En l'expressió donada, s'anomea lapart real del nombre complex,, i lapart imaginària,[1][2]
Elconjunt dels nombres complexos es representa perC, o per. Com que cada nombre complex ve determinat per les seves parts real i imaginària,geomètricament es pot identificarC amb els punts d'unpla, elpla complex, opla d'Argand.En aquest pla, l'eix d'abscisses correspon als complexos amb part imaginària nul·la, que es poden identificar amb els nombres reals; així, el pla complex conté larecta numèrica. En el mateix pla, l'eix d'ordenades correspon als complexos amb part real nul·la, anomenatsimaginaris purs; són els complexos de la forma, amb real.
A banda de la seva importància en àlgebra, els nombres complexos són una eina fonamental en pràcticament totes les branques de les matemàtiques. Igual com amb funcions de variable real, es pot feranàlisi matemàtica amb funcions de variable complexa; la teoria corresponent s'anomenaanàlisi complexa, i té característiques que la fan molt diferent de l'anàlisi real.
Més enllà de les matemàtiques, els nombres complexos tenen aplicacions en la major part de les ciències i la tecnologia. Moltes d'aquestes aplicacions són simplement una conseqüència dels avantatges de treballar amb nombres complexos en lloc de reals, però en alguns camps específics, com ara lamecànica quàntica o lateoria quàntica de camps, l'ús de la variable complexa en la descripció de les entitats físiques és essencial.
Els nombres complexos permeten obtenir solucions per algunes equacions que no tenen solució en els nombres reals. Per exemple, l'equació
,
no té solució real, ja que el quadrat d'un nombre real no pot ser negatiu. Els nombres complexos aporten una solució aquesta equació utilitzant la unitat imaginaria, que satisfà la propietat. Aleshores, podem provar que tant i són solucions de l'equació anterior
Per exemple el nombre és un nombre complex. En l'expressió donada, s'anomena la part real del nombre complex i la part imaginaria i es nota com
,.
Per exemple, en l'exemple anterior, les parts real i imaginaries correspondrien a
,.
Per tant, en termes de la seva part real i imaginària un nombre complex es pot escriure com
.
Aquesta notació es coneix habitualment com a notació cartesiana.
Un nombre real pot ser considerat com un nombre complex de la forma amb part imaginària nul·la. Un nombre complex és anomenatnombre imaginari si és de la forma amb part real nul·la.
Elconjunt dels nombres complexos es representa perC, o per.[3]
Per a visualitzar geomètricament els nombres complexos es poden representar en un pla com un punt o un vector. Habitualment es representen gràficament utilitzant la part real com la component horitzontal i la part imaginària com a component vertical (vegeu Figura 1). Aquest pla s'anomenapla complex o diagrama d'Argand[4] anomenat així perJean-Robert Argand.
Per tant, tenim unabijecció que identifica el nombre amb el vector. D'aquesta manera podem visualitzar el conjunt dels nombres complexos com un pla.
El concepte depla complex permet interpretar geomètricament els nombres complexos. La suma de nombres complexos es pot relacionar amb la suma amb vectors, i la multiplicació de nombres complexos pot expressar-se simplement utilitzant coordenades polars, on la magnitud del producte es el producte de les magnituds dels termes, i l'angle comptat des de l'eix real del producte és la suma dels angles dels termes.
Els diagrames d'Argand s'utilitzen freqüentment per a mostrar les posicions delspols i els zeros d'una funció en el pla complex.
Els nombres complexos es poden representar de dues maneres, com a suma de les components real i imaginària (representació cartesiana), o bé com a mòdul amb angle (representació polar).
En la seva representació cartesiana, un complex pren la forma on és la component real, i és la component imaginària. Per exemple:,, o són nombres complexos.
Aquesta notació es pot representar gràficament en el pla complex identificant el nombre complex amb el vector, (vegeu Figura 1).
Un nombre complex es pot representar també en formapolar, això és:, on és el mòdul del nombre complex, i és l'angle del complex, interpretant el nombre en el diagrama d'Argand.
Però, és necessari destacar, que la notació polar habitual segueix lafórmula d'Euler on es representa com on.
Equivalències entre notació cartesiana i notació polar
Les operacions amb nombres complexos[5] demanaran una notació cartesiana o polar, depenent de l'operació que es faci. Per això, és important saber passar d'un tipus de notació a una altra per poder operar amb nombres complexos.
Perdividir dos nombres complexos s'utilitza normalment la notació polar, per ser la forma més fàcil. Tot i així també es pot operar amb la notació cartesiana.
Notació polar
Com que per multiplicar es multipliquen els mòduls i se sumen els angles, per trobar un nombre que multiplicat pel divisor doni el dividend (és a dir per a dividir el dividend entre el divisor i trobar el quocient) caldrà trobar un nombre que multiplicat pel mòdul del divisor doni el mòdul del dividend (és a dir caldrà dividir el mòdul del dividend entre el mòdul del divisor) i caldrà trobar un argument que sumat a l'argument del divisor doni l'argument del dividend (és a dir caldrà restar de l'argument del dividend l'argument del divisor).
Exemple:
Notació cartesiana
En notació cartesiana, multiplicant el numerador i el denominador pelconjugat del denominador queda en el denominador un nombre real que es pot dividir per separat de la part real i de la part imaginària.
Representació geomètrica de i el seu conjugat al pla complex
Elconjugat complex del nombre complexz =x +yi es defineix com ax −yi. Es denota com o. Geomètricament, és la reflexió dez sobre l'eix real. En particular, si conjuguem dos cops el nombre complex original:.
Les parts reals i imaginàries d'un nombre complex poden ser extretes usant el conjugat:
A més, un nombre complex és real si, i només si, el seu conjugat és igual a ell.
La conjugació compleix la propietat distributiva sobre les operacions aritmètiques estàndard:
siw és no nul
L'invers d'un nombre complex diferent de zeroz =x +yi és donat per:
Aquesta fórmula es pot fer servir per calcular l'invers d'un nombre complex si ve donat en notació cartesiana.
Caracteritzacions i representacions dels nombres complexos
Tot i que normalment no són útils, les representacions alternatives dels nombres complexos poden donar una visió una mica més profunda sobre la seva naturalesa.
Una representació particularment elegant, representa els nombres complexos com amatrius 2×2 amb coeficientsreals que corresponen aaplicacions que dilaten i giren els punts del pla. Cada una d'aquestes matrius té la forma
ona ib són nombres real. La suma i el producte de dues matrius d'aquest tipus és una matriu que també té la mateixa forma, i l'operació producte de matrius d'aquesta forma éscommutatiu (fixeu-vos que el producte de matrius en general no ho és). Tota matriu d'aquesta forma diferent de zero és invertible, i la seva inversa és també de la mateixa forma. Per tant, les matrius d'aquesta forma són uncosisomorf al cos dels nombres complexos. Cada una d'aquestes matrius es pot escriure com
El que suggereix que s'hauria d'identificar el nombre real 1 amb la matriu identitat
I la unitat imaginàriai amb
Una rotació en sentit contrari a les agulles del rellotge de 90 graus. Fixeu-vos que el quadrat d'aquesta última matriu és igual a la matriu 2×2 que representa −1.
El quadrat del valor absolut d'un nombre complex expressat com una matriu és igual aldeterminant de la matriu.
Si la matriu es veu com una transformació del pla, llavors la transformació gira els punts un angle igual a l'argument del nombre complex i li aplica un factor d'escala igual al valor absolut del nombre complex. Elconjugat del nombre complexz correspon a la transformació que gira el mateix angle quez però en sentit oposat i aplica el mateix factor d'escala quez; això es pot representar per latransposada de la matriu corresponent az.
Si els elements de les matrius són ells mateixos nombres complexos, llavors l'àlgebra que resulta és la delsquaternions. En altres paraules, la representació matricial és una forma d'expressar laconstrucció de Cayley-Dickson d'àlgebres.
També s'ha de destacar que els dosvectors propis de la matriu 2x2 que representa un nombre complex són el mateix nombre complex i el seuconjugat.
Mentre que l'anterior és una representació deC en lesmatrius reals (2 x 2), no és l'única. Qualsevol matriu
té la propietat que el seu quadrat és la matriu identitat multiplicada per -1.Llavors també és isomorf al cosC.
C és unespai vectorial real de dimensió dos.A diferència dels reals, el conjunt dels nombres complexos no pot sertotalment ordenat de cap manera que sigui compatible amb les seves operacions aritmètiques:C no es pot transformar en uncos ordenat. De forma més general, cap cos que contingui una arrel quadrada de −1 pot ser ordenat.
Unaarrel delpolinomip és un nombre complexz tal quep(z) = 0. Un resultat sorprenent en anàlisi complexa és que tots els polinomis de graun amb coeficients reals o complexos tenen exactamentn arrels complexes (contant lesarrels múltiples d'acord amb la seva multiplicitat). Això es coneix com elteorema fonamental de l'àlgebra, i expressa que els nombres complexos són uncos algebraicament tancat. Per tant, els nombres complexos són la clausura algebraica dels nombres reals, tal com es descriu més avall.
Una construcció deC és com unaextensió de cos del cosR dels nombres reals, en el qual s'hi afegeix una arrel dex²+1. Per construir aquesta extensió, es comença amb l'anell dels polinomisR[x] de coeficients reals amb la variablex. Com que el polinomix²+1 ésirreductible sobreR, l'anell quocientR[x]/(x²+1) serà un cos. Aquesta extensió contindrà dues arrels quadrades de -1; se'n tria una i es denotai. El conjunt {1,i} formarà una base per l'extensió del cos sobre els reals, això vol dir que cada element del cos estès es pot escriure de la formaa+b•i. De forma equivalent, els elements del cos estes es poden escriure com a parelles ordenades de nombres reals (a,b).
Tot i que només s'han afegit explícitament les arrels dex²+1 el cos complex que resulta és de fetalgebraicament tancat – cada polinomi amb coeficients aC es descompon en factors que són polinomis lineals amb coeficients aC. Com que cada cos només té una clausura algebraica (tret d'isomorfismes), els nombres complexos es poden caracteritzar com la clausura algebraica dels nombres reals.
L'extensió de cos dona el ben conegutpla complex, però només el caracteritza algebraicament. El cosC escaracteritza (tret d'isomorfismes de cos) per les següents tres propietats:
Una conseqüència d'aquesta caracterització és queC conté molts subcossos propis que són isomorfs ambC (el mateix és cert deR, que conté molts subcossos propis isomorfs amb si mateix). Tal com es descriu més avall, calen consideracions topològiques per distingir aquests subcossos dels propis cossosC iR.
Des del punt de vistaalgebraic, el conjunt dels nombres complexos és uncos. Per tant, hi ha operacions d'addició i multiplicació. Aquestes operacions amb nombres complexos s'efectuen de la mateixa manera que si fossin polinomis en la "variable"i, però tenint en compte quei²=-1. Així doncs,
,
.
Formalment, el cosC es pot definir com l'extensióR[i] del cos dels nombres reals.La importància fonamental d'aquesta extensió es deu al fet que dintre dels complexos es poden resoldreequacions algebraiques que dintre dels reals no tenensolució. Per exemple, l'equacióx²=-1 no té cap solució real (ja que el quadrat d'un nombre real sempre és més gran o igual que zero), mentre que dins del complexos té dues solucions,i i el seu oposat, -i.Aquest és un fet més general: segons elteorema fonamental de l'àlgebra, dins deC qualsevol equació algebraica de graun tén solucions (comptades amb la seva multiplicitat); això també s'expresssa dient queC és uncos algebraicament tancat.Des del punt de vista històric, aquest va ser l'origen dels nombre complexos, que van ser introduïts perCardano iBombelli al s. XVI com a eina per a resoldre l'equació de tercer grau.
Tal com s'ha explicat, la caracterització algebraica deC no permet considerar algunes de les seves propietats topològiques més importants. Aquestes propietats són claus per a l'estudi de l'anàlisi complexa, on els nombres complexos s'estudien comcossos topològics.
Les següents propietats caracteritzenC com un cos topològic:
C és un cos.
C conté un subconjuntP d'elements diferents de zero que compleix:
P és tancat respecte de la suma, la multiplicació i el càlcul d'¡inverses multiplicatives.
Si x i y són elements diferents deP, llavors o béx-y oy-x són aP
SiS és un subconjunt no buit deP, llavorsS+P=x+P per algunx deC.
C té un automorfisme involutiu no trivialx→x*, que fixaP i és tal quexx* és deP per qualsevolx deC diferent de zero.
Donat un conjunt amb aquestes propietats, es pot definir una topologia a base d'agafar els conjunts
com abase, onx varia sobre el cos ip varia sobreP.
Per veure que aquestes propietats caracteritzenC com uncos topològic, s'observa queP ∪ {0} ∪-P és un cos ordenatDedekind-complet i, per tant, es pot identificar amb elsnombres realsR per mitjà d'un únic isomorfisme de cossos. es veu fàcilment que l'última propietat implica que elgrup de Galois sobre els nombres reals és d'ordre dos, el que completa la caracterització.
Pontryagin va demostrar que els únics cossos topològicsconnexoslocalment compactes sónR iC. Això dona una altra caracterització deC com a cos topològic, ja queC es pot distingir deR observant que el conjunt de nombres complexos diferents de zero ésconnex, mentre que el conjunt dels nombres reals diferents de zero no hi és.
La primera referència coneguda d'arrels quadrades de nombres negatius prové del treball dels matemàtics grecs, comHeró d'Alexandria alsegle I abans de Crist, com a resultat d'una impossible secció d'unapiràmide.[6] Tot i això, no es va acceptar la seva existència fins molts anys després, ja que els antics grecs refusaven tot nombre que no tingués una relació amb la geometria. Per ells, tot nombre representava la longitud d'un segment o l'àrea d'una figura plana. Consideraven que la geometria era el cor de les matemàtiques, el que va retardar considerablement el desenvolupament dels sistemes numèrics.
Els nombres complexos obtingueren més importància al segle xvi, quan matemàtics italians comTartaglia oCardano van trobar fórmules que donaven les arrels exactes dels polinomis de segon i tercer grau. Encara que només estaven interessats en les arrels reals d'aquest tipus d'equacions, es trobaven amb la necessitat d'enfrontar-se amb arrels de nombres negatius.
Per exemple, la fórmula per resoldre l'equació de tercer grau de Tartaglia dona la solució següent a l'equacióx³ −x = 0:
A primera vista això sembla no tenir sentit. Tanmateix els càlculs formals amb nombres complexos mostren que l'equacióz3 =i té solucions-i, i. Substituint-los en lloc de en la fórmula de Tartaglia i simplificant, s'obté 0, 1 i −1 com les solucions dex3 –x = 0.Rafael Bombelli va ser el primer a explorar explícitament aquestes aparentment paradoxals solucions d'equacions cúbiques i va desenvolupar les regles de l'aritmètica dels nombres complexos per resoldre aquests assumptes.
Això era doblement pertorbador atès que a l'època ni tan sols es considerava que els nombres negatius estiguessin ben fonamentats.
El termeimaginari per aquestes quantitats el va encunyarDescartes alsegle xvii.
Una altra font de confusió va ser que l'equació semblava ser capriciosament incoherent amb la identitat algebraica, que és vàlida per a nombres reals positiusa ib, i que també es feia servir en càlculs amb nombres complexos amb un delsa ib positiu i l'altre negatiu. L'ús incorrecte d'aquesta identitat (i la identitat relacionada) en el cas que els dosa ib són negatius va captivar fins i tot aEuler. Aquesta dificultat finalment va conduir a la convenció d'utilitzar el símboli en lloc de per guardar-se'n d'aquesta equivocació.
Al segle xviii els nombres complexos van guanyar un ús més ample, a mesura que s'adonaven que la manipulació formal d'expressions complexes es podria fer servir per simplificar càlculs que impliquenfuncions trigonomètriques. Per exemple, el1730Abraham de Moivre es va fixar que les complicades identitats, que relacionen funcions trigonomètriques d'un múltiple enter d'un angle amb potències de funcions trigonomètriques d'aquell angle, es podrien expressar simplement per la ben coneguda fórmula que avui porta el seu nom, lafórmula de De Moivre:
a base de manipular formalment lasèrie de potències complexa i observant que aquesta fórmula es podria fer servir per reduir qualsevolidentitat trigonomètrica a identitats exponencials molt més simples.
L'existència de nombres complexos no fou completament acceptada fins a la seva interpretació geomètrica que fou descrita per Wessel el1799, redescoberta uns anys més tard i popularitzada perGauss.
La memòria de Wessel apareixia en elsProceedings de l'Acadèmia de Copenhaguen del1799, i és extremadament clara i completa, fins i tot en comparació amb treballs moderns. També estudia l'esfera, i dona una teoria dequaternions a partir de la qual desenvolupa una trigonometria esfèrica completa. El 1804 l'Abbé Buée independentment arribava a la mateixa idea que havia suggerit Wallis, que hauria de representar una recta de longitud unitat, i la seva negativa, perpendicular a l'eix real. L'article deBuée no es va publicar fins a1806, any en quèJean-Robert Argand també publicava un pamflet sobre el mateix tema. És a l'assaig d'Argand al que generalment s'atribueix avui la fonamentació científica per la representació gràfica dels nombres complexos. No obstant això, el1831 Gauss va trobar la teoria bastant desconeguda, i el1832 va publicar la seva memòria principal sobre el tema, portant-lo així de forma prominent davant del món matemàtic. També s'hauria de fer de menció un excel·lent petit tractat deMourey (1828), en el qual s'estableixen científicament els fonaments per la teoria de nombres direccionals. L'acceptació general de la teoria és deguda, en no poca mesura, a causa dels treballs d'Augustin Louis Cauchy iNiels Henrik Abel, i especialment l'últim, que va ser el primer a fer servir de forma atrevida els nombres complexos amb un èxit ben conegut.
Els termes comuns utilitzats en la teoria es deuen principalment als fundadors. Argand anomenava elfactor de direcció, i el mòdul; Cauchy (1828) anomenava laforma reduïda (l'expression réduite); Gauss feia serviri per, va introduir el termenombre complex per, i anomenava lanorma.
L'expressiócoeficient de direcció, sovint utilitzat per a, és degut a Hankel (1867), ivalor absolut, per amòdul, és degut a Weierstrass.
Seguint a Cauchy i Gauss hi ha hagut un cert nombre de contribuents de primera fila, dels quals els següents s'han d'esmentar especialment:Kummer (1844),Leopold Kronecker (1845),Scheffler (1845, 1851, 1880),Bellavitis (1835, 1852),Peacock (1845), iDe Morgan (1849).Möbius també s'ha d'esmentar per les seves nombroses memòries sobre les aplicacions geomètriques dels nombres complexos, iDirichlet per l'expansió de la teoria per incloure-hi els primers, les congruències, la reciprocitat, etc., com en el cas dels nombres reals.
Unanell (matemàtiques) o uncos complex és un conjunt de nombres complexos que éstancat respecte a l'addició, la subtracció, i la multiplicació.Gauss va estudiar els nombres complexos de la formaa +bi, ona' ib sónenters, oracionals (ii és una de les dues arrels de). El seu alumne,Ferdinand Eisenstein, va estudiar el tipus, on és una arrel complexa de. Altres classes d'aquest tipus (anomenadescossos ciclotòmics) de nombres complexos s'obtenen a partir de lesarrels de la unitat per a valors més alts dek. Aquesta generalització és en gran part deguda aKummer, que també va inventar elsnombres ideals, que van ser expressats com entitats geomètriques perFelix Klein el1893. La teoria general de cossos va ser creada perÉvariste Galois, que estudiava els cossos generats per les arrels de qualsevol equació polinòmica d'una variable.
Les paraules "real" i "imaginari" eren significatives quan els nombres complexos es feien servir principalment com a ajut per manipular nombres "reals", amb només la part "real" emprada directament per descriure el món. Aplicacions posteriors, i especialment el descobriment de la mecànica quàntica, mostra que la natura no té cap preferència pels nombres "reals" i les seves descripcions més reals sovint exigeixen nombres complexos, en els que els seves parts "imaginaries" són exactament tan físiques com les seves parts "reals".
En el mètode del lloc de les arrels, és especialment important si els pols i els zeros estan als semiplans de l'esquerra o de la dreta, és a dir, tenen la part real més gan o més petita que zero. Si un sistema té pols que són
Els nombres complexos es fan servir enanàlisi del senyal i en altres camps, per obtenir una descripció adequada de senyals que varien periòdicament. Per funcions reals donades que representen quantitats físiques, sovint en termes de sinus i cosinus, es fan servir les funcions complexes corresponents de les que es prenen les parts reals, de forma que representen les quantitats originals. Per a unaona de sinusoidal d'unafreqüència donada, el valor absolut |z| del corresponentz és l'amplitud i l'argument arg(z) lafase.
Si es fa servir l'anàlisi de Fourier per escriure un senyal donat amb valors reals com a suma de funcions periòdiques, aquestes funcions periòdiques s'escriuen sovint com funcions amb valors complexos de la forma
on ω representa lafreqüència angular i el nombre complexz codifica la fase i l'amplitud tal com s'ha explicat abans.
Enenginyeria elèctrica, latransformada de Fourier es fa servir per analitzarvoltatges icorrents variables. Llavors es pot unificar el tractament deresistències,condensadors, iinductàncies introduint resistències imaginàries, que depenen de la freqüència pels dos últims components i que combinant les tres en un nombre complex senzill s'anomena laimpedància. (Els enginyers elèctrics i alguns físics fan servir la lletraj per representar la unitat imaginària, ja quei es reserva típicament per a corrents i pot crear confusió.) Aquest enfocament s'anomena càlcul emprantFasors. Aquesta aplicació també s'estén alprocessament digital del senyal i alprocessament digital de la imatge, per fer-ho s'utilitzen versions digitals d'anàlisi de Fourier (i anàlisi dewavelet) per transmetre, comprimir, restaurar, i en resum, processar senyals d'àudio digitals, imatges, fitxers, i senyals devídeo.
En matemàtiques aplicades, els nombres complexos sovint es fan servir per calcular certesintegrals impròpies amb valors reals, per mitjà de funcions amb valors complexos. Hi ha uns quants mètodes per fer-ho; vegeumètodes d'integració de contorn.
Enrelativitat especial igeneral, algunes fórmules sobre la mètrica en l'espaitemps es tornen més simples si es considera que la variable temps és imaginària. (Això ja no és habitual en relativitat clàssica, però es fa serviressencialment enteoria quàntica de camps.) Els nombres complexos són essencials pelsespinors, que són una generalització delstensors utilitzats en relativitat.
Donada una potència d'un nombre complex d'exponent 1/n (arrel n, on n ∈ ℝ), les seves n solucions en l'espai complex donen lloc a n vectors que són, alhora, vectors posició dels vèrtexs d'un polígon regular de n vèrtexs i centre a l'origen de coordenades.
