En l'època de Weierstrass no es disposava de definicions clares sobre els fonaments del càlcul i, per tant, no era possible demostrar correctament els teoremes. Els treballs previs de Cauchy iBolzano quedaven poc fonamentats precisament per aquesta ambigüitat en les definicions bàsiques.[6] Weierstrass es proposà fonamentar el càlcul a partir de definicions rigoroses; de fet les definicions utilitzades avui en dia de límit, continuïtat i derivada són pràcticament les proposades per ell. Amb les noves definicions, aconseguí demostrar rigorosament teoremes com elteorema del valor intermedi, elteorema de Bolzano-Weierstrass i elteorema de Heine-Borel.[7]
Weierstrass era fill de Wilhelm Weierstrass, un funcionari del govern, i de Theodora Vonderforst, tots dos catòlicsrenans. El seu interès per les matemàtiques va començar mentre era estudiant de secundària al Theodorianum dePaderborn.[9] Va ser enviat a laUniversitat de Bonn després de graduar-se per preparar-se per a un càrrec governamental. Com que els seus estudis havien de ser en els camps del dret, l'economia i les finances, immediatament va entrar en conflicte amb les seves esperances d'estudiar matemàtiques. Va resoldre el conflicte fent poca atenció al seu curs d'estudis previst, però continuant els estudis privats de matemàtiques. El resultat va ser que va deixar la universitat sense títol. Després va estudiar matemàtiques a l'Acadèmia de Münster (que fins i tot llavors era famosa per les matemàtiques) i el seu pare va poder obtenir una plaça per a ell en una escola de formació de professors aMünster. Més tard va ser certificat com a professor en aquella ciutat. Durant aquest període d'estudi, Weierstrass va assistir a les classes deChristoph Gudermann i es va interessar perles funcions el·líptiques.[10]
El 1843 va ensenyar a Deutsch Krone aPrússia Occidental (actualment Wałcz, aPolònia) i des de 1848 va ensenyar alLyceum Hosianum deBraunsberg (actualment també a Polònia). A més de les matemàtiques, també va ensenyar física i botànica.[11]
Weierstrass podria haver tingut un fill il·legítim anomenat Franz amb la vídua del seu amicCarl Wilhelm Borchardt.[12]
Després de 1850 Weierstrass va patir un llarg període de malaltia, però va poder publicar articles matemàtics que li van portar fama i distinció. LaUniversitat de Königsberg li va atorgar un títol de doctor honoris causa el 31 de març de 1854.[13] El 1856 va ocupar una càtedra alGewerbeinstitut de Berlín (un institut per a l'educació dels treballadors tècnics que més tard es fusionaria amb laBauakademie per formar laUniversitat Tècnica de Berlín).[14] El 1864 esdevingué professor a la Universitat Friedrich Wilhelm de Berlín, que més tard esdevingué laUniversitat Humboldt de Berlín.
Cenotafi commemoratiu de Weierstrass al cementiri de la catedral St. Hedwig de Berlín: la seva tomba va ser desmantellada i les seves despulles perdudes.
El 1870, a l'edat de cinquanta-cinc anys, Weierstrass va conèixerSófia Kovalévskaia, de qui va ser tutor privat després de no aconseguir la seva admissió a la Universitat.[15] Mantenien una fructífera relació intel·lectual, però personalment, problemàtica, que “transcendia amb escreix la relació habitual professor-alumne”. Es va dir que la mala interpretació d'aquesta relació i la mort prematura de Kovalévskaia el 1891 van contribuir a la malaltia posterior de Weierstrass. Va estar immòbil durant els últims tres anys de la seva vida i va morir a Berlín d'unapneumònia.[16]
Weierstrass estava interessat en lasolidesa del càlcul, i en aquell moment hi havia definicions una mica ambigües dels fonaments del càlcul de manera que els teoremes importants no es podien demostrar amb prou rigor. Tot i queBolzano havia desenvolupat una definició raonablement rigorosa d'un límit ja el 1817 (i possiblement fins i tot abans), la seva obra va romandre desconeguda per a la major part de la comunitat matemàtica fins anys més tard, i molts matemàtics només tenien definicions vagues de límits icontinuïtat de les funcions.
La idea bàsica darrere de les proves delta-epsilon es troba, probablement, per primera vegada a les obres deCauchy a la dècada de 1820.[17] Cauchy no va distingir clarament entre continuïtat i continuïtat uniforme en un interval. En particular, en el seuCours d'analyse de 1821, Cauchy va argumentar que el límit (puntual) de les funcions contínues (puntual) era en si mateix (puntual) continu, una afirmació que és falsa en general. L'afirmació correcta és més aviat que ellímituniforme de les funcions contínues és continu (també, el límit uniforme de les funcions contínues uniformement és uniformement continu). Això requeria el concepte deconvergència uniforme, que va ser observat per primera vegada pel conseller de Weierstrass,Christoph Gudermann, en un article de 1838, on Gudermann va assenyalar el fenomen, però no el va definir ni el va elaborar. Weierstrass va veure la importància del concepte, i tant el va formalitzar com l'aplicà àmpliament als fonaments del càlcul.
La definició formal de continuïtat d'una funció, tal com la fórmula Weierstrass, és la següent:
és contínua a si tal que per a cada tot en el domini de,
En català senzill, és contínua en un punt si per a tot prou a prop de, el valor de la funció està molt a prop, on la restricció "prou a prop" normalment depèn de la proximitat desitjada de a. Utilitzant aquesta definició, va demostrar elteorema del valor intermedi. També va demostrar elteorema de Bolzano-Weierstrass i el va fer servir per a estudiar les propietats de les funcions contínues en intervals tancats i acotats.
Entre moltes altres contribucions, Weierstrass va formalitzar la definició de lacontinuïtat d'una funció, va demostrar el teorema delvalor intermedi i elde Bolzano–Weierstrass i va utilitzar aquest últim per estudiar les propietats de les funcions contínues en intervals acotats tancats.
Weierstrass també va fer avenços en el camp delcàlcul de variacions. Usant l'aparell d'anàlisi que va ajudar a desenvolupar, Weierstrass va poder donar una reformulació completa de la teoria que va obrir el camí per a l'estudi modern del càlcul de variacions. Entre diversos axiomes, Weierstrass va establir una condició necessària per a l'existència deforts extrems de problemes variacionals. També va ajudar a idear la condició de Weierstrass-Erdmann, que dona condicions suficients perquè un extrem tingui una cantonada al llarg d'un extrem determinat i permet trobar una corba de minimització per a una integral donada.
Ortíz Campos, Francisco José; Ortíz Carecedo, Francisco Javier; Ortíz Carecedo, Francisco José.Cálculo integral (en castellà). Grupo Editorial Patria, 2020.ISBN 978-607-550-282-3.
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Karl Weierstrass» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.
Biermann, Kurt R. «Weierstrass, Karl Theodor Wilhelm» (en anglès). Complete Dictionary of Scientific Biography, 2008. [Consulta: 27 desembre 2016].
Weisstein, Eric W. «Weierstrass, Karl - Wolfram ScienceWorld» (en anglès). Eric Weisstein's World of Biography. Wolfram Science World, 2007. [Consulta: 23 novembre 2013].
