent......a la seva imatge especular.
Un políedre és quiral si no és equivalent a la seva imatge especular. Més concretament, un políedre és quiral si totes les seves simetries són rotacions: no hi ha cap simetria que inverteixi l'orientació. Més concretament, un políedre quiral es comporta com una mà: es presenta en dues formes (una "esquerra" i una "dreta") que són un mirall l'una de l'altra.
Una simetria mou un vèrtex cap a un vèrtex, que pot ser el mateix o diferent del de partida. De la mateixa manera, mou una aresta cap a una aresta, i una cara cap a una cara. La simetria determina llavors unapermutació dels vèrtexs, les arestes i les cares.
Eldodecàedre ròmbic és regular respecte de les arestes i les cares, però no ho és respecte dels vèrtexs: en alguns hi incideixen tres arestes i en altres quatre.
Les simetries d'un políedre indueixen unarelació d'equivalència en el conjunt dels seus vèrtexs (i de manera similar al conjunt de les arestes i de les cares): dos vèrtexs (o arestes o cares) són equivalents si existeix una simetria que mou de la primera a la segona.[9]Dos vèrtexs (o arestes o cares) equivalents han de tenir necessàriament el mateix aspecte: per exemple, dos vèrtexs equivalents han de tenir el mateix nombre d'arestes incidents, dues arestes la mateixa longitud i el mateix angle díedre i dues cares equivalents han de sercongruents. Totes aquestescondicions necessàries en general no sónsuficients: hi pot haver cares congruents i no equivalents, arestes de la mateixa longitud i amb el mateix angle díedre no equivalents, i així successivament.
Si els vèrtexs d'un políedre són tots equivalents, es diu que el políedre ésregular respecte dels vèrtexs. De la mateixa manera, si totes les arestes són equivalents o totes les cares, es diu que ésregular respecte de les arestes oles cares. Els termeshomogeni itransitiu es poden fer servir com a sinònim deregular.[10]
Un políedre que és regular respecte dels vèrtexs, les arestes i les cares es diu que ésregular. Només hi ha 5 políedres simples regulars: són elssòlids platònics.
Per exemple, el grup de simetries del tetraedre és elgrup de permutacions de 4 elements: de fet cadapermutació dels 4 vèrtexs es realitza exactament per una simetria. Les simetries són en efecte4! = 24.
Les simetries que preserven l'orientació formen unsubgrup, anomenatgrup de les rotacions. Aquest pot coincidir amb tot el grup (si el políedre és quiral) o pot tenirindex 2 (si no és quiral). El tetraedre no és quiral: el grup de les rotacions és elgrup alternat, que té 12 elements.
L'octaedre té 24 simetries de rotació: aquestes formen el grup.L'icosaedre té 60 simetries de rotatoció: aquestes formen el grup.
Tot i la gran varietat de políedres existents, hi ha poques classes de grups de simetria possibles. Per exemple, els únics grups que poden ser grups de rotació de qualsevol políedre són
on és elgrup cíclic d'ordre, és elgrup díedre d'ordre, és elgrup simètric d'ordre i és elgrup alternat d'ordre. Els grups i s'obtenen també com a grups de rotacions i de simetria d'unpolígon regular amb cares: són grups que s'obtenen fins i tot en el pla i, per tant, la seva presència no resulta sorprenent.[11]
Els grups i són per tant els únics grups de rotació essencialment tridimensionals. Són els grups de rotació dels 5 sòlids platònics: pel tetraedre, pel cub i l'octaedre, per l'icosaedre i eldodecaedre. Els sòlids platònics aquí juguen (com en molts altres contextos) un paper central.
Dos políedresP iQ sónduals si tenen intercanviats els papers dels vèrtexs i les cares. Més precisament, a cada vèrtex, aresta o cara deP, li correspon respectivament, una cara, aresta o vèrtex deQ, de manera que es conserven les adjacències i incidències. Per exemple, si un vèrtex deP és adjacent a una aresta deP, la corresponent cara deQ és adjacent a la corresponent aresta deQ.
En particular, les ternes de nombres (V, A, C) dels dos políedres són l'una l'oposada de l'altre. Per exemple, elcub, amb és dual de l'octaedre que té. En molts casos (com aquest), la dualitat es realitza de manera tal que el vèrtex deQ són punts interiors de les corresponents cares deP (vegeu un exemple a la figura).
Totpolíedre convex té un políedre dual, que es pot definir com el resultat d'unainversió respecte d'una esfera. Quan el políedre té un centre, és natural prendre com esfera una esfera centrada en aquest punt. La construcció del dual dels políedres no convexos és més problemàtica.
Un prismatoide és un políedre els vèrtexs del qual es troben en dos plans paral·lels. Tret de rares excepcions,[12] els prismatoides tenen en general com a molt un eix de simetria (ortogonal als plans paral·lels), i el seu grup de simetries és cíclic () o diedric (), el que és similar al grup de simetries d'unpolígon en el pla.
Hi ha diverses famílies infinites de prismatoides. Aquí s'enumeren les més utilitzades.
Existeixen exactament 5 políedres simples regulars respecte de les cares, les arestes i els vèrtexs. Aquests són elssòlids platònics. Aquests políedres també es coneixen com aregulars.
La taula indica per cadascun dels sòlids platònics la terna (C, A, V) i un parell, amb igual al nombre de costats de cada cara i igual al nombre d'arestes de cada vèrtex. Cub i octaedre són duals, i dodecaedre i icosàedre són duals. El tetraedre és dual de si mateix (la dualitat inverteix la terna i el parell de nombres de la taula).El centre de cada sòlid platònic és també el centre d'una esfera inscrita (interna i tangent a totes les cares) i una esfera circumscrita (externa i que conté tots els vèrtexs).
Els políedres, a més de tenir com a cares polígons regulars tots iguals, també han de tenir totes les arestes i vèrtexs equivalents.
Els sòlids platònics tenen un paper central en lageometria sòlida: són els sòlids que presenten la regularitat més gran possible i el nombre més gran de simetries. Els seusgrups de simetria tenen vincles amb les seccions més dispars de les matemàtiques. També tenen un lloc rellevant en la història del pensamentgrec, àrab i delRenaixement.Plató en elTimeu, associa a cadascun unelement: el foc al tetraedre, el cub a la terra, l'aire a l'octaedre, l'aigua a l'icosaedre, mentre pensa que el dodecàedre és la forma de l'Univers.
A més dels 5 políedres platònics, hi ha uns altres 4 políedres regulars no simples. Les cares d'aquests políedres sinstersequen entre si, dues d'elles, descoberts perKepler, tenen com a carespolígons estelats regulars, altres dos, descoberts perLouis Poinsot, tenen cares regulars no estelades, però tanmateix entrellaçades.
Els dos políedres estelats tenen com a cares 12 pentàgons estelats (Pentacles). Els valors (C, A, V) i (N, M) tenen el mateix significat que s'ha descrit anteriorment. Els dos primers políedres són l'un dual de l'altre, com també ho són els dos últims.
Altres 54 sòlids no convexos (amb cares convexes o estelades).
Els políedres duals dels políedres uniformes són regulars respecte de les cares i tenen vèrtexs regulars. Entre aquests, els 13 sòlids duals dels sòlids arquimedians s'anomenenpolíedres de Catalan en honor del matemàtic belgaEugène Charles Catalan.
En altres paraules, els sòlids de Johnson són els sòlids convexos amb cares regulars que no són uniformes.
Els sòlids de Johnson són 92, i venen generalment indicats amb una sigla que va de fins a.
Els sòlids convexos que tenen cares regulars són per tant: prisma i antiprisma regulars (en quantitat infinita), els sòlids platònics (5), els sòlids arquimedians (13) i els de Johnson (92).
Unpolíedre compost és un políedre obtingut com a unió de diversos políedres diferents que tenen el mateix centre. Un políedre d'aquest tipus generalment no és convex.
Per exemple, l'estel octangle que s'ha mostrat abans es pot descriure dom un políedre compost, format per dos tetraedres, que tenen el mateix centre però en posicions diferents.
Els políedres compostos més importants són els que presenten moltes simetries. Per exemple el políedre que es mostra a la figura, anomenatcompost de cinc tetraedres, és efectivament la unió de 5 tetràedres concèntrics: té vèrtexs, que també són els vèrtexs d'undodecàedre regular.
Eltruncament d'un vèrtexv d'un políedre és l'eliminació d'una part de políedre a través d'un tall a prop dev. La peça que es retira és unapiràmide amb vèrtexs av i base determinada pel pla al llarg del qual es fa el tall. La base és un polígon ambn costats, on n és el nombre d'arestes incidents av.
El nou políedre té una cara més respecte a l'anterior. Truncant un vèrtex cada cop, és possible, a partir del tetraedre, construir políedres amb un nombre arbitrari 4, 5, 6 ... de vèrtexs.
Molts sòlids arquimedians s'obtenen truncant adequadament tots els vèrtexs d'un sòlid platònic. Un truncament variable es pot fer servir en alguns casos per passar d'un políedre al seu dual, com en aquesta seqüència que connecta el cub amb l'octaedre:
L'estelació és una operació definida perKepler el1619: consisteix a estendre algunes cares del políedre fins a un punt on es tornen a trobar. Amb aquesta operació Kepler va construir, a partir deldodecàedre regular, dos dels quatre políedres conegut avui dia comsòlids de Kepler-Poinsot. L'estrella octàngula és un estelació de l'octaedre regular.
A continuació es presenten algunes estelacions: una de l'octaedre (l'estrella octàngula), tres del dodecàedre regular (les dues primeres són els sòlids de Kepler), i una de l'icosaedre.
Alguns políedres es poden fer servir com maons per omplir l'espai sense deixar forats, de manera similar al que passa alsruscs: aquesta operació s'anomenaenrajolat de l'espai (otessel·lació opavimentació de l'espai). Els políedres en un enrajolat són adjacents al llarg de les seves cares. Entre els sòlids platònics, l'únic capaç d'enrajolar l'espai és el cub; entre els sòlids arquimedians, hi ha eldodecàedre ròmbic i l'octàedre truncat. Octàedres i tetràedres regulars es poden fer servir en parelles per a enrajolar l'espai.
Moltsmineralscristal·litzen en una forma que correspon a un políedre. Lapirita es pot presentar en tres modes de cristal·lització diferents: amb cristalls cúbics, octaèdrics o en forma d'un dodecàedre no regular (anomenatpentadodecaedre opiritoedre). Però cap mineral no té la forma d'un icosaedre ni d'un dodecàedreregular.
Molts organismes miscroscopics tenen formes o simetries polièdriques. Entre ells, elradiolari pot adoptar la forma d'unicosàedre regular o d'unageoda. En forma de geoda, es pot comprovar una de les conseqüències de larelació d'Euler descrita més amunt: no es pot construir un sòlid en el qual les arestes incidents a cada vèrtex siguin tres i en el qual les cares siguin totes hexagonals. A la figura, de fet hi ha presents alguns pentàgons.[13] La geometria regular dels esquelets d'aquests microorganismes han fascinat fins a finals delseglexix molts naturalistes, entre ellsErnst Haeckel[14] iD'Arcy Thompson,[15] que també han cercat una interpretació integrada entre la biologia i la geometria sobre la importància d'aquestes estructures:
Eldau clàssic de joc té la forma d'un cub. Algunsjocs de rol però fan servir els 5 sòlids platònics: la regularitat dels sòlids de fet assegura que cadascuna de les cares té la mateixa probabilitat de sortir després d'un llançament
Els sòlids platònics i dostrapezoedres emprats com a daus.
Per mantenir la mateixa probabilitat n'hi ha prou que el sòlid sigui regular respecte de les cares, per aquesta raó també es fan servirtrapezoedres. Per exemple, els dos trapezoedres amb 10 cares com es mostra a la figura emprats de manera simultània permeten sortejar un nombre del 0 al 99.
Unacúpula geodèsica és un sòlid amb moltes cares, la forma del qual és molt similar a la d'unaesfera (o a una part d'aquesta). Igual com s'ha comentat pels radiolaris més amunt, en les cúpules geodèsiques és fàcil verificar els efectes de larelació d'Euler.
↑El problema s'aborda des d'una perspectiva històrica i matemàtica aGrünbaum, B«Are your polyhedra the same as my polyhedra?»(en anglès).Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift.Aronov i cols. Springer,2003,pàg.461-488. Arxivat de l'original el 2016-08-03[Consulta: 11 febrer 2007].Arxivat 2016-08-03 aWayback Machine.
↑Aquest segment de vegades s'anomenadiàmetre del políedre; una altra definició de diàmetre d'un políedre és qualsevol segment que tingui els extrems en vèrtexs, arestes, o cares del políedre i els altres punts a l'interior del sòlid.
↑Un desenvolupament es determina a partir de l'arbre màxim del graf del políedre format per les arestes que estan enganxades a la clausura. Arbres diferents poden donar lloc a diversos desenvolupaments.
↑Això, encara que intuïtiu, no és trivial de demostrar: es tracta de l'anàleg tridimensional delteorema de la corba de Jordan. El fet que la superfície és una unió de polígons fa que sigui més fàcil de demostrar ja que sense aquest supòsit es poden crear superfícies com l'esfera cornuda d'Alexander, que es comporten d'una forma força estranya.
↑Això no és trivial es pot demostrar mitjançantàlgebra lineal. En primer lloc, el fet que el políedre sia unconjunt fitat implica que s'han d'excloure isometries com latranslació, i que hi ha unpunt fix. Fixant l'origen de coordenades en aquest punt, l'espai es converteix en unespai vectorial i (fixada unabase) una isometria es descriu per unamatriu ortogonal. Fent servir elpolinomi característic i elsvalors propis es demostra que, efectivament, es tracta d'una rotació al voltant d'un eix.
↑La demostració d'aquest fet no és trivial explota les propietats de què un políedre és unconjunt fitat. Aquest fet implica, per exemple, que els eixos de simetria es troben sempre en un punt.
↑La piràmide de base quadrada té un eix de simetria de rotació (que passa pel vèrtex i és ortogonal a la base) i alguns plans de la reflexió que contenen aquest eix. La intersecció d'aquests objectes és una recta i no un punt.
↑O la segona cap a la primera: només cal substituir una simetria per la sevasimetria inversa.
↑El termehomogeni es refereix al fet que els vèrtexs formen amb la simetria unespai homogeni, mentre que el termetransitiu es refereix al fet que l'acció del grup de simetria éstransitiva: ambdós conceptes són equivalents al fet que els vèrtexs són tots equivalents.
↑A l'espai, aquests són els grups de les rotacions de les piràmides i dels prismes (i més en general delsprismatoides).
