Una taula en equilibri amb les forces gravitatòries.
Enfísica lamecànica clàssica, de vegades també anomenadamecànica newtoniana, és una de les grans subdivisions de lamecànica, es refereix a un conjunt delleis físiques que descriuen el comportament dels cossos sotmesos a l'acció d'un sistema deforces, descriu de manera força precisa gran part dels fenòmens mecànics que podem observar directament a la nostra vida quotidiana. L'altra gran subdivisió és lamecànica quàntica.
Dins de la mecànica clàssica sovint es diferencien duesteories: lamecànica newtoniana (o simplementmecànica), formulada per primera vegada perNewton en la famosa obraPhilosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicada el1686, i lamecànica analítica desenvolupada perLagrange,Hamilton,Liouville,Jacobi i d'altres entre la segona meitat del segle xviii i finals del segle xix. De vegades amb el terme mecànica clàssica s'està indicant, especialment en la literatura científica de parla anglesa, només una de les dues teories. Cal assenyalar que les dues teories, encara que partint de principis diferents (els postulats d'Isaac Newton en el primer cas, el principi de mínima acció en el segon) i utilitzant mètodes matemàtics substancialment diferents (càlcul simple en el primer cas, càlcul de les variacions i elements d'anàlisi matemàtica que en el segon), van arribar a resultats equivalents des del punt de vista experimental.
Johannes KeplerRetrat d'Isaac Newton pintat per Godfrey Kneller el 1689.Retrat de Gottfried Wilhelm Leibniz pintat el 1700
Tot i que algunsfilòsofsgrecs de l'antiguitat comAristòtil ja van introduir la idea de l'existència de principis abstractes que governaven la natura, la idea de l'experimentació com a mètode de verificació no va aparèixer fins al segle xi quanAl-Biruní (973 –1048) va introduir el primer mètode científic basat en la comprovació experimental de les causes que expliquen les observacions. Ja alsegle xiial-Khaziní unificaria l'estàtica i ladinàmica en la ciència de la mecànica i combinant els camps de lahidroestàtica amb la dinàmica apareixeria lahidrodinàmica.[1] Alguns conceptes relacionats amb leslleis de Newton del moviment van ser enunciats per diversos físics musulmans durant l'edat mitjana. Una versió inicial de la llei de lainèrcia, coneguda com la primera llei de Newton, i el concepte dequantitat de moviment, una part de la segona llei de Newton, van ser descrits perAlhazen (965-1040)[2][3] iAvicenna (980 –1037).[4][5] La proporcionalitat entreforça iacceleració, un principi important en mecànica clàssica, va ser postulat per primera vegada perAbu-l-Barakat (1077-1165),[6] i teories sobre la gravetat van ser desenvolupades perBanu Mussa,[7] Alhazen,[8] i al-Khaziní.[9] És sabut que el tractat sobre l'acceleració deGalileo Galilei i el seu concepte de la inèrcia (impetus)[10] va sorgir a partir de l'anàlisi anterior delmoviment que a l'edat mitjana havien fet Avicenna,[4]Avempace,[11] iJean Buridan (1300 –1358).
La primera explicació de lescauses del moviment dels planetes va ser l'obraAstronomia nova queJohannes Kepler va publicar el1609. Basant-se en les observacions deTycho Brahe sobre l'òrbita deMart, Kepler va arribar a la conclusió que les òrbites erenel·líptiques. Aquest trencament amb elpensament antic va coincidir aproximadament amb la proposta de Galileu d'unes lleis matemàtiques abstractes sobre el moviment dels planetes. El famós experiment de deixar caure dues boles des de laTorre de Pisa potser no es va arribar a fer mai, però és molt important destacar que Galileu havia dut a terme molts experiments amb boles iplans inclinats, la seva teoria sobre l'acceleració deriva dels resultats d'aquests experiments i constitueix una pedra angular de la mecànica clàssica.
Com a base dels seus principis de filosofia natural, Newton va proposar treslleis del moviment: lallei de la inèrcia, lallei de l'acceleració, i la llei dellei d'acció i reacció, que serien els fonaments de la mecànica clàssica. Tant la segona com tercera lleis de Newton van ser objecte d'un tractament científic i matemàtic adequat a la seva obraPhilosophiae Naturalis Principia Mathematica, això les diferencia dels anteriors intents d'explicar fenòmens similars que havien estat incomplets, inexactes, o amb poca utilització d'expressions matemàtiques precises. Isaac Newton també va enunciar els principis de laconservació del moment i elmoment angular. A la mecànica, també va ser el primer a oferir la primera formulació correcta, científica i matemàtica de lagravetat a la sevallei de la gravitació universal. La combinació de les lleis de Newton del moviment i la gravitació van proporcionar la descripció més completa i precisa de la mecànica clàssica (leslleis de Kepler sobre el moviment dels planetes va ser una explicació teòrica que va tenir en consideració). Newton va demostrar que aquestes lleis s'apliquen als objectes quotidians, així com als objectes celestes.
Prèviament Newton havia inventat elcàlcul infinitesimal i el va utilitzar als seus càlculs matemàtics, tanmateix a l'obraPhilosophiae Naturalis Principia Mathematica va utilitzar els mètodes geomètrics reconeguts al moment per no comprometre l'acceptació de les seves propostes. Aquests mètodes antics serien reemplaçats ràpidament pel càlcul, però cal fer notar que va serLeibniz qui va desenvolupar la notació de laderivada i laintegral que són els conceptes preferits avui dia.
Després de Newton la mecànica clàssica va esdevenir el camp principal d'estudi en matemàtiques i en física.
A finals delsegle xix es van descobrir algunes dificultats que només van poder ser resoltes amb una física més moderna. Algunes d'aquestes dificultats eren relacionades amb la comptatibilitat amb lateoria electromagnètica i el famósexperiment de Michelson-Morley, la seva resolució va portar a l'aparició de lateoria de la relativitat especial, que sovint és inclosa dins la mecànica clàssica.
Un segon conjunt de problemes va sorgir amb relació a latermodinàmica, quan la mecànica clàssica combinada amb la termodinàmica va portar a laparadoxa de Gibbs de lamecànica estadística clàssica, a la que l'entropia no és una magnitud ben definida. Laradiació d'uncos negre no va poder ser explicada sense la introducció delsquanta (llei de Planck). Quan els experiments van assolir el nivell atòmic la mecànica clàssica no va poder, ni aproximadament, coses tan bàsiques com elsnivells d'energia, la mida delsàtoms o l'efecte fotoelèctric. Els esforços per resoldre aquests problemes van portar al desenvolupament de lamecànica quàntica.
Des de finals del segle xx la mecànica clàssica ja no és considerada com una teoria independent. L'èmfasi s'ha posat en els esforços per comprendre les forces fonamentals de la natura com en el cas delmodel estàndard de física de partícules i les seves extensions més modernes vers una teoria unificada (Teoria del tot).[12] La mecànica clàssica és una teoria per a l'estudi del moviment en un entorn fora de l'àmbit de la mecànica quàntica, amb partícules de baixa energia i camps gravitacionals febles.
Lacinemàtica, que estudia el moviment dels cossos des d'un punt de vista purament geomètric, sense tenir-ne en compte les forces que actuen sobre ells.
Ladinàmica, que estudia el moviment dels cossos tenint en compte les forces que actuen sobre ells.
Els resultats de la mecànica clàssica descriuen amb molta precisió la majoria dels fenòmens de l'experiència quotidiana. El seu rang de validesa va des del moviment de lescèl·lules dins el cos humà fins al moviment delsplanetes alsistema solar, passant per tots elsmoviments (cotxes, pilotes, avions) de la nostra vida diària. Quan lesvelocitats dels objectes s'aproximen a lavelocitat de la llum, la mecànica clàssica perd la seva validesa i és reemplaçada per lamecànica relativista. Quan anem a escales atòmiques també perd la seva validesa i és reemplaçada per lamecànica quàntica.
De vegades es reserva el termemecànica newtoniana per a la mecànica basada en les lleis de Newton, i el termemecànica clàssica es fa servir per referir-se conjuntament a la mecànica newtoniana i la mecànica relativista, en contraposició amb la mecànica quàntica.
Lamecànica lagrangiana és una formulació més abstracta i general, que permet l'ús en igualtat de condicions de sistemes inercials o no inerciales sense que, a diferència de les lleis de Newton, la forma bàsica de les equaciones canvie. Això és degut al fet que en mecànica lagrangiana es descriu el moviment de les particules en coordenades generals sobre elfibrat tangent de l'anomenatespai de configuració.
Trajectòries d'un objecte llançat amb un angle de 70°. En el cas de l'objecte de color negre no troba capresistència aerodinàmica i es mou seguint una paràbola. En el cas del blau l'objecte experimenta una resistència segons lallei de Stokes i en el cas del verd en funció de la teoria (errònia) de Newton que feia dependre la resistència de la forma de l'objecte.
Les suposicions bàsiques de la mecànica clàssica són:
El Principi deHamilton oprincipi de mínima acció.El moviment natural d'un sistema és tal que es minimitzi l'acció A del sistema. L'acció es defineix com:
L'existència d'untemps absolut, la mesura del qual és igual per a qualsevolobservador amb independència del seu grau de moviment.
L'estat d'una partícula queda completamentdeterminada científicament si es coneix la seva quantitat de moviment i posició sent ambdues simultàniament mesurables.
És interessant notar que enmecànica relativista el supòsit (2) és inacceptable encara que sí que són acceptables els supòsits (1) i (3). D'altra banda, enmecànica quàntica el que no és acceptable és el supòsit (3) (de fet en la mecànica quàntica relativista ni el supòsit (2) ni el (3) són acceptables).
Encara que la mecànica clàssica i en particular lamecànica newtoniana és adequada per a descriure l'experiència diària (amb esdeveniments que succeïxen a velocitats moltíssim menors que lavelocitat de la llum i a escalamacroscòpica), a causa de l'acceptació d'estos tres supòsits tan restrictius com (1), (2) i (3), no pot descriure adequadament fenòmens electromagnètics amb partícules en ràpid moviment, ni fenòmens físicsmicroscòpics que succeïxen a escala atòmica.
Tanmateix, açò no és un demèrit de la teoria, ja que la simplicitat de la mateixa es combina amb l'adequació descriptiva per a sistemes quotidians com:coets, moviment deplanetes,molècules orgàniques,baldufes,trens itrajectòries de mòbils macroscòpics en general. Per a estos sistemes quotidians és molt complicat tan sols descriure el seu moviments en termes de les teories més generals.
A continuació es fa una introducció dels conceptes bàsics de la mecànica clàssica, per simplificar els objectes reals es consideren com apartícules puntuals, objectes amb una mida negligible. El moviment d'una partícula puntual es caracteritza per un petit nombre de paràmetres: la seva posició, la sevamassa i lesforces que actuen sobre ella.
En realitat, el tipus d'objectes que pot descriure la mecànica clàssica mai tenen una mida nul·la. (La física de les partícules molt petites com l'electró es descriu millor amb la mecànica quàntica.). Els objectes amb unes mides nul·les tenen un comportament molt més complicat que les hipotètiques partícules puntuals a causa delsgraus de llibertat addicionals, per exemple, una pilota potgirar mentre es mou. Però els resultats per les partícules puntuals poden ser utilitzats per estudiar els objectes reals tractant-los com a objectes compostos, formats per un conjunt de partícules puntuals que interaccionen entre si. Elcentre de massa d'un objecte compost es comporta com una partículapuntual.
Laposició d'una partícula puntual es defineix respecte a un punt de referència arbitrari,O, a l'espai, habitualment acompanyat d'un sistema de coordenades, amb el punt de referència posicionat en l'origen d'aquest. Es defineix com unvectorr del puntO fins a la partícula. En general no cal que la partícula puntual sigui estacionària en realció al puntO, en aquest casr serà una funció det, eltemps transcorregut des d'un moment inicial arbitrari. En la relativitat anterior a Einstein (anomenadarelativitat galileana), el temps és considerat un absolut, per exemple, el temps transcorregut entre dos esdeveniments és el mateix per a tots els observadors. A més de basar-se en un temps absolut, la mecànica clàssica assumeix lageometria euclidiana per a l'estructura de l'espai.
Lavelocitat o ritme de variació de la posició amb el temps, es defineix com laderivada de la posició respecte del temps o
.
En mecànica clàssica, les velocitats poder sumar-se i restar-se directament. Per exemple, si un cotxe viatja ver l'Est a 60 km/h i passa un altre cotxe que també viatja cap a l'Est a 50 km/h, llavors des de la perspectiva del cotxe més lent, el cotxe més ràpid viatja cap a l'Est a una velocitat de 60 − 50 = 10 km/h. I des de la perspectiva del cotxe més ràpid, el lent s'està movent a una velocitat de 10 km/h vers l'Oest. Les velocitats es poden sumar directament com a valors vectorials, han de ser tractades utilitzant elcàlcul vectorial.
Matemàticament, si la velocitat del primer objecte del paràgraf anterior es denota amb el vector i la velocitat del segon objecte amb el vector, on és la celeritat del primer objecte, és la celeritat del segon objecte, i i són elsvectors unitaris en la direcció del moviment de cada una de les partícules (objectes), llavors la velocitat del primer objecte vista pel segon és:
De manera similar:
Quan ambdós objectes es mouen en la mateixa direcció, aquesta equació es pot simplificar com:
O, ignorant la direcció, la diferència pot ser donada només en termes de celeritat:
L'acceleració, o ritme de variació de la velocitat amb el temps, es defineix com la derivada de la velocitat respecte del temps (laderivada segona de la posició respecte al temps) o
.
L'acceleració pot sorgir d'un canvi amb el temps de la magnitud de la velocitat o de la direcció de la velocitat, o de les dues coses. Si només la magnitud,, de la velocitat disminueix, això de vegades rep el nom dedesacceleració, però en general, qualsevol canvi de la velocitat amb el temps, inclosa la desacceleració, és simplement el que anomenem acceleració.
Mentre la posició, la velocitat i l'acceleració d'una partícula pot ser referenciada respecte a qualsevol observador en qualsevol estat de moviment, la mecànica clàssica suposa l'existència d'una família especial de sistemes de referència en termes dels quals les lleis mecàniques de la natura prenen una forma relativament simple. Aquests sistemes de referència especials s'anomeneninercials i es caracteritzen per l'absència d'acceleració de l'observador i el requisit que totes les forces que afecten les lleis físiques de l'observador s'originen en fonts identificables (càrregues, cossos gravitacionals, etc.). Un sistema de referència no inercial és un que accelera respecte a un d'inercial, i en un sistema no inercial una partícula és sotmesa a una acceleració per unaforça fictícia que forma part de les equacions de moviment únicament com a resultat de l'acceleració, i no s'origina en una font identificable. Aquestes forces fictícies s'afegeixen a les forces reals que es reconeixen en un sistema inercial. Un concepte clau dels sistemes inercials és el mètode per a la seva identificació, a efectes pràctics, els sistemes de referència que no estan accelerats respecte de les estrelles distants es consideren unes bones aproximacions com a sistemes inercials.
Les següents conseqüències es deriven de l'observació d'un esdeveniment des de dos sistemes de referència inercials, i, on viatja a una velocitat relativa to.
(la velocitat d'una partícula des de la perspectiva deS' és més lenta en que la seva velocitat des de la perspectiva deS)
(l'acceleració d'una partícula és la mateixa en qualsevol sistema de referència inercial)
(la força sobre una partícula és la mateixa en qualsevol sistema de referència inercial)
lavelocitat de la llum no és una constant en la mecànica clàssica, i tampoc no hi ha una correspondència amb l'especial consideració que es dona a aquest concepte en la mecànica relativista.
la forma de lesequacions de Maxwell no es conserva en els sistemes de referència inercials. Tanmateix, a la teoria de la relativitat especial, l'assumpció de la velocitat de la llum com una constant altera les relacions entre els sistemes de referència inercials de manera que les equacions de Maxwell esdevenen invariants.
Isaac Newton va ser el primer a expressar matemàticament la relació entre laforça i laquantitat de moviment. Alguns físics interpreten la segona llei de Newton com una definició de la força i la massa, mentre que d'altres la consideraven com un postulat fonamental, una llei de la natura. Qualsevol interpretació té les mateixes conseqüències matemàtiques:
.
La magnitud rep el nom demoment conjugat. Així la força neta sobre una partícula és igual al ritme de canvi de la quantitat de moviment (moment) de la partícula amb el temps. Atès que la definició de l'acceleració és, la segona llei es pot escriure d'una forma més simple i més familiar
.
En tant que la força que actua sobre una partícula és coneguda, la segona llei de Newton és suficient per descriure el moviment d'una partícula. Com que les relacions independents per a cada força que actua sobre una partícula estan disponibles, es pot substituir a la segona llei de Newton per obtenir unaequació diferencial ordinària, que s'anomenaequació de moviment.
Com a exemple, suposem que la fricció és l'única força que actua sobre la partícula i que pot ser expressada com una funció de la velocitat de la partícula, per exemple:
amb λ com a constant positiva. Llavors l'equació de moviment és
On és la velocitat inicial. Això significa que la velocitat d'aquesta partícula disminueix de manera exponencial fins a zero a mesura que passa el temps. En aquest cas, un punt de vista equivalent és que l'energia cinètica de la partícula és absorbida per lafricció (que la converteix enenergia calorífica, de conformitat amb el principi deconservació de l'energia), frenant-la. Aquesta expressió pot ser integrada per obtenir la posició de la partícula en funció del temps.
Les forces més importants són lagravitacional i laforça de Lorentz per l'electromagnetisme. A més, la tercera llei de Newton pot ser utilitzada de vegades per deduir les forces que actuen sobre una partícula: si sabem que una partícula A exerceix una força sobre una altra partícula B, es dedueix que B ha d'exercir una força igual i de sentit oposat oforça de reacció,, sobre A. La forma més forta de la tercera llei de Newton requereix que and actuï al llarg de la línia que uneix A i B, mentre que a la forma feble no és necessari. Com a il·lustració de la forma feble de la tercera llei de Newton s'utilitzen sovint lesforces magnètiques.
Si una força és aplicada a una partícula que assoleix un desplaçament, eltreball fet per la força es defineix com el producte escalar dels vectors de la força i el desplaçament: (noti's que el vector desplaçament és el canvi en el vector posició)
.
Si la massa de la partícula és constant, iWtotal és eltreball total realitzat sobre la partícula, obtingut sumant el treball realitzat per cada força aplicada, aplicant la segona llei de Newton tenim:
,
onEk rep el nom d'energia cinètica. Per a una partícula puntual, es defineix matemàticament com la quantitat de treball fet per accelerar la partícula des de la velocitat zero a la velocitat v:
.
Per als objectes compostos de moltes partícules, l'energia cinètica del cos compost és la suma de l'energia cinètica de les seves partícules.
Una classe particular de forces, conegudes com lesforces conservatives, es poden expressar com elgradient d'una funció escalar, coneguda com l'energia potencial i es denotaEp:
.
Si totes les forces que actuen sobre una partícula són conservatives, iEp és l'energia potencial total (que es defineix com el treball fet per les forces implicades per reordenar les posicions mútues dels cossos), obtinguda mitjançant la suma de les energies potencials corresponents a cada força
.
Aquest resultat és conegut com aconservació de l'energia i determina que l'energia total,
és constant en el temps. I sovint és un concepte molt útil perquè moltes forces són conservatives.
La mecànica lagrangiana té l'avantatge de ser prou general perquè les equacions de moviment siguin invariants respecte a qualsevol canvi de coordenades. Això permet treballar ambsistema de referència inercials o no-inercials en peu d'igualtat.
Per a un sistema dengraus de llibertat, la mecànica lagrangiana proporciona un sistema den equacions diferencials ordinàries de segon orde anomenadesequacions del moviment que permeten conèixer com evolucionarà el sistema.
Encara que en general la integració d'eixe sistema d'equacions no és senzilla, resulta de gran ajuda reduir el nombre de coordenades del problema buscant magnituds conservades, és a dir,magnituds físiques associades al sistema, que no varien al llarg del temps. Les magnituds conservades també se solen anomenarintegrals del moviment i solen estar associades alleis de conservació comuns.
En mecànica lagrangiana hi ha un mode molt elegant de buscar integrals de moviment a partir delteorema de Noether. D'acord amb este teorema quan un lagrangià és invariant davall ungrup de simetria uniparamètric llavors qualsevol generador de l'àlgebra de Lie associada a eixe grup uniparmètric és proporcional a una magnitud conservada:
Així quan un problema físic té algun tipus desimetria rotacional, el seu lagrangià és invariant davall algun grup de rotació i tenim que es conserva elmoment angular.
Quan un problema físic presenta simetria translacional, és a dir, quan les forces que actuen sobre un sistema de partícules són idèntiques en qualsevol posició al llarg d'una línia, tenim que en eixa direcció es conserva elmoment lineal.
La llei de conservació de l'energia està associada a una simetria de translació en el temps. Quan les equacions bàsiques d'un sistema són iguals en tots els instants del temps i els paràmetres que determinen el problema no depenen del temps, llavors l'energia del dit sistema es conserva.
La mecànica hamiltoniana és semblant en essència a la mecànica lagrangiana, encara que descriu l'evolució temporal d'un sistema per mitjà d'equacions diferencials de primer ordre, la qual cosa permet integrar més fàcilment les equacions de moviment. En la seua forma canònica les equacions de Hamilton tenen la forma:
.
OnH és la funció de Hamilton o hamiltoniano, i són els parells de coordenades canòniques conjugades del problema. Usualment les variables tipusqi s'interpreten com acoordenades generalitzades de posició i lespi com a moments associats a les velocitats.
Tanmateix, una característica notable de la mecànica hamiltoniana és que tracta en peu d'igualtat els graus de llibertat associats a la posició i a la velocitat d'una partícula. De fet en mecànica hamiltoniana no podem distingir formalment entre coordenades generalitzades de posició i coordenades generaliadas de moment. De fet es pot fer un canvi de coordenades en què les posicions queden convertides en moments i els moments en posicions. Com a resultat d'esta descripció igualitària entre moments i posicions la mecànica hamiltoniana admet transformacions de coordenades molt més generals que la mecànica lagrangiana. Eixa major llibertat a triar coordenades generalitzades es traduïx en una major capacitat per a poder integrar les equacions de moviment i determinar propietats de les trajectòries de partícules.
Una generalització de la mecànica hamiltoniana és la geometria simpléctica, en eixa forma la mecànica hamiltoniana és usada per a resoldre problemes no físics, inclús per a la matemàtica bàsica. Algunes generalitzacions i regeneralitzacions de la mecànica hamiltoniana són:
Lamecànica clàssica és una teoria general del moviment de sistemes de partícules físiques de sistemes macroscòpics i a velocitats petites comparades amb lavelocitat de la llum. Existeixen tres formulacions diferents de la mecànica clàssica:
↑Mariam Rozhanskaya i I. S. Levinova (1996), "Statics", Roshdi Rashed, ed.,Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, pàg. 614-642 [642], Routledge, Londres i Nova York
↑Abdus Salam (1984), "Islam and Science". C. H. Lai (1987),Ideals and Realities: Selected Essays of Abdus Salam, 2a ed., World Scientific, Singapur, pàg. 179-213.
↑Seyyed Hossein Nasr, "The achievements of Ibn Sina in the field of science and his contributions to its philosophy",Islam & Science, Desembre 2003.
↑4,04,1Fernando Espinoza (2005). "An analysis of the historical development of ideas about motion and its implications for teaching",Physics Education40 (2), pàg. 141.
↑Seyyed Hossein Nasr, "Islamic Conception Of Intellectual Life", Philip P. Wiener (ed.),Dictionary of the History of Ideas, Vol. 2, pàg. 65, Charles Scribner's Sons, Nova York, 1973-1974.
↑Shlomo Pines. «Abu'l-Barakāt al-Baghdādī, Hibat Allah». A:Dictionary of Scientific Biography. 1. Nova York: Charles Scribner's Sons, 1970, p. 26-28.ISBN 0684101149. (Abel B. Franco (October 2003). "Avempace, Projectile Motion, and Impetus Theory",Journal of the History of Ideas64 (4), pàg. 521-546 [528]
↑Robert Briffault (1938).The Making of Humanity, pàg. 191.
↑Nader El-Bizri (2006), "Ibn al-Haytham or Alhazen", Josef W. Meri (2006),Medieval Islamic Civilization: An Encyclopaedia, Vol. II, p. 343-345,Routledge, New York, London.
↑Mariam Rozhanskaya i I. S. Levinova (1996), "Statics", Roshdi Rashed, ed.,Encyclopaedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, pàg. 622. Londres i Nova York: Routledge.
↑Galileo Galilei,Two New Sciences, trad. Stillman Drake, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr., 1974), pàg. 217, 225, 296-7.
↑Ernest A. Moody (1951). "Galileo and Avempace: The Dynamics of the Leaning Tower Experiment (I)",Journal of the History of Ideas12 (2), pàg. 163-193.
↑A la pàgina 2-10 de l'obraFeynman Lectures on Physics es diu "For already in classical mechanics there was indeterminability from a practical point of view." (Perquè a la mecànica clàssica existia indeterminabilitat des d'un punt de vista pràctic.).
