La massa es mesura enquilograms en elsistema internacional. En l'antic sistemaCGS, la unitat de massa també és elgram. En la física de partícules, lamassa en repòs o invariant d'una partícula s'expressa mitjançant el seu equivalent en energia (amb la famosa fórmula deE=mc²) expressada enelectró volts (eV). Per exemple, unelectró té una massa aproximada de:
En física, elquilogram és la unitat de massa, però la utilització en la vida corrent dequilogram és una abreviatura pelpes d'un cos que té la massa d'un quilogram anivell del mar; habitualment, s'utilitza en moltes situacions quotidianes elquilogram força com una mesura de laforça que equival alpes d'un quilogram de massa, però aquest ús és incompatible amb elsistema internacional d'unitats i s'ha d'evitar en contextos científics. Aquests termes poden ser fàcilment confosos i, per això, és important destacar la distinció següent: la massa i la força són dues magnituds físiques conceptualment diferents, amb diferents unitats de mesura, respectivament elquilogram per a la massa i elnewton per a la força. I cal subratllar el fet que elpes d'un objecte és una força; no es tracta d'una propietat física intrínseca de l'objecte com sí que ho és la massa.
Max Planck proposà el seu sistema d'unitats naturals l'any1899, amb la idea de simplificar els càlculs i les equacions de tal manera que les cincconstants físiques fonamentals prenguessin el valor 1.
Segons aquest sistema, la massa de Planck (m p) té el valor:
en què mp és la massa de Planck, és la constant de Planck dividida per 2π, c és lavelocitat de la llum en el buit, (en termes de les unitats delSI)G = (6,674215 ± 0,000092)·10-11 N·m 2/kg².
Aquesta quantitat de massa té un valor de 2,177·10-8 kg.
La massa de Planck és d'una escala aproximadament humana, perquè ve a ser la d'unapuça.
Enmecànica clàssica o newtoniana, estrictament parlant, la massa es refereix a dos conceptes:
La massa inercial és una mesura de lainèrcia d'un objecte, que és la seva resistència a canviar el seu estat demoviment quan se li aplica unaforça. Un objecte amb poca massa inercial canvia el seu moviment fàcilment, mentre que un objecte amb gran massa, no.
La massa gravitativa és una mesura de laforça d'interacció d'un objecte amb laforça gravitatòria. En un mateix camp gravitacional, un objecte amb menor massa gravitatòria experimenta una força menor que un objecte de major massagravitatòria (aquesta quantitat es confon de vegades amb elpes).
Hom ha demostrat experimentalment, amb la màxima precisió amb què es pot mesurar, que la massa inercial i la gravitatòria d'un objecte són iguals, encara que conceptualment es consideren diferents.
A continuació, es discuteixen les definicions i implicacions de cadascuna d'aquestes duesmagnituds.
La massa inercial es determina usant la segona i terceralleis del moviment de Newton. Donat un objecte amb una massa inercial coneguda, podem obtenir la massa inercial de qualsevol altre objecte si aconseguim que tots dos objectes exerceixin unaforça entre si. Segons la tercera llei deNewton, les forces experimentades per cada objecte tindran la mateixamagnitud. Així, podem estudiar com una força actua sobre dos objectes diferents.
Suposem que tenim dos objectes, A i B, amb masses inercials mA (coneguda) i mB (que volem determinar.) Si suposem les massesconstants i aïllem el sistema format pels dos objectes de la resta de l'Univers, de manera que les úniques forces existents siguin les de A sobre B, que denotarem FAB, i la força de B sobre A, que denotarem FBA. Segons la segona llei de Newton,
en què aA i aB són lesacceleracions que experimenten A i B, respectivament. Per a continuar, cal assegurar que les acceleracions no siguinzero, és a dir, que lesforces entre els objectes no siguin nul·les. Això es pot aconseguir, per exemple, fent col·lidir els dos objectes i fent mesures durant lacol·lisió.
La tercera llei de Newton estableix que les dues forces són iguals i oposades, és a dir,
Així, la massa de B (mB) és igual a:
Així, mesurant aA i aB podem determinar mB en termes de mA.S'ha suposat que les masses A i B són constants. Aquesta és una suposició fonamental: la conservació de la massa, i es basa en el fet que suposadament la massa no es pot ni crear ni destruir. En realitat, la massa es pot transformar enenergia: això és una implicació de lateoria de la relativitat especial. De vegades, és útil tractar la massa d'un objecte variant en eltemps: per exemple, la massa d'uncoet decreix en anar-se cremant elcombustible.
Una pilota en caiguda lliure, cada imatge ha estat presa amb l'ajuda d'unestroboscopi amb una freqüència de 20 flaixos per segon. La velocitat de caiguda és independent de la massa de l'objecte.
Considerem un cos, com per exemple una pilota de tennis. Si es deixa la pilota a l'aire, serà atreta cap avall amb una força anomenadaforça pes. Amb l'ajut d'unabalança, es pot veure que els diferents cossos, en general, són atrets per la força pes de manera diferent, és a dir,pesen diferent. La balança es pot utilitzar per a donar una definició operativa de la massa gravitacional: s'assigna una massa unitària a un objecte patró i els altres objectes tindran una massa igual a la quantitat de patrons necessaris per a equilibrar la balança.
La massa gravitacional passiva és unamagnitud física proporcional a la interacció de cada cos amb elcamp gravitacional. En el mateix camp gravitacional, un cos amb massa gravitacional petita experimenta una força inferior a la d'un cos amb massa gravitacional gran: la massa gravitacional és proporcional al pes, però mentre que el pes depèn del camp gravitatori, la massa roman constant. Per definició, podem expressar la força pesP com el producte de la massa gravitacionalmg per un vectorg, anomenatacceleració de la gravetat, depenent del lloc en què es fa la mesura i les seves unitats de mesura dependran de la massa gravitacional. La direcció del vectorg és lavertical.
La massa gravitacional activa d'un cos és proporcional a la intensitat del camp gravitatori que genera. Com més gran sigui la massa gravitacional activa d'un cos, més gran serà el camp gravitatori generat per aquest i, per tant, la força exercida pel seu camp sobre un altre cos; per exemple, el camp gravitatori generat per laLluna és menor que el generat per laTerra perquè la seva massa és menor. La mesura de la massa gravitatòria activa es pot realitzar, per exemple, amb unabalança de torsió com la utilitzada perHenry Cavendish per a la determinació de laconstant gravitacional.
Equivalència entre massa gravitacional activa i passiva
L'equivalència entre la massa gravitacional activa i la passiva és una conseqüència directa de latercera llei de Newton (llei d'acció i reacció): si anomenemF₁₂ el mòdul de la força que el cos 1 exerceix sobre el cos 2,F21 el mòdul de la força que el cos 2 exerceix sobre el cos 1 im1A,m2A,m1P im2P les masses gravitacionals, actives i passives, dels dos cossos. Tenim:
d'on:
Tenint en compte l'arbitrarietat dels cossos, les lleis de la mecànica clàssica determinen l'equivalència substancial entre la massa gravitacional activa i passiva, moltes proves experimentals s'han acumulat amb el temps, com per exemple la de D. F. Bartlett i D. Van Buren del1986, obtinguda utilitzant la diferent composició de l'escorça i el mantell de la Lluna, amb una precisió sobre la igualtat de la proporció entre lamassa gravitacional activa/massa gravitacional passiva de 4×10-12.[2]
D'aquí en endavant, la massa gravitatòria activa i passiva seran identificades per l'únic termemassa gravitacional.
La massa gravitacional és a tots els efectes de la càrrega del camp gravitacional, exactament en el mateix sentit que lacàrrega elèctrica és la càrrega delcamp elèctric: al mateix tempsgenera ipateix els efectes del camp gravitacional. Cal fer notar que un eventual objecte amb massa gravitacional nul·la (com per exemple elsfotons) no patirien els efectes del camp: de fet, una conseqüència de larelativitat general és que qualsevol cos segueix una trajectòria a causa del camp gravitacional.
Equivalència de la massa inercial i massa gravitacional
Elsexperiments han demostrat que les massa inercials i gravitacionals coincideixen, amb un altíssim nivell de precisió. Aquests experiments són essencialment el conegut fenomen, observat per primera volta perGalileu, que un objecte cau amb unaacceleració que no depén de la seua massa (suposant que no existiscafricció). Suposem que tenim un objecte amb masses inercials i gravitacionalsmi img, respectivament. Si lagravetat és l'única força que hi actua, la combinació de lasegona llei de Newton i l'acceleració de la gravetat dona:
i d'aquí tenim:
Llavors, tots els objectes en el mateixcamp gravitatori cauen a la mateixavelocitat si, i només si, la relació entre les masses inercials i gravitacionals és sempre igual a unaconstant fixa. Podem prendre aquesta constant igual a 1, per definició.
L'astronauta de l'Apollo 15 David Randolph Scott deixa caure un martell i una ploma a la superfície de la lluna demostrant la universalitat de la caiguda lliure.
La verificació experimental de l'equivalència entre massa inercial i gravitacional i de la universalitat de la caiguda lliure s'ha realitzat mitjançant l'ús de plans inclinats (Galileu), pèndols (Isaac Newton) o la balança de torsió (Eötvös Loránd).
Unpèndol està format per un fil llarg i lleuger (de massa negligible i inextensible), lligat a un punt superior; a l'extrem inferior s'acobla a un cos, com per exemple una bola metàl·lica. Una mesura delperíode del pèndol proporciona una mesura de la relació entre la massa gravitatòria i la massa inercial del cos: repetint la mesura amb cossos de diferents materials, densitats i mides, es pot verificar si aquesta relació es manté constant o no. La mesura serà més precisa com més petit sigui l'angle màxim d'oscil·lacióθmax.[3]
L'equació de moviment del pèndol vindrà donada per:
Siθ és prou petita tenim:
en què ω és lavelocitat angular del pèndol. El període d'oscil·lació vindrà donar per:
d'on:
Experimentalment,T és constant per a qualsevol massa utilitzada, per això per a qualsevol cos la relaciómi /mg ha de ser constant.
Un experiment molt més precís va ser dut a terme perLoránd Eötvös a partir del1895[4][5] utilitzant una balança de torsió inventada perHenry Cavendish per mesurar laconstant gravitacional. Una balança de torsió està formada per un braç amb dues masses iguals en els extrems, lligada a un punt superior per un fil d'un material apropiat (per exemple, quars). En aplicar una força a les masses, s'aplica unparell de forces al braç pel fet que la força pes de les masses també té un component relacionat amb laforça centrífuga causat per la rotació de laTerra sobre el seu eix, és possible correlacionar la massa inercial i gravitacional, que experimentalment resulten tenir una proporcionalitat directa.
Si el braç de la balança es dirigeix inicialment en direcció est-oest, podem definir un sistema de referència amb l'eix x de sud a nord, l'eix y d'oest a est i l'eix z de baix cap a dalt; α és lalatitud en què té lloc l'experiment. Projectant les forces gravitatòria i centrífuga sobre l'eix z, en el punt d'equilibri tindrem:
que també es pot escriure com:
Si la relació de la massa gravitacional i la massa inercial fos diferent, això implicaria que les masses inertes dels dos cossos serien diferents, però això provocaria una rotació en el plaxy,' a causa de la component horitzontal de la força centrífuga. Els moments de les forces, projectats sobre l'eix horitzontal donen:
Si aquesta relació no tingués verificació, tindríem un parell de forces actuant sobre la balança i, en conseqüència, amb una rotació de l'aparell experimental, invertint les masses, s'obtindria una rotació en la direcció oposada. Eötvös no va notar cap torsió del fil entre els errors experimentals, i va poder establir l'equivalència entre les masses inercials i gravitacionals amb precisió.[6]
En lamecànica clàssica, s'aplica la llei deconservació de la massa amb diverses formulacions. En general, donat unvolum fix de controlV, la variació de la massa continguda en aquest és igual al flux de massa a través de la frontera, és a dir, a través de la superfície tancada que delimita el volumV. En altres paraules, el canvi en la massa d'un sistema és igual a la massa entrant menys la massa sortint, cosa que implica, per exemple, que la massa no pot ser creada ni destruïda, sinó simplement traslladada d'un lloc a un altre. Enquímica,Antoine Lavoisier va establir alsegle xviii que, en unareacció química, la massa dels reactius és igual a la massa dels productes de la reacció.
El principi de conservació de la massa és aplicable amb una bona precisió a l'experiència quotidiana, però deixa de ser vàlid en lesreaccions nuclears i, en general, en tots els fenòmens que involucrenenergies relativistes; en aquest cas, s'emmarca en el principi de conservació de l'energia.
Els objectes ambcàrrega elèctrica tenen unainèrcia més gran que els cossos similars sense carregar. Això s'explica per la interacció de les càrregues elèctriques en moviment amb el camp generat per si mateixes; l'efecte es pot interpretar com un augment de la massa inercial del cos i es pot calcular a partir de lesequacions de Maxwell. La interacció de càrregues elèctriques amb el camp depèn de la geometria del sistema: la inèrcia d'un cos carregat pren un caràctertensorial, en contradicció amb la mecànica clàssica, i per això hem de distingir entre un component paral·lel al moviment i dos components transversals. Això demostra que es pot dividir la massa inercial d'un cos carregat en dues parts, la massa electromagnètica i la massano electromagnètica. Mentre la massa electromagnètica depèn de la geometria del sistema, la massa no electromagnètica tindria les mateixes característiques "estàndards" d'invariància que la massa inercial, i seria la massa inercial si el cos no té càrrega.
El concepte de massa electromagnètica existeix en lateoria de la relativitat especial i en lateoria quàntica de camps.[7] La massa electromagnètica va tenir una gran importància en la història de la física entre els segles xix ixx a causa de la temptativa, duta a terme principalment perMax Abraham iWilhelm Wien, sobre el treball experimental previ deWalter Kaufmann, per obtenir la massa inercial només de la inèrcia electromagnètica; aquesta interpretació de la inèrcia va ser abandonada més endavant amb l'acceptació de lateoria de la relativitat; experiments més precisos, realitzats per primera vegada perA. H. Bucherer el 1908, van mostrar que les relacions correctes per a la massa longitudinal i transversal no eren les indicades per Abraham, sinó perHendrik Lorentz (vegeu l'apartat següent).
En larelativitat especial, el termemassa es refereix habitualment a lamassa en repòs de l'objecte, que és la seva massa newtoniana tal com la mesura un observador que es mou amb l'objecte. Lamassa invariant és un altre nom per a la massa en repòs de partícules individuals. Tanmateix, la massa invariant, més general (i que es calcula amb una fórmula més complicada), també es pot aplicar a sistemes de partícules en moviment relatiu, i a causa d'això, sovint es reserva a sistemes que consisteixen en partícules d'alta energia molt elevades. La massa invariant d'un sistema és la mateixa per a tots els observadors i sistemes de referència inercials, i no es pot destruir i, per tant, es conserva sempre que el sistema romangui tancat. En aquest cas, "tancat" significa que es traça un límit idealitzat al voltant del sistema, i no es permet que ni la massa ni l'energia el travessin. En la mateixa mesura en què l'energia és conservada en els sistemes tancats, les definicions relativistes de la massa són quantitats que també es conserven; no canvien amb el temps, encara que alguns tipus de partícules es converteixin en d'altres.
En sistemes compostos, l'energia d'enllaç sovint ha de ser restada de la massa del sistema no compost, simplement perquè aquesta energia té massa, i aquesta massa és restada del sistema quan és alliberada en el moment de la unió. La massa no es conserva en aquest procés perquè el sistema no roman tancat durant el procés d'unió. Un exemple familiar és l'energia d'enllaç delsnuclis atòmics, que apareix com a altres tipus d'energia (com ara, rajos gamma) quan es formen els nuclis, i (després de ser alliberada) resulta ennúclids que tenen menys massa que les partícules lliures (nucleons) de les quals es componen.
Mentre la velocitat del cos sigui molt menor que la de la llum, és possible determinar la massa d'un objecte com la relació entre la força i l'acceleració, Però a altes velocitats, la relació entre la forçaF i l'acceleracióa del cos depèn en gran manera de la seva velocitat en el sistema de referència escollit, o més aviat delfactor de Lorentz relatiu a la velocitat a la qual es troba el cos: sobretot, si fem tendir la velocitat cap a l'infinit, la relació divergeix. La relació entre la forçaF i l'acceleracióa d'un cos amb massa en repòs no nul·la, amb velocitatv al llarg de l'eixx en un sistema de referència inercial, s'obté mitjançant l'expressió dels components espacials de la quadriacceleració i quadriforça del sistema de referència:
Substituint, amb passos simples, obtenim les relacions següents, degudes aHendrik Lorentz:
Si la velocitat del cos és molt menor que la velocitat de la llumc, el factor de Lorentzγ tendirà a 1; per això, la massa en repòs del cos és exactament equivalent a la massa inercial.
Més enllà del concepte de massa en repòs, en el context de larelativitat especial, hi ha hagut històricament altres definicions de la massa. També s'utilitza el termemassa relativista, que és la quantitat total d'energia en un cos o sistema, la relació entre laquantitat de moviment i la velocitat. La massa relativista (d'un cos o sistema de cossos) inclou una contribució de l'energia cinètica del cos, i és més gran com més ràpidament es mogui el cos, de manera que, a diferència de la massa invariant, la massa relativista depèn del sistema de referència de l'observador. Tanmateix, en un sistema de referència donat i en un sistema tancat, la massa relativista també és una magnitud que es conserva.
Si tractem d'identificar la massa com una relació entre la força i l'acceleració, cal distingir entremassa longitudinal imassa transversal, conceptes introduïts pel físic alemanyMax Abraham;[8] cal fer notar que aquesta distinció entre els components de la massa és anàloga al cas de la massa electromagnètica. Tant la massa relativista de les masses longitudinal i transversal no són considerades una bona definició de la massa en tant que depenen del sistema de referència en què es mesura la massa, i avui dia són considerats obsolets. Utilitzant aquests conceptes, el sistema d'equacions de dalt es converteix en:
en què γ és el factor de Lorentz relatiu a la velocitat del cos. Si mesurem l'energia d'un cos immòbil, anomenadaenergia de repòsE0, obtenim:
Aquesta equació estableix una correspondència entre lamassa en repòs d'un cos i la seva energia: en altres paraules, cada cos ambmassa en repòs té unaenergia de repòs no nul·laE0 deguda únicament al fet de tenir massa.
Aquesta equació també permet incorporar el principi de conservació de la massa al deconservació de l'energia: per exemple, l'energia de laSol es deu a lesreaccions termonuclears en les quals lamassa en repòs delsàtoms que participen en la reacció és major que la massa dels productes de la reacció, però es conserva l'energia total pel fet que eldefecte de massa es converteix en energia (cinètica) i és alliberada successivament en forma defotons ineutrins, o en les col·lisions amb altres àtoms.
L'equació implica que la massa inercial total d'un sistema aïllat, en general, no es conserva.[9] La conservació de la massa en la mecànica clàssica pot ser interpretada com a part de la conservació d'energia quan no es produeixen reaccions nuclears o subnuclears que impliquin canvis significatius en la suma de les masses en repòs del sistema; per contra, donada la petita mida del defecte de massa en enllaços químics, la massa gairebé es conserva en les reaccions químiques.
En la mecànica relativista, tenim una extraordinària relació que lliga lamassa en repòs d'un cos, la sevaenergia i la sevaquantitat de moviment. De la definició de l'energia s'obté:
D'altra banda, el vector és un escalarm per unaquadrivelocitat: lanorma de Minkowski d'un vector com aquest sempre val -m²c²,[10] per tant, anomenantp lanorma euclidiana del vector tridimensional quantitat de moviment (és a dir, la intensitat de la quantitat de moviment habitual multiplicat pel factor γ):
Substituint la darrera equació obtenim la que busquem:
A partir d'aquesta equació, es pot observar que les partícules sense massa no poden tenir una energia/quantitat de moviment diferent de zero. En canvi, en lamecànica clàssica, una petita força produiria una acceleració infinita a una partícula hipotètica de massa nul·la; però, tant la seva energia cinètica com la quantitat de moviment seguirien sent nul·les. En larelativitat especial, quanm = 0, la relació se simplifica en:
.
Per exemple, per a unfotó tindríem, en què ν és lafreqüència del fotó: la quantitat de moviment del fotó seria igual a:
↑Si l'amplitud de l'oscil·lació no és petita, és possible considerar algunes correccions a la fórmula del període en funció deθmax. La fórmula exacta del període, vàlida per a qualsevol angle, és:
↑Però es conserva, la massa relativista. SiE és una constant, aleshores també ho ésmrel =E / c². Aquesta és una de les raons per la que alguns científics prefereixen utilitzar el concepte de massa relativista. Vegeu per exemple l'articleMass & EnergyArxivat 2012-07-21 aWayback Machine. de Q. ter Spill.
