Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Vés al contingut
Viquipèdial'Enciclopèdia Lliure
Cerca

Nombree

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
No s'ha de confondre ambConstant d'Euler-Mascheroni.
Infotaula nombreNombre e
Tipusnombre transcendent,nombre real,nombre irracional iconstant matemàticaModifica el valor a Wikidata
EpònimLeonhard Euler iJohn NapierModifica el valor a Wikidata
Propietats
Valor2,718281828459Modifica el valor a Wikidata
Altres numeracions
Fórmules
Expressió algebraicae=limn→∞(1+1n)n{\displaystyle \mathrm {e} =\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} ie=∑n=0∞1n!{\displaystyle \mathrm {e} =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}Modifica el valor a Wikidata
El gràficy=1/x, ie és el nombre que fa l'àrea igual a 1.

La constant matemàtica e és la base delslogaritmes naturals,[1][2] és l'únic nombre el logaritme natural del qual és 1. És considerat el nombre per excel·lència del càlcul de la mateixa manera que el nombreπ{\displaystyle \pi }  ho és de la geometria. El nombre e s'anomena a vegades constant d'Euler, en honor del matemàtic suís Leonhard Euler i també constant de Napier,[3] en honor del matemàtic escocès John Napier que va introduir els logaritmes.

El númeroe té una importància eminent en matemàtiques[4] al costat de 0, 1,π ii.[5][6] Els cinc apareixen en una formulació de laidentitat d'Euler i tenen un paper important i recurrent en les matemàtiques. Igual que la constantπ,e ésirracional (és a dir, no es pot representar com una proporció de nombres enters) itranscendent (és a dir, no és una arrel de cap polinomi diferent de zero amb coeficients racionals). Les primeres xifres de la seva expressió decimal il·limitada són 2,7182818284590.[7] És un nombre present en múltiples camps de la ciència i la tècnica. Intervé, per exemple en el càlcul de la velocitat de buidatge d'un dipòsit d'aigua, en el gir d'un penell enfront d'una ràfega de vent o el moviment del sistema amortidor d'un automòbil.

Definició

[modifica]

El nombre e es defineix com el límit de la successió n↦(1+1n)n{\displaystyle n\mapsto \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}.[3] Aquest límit existeix, ja que la successió és creixent i limitada per sobre.

e=limn→∞(1+1n)n{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}

Aquesta expressió del nombre e apareix en l'estudi de l'interès compost. El nombre e apareix en múltiples camps de les matemàtiques, des de la teoria de la probabilitat a l'anàlisi complexa. El seu valor aproximat per truncament als 50 decimals és 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995

El nombree es pot definir també mitjançant lasèrie infinita

e=∑n=0∞1n!=10!+11!+12!+13!+14!+⋯{\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots }

onn! és elfactorial den. Aquesta sèrie convergeix puix que hom té

1+1+12!+13!+14!+⋯≤1+1+12+122+123+⋯=3,{\displaystyle 1+1+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots \leq 1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots =3,}

és a dir, eldesenvolupament en sèrie dee és majorat mitjançant unasèrie geomètrica que és convergent perquè té una raó igual a 1/2.

Finalment, es pot considerare com a l'única solució positivax de l'equació integral

∫1x1tdt=1.{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={1}.}

Es potdemostrar que aquestes definicions són equivalents.

La funció exponencialx⟼ex{\displaystyle x\longmapsto e^{x}}és important ja que és l'única (a menys de multiplicació per constants) funció que és igual a la sevaderivada, i s'usa habitualment per a modelitzar processos de creixement o decreixement.

Lafracció contínua dee conté una estructura interessant, com es mostra a continuació:

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12...]{\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12...]\,}

Història

[modifica]

Les primeres referències a la constant es van publicar el1618 a la taula d'un apèndix d'un treball sobre logaritmes deJohn Napier.[8] Tanmateix no contenia la constant en si, sinó simplement una llista de logaritmes calculats a partir de la constant. Se suposa que la taula va ser escrita perWilliam Oughtred. El propi descobriment de la constant s’acredita aJacob Bernoulli el1683,[9] que va intentar trobar el valor de la següent expressió (que és igual a e):

limn→∞(1+1n)n.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}

El primer ús conegut de la constant, representat per la lletrab, fou en correspondència deGottfried Leibniz aChristiaan Huygens el1690 i el1691.[10]Leonhard Euler va introduir la lletrae com a base per als logaritmes naturals, escrivint en una carta a Christian Goldbach el25 de novembre de1731.[11] Euler va començar a utilitzar la lletrae per a la constant el1727 o el1728, en un document inèdit sobre les forces explosives en canons, mentre que la primera aparició d'e en una publicació va ser aMechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736).

Propietats

[modifica]

Càlcul

[modifica]

Com en la motivació, lafunció exponencialex és important en part perquè és l'única funció (llevat de multiplicació per una constantK) que és igual a la seva pròpiaderivada:

ddxKex=Kex,{\displaystyle {\frac {d}{dx}}Ke^{x}=Ke^{x},}

i per tant també és igual a la seva pròpiaprimitiva:

∫Kexdx=Kex+C.{\displaystyle \int Ke^{x}\,dx=Ke^{x}+C.}

Equivalentment, la família de funcions

y(x)=Kex{\displaystyle y(x)=Ke^{x}}

onK és un nombre complex qualsevol, és la solució completa a l'equació diferencial

y′=y.{\displaystyle y'=y.}

Desigualtats

[modifica]
Funcions exponencialsy = 2x iy = 4x intersecten la gràfica dey =x + 1, respectivament, ax = 1 i ax = -1/2. El nombree és l'única base tal quey =ex intersecta només ax = 0. Es pot inferir quee es troba entre el 2 i el 4.

El nombree és l'únic nombre real tal que

(1+1x)x<e<(1+1x)x+1{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}}

per totx positiu.[12]

També existeix la següent desigualtat

ex≥x+1{\displaystyle e^{x}\geq x+1}

per totx real, i hi ha igualtatsi i només six = 0. A més,e és l'única base de l'exponencial per la qual la desigualtatax ≥x + 1 és vàlida per totx.[13] Això és un cas límit de ladesigualtat de Bernoulli.

Funcions de tipus exponencial

[modifica]
Elmàxim global dex√xes dona ax =e.

Elproblema de Steiner consisteix a trobar elmàxim global de la funció

f(x)=x1x.{\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}.}

Aquest màxim es dóns precisament ax =e. (Es pot comprovar que la derivada delnf(x) és zero només per aquest valor de  x.)

Similarment,x = 1/e és quan hi ha elmínim global de la funció

f(x)=xx.{\displaystyle f(x)=x^{x}.}

La tetració infinita

xxx⋅⋅⋅{\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}} o∞x{\displaystyle {^{\infty }}x}

congergeix si i només six ∈ [(1/e)e,e1/e] ≈ [0.06599, 1.4447],[14][15] demostrat per un teorema deLeonhard Euler.[16]

Teoria de nombres

[modifica]

El nombre reale ésirracional.Euler ho va demostrar observant que la seva expansió enfracció contínua no acaba mai.[17] (Vegi's també lademostració que e és irracional deFourier.)

A més, a partir delteorema de Lindemann-Weierstrass,e éstranscendent, en el sentit que no és solució de cap equació polinomial no-sero amb coeficients racionals. Va ser el primer nombre del qual es va demostrar aquesta propietat sense haver estat específicament demostrat amb aquest propòsit (compari's amb elnombre de Liouville); la demostració va ser a càrrec deCharles Hermite l'any 1873.

S'ha conjecturat quee és unnormal, en el sentit que quane s'expressa en qualsevolbase els possibles dígits en aquella base estan distribuïts uniformement (apareixen en igual probabilitat en qualsevol seqüència d'una longitud donada).

S'ha conjecturat quee no és un període de Kontsevich-Zagier.[18]

Nombres complexos

[modifica]

Es pot escriure lafunció exponencialex com una expansió ensèrie de Taylor

ex=1+x1!+x22!+x33!+⋯=∑n=0∞xnn!.{\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}

Com que la sèrie ésconvergent per tot valorcomplex dex, s'utilitza habitualment per estendre la definició deex als nombres complexos. Això, juntament amb la sèrie de Taylor per alsin icosx, permet derivar lafórmula d'Euler:

eix=cos⁡x+isin⁡x,{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}

que és vàlid per tot valor complex dex. El cas particular ambx =π és laidentitat d'Euler:

eiπ+1=0,{\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}

de la qual segueix que, en la branca principal del logaritme,

ln⁡(−1)=iπ.{\displaystyle \ln(-1)=i\pi .}

A més, utilitzant les lleis de l'exponenciació,

(cos⁡x+isin⁡x)n=(eix)n=einx=cos⁡(nx)+isin⁡(nx),{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),}

que és lafórmula de De Moivre.

Es poden deduir les expressions decosx isinx en termes de lafunció exponencial a partir de la sèrie de Taylor:

cos⁡x=eix+e−ix2,sin⁡x=eix−e−ix2i.{\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}

L'expressió

cos⁡x+isin⁡x{\displaystyle \cos x+i\sin x}

és sovint abreviada comcis(x).

Dígits coneguts

[modifica]

El nombre dels dígits coneguts dee ha augmentat substancialment durant les darreres dècades. Això es deu tant a la millora dels ordinadors així com la dels algorismes.[19][20]

Nombre de dígits decimals coneguts dee
DataDígits decimalsCàlcul fet per
16901Jacob Bernoulli[21]
171413Roger Cotes[22]
174823Leonhard Euler[23]
1853137William Shanks[24]
1871205William Shanks[25]
1884346J. Marcus Boorman[26]
19492,010John von Neumann (a l'ENIAC)
1961100,265Daniel Shanks i John Wrench[27]
1978116,000Steve Wozniak amb l'Apple II[28]

Des de 2010, la proliferació delsordinadors de taula d'alta velocitat ha permès a aficionats calcular trilions de dígits dee en quantitats de temps acceptables. El 5 de desembre de 2020, es va fer un càlcul de rècord, trobant 31 415 926 535 897 (aproximadamentπ × 1013) dígits dee.[29]

Identitat d'Euler

[modifica]
Article principal:Identitat d'Euler

La següent expressió, laidentitat d'Euler, que relaciona les cinc constants més importants en matemàtiques, va ser descoberta per Leonhard Euler:

eiπ+1=0{\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,\!}

Aquesta és un cas particular (ambx = 0 iy = π) de lafórmula d'Euler:

ex+i⋅y=ex⋅(cos⁡y+i⋅sin⁡y){\displaystyle e^{x+i\cdot y}=e^{x}\cdot (\cos y+i\cdot \sin y)}

vàlida per a totx,y∈R{\displaystyle x,y\in {\mathbb {R} }} (i de fet per a totx,y∈C{\displaystyle x,y\in {\mathbb {C} }}).

Asímptotes

[modifica]

El nombree surt de manera natural en diferents problemes que involucren lesasímptotes. N'és un exemple lafórmula de Stirling que es fa servir per a l'anàlisi asimptòtica de lafunció factorial, on els dos nombrese iπ es troben involucrats:

n!∼2πn(ne)n.{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}

Una conseqüència particular és:

e=limn→∞nn!n{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}.

Implementació en informàtica

[modifica]

Es pot calcular una aproximació del nombree ambn termes de la seqüència de Taylor citada. EnC++ tenim un codi com el següent:

#include<iostream>usingnamespacestd;doubleaproxima_e(intn){//funció que aproxima el nombre e amb la seqüència de taylor:// suma 1/fact(i) des de i=0 fins n//no cal fer servir la funció factorial en cada denominador.if(n==0)return0;doublefacti=1;//ini a 1: factorial(0). necessitem que sigui double per evitar errors de sobreeiximentdoubles=1;for(inti=1;i<n;++i){facti*=i;s+=1/double(facti);}returns;}intmain(){cout.setf(ios::fixed);cout.precision(10);intn;while(cin>>n){cout<<"Amb "<<n<<" terme(s) obtenim "<<aproxima_e(n)<<endl;}}

Referències

[modifica]
  1. ↑Swokowski, Earl William.Calculus with Analytic Geometry. illustrated. Taylor & Francis, 1979, p. 370.ISBN 978-0-87150-268-1. Extract of page 370
  2. ↑«e - Euler's number». [Consulta: 10 agost 2020].
  3. ↑3,03,1Weisstein, Eric W. «e» (en anglès). mathworld. [Consulta: 10 agost 2020].
  4. ↑Howard Whitley Eves.An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston, 1969.ISBN 978-0-03-029558-4. 
  5. ↑Wilson, Robinn.Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics. illustrated. Oxford University Press, 2018, p. (preface).ISBN 9780192514059. 
  6. ↑Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar.Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number. illustrated. Prometheus Books, 2004, p. 68.ISBN 9781591022008. 
  7. ↑«Nombre e». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
  8. ↑;Robertson, E F«The numbere». MacTutor History of Mathematics.
  9. ↑Boyer, Carl; Merzbach, Uta.A History of Mathematics. 2a edició. Wiley, 199 1, p. 419. 
  10. ↑Leibniz, Gottfried Wilhelm. «Sämliche Schriften Und Briefe» (en alemany), 2003.
  11. ↑Remmert, Reinhold.Theory of Complex Functions. Springer-Verlag, 1991, p. 136.ISBN 978-0-387-97195-7. 
  12. ↑Dorrie, Heinrich.100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover, 1965, p. 44–48. 
  13. ↑Per un exercici estàndard de càlcul en què s'utilitza elteorema del valor mitjà; vegi's per exemple Apostol (1967)Calculus, § 6.17.41.
  14. ↑Plantilla:Cite OEIS
  15. ↑Plantilla:Cite OEIS
  16. ↑Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus."Acta Acad. Scient. Petropol. 2, 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L.Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921. (facsimile)
  17. ↑Sandifer, Ed. «How Euler Did It: Who provede is Irrational?». MAA Online, 01-02-2006. Arxivat de l'original el 2014-02-23. [Consulta: 18 juny 2010].
  18. ↑Kontsevich, Maxim Kontsevich. «Periods».
  19. ↑Sebah, P. and Gourdon, X.;The constante and its computation
  20. ↑Gourdon, X.;Reported large computations with PiFast
  21. ↑II (Héritiers), Johann Grosse; II (Leipzig), Johann Friedrich Gleditsch; Mencke, Otto; Mencke, Johann Burkhard.Acta eruditorum: anno ... publicata (en llatí). prostant apud Joh. Grossium ... & J. F. Gleditschium, 1690. 
  22. ↑Roger Cotes (1714) "Logometria,"Philosophical Transactions of the Royal Society of London,29 (338) : 5–45;see especially the bottom of page 10. From page 10:"Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … " (Furthermore, by the same means, the ratio is between 2.718281828459… and 1, … )
  23. ↑Leonhard Euler,Introductio in Analysin Infinitorum (Lausanne, Switzerland: Marc Michel Bousquet & Co., 1748), volume 1,page 90.
  24. ↑William Shanks,Contributions to Mathematics, ... (London, England: G. Bell, 1853),page 89.
  25. ↑William Shanks (1871)"On the numerical values ofe, loge 2, loge 3, loge 5, and loge 10, also on the numerical value of M the modulus of the common system of logarithms, all to 205 decimals,"Proceedings of the Royal Society of London,20 : 27–29.
  26. ↑J. Marcus Boorman (October 1884)"Computation of the Naperian base,"Mathematical Magazine,1 (12) : 204–205.
  27. ↑Daniel Shanks and John W Wrench «Calculation of Pi to 100,000 Decimals». Mathematics of Computation, 16, 77, 1962, pàg. 76–99 (78).DOI:10.2307/2003813.JSTOR:2003813. «We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program»
  28. ↑Wozniak, Steve «The Impossible Dream: Computinge to 116,000 Places with a Personal Computer». BYTE, 6-1981, p. 392 [Consulta: 18 octubre 2013].
  29. ↑Alexander Yee. «e».
AWikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a:Nombre e


Registres d'autoritat
Bases d'informació
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Nombre_e&oldid=34831683»
Categoria:
Categories ocultes:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp