Representacions de diversos camps de les matemàtiques
Lamatemàtica (encara que, per a referir-se a l'estudi i ciència, s'acostuma a utilitzar el pluralmatemàtiques) és aquella ciència que estudia patrons en les estructures de cossos abstractes i en les relacions que s'estableixen entre ells (del mot derivat del grec μάθημα,máthēma: ciència, coneixement, aprenentatge; μαθηματικός,mathēmatikós).
Malgrat que tingui múltiples usos en altres ciències i disciplines (molt particularment, en lafísica), i tracti relacions que poden semblar evidents, les matemàtiques primer postulen (vegeuaxiomes matemàtics), i després dedueixen i demostren. Les matemàtiques no són unaciència experimental, sinó unaciència formal. Els matemàtics acostumen a definir i investigar estructures i conceptes abstractes per raons purament internes a la matemàtica, ja que tals estructures poden proveir, per exemple, una generalització elegant, o una eina útil per a càlculs freqüents. A més, molts matemàtics estudien les seves àrees de preferència simplement per raons estètiques, veient així la matemàtica com una forma d'art en comptes d'una ciència pràctica o aplicada (encara que les estructures que els matemàtics investiguen tenen, molt sovint, el seu origen en observacions de la natura).
La matemàtica és un art, però també una ciència d'estudi. Informalment, es pot afirmar que la matemàtica és l'estudi dels «nombres i símbols», és a dir, la investigació d'estructures abstractes definides axiomàticament utilitzant la lògica i lanotació matemàtica. És també la ciència de les relacions espacials i quantitatives. Es tracta de relacions exactes que existeixen entre quantitats i magnituds, i dels mètodes pels quals, d'acord amb aquestes relacions, les quantitats buscades són deduïbles a partir d'altres quantitats conegudes o pressuposades. Altres punts de vista poden trobar-se en lafilosofia de les matemàtiques.
És freqüent trobar qui descriu la matemàtica com una simple extensió dels llenguatges naturals humans, que utilitza una gramàtica i un vocabulari definits amb extrema precisió, el propòsit dels quals és la descripció i exploració de relacions conceptuals i físiques. Recentment, això no obstant, els avanços en l'estudi del llenguatge humà apunten cap a una altra forma d'analitzar-los: els llenguatges naturals (com el català i el francès) i els llenguatges formals (com la matemàtica i els llenguatges de programació) són estructures de naturalesa bàsicament diferent.
La paraula "matemàtiques" (delgrec μαθηματικά) prové de dues paraules gregues μάθημα (máthēma), que significa 'aprenentatge', 'estudi', 'ciència' i, amb el pas del temps, el seu significat va quedar reduït al que avui coneixem com l'estudi matemàtic. L'adjectiu és μαθηματικός (mathēmatikós), que significa 'relacionat amb l'aprenentatge', 'estudiós' i que també, amb el pas del temps, va quedar reduït a 'matemàtic'. En especial, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), enllatí,ars mathematica, significava 'art matemàtic'. La forma plural delcatalà prové del plural neutre llatímathematica (Ciceró), basat en el plural grec τα μαθηματικά (ta mathēmatiká) utilitzat per primera vegada perAristòtil en referència a "totes les coses matemàtiques".
Històricament, la matemàtica va sorgir amb la finalitat de fer els càlculs en el comerç, per a amidar la terra i per a predir els esdeveniments astronòmics. Aquestes tres necessitats poden ser relacionades en certa manera amb la subdivisió àmplia de les matemàtiques en l'estudi de l'estructura, l'espai i el canvi. L'estudi de l'estructura comença amb elsnombres, inicialment elsnombres naturals i elsnombres enters.
Les regles que dirigeixen les operacions aritmètiques s'estudien en l'àlgebra elemental, i les propietats més profundes dels nombres enters s'estudien en lateoria de nombres. La investigació de mètodes per a resoldre equacions duu al camp de l'àlgebra abstracta. L'important concepte devector, generalitzat aespai vectorial, és estudiat en l'àlgebra lineal, i pertany a les dues branques de l'estructura i l'espai. L'estudi de l'espai origina lageometria, primer lageometria euclidiana i després latrigonometria.
La comprensió i descripció del canvi en variables mesurables és el tema central de lesciències naturals i delcàlcul. Per a resoldre problemes que es dirigeixen en forma natural a relacions entre una quantitat i la seva taxa de canvi, i de les solucions a aquestes equacions, s'estudien lesequacions diferencials.
Els nombres utilitzats per a representar les quantitats contínues són elsnombres reals. Per a estudiar els processos de canvi, s'utilitza el concepte defunció matemàtica. Els conceptes dederivada iintegral, introduïts perIsaac Newton iLeibniz, representen un paper clau en aquest estudi, que es denominaanàlisi.
Per raons matemàtiques, és convenient per a molts fins introduir-hi els nombres complexos, cosa que dona lloc a l'anàlisi complexa. L'anàlisi funcional, per contra, consisteix a estudiar problemes la incògnita dels quals és una funció, pensant-la com un punt d'un espai funcional abstracte.
Un camp important en matemàtiques aplicades és laprobabilitat i l'estadística, que permeten la descripció, l'anàlisi i la predicció de fenòmens que tenenvariables aleatòries i que s'usen en totes les ciències.
L'anàlisi numèrica investiga els mètodes per a fer els càlculs en computadores.
Pitàgores (582-500 aC). Fundador de l'escola pitagòrica, que es basava en l'amor a la saviesa, a les matemàtiques i a la música. Se li ha atribuït la demostració delteorema que porta el seu nom, el qual estableix que, en un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa (el cantó oposat al de l'angle recte) és igual a la suma dels quadrats dels dos catets (els dos costats menors que la hipotenusa i que conformen l'angle recte).
Hipàcia (370-415 aC.). Sàvia grega. Matemàtica, astrònoma i filòsofa. Professora i directora de l'Escola d'Alexandria.
Euclides (c. 365-300 aC). Savi grec, la seva obraElements és considerada com el text matemàtic més important de la història.
Arquimedes (287-212 aC). Va ser el matemàtic més important de l'Edat Antiga. També conegut per una de les seves frases: "Eureka!,eureka!, ho he trobat".
al-Khuwarizmí (c. 780 - c. 850). Matemàtic, geògraf i astròleg/astrònom àrab. Del seu nom es deriven termes com àlgebra i algorisme.
Fibonacci (1170-1240). Matemàtic italià que va realitzar importants aportacions en els camps matemàtics de l'àlgebra i la teoria dels nombres.
John Napier (1550-1617). Matemàtic escocès reconegut per haver introduït els logaritmes, un grup dels quals porten el seu nom.
Galileo Galilei (1564-1642). Matemàtic italià, el principal assoliment del qual va ser crear un nexe d'unió entre les matemàtiques i la mecànica.
René Descartes (1596-1650). Matemàtic francès que va escriure una obra sobre la teoria de les equacions.
Pierre de Fermat (1601-1165). Matemàtic francès considerat el creador de la modernateoria de nombres i conegut sobretot pelteorema que porta el seu nom i que ha romàs sense demostrar fins a finals del segle xx.
Blaise Pascal (1623-1662). Matemàtic francès que va formular un dels teoremes bàsics de la geometria projectiva.
Gottfried Leibniz (1646-1716). Matemàtic alemany que va desenvolupar, independentment de Newton, el càlcul infinitesimal.
Thomas Bayes (1702-1761). Matemàtic anglès conegut pels seus treballs sobre probabilitat condicionada.
Émilie du Châtelet (1706-1749). Matemàtica francesa, va traduir els Principia de Newton i contribuir al desenvolupament del càlcul i del raonament matemàtic.
Leonhard Euler (1707-1783). Matemàtic suís que va realitzar importants descobriments en el camp del càlcul i la teoria de grafs.
Maria Gaetana Agnesi (1718-1799). Matemàtica italiana que va contribuir al desenvolupament i divulgació del càlcul diferencial.
Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Matemàtic francoitalià que va realitzar contribucions en el camp del càlcul i de la teoria dels nombres.
Pierre-Simon Laplace (1749-1827). Matemàtic francès que va realitzar importants aportacions a la teoria de probabilitats, va desenvolupar l'equació de Laplace i va inventar latransformada de Laplace, que té importants aplicacions en electrònica. Va ser un fervent creditor del determinisme científic.
Caroline Herschel (1750-1848). Matemàtica alemanya, que es va dedicar a la recerca en astronomia. El 1828 va guanyar la medalla d'or de laRoyal Astronomical Society pel descobriment de set cometes.
Paolo Ruffini (1765-1822). Matemàtic italià que va inventar laregla de Ruffini, que permet trobar coeficients del resultat de la divisió d'un polinomi pel binomi (x - r).
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). Matemàtic francès. Va estudiar la transmissió de calor, desenvolupant per a això latransformada de Fourier; d'aquesta manera, va estendre el concepte de funció i va introduir una nova branca dins de la teoria de les equacions diferencials.
Sophie Germain (1776-1831). Matemàtica francesa. Va estudiar la teoria de nombres i el càlcul, i va fer contribucions a la demostració delTeorema de Fermat.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Matemàtic alemany conegut com "el príncep de les matemàtiques". Ha contribuït de manera notable a diverses àrees de les matemàtiques: la teoria de nombres, l'anàlisi matemàtica i la geometria diferencial. Va ser el primer a provar rigorosament elteorema fonamental de l'àlgebra. Va inventar el que es coneix com amètode de Gauss, que va utilitzar per a resoldre sistemes de tres equacions lineals amb tres incògnites.
Mary Somerville (1780-1872). Matemàtica escocesa que va treballar en àlgebra i astronomia.
Bernard Bolzano (1781-1848). Matemàtic, lògic, filòsof i teòleg bohemi que va escriure en alemany i que va realitzar importants contribucions a les matemàtiques i a la Teoria del coneixement. Se'l coneix, sobre tot, pel teorema que duu el seu nom.
Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Matemàtic francès, pioner en l'anàlisi matemàtica i la teoria de grups. Va oferir la primera definició formal de funció, límit i continuïtat. També va treballar la teoria dels determinants, probabilitat, el càlcul complex i les sèries.
Niels Henrik Abel (1802-1829). Matemàtic noruec. Durant la seva curta vida va fer contribucions rellevants en diversos camps de les matemàtiques, entre ells a les funcions el·líptiques. Un dels guardons més importants concedits a un matemàtic porta el seu nom.
Évariste Galois (1811-1832). Matemàtic i activista polític francès, els seus treballs van posar els fonaments de dues grans branques de l'àlgebra.
Karl Weierstrass (1815-1897). Matemàtic alemany considerat el "pare de l'anàlisi matemàtica moderna".
Florence Nightingale (1820-1910). Matemàtica britànica, pionera de l'aprofundiment i la divulgació de l'estadística. També va desenvolupar lateoria de grafs.
Sofia Kovalevskaya (1850-1891). Matemàtica russa. Va contribuir a l'estudi de les equacions en derivades parcials i a l'astronomia.
Henri Poincaré (1854-1912). Matemàtic francès destacat pels seus treballs sobre equacions diferencials i llurs aplicacions a la mecànica celeste.
David Hilbert (1862-1943). Matemàtic alemany reconegut com un dels més influents i universals de finals del segle xix i començaments del xx.
Emmy Noether (1882-1935). Matemàtica alemanya. Va desenvolupar l'Àlgebra Moderna i l'Àlgebra Abstracta. Va desenvolupar els fonaments matemàtics de laTeoria de la Relativitat d'Einstein.
Andrei Kolmogórov (1903-1987). Matemàtic rus, preeminent en el segle xx, que va fer avenços en diversos àmbits de la matemàtica.
Dorothy Vaughan (1910-2008). Matemàtica estatunidenca especialitzada en anàlisi i computació. Va ser directora de laNACA, precursora de laNASA.
Katherine Johnson (1918-2020). Matemàtica estatunidenca, especialista en geometria. Va treballar a la NASA on va participar, entre d'altres, en la missióApolo 11.
Les matemàtiques sorgeixen allà on hi ha problemes que impliquen quantitats, estructures, espai o canvi. Al principi aquests problemes es trobaven en elcomerç, en lamesura de la Terra i més tard en l'astronomia. Actualment en totes les ciències sorgeixen problemes que són estudiats pels matemàtics i molts problemes sorgeixen dins de les matemàtiques mateixes. Per exemple, el físicRichard Feynman va inventar laformulació per a la integral de camí de lamecànica quàntica, fent servir una combinació de raonament matemàtic i intuïció física; i lateoria de cordes, que és una teoria científica, encara en procés de desenvolupament, que intenta unificar les quatreforces fonamentals de la natura, continua inspirant els matemàtics.[6] Alguns desenvolupaments matemàtics només s'apliquen en l'àrea en què es van inspirar per a resoldre altres problemes en aquella àrea. Però, sovint, les matemàtiques inspirades per una àrea resulten útils en altres àrees i s'afegeixen a l'estoc general de conceptes matemàtics. El fet notable és que, fins i tot les matemàtiques "més pures" sovint resulten tenir aplicacions pràctiques; és el queEugene Wigner ha anomenat "l'eficàcia forassenyada de les matemàtiques en la física."[7]
Com en la majoria d'àrees d'estudi, l'explosió de coneixement en l'era científica ha conduït a l'especialització en matemàtiques. Una distinció essencial és entrematemàtiques pures imatemàtiques aplicades: la majoria dels matemàtics centren la seva investigació només en una d'aquestes àrees. Algunes àrees de la matemàtica aplicada s'han fusionat amb aplicacions tradicionals relacionades a fora de les matemàtiques i s'han convertit en disciplines per dret propi, entre elles l'estadística, lainvestigació operativa o lainformàtica.
Per als que tenen una inclinació natural a apreciar les matemàtiques, sovint hi ha un aspecte estètic clar en molts aspectes de les matemàtiques. Molts matemàtics parlen de l'elegància de les matemàtiques, la seva estètica intrínseca ibellesa interior. Es valoren la simplicitat i la generalitat. Hi ha bellesa en unademostració simple i elegant, com ara la demostració d'Euclides de què hi ha una quantitat infinita denombres primers; hi ha bellesa en unmètode numèric elegant que accelera el càlcul, com, per exemple, latransformada ràpida de Fourier.G. H. Hardy, enApologia d'un matemàtic, expressa la creença que aquestes consideracions estètiques són suficients per a justificar l'estudi de les matemàtiques pures.[8] Els matemàtics s'esforcen sovint per trobar demostracions de teoremes que siguin especialment elegants;Paul Erdős s'hi referia amb l'expressió cercar demostracions a "El Llibre", en el qual Déu hauria escrit les seves demostracions favorites.[9][10] La popularitat de lesmatemàtiques recreatives és un altre senyal del plaer que troben molts a resoldre qüestions matemàtiques.
La major part de la notació matemàtica no va ser introduïda fins alsegle xvi. Abans les matemàtiques s'escrivien amb lletres i enunciats, un procés difícil que va limitar el desenvolupament de la disciplina. La notació moderna ha facilitat l'estudi de les matemàtiques. És extremadament comprimida: uns pocs símbols contenen molta informació. Igual que la notaciómusical, la notació matemàtica moderna té una sintaxi estricta que codifica la informació, que seria molt difícil d'escriure d'una altra manera.
El llenguatge matemàtic és difícil per als novençans. Les parauleso onomés hi tenen significats molt més precisos que no en l'ús quotidià. Altres conceptes, com aracamp obert iconjunt, tenen significats matemàtics especialitzats, i de l'estudi matemàtic han sorgit nous conceptes com ara l'"homeomorfisme" i la "integrabilitat". Les matemàtiques requereixen un llenguatge molt més precís que el llenguatge quotidià. Aquesta precisió i lògica es coneix com arigor.
El rigor tracta de la prova matemàtica. Els matemàtics volen que llurs teoremes siguin derivats dels axiomes per mitjà del raonament sistemàtic, per tal d'evitar "teoremes" erronis, basats en intuïcions fal·libles. El nivell de rigor que s'espera de les matemàtiques ha evolucionat amb el temps: elsgrecs antics demanaven arguments detallats; però, durant l'època deNewton, els mètodes que s'utilitzaven eren menys rigorosos. Els problemes inherents a les definicions de Newton van produir un ressorgiment de l'anàlisi acurada i de la prova formal.
Unàbac, eina de càlcul emprada des de temps antics
Les principals disciplines que abasten les matemàtiques varen sorgir de la necessitat de fer càlculs en el comerç, per a entendre les relacions entre els nombres, per a mesurar la terra, i per a predir fetsastronòmics. Aquestes quatre necessitats es poden relacionar si fa o no fa amb la subdivisió de les matemàtiques en l'estudi de la quantitat, l'estructura, l'espai, i el canvi (és a dir,aritmètica,àlgebra,geometria, i l'anàlisi matemàtica). Afegides a aquestes qüestions principals, també hi ha subdivisions dedicades a explorar lligams entre el cor de les matemàtiques i altres camps: lalògica, elsfonaments de lateoria de conjunts, o les matemàtiques empíriques d'altres ciències (matemàtiques aplicades) i, més recentment, les matemàtiques dedicades a l'estudi rigorós de laincertesa.
A mesura que el sistema de nombres es va desenvolupant, els enters s'identifiquen com unsubconjunt delsnombres racionals. Aquests, alhora, resulten continguts dins delsnombres reals, que són els que es fan servir per a representar quantitats contínues. I els nombres reals es generalitzen en elsnombres complexos. Aquests són els primers passos d'una jerarquia de nombres que continua fins a incloure elsquaternions i elsoctonions. L'estudi dels nombres naturals també porta cap alsnombres transfinits, que formalitzen el concepte de comptar fins a l'infinit. Una altra àrea d'estudi és la mida, que porta cap alsnombres cardinals i, llavors, cap a una altra concepció de la infinitud: elsnombres aleph, que permeten comparar de manera significativa la mida de conjunts infinitament grans.
Molts objectes matemàtics, com ara elsconjunts de nombres i lesfuncions, presenten una estructura interna. Les propietats estructurals d'aquests objectes s'investiguen en l'estudi delsgrups,anells,cossos i altres sistemes abstractes, que són en si mateixos objectes d'aquests. Aquest és el camp de l'àlgebra abstracta. Aquí, un concepte important és el devector, que es generalitza en elsespais vectorials i s'estudia enàlgebra lineal. L'estudi dels vectors combina tres de les àrees fonamentals de les matemàtiques: la quantitat, l'estructura i l'espai. Elcàlcul vectorial expandeix el camp en una quarta àrea fonamental, la del canvi.
L'estudi de l'espai comença amb lageometria –en particular, amb lageometria euclidiana. Latrigonometria combina l'espai i els nombres, i abasta el ben conegutteorema de Pitàgores. L'estudi modern de l'espai generalitza aquestes idees per a incloure geometria de més de tres dimensions,geometries no euclidianes (que tenen un paper central en larelativitat general) i entopologia. La quantitat i l'espai conjuntament juguen un rol important en lageometria analítica, lageometria diferencial, i lageometria algebraica. Dins la geometria diferencial hi ha els conceptes defibrat vectorial i càlcul devarietats. Dins la geometria algebraica hi ha la descripció d'objectes geomètrics com a conjunts i solució d'equacionspolinòmiques, de manera que s'hi combinen els conceptes de quantitat i d'espai, i també l'estudi delsgrups topològics, que combinen l'estructura i l'espai. Elsgrups de Lie es fan servir per a estudiar l'espai, l'estructura, i el canvi. Latopologia, amb totes les ramificacions que té, potser ha estat l'àrea amb més creixement de les matemàtiques del segle xx; inclou laconjectura de Poincaré (que ja fa molt temps que es manté) i el controvertitteorema dels quatre colors, la demostració del qual, feta per ordinador, no ha estat verificada mai per un humà.
Entendre i descriure el canvi és un tema comú de lesciències naturals, i elcàlcul infinitesimal va ser desenvolupat com una eina potent per a investigar-lo. Lesfuncions sorgeixen aquí, com un concepte central que descriu una quantitat que canvia amb el temps. L'estudi rigorós dels nombres reals i de les funcions reals es coneix com aanàlisi real, junt amb l'anàlisi complexa, que és el camp equivalent per als nombres complexos. Lahipòtesi de Riemann, una de les qüestions obertes fonamentals en matemàtiques, es planteja a partir de l'anàlisi complexa. L'anàlisi funcional para atenció als espais de funcions, que típicament són de dimensió infinita. Una de les moltes aplicacions de l'anàlisi funcional és lamecànica quàntica. Molts problemes porten de manera natural a una relació entre una quantitat i el canvi d'aquesta mateixa quantitat, i aquestes relacions s'estudien com aequacions diferencials. Molts fenòmens naturals es poden descriure com asistemes dinàmics; lateoria del caos precisa la forma en què molts d'aquests sistemes exhibeixen un comportament impredictible, tot i que continua sentdeterminista.
La lògica matemàtica es preocupa d'encabir les matemàtiques en un marc rígid d'axiomes i estudiar els resultats d'aquest marc. Com a tal, és la llar delsegon teorema d'incompletesa de Gödel, potser el resultat de la lògica més àmpliament reconegut, el qual (parlant informalment) implica que capsistema formal que contingui l'aritmètica bàsica, si ésraonable (això vol dir que tots els teoremes que s'hi poden demostrar són veritat), és necessàriamentincomplet (això vol dir que hi ha teoremes vertaders que no es poden demostraren aquest sistema). Sigui quina sigui la col·lecció d'axiomes de la teoria de nombres, Gödel va mostrar la manera de construir una afirmació en lògica formal que és un fet vertader en teoria de nombres, però que no és el resultat d'aquells axiomes. Per tant, cap sistema formal és una verdadera axiomatització de tota la teoria de nombres. La lògica moderna es divideix entre lateoria de la recurrència, lateoria de models i lateoria de la demostració, i està lligada estretament a lainformàtica teòrica.
Matemàtica discreta és el nom comú que es dona a un conjunt de camps de les matemàtiques que es fan servir principalment eninformàtica teòrica. Això inclou lateoria de la computabilitat, lateoria de la complexitat, i lateoria de la informació. La teoria de la computabilitat examina les limitacions de diversos models d'ordinador, incloent-hi el model conegut més potent: lamàquina de Turing. La teoria de la complexitat és l'estudi de la tractabilitat per ordinador; alguns problemes, tot i ser teòricament resolubles per ordinador, són tan costosos en termes de temps o d'espai de memòria que és probable que resoldre'ls continuï sense ser factible en la pràctica, fins i tot amb el ràpid avenç en elmaquinari dels ordinadors. Finalment, la teoria de la informació estudia temes com ara la quantitat de dades que es poden emmagatzemar en un mitjà donat i, per tant, conceptes tals com lacompressió de dades, i l'entropia entermodinàmica iteoria de la informació.
Les matemàtiques aplicades tracten l'ús d'eines matemàtiques abstractes per a resoldre problemes concrets a lesciències, l'economia i altres àrees del coneixement. Un camp important de les matemàtiques aplicades és l'estadística, que fa servir lateoria de la probabilitat com a eina i permet la descripció, l'anàlisi i la predicció de fenòmens en què l'atzar hi té un paper important. La majoria d'experiments, enquestes i estudis d'observació requereixen l'ús de l'estadística. L'anàlisi numèrica recerca els mètodes informàtics per a resoldre eficientment una àmplia gamma de problemes matemàtics que típicament són massa complexos per a la capacitat numèrica humana; inclou l'estudi de l'error d'arrodoniment o altres fonts d'error encàlcul numèric.
Les matemàtiques no són un sistema intel·lectualment tancat, en què tot ja estigui fet. Encara existeixen una gran quantitat de problemes esperant una solució, així com una infinitat de problemes esperant la seva formulació.
Les matemàtiques no volen dircomptabilitat. Si bé els càlculs aritmètics són importants per als comptables, els avenços en les matemàtiques abstractes difícilment canviaran la manera de portar els llibres.
Les matemàtiques no volen dirnumerologia. La numerologia és unapseudociència que utilitza l'aritmètica modular per a passar de noms i dates a nombres als quals s'atribueix emocions o significats esotèrics, basats en la intuïció.
Lamedalla Chern. Va ser introduïda el 2010 per a reconèixer els assoliments durant la vida del matemàtic. Aquesta s'atorga per les contribucions dins d'un camp específic, com pot ser la innovació o la resolució d'un problema determinat.
Benson, Donald C.,The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies, Oxford University Press, USA; New Ed edition (December 14, 2000).ISBN 0-19-513919-4.
Boyer, Carl B.,A History of Mathematics, Wiley; 2 edition (March 6, 1991).ISBN 0-471-54397-7. — A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.
Courant, R. and H. Robbins,What Is Mathematics? : An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, USA; 2 edition (July 18, 1996).ISBN 0-19-510519-2.
Einstein, Albert.Sidelights on Relativity (Geometry and Experience). P. Dutton., Co, 1923.
Eves, Howard,An Introduction to the History of Mathematics, Sixth Edition, Saunders, 1990,ISBN 0-03-029558-0.
Gullberg, Jan,Mathematics—From the Birth of Numbers. W. W. Norton & Company; 1st edition (October 1997).ISBN 0-393-04002-X. — An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.
Hazewinkel, Michiel (ed.),Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. — A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM, andonline.
