La integral definida d'una funció representa l'àrea limitada per la gràfica de la funció amb signe positiu quan la funció té valors positius i negatiu quan en té de negatius.
El concepte d'integració és un concepte fonamental de lesmatemàtiques avançades, especialment en els camps delcàlcul i de l'anàlisi matemàtica. Bàsicament, unaintegral és una generalització de lasuma d'infinits sumatoris, infinitament petits.Unaintegral assigna números a funcions d'una manera que pot descriure el desplaçament, l'àrea, el volum i altres conceptes que sorgeixen combinant dades infinitesimals. La integració és una de les dues principals operacions decàlcul, amb la seva inversa,derivació, que és l'altra.
és igual a l'àrea de la regió del plaxy limitada entre lagràfica def, l'eixx, i les línies verticalsx =a ix =b, on es resten les àrees que estan per sota de l'eixx.
La paraula "integral" també es pot referir a la noció defunció primitiva, és a dir, una funcióF, laderivada de la qual és la funció donadaf. En aquest cas s'anomenaintegral indefinida, mentre que les integrals tractades en aquest article són lesintegrals definides. Alguns autors conserven una distinció entre primitives i integrals indefinides.
Els principis de la integració varen ser formulats perNewton iLeibniz a finals delseglexvii. A través delteorema fonamental del càlcul, que varen desenvolupar tots dos de forma independent, la integració es connecta amb laderivació, i la integral definida d'una funció es pot calcular fàcilment un cop se'n coneix una primitiva. Les integrals i les derivades esdevenen eines bàsiques delcàlcul, amb nombroses aplicacions en ciència i enginyeria.
A començaments delseglexix,Bernhard Riemann va donar una definició rigorosa de la integral. Es basa en unlímit que aproxima l'àrea d'una regió curvilínia a base de partir-la en petits bocins verticals. Posteriorment varen començar a aparèixer nocions més sofisticades de la integral, on s'han generalitzat els tipus de les funcions i els dominis sobre els quals es fa la integració. Laintegral curvilínia es defineix per funcions de dues o tres variables, i l'interval d'integració[a,b] se substitueix per una certacorba que connecta dos punts del pla o de l'espai. En unaintegral de superfície, la corba se substitueix per un bocí d'unasuperfície a l'espai de tres dimensions. Els conceptes moderns d'integració es basen en la teoria matemàtica abstracta coneguda com ateoria de la mesura, que va desenvoluparHenri Lebesgue a principis delseglexx.
Les integrals de lesformes diferencials juguen un rol fonamental en lageometria diferencial moderna. Aquestes generalitzacions de la integral varen sorgir primer a partir de les necessitats de lafísica, i tenen un paper important en la formulació de moltes lleis físiques com, per exemple, les de l'electromagnetisme.
La integració es pot resseguir en el passat fins a l'antic Egipte,circa 1800 aC, amb elPapir de Moscou, on es demostra que ja es coneixia una fórmula per calcular el volum d'untronc piramidal.[1][2] La primera tècnica sistemàtica documentada capaç de determinar integrals és elmètode d'exhaustió d'Èudox (c.370 aC), que mirava de trobar àrees i volums a base de partir-los en un nombre infinit de formes per les quals l'àrea o el volum fossin coneguts. Aquest mètode va ser desenvolupat i usat més endavant perArquimedes, que el va emprar per calcular àrees de paràboles i una aproximació a l'àrea d'un cercle. Mètodes similars varen ser desenvolupats de forma independent a laXina al voltant delsegleiii perLiu Hui, que els va fer servir per trobar l'àrea del cercle. Més tard,Zu Chongzhi va fer servir aquest mètode per trobar el volum d'unaesfera.[2] Algunes idees de càlcul integral es troben alSiddhanta Shiromani, un llibre d'astronomia delseglexii del matemàticindiBhaskara II.
Fins alseglexvi no varen començar a aparèixer avenços significatius sobre el mètode d'exhaustió. En aquesta època, d'una banda, el treball deCavalieri amb el seumètode dels indivisibles i, de l'altra, els treballs deFermat, varen començar a desenvolupar els fonaments del càlcul modern. A inicis delseglexvii, es varen produir nous avenços amb les aportacions deBarrow iTorricelli, que varen presentar els primers indicis d'una connexió entre la integració i laderivació.
Els principals avenços en integració varen venir alseglexvii amb el descobriment delteorema fonamental del càlcul, realitzat de manera independent perNewton iLeibniz. El teorema demostra una connexió entre la integració i la derivació. Aquesta connexió, combinada amb la facilitat (comparativament parlant) del càlcul de derivades, es pot fer servir per calcular integrals. En particular, el teorema fonamental del càlcul permet resoldre una classe més ampla de problemes. També cal destacar tot el marc estructural al voltant de les matemàtiques que varen desenvolupar també tots dos, Newton i Leibniz; l'anomenatcàlcul infinitesimal va permetre d'analitzar, de forma precisa, funcions amb dominis continus. Posteriorment, aquest marc ha esdevingut el càlcul modern, i la notació per les integrals procedeix directament del treball de Leibniz.
Encara que Newton i Leibniz varen subministrar un enfocament sistemàtic a la integració, el seu treball està mancat d'un cert nivell de rigor. És memorable l'atac delbisbe Berkeley qualificant elsinfinitesimals com "els fantasmes de les quantitats que s'esvaeixen". El càlcul va adquirir una posició més ferma amb el desenvolupament delslímits i, a la primera meitat delseglexix, va rebre una fonamentació adequada per part deCauchy. La integració va ser rigorosament formalitzada per primera vegada perRiemann, emprant límits. Malgrat que totes les funcions contínues fragmentades i fitades són integrables segons la definició de Riemann en un interval fitat, més tard, es varen considerar funcions més generals per les quals no s'aplica la definició de Riemann. A principis delseglexx,Lebesgue va formular una definició diferent de la integral, basada en lateoria de la mesura, que és aplicable a moltes més funcions i conserva els mateixos resultats per les integrals que es poden calcular segons la definició de Riemann. També es varen proposar altres definicions d'integral, que amplien les definicions de Riemann i Lebesgue.
Isaac Newton, per indicar integració feia servir una petita barra vertical damunt d'una variable, o posava la variable dins d'una caixa. La barra vertical es confonia fàcilment amb o, que Newton feia servir per indicar la derivació, i la notació "caixa" era difícil de reproduir pels impressors; per això, aquestes notacions no varen ser adoptades àmpliament.
La notació moderna de les integrals indefinides va ser presentada perGottfried Leibniz el1675.[3][4] Per indicarsumma (enllatí, "suma" o "total"), va adaptar el símbol integral, "∫", estirant unaS llarga. La notació moderna de la integral definida, amb els límits a dalt i a baix del signe integral, la va fer servir per primer copJoseph Fourier aMémoires de l'Acadèmia Francesa, que va escriure al voltant de 1819–20 i que es va reimprimir en el seu llibre de 1822.[5][6]En la notació matemàtica enàrab modern, que s'escriu de dreta a esquerra, es fa servir un signe integral invertit.[7]
Si una funció té una integral, es diu que ésintegrable. De la funció de la qual es calcula la integral es diu que és l'integrand. De la regió sobre el qual s'integra la funció se'n diu eldomini d'integració. Si la integral no té un domini d'integració, es considera indefinida (la que té domini es considera definida). En general, l'integrand pot ser una funció de més d'una variable, i el domini d'integració pot ser una àrea, un volum, una regió de dimensió superior, o fins i tot un espai abstracte que no té estructura geomètrica en cap sentit usual.
El cas més senzill, la integral d'una funció realf d'una variable realx sobre l'interval [a,b], s'escriu
El signe ∫ és una "S" allargada que representa integració;a ib són respectivament ellímit inferior i ellímit superior de la integració i defineixen el domini d'integració;f és l'integrand, que s'ha d'avaluar en variarx sobre l'interval [a,b]; idx pot tenir diferents interpretacions depenent de la teoria que es faci servir. Per exemple, pot ser vist simplement com la indicació quex és la variable d'integració, com una representació dels pesos en la suma de Riemann, com una mesura (en la integració de Lebesgue i les seves extensions), com un infinitesimal (enanàlisi no estàndard) o com una quantitat matemàtica independent: unaforma diferencial. Casos més complicats poden variar la notació lleugerament.
Les integrals apareixen en moltes situacions pràctiques. Considereu una piscina. Si és rectangular, llavors, a partir de les seves longitud, amplada i alçada, es pot determinar fàcilment el volum d'aigua que pot contenir (per omplir-la), l'àrea de la superfície (per cobrir-la), i la llargada de la seva vora (per lligar-la). Tanmateix, si és oval amb un fons arrodonit, totes aquestes quantitats demanen integrals. En alguns casos pot ser suficient amb aproximacions pràctiques, però en la majoria de casos caldran respostes exactes i rigoroses a aquesta mena de problemes. Posem un exemple:
Aproximacions a la integral de √x entre 0 i 1, amb■ 5 mostres per l'esquerra (a dalt) i■ 12 mostres per la dreta (davall)
Per començar, es considerarà la corbay =f(x) entrex = 0 ix = 1, ambf(x) = √x. La pregunta és:
Quina és l'àrea sota la funcióf, a l'interval des de 0 fins a 1?
D'aquesta àrea (encara desconeguda) se'n dirà laintegral def. La notació per aquesta integral serà
.
Com a primera aproximació, es mira al quadrat unitat donat pels costatsx=0 fins ax=1 iy=f(0)=0 iy=f(1)=1. La seva àrea és exactament 1. Tal com es pot veure el verdader valor de la integral ha de ser d'alguna forma més petit. Reduint l'amplada dels rectangles emprats per fer l'aproximació s'obtindrà un millor resultat; així, es parteix l'interval en cinc passos, emprant per a l'aproximació els punts 0, ¹⁄₅, ²⁄₅, així fins a 1. S'ajusta una caixa cada pas emprant l'alçada del cantó dret de cada bocí de la corba, així √¹⁄₅, √²⁄₅, i així fins a √1 = 1. Sumant les àrees d'aquests rectangles, s'obté una aproximació millor de la integral que s'està buscant,
Fixeu-vos que s'està sumant una quantitat finita de valors de la funcióf, multiplicats per la diferència entre dos punts d'aproximació successius. Es pot veure fàcilment que l'aproximació continua donant un valor més gran que el de la integral. Emprant més passos s'obté una aproximació més ajustada, però no serà mai exacta: si en comptes de 5 subintervals se'n prenen dotze i s'agafa el valor de l'esquerra, tal com es mostra al dibuix, s'obté un valor aproximat per l'àrea, de 0.6203, que en aquest cas és massa petit. La idea clau és la transició des de la suma d'una quantitat finita de diferències de punts d'aproximació multiplicats pels respectius valors de la funció, cap a fer servir passos infinitament fins, oinfinitesimals. La notació
concep la integral com una suma ponderada (denotada per la "S" allargada), dels valors de la funció (com les alçades,y =f(x)) multiplicats per passos d'amplada infinitesimal, els anomenatsdiferencials (indicats perdx).
Pel que fa al càlcul d'integrals, elteorema fonamental del càlcul, degut a Newton i Leibniz, és el lligam fonamental entre les operacions dederivació i integració. Sota condicions adequades, el valor d'una integral sobre una regió, es pot determinar a base de mirar només a la frontera de la regió. Aplicat això a la corba arrel quadrada, s'ha de mirar la funció relacionada, i simplement agafarF(1)−F(0), on 0 i 1 són les fronteres de l'interval [0,1]. (Aquest és un exemple d'una regla general, que diu que perf(x) =xq, ambq ≠ −1, la funció relacionada, l'anomenadaprimitiva ésF(x) = (xq+1)/(q+1).)
Històricament, després que els primers esforços de definir rigorosament els infinitesimals no fructifiquessin, Riemann va definir formalment les integrals com ellímit de sumes ponderades, de forma que eldx suggereix el límit d'una diferència (l'amplada de l'interval). Els efectes de la dependència de la definició de Riemann en els intervals i la continuïtat varen motivar noves definicions, especialment la integral de Lebesgue, que es basa en l'habilitat d'estendre la idea de "mesura" de formes molt més flexibles. Així la notació
Es refereix a una suma ponderada del valors en què es divideix la funció, on μ mesura el pes que s'ha d'assignar a cada valor. (AquíA indica la regió d'integració.) Lageometria diferencial, amb el seu "càlcul de varietats", encara dona una altra interpretació a aquesta notació familiar. Araf(x) idx esdevenen unaforma diferencial, ω =f(x)dx, apareix un nouoperador diferenciald, conegut com laderivada exterior, i el teorema fonamental esdevé el (més general)teorema de Stokes,
Recentment, els infinitesimals han reaparegut amb rigor, a través d'innovacions modernes com l'anàlisi no estàndard. Aquests mètodes no només reivindiquen la intuïció dels pioners, també porten cap a noves matemàtiques, i fan més intuïtiu i comprensible el treball amb càlcul infinitesimal.
Tot i que hi ha diferències entre totes aquestes concepcions de la integral, hi ha una superposició considerable. Així, l'àrea de la piscina oval es pot trobar com una el·lipse geomètrica, com una suma d'infinitesimals, com una integral de Riemann, com una integral de Lebesgue, o com una varietat amb una forma diferencial. El resultat obtingut amb el càlcul serà el mateix en tots els casos.
Hi ha moltes formes de definir formalment una integral, no totes són equivalents. Les diferències existeixen principalment per tractar casos especials que poden no ser integrables amb les altres definicions, però ocasionalment també per motius pedagògics. Les definicions d'integral que es fan servir més habitualment són les integrals de Riemann i les integrals de Lebesgue.
Integral amb el plantejament de Riemann fa una suma basada en unapartició etiquetada, amb posicions de mostreig i amplades irregulars (el màxim en vermell). El verdader valor és 3.76; l'estimació obtinguda és 3.648.
La integral de Riemann es defineix en termes desumatoris de Riemann de funcions respecte departicions etiquetades d'un interval. Sia [a,b] uninterval tancat de la recta real; llavors unapartició etiquetada de [a,b] és una seqüència finita:
Convergència de sumatoris de Riemann a mesura que els intervals es parteixen, quant es mostreja a■ la dreta,■ el mínim,■ el màxim, o■ l'esquerra.
Això divideix l'interval [a,b] eni subintervals [xi−1,xi], cada un dels quals és "etiquetat" amb un punt específicatti de; [xi−1,xi]. Sia Δi =xi−xi−1 l'amplada del subintervali; elpas d'aquesta partició etiquetada és l'amplada del subinterval més gran obtingut per la partició, maxi=1…n Δi. Unsumatori de Riemann d'una funcióf respecte d'aquesta partició etiquetada es defineix com
Així cada terme del sumatori és l'àrea del rectangle amb alçada igual al valor de la funció en el punt especificat del subinterval donat, i de la mateixa amplada que l'amplada del subinterval. Laintegral de Riemann d'una funcióf sobre l'interval [a,b] és igual aS si:
Per tot ε> 0 existeix δ> 0 tal que, per qualsevol partició etiquetada [a,b] amb pas més petit que δ, es té
Quan les etiquetes escollides donen el màxim (o mínim) valor de la funció en el respectiu integral, el sumatori de Riemann esdevé unsumatori de Darboux superior (o inferior), això suggereix l'estreta connexió que hi ha entre la integral de Riemann i laintegral de Darboux.
La integral de Riemann no està definida per un ample ventall de funcions i situacions d'importància pràctica (i d'interès teòric). Per exemple, la integral de Riemann pot integrar fàcilment la densitat per tal d'obtenir la massa d'una biga d'acer, però no es pot adaptar a una bola d'acer que s'hi recolza al damunt. Això motiva la creació d'altres definicions, sota les quals es pot integrar un assortit més ample de funcions.[8] La integral de Lebesgue, en particular, assoleix una gran flexibilitat a base de centrar l'atenció en els pesos de la suma ponderada.
Així, la definició de la integral de Lebesgue comença amb unamesura, μ. En el cas més senzill, lamesura de Lebesgue μ(A) d'un intervalA = [a,b] és la seva amplada,b −a, així la integral de Lebesgue coincideix amb la integral de Riemann quan les dues existeixen. En casos més complicats, els conjunts a mesurar poden estar altament fragmentats, sense continuïtat ni semblança a intervals.
Per explotar aquesta flexibilitat, la integral de Lebesgue inverteix l'enfocament de la suma ponderada. Com ho expressa Folland:[9] "Per calcular la integral de Riemann def, es parteix el domini [a,b] en subintervals", mentre que en la integral de Lebesgue, "de fet el que s'està partint és el recorregut def".
És a dir, s'estableix que la integral def és elsuprem de totes les integrals de funcions esglaonades que són més petites o iguals quef.Una funció mesurable qualsevolf, se separa entre els seus valors positius i negatius a base de definir
Finalment,f és Lebesgue integrable si
I llavors es defineix la integral per
Quan l'espai mètric en el que estan definides les funcions és també unespai topològiclocalment compacte (com és el cas dels nombres reals ℝ), les mesures compatibles amb la topologia en un sentit adequat (mesura de Radon, de les quals la mesura de Lebesgue n'és un exemple) una integral respecte d'elles es pot definir d'un altra manera, es comença a partir de les integrals de lesfuncions contínues ambsuport compacte. De forma més precisa, les funcions compactament suportades formen unespai vectorial que comporta unatopologia natural, i es pot definir una mesura (Radon) com aqualsevol funcionallineal continu d'aquest espai; llavors el valor d'una mesura a una funció compactament suportada, és també, per definició, la integral de la funció. Llavors es continua expandint la mesura (la integral) a funcions més generals per continuïtat, i es defineix la mesura d'un conjunt com la integral de la seva funció característica. Aquest és l'enfocament que prenBourbaki[10] i cert nombre d'altres autors. Per més detalls, vegeumesures de Radon.
El conjunt de les funcions Riemann integrables en un interval tancat [a,b] formen unespai vectorial amb les operacions de suma (la funció suma d'altres dues és la funció que a cada punt li fa correspondre la suma de les imatges d'aquest punt per cada una de les altres dues) i la multiplicació per un escalar. L'operació integració
és unfuncional lineal d'aquest espai vectorial. Així, en primer lloc, el conjunt de funcions integrables es tancat amb lacombinació lineal, i en segon lloc, la integral d'una combinació lineal és la combinació lineal de les integrals,
De forma semblant, el conjunt de les funcions reals Lebesgue integrables en unespai mètricE donat, amb la mesuraμ és tancat respecte de les combinacions lineals i, per tant, formen un espai vectorial, la integral de Lebesgue
és un funcional lineal d'aquest espai vectorial, de forma que
que és compatible amb les combinacions lineals. En aquesta situació, la linealitat se sosté per al subespai de les funcions, la integral de les quals és un element deV (és a dir les integrals "finites"). Els casos més importants sorgeixen quanK ésR,C, o una extensió finita del campQp denombres p-adics, iV és un espai vectorial de dimensió finita sobreK, i quanK=C iV és unespai de Hilbert complex.
La linealitat, conjuntament amb algunes propietat naturals de continuïtat i la normalització per certes classes de funcions "simples", es poden fer servir per donar una definició alternativa d'integral. Aquest és l'enfocament deDaniell pel cas de funcions reals en un conjuntX, generalitzat perBourbaki a funcions que prenen valors en un espai vectorial topològicament compacte. Vegeu Hildebrandt (1953)[11] per una caracterització axiomàtica de la integral.
Es verifiquen diverses desigualtats generals perfuncions Riemann integrables definides en unintervaltancat ifitat [a,b] i es poden generalitzar a altres nocions d'integral (Lebesgue i Daniell).
Fites superiors i inferiors. Una funcióf integrable en [a,b], és necessàriamentfitada a l'interval. Per tant, hi ha dosnombres realsm iM tals quem ≤f (x) ≤M per totx de [a,b]. Atès que els sumatoris superior i inferior def sobre [a,b] són també fitats perm(b −a) iM(b −a) respectivament, d'aquí en resulta que
Desigualtats entre funcions. Sif(x) ≤g(x) per totx de [a,b] llavors cada un dels sumatoris superior i inferior def són fitats inferiorment i superiorment pels sumatoris superior i inferior deg respectivament. Així
Això és una generalització de les desigualtats anteriors, atès queM(b −a) és la integral de la funció constant amb valorM a l'interval [a,b].
Subintervals. Si [c,d] és un subinterval de [a,b] if(x) és no negativa per totx, llavors
Productes i valors absoluts de funcions. Sif ig emprant els seus producte, potències i valor absolut:
Sif és Riemann integrable en [a,b] llavors el mateix és cert per |f|, i
És més, sif ig són les dues Riemann integrables llavorsf ²,g ², ifg són també Riemann integrables, i
Desigualtat de Hölder. Sip iq són dos nombres reals, 1 ≤p,q ≤ ∞ amb 1/p + 1/q = 1, if ig són dues funcions Riemann integrables. Llavors les funcions |f|p i |g|q també són integrables i es compleix ladesigualtat de Hölder:
Pel cas dep =q = 2, la desigualtat de Hölder esdevé la desigualtat de Cauchy–Schwarz.
Desigualtat de Minkowski. Sip ≥ 1 és un nombre real if ig són funcions Riemann integrables. Llavors |f|p, |g|p and |f +g|p són també Riemann integrables i es compleix ladesigualtat de Minkowski:
Una desigualtat anàloga a aquesta per la integral de Lebesgue es fa servir en la construcció delsespais Lp.
En aquesta seccióf és unafuncióreal Riemann integrable. La integral
sobre un interval [a,b] està definida sia ≤b. Això significa que els sumatoris superiors i inferiors de la funcióf s'avaluen sobre una particióa =x0 ≤x1 ≤. .. ≤xn =b els valors de la qualxi són creixents. Geomètricament això significa que la integració té lloc "d'esquerra a dreta", avaluantf dins d'intervals [xi ,xi +1] on l'interval amb un índex més gran queda a la dreta de l'interval amb un índex més petit. Dels valorsa ib, els punts extrems delinterval, se'n diu elslímits d'integració def. Les integrals també es poden definir sia>b:
Inversió dels límits d'integració. sia>b llavors es defineix
Això, amba =b, implica:
Integrals sobre intervals de longitud zero. sia és unnombre real llavors
La primera convenció és necessària al calcular integrals sobre subintervals de [a,b]; la segona diu que una integral sobre un interval degenerat, o unpunt, ha de serzero. Un motiu per la primera convenció és que la integrabilitat def sobre un interval [a,b] implica quef és integrable sobre qualsevol subinterval [c,d], però en particular, les integrals tenen la propietat que:
Additivitat de la integració sobre intervals. sic és qualsevolelement de [a,b], llavors
Amb la primera convenció la relació resultant
queda ben definida per qualsevol permutació cíclica dea,b, ic.
En comptes de veure l'anterior com a convencions, també es pot adoptar el punt de vista que la integració es fa només sobrevarietats orientades. SiM és una tal formam-dimensional orientada, iM' és la mateixa forma amb orientació oposada iω és unam-forma, llavors es té (vegeu més avall per integració de formes diferencials):
Elteorema fonamental del càlcul és l'afirmació que laderivació i la integració són operacions inverses: si unafunció contínua primer s'integra i llavors es deriva, es recupera la funció original. Una conseqüència important, de vegades anomenada elsegon teorema fonamental del càlcul, permet de calcular integrals a base d'emprar unaprimitiva de la funció a integrar.
Teorema fonamental del càlcul. Siaf unafunció real integrable definida en uninterval tancat [a,b]. Si es defineixF a cadax de [a,b] per
LlavorsF éscontínua a [a,b]. Sif és contínua ax de [a,b], llavorsF ésderivable ax, iF ′(x) =f(x).
Segon teorema fonamental del càlcul. Siaf una funció real, integrable definida en un interval tancat [a,b]. SiF és una funció tal queF ′(x) =f(x) per totx de [a,b] (és a dir,F és unaprimitiva def), llavors
Corol·lari. Sif és una funció contínua a [a,b], llavorsf és integrable a [a,b], iF, definida per
Per calcular una integral es pot buscar unaprimitiva de la funció i llavors aplicar elteorema fonamental del càlcul per determinar el valor de la integral. Aquesta tècnica es pot intentar automatitzar mitjançant programes d'ordinador que implementin algorismes d'integració simbòlica. No sempre és possible trobar la primitiva d'una funció i de vegades, tot i que és possible, el resultat és molt complex. Una altra forma de trobar un valor aproximat de la integral és emprant el que s'anomenaquadratura numèrica, que és un conjunt d'algorismes que permeten calcular de forma aproximada el valor de la integral directament sense trobar primer la funció primitiva.
La tècnica més bàsica per calcular integrals d'una variable real es basa en elteorema fonamental del càlcul. Es procedeix de la següent forma:
Escollir una funcióf(x) i un interval [a,b].
Trobar una primitiva def, és a dir, una funcióF tal queF' =f.
Emprant el teorema fonamental del càlcul, suposant que ni l'integrand ni la integral tenensingularitats en el camí d'integració,
Per tant, el valor de la integral ésF(b) −F(a).
Fixeu-vos que la integral no és exactament la primitiva, sinó que el teorema fonamental permet emprar les primitives per avaluar les integrals definides.
El pas difícil d'aquest procés és sovint el de trobar una primitiva def. Rarament és possible donar un cop d'ull a una funció i escriure directament la seva primitiva. Molt sovint, és necessari emprar una de les moltes tècniques que s'han desenvolupat per calcular integrals. La majoria d'aquestes tècniques transformen una integral en una altra que s'espera que sigui més tractable. Aquestes tècniques inclouen:
Fins i tot si aquestes tècniques fallen, encara és possible d'avaluar una integral donada. La següent tècnica més comuna és elcàlcul de residus, mentre que lasèrie de Taylor es pot fer servir de vegades per trobar la primitiva de lesintegrals no elementals; és el que es coneix com el mètode d'integració per sèries. També hi ha moltes formes menys habituals per calcular integrals definides; per exemple laidentitat de Parseval es pot fer servir per transformar una integral sobre una regió rectangular en una suma infinita. En algunes ocasions, una integral es pot avaluar emprant un truc; un exemple d'aquest tipus es pot veure a laintegral de Gauß.
Molts problemes de matemàtiques, física, i enginyeria impliquen integració on es desitja una fórmula explícita per la integral. Amb aquesta finalitat, al llarg dels anys s'han publicat extensestaules d'integrals. Amb l'expansió delsordinadors, molts professionals, educadors, i estudiants s'han fixat en elssistemes de càlcul algebraic per ordinador que han estat dissenyats específicament per desenvolupar tasques tedioses o difícils, incloent integració. La integració simbòlica presenta un repte especial en el desenvolupament d'aquest tipus de sistemes.
Una dificultat matemàtica important de la integració simbòlica és que, en molts casos, una fórmula tancada per la primitiva d'una funció aparentment innocent, simplement no existeix. Per exemple, se sap que les primitives de les funcionsexp (x²),xx i sin (x)/x no es poden expressar amb una fórmula tancada que impliqui nomésfraccions racionals,exponencials funcions,logarítmiques,funcions trigonomètriques,inverses de les funcions trigonomètriques, i les operacions de suma, multiplicació i composició; en altres paraules, cap d'aquestes tres funcions donades és integrable ambfuncions elementals. Lateoria diferencial de Galois dona els criteris generals per determinar quan la primitiva d'una funció elemental és elemental. Desgraciadament, resulta que les funcions amb expressions tancades per les seves primitives són l'excepció en comptes de la regla. En conseqüència, els sistemes de càlcul algebraic per ordinador no poden tenir cap esperança de poder trobar una primitiva per una funció elemental qualsevol construïda de forma aleatòria. Al cantó positiu, si elsblocs constructius de les primitives són fixats d'antuvi, encara és possible de decidir si la primitiva d'una funció donada es pot expressar emprant aquests blocs i les operacions de multiplicació i composició, i de trobar la resposta simbòlica en el cas que existeixi. L'algorisme de Risch, implementat aMathematica i alMaple, fa precisament això per funcions i primitives construïdes a partir de fraccions racionals,radicals, logaritmes i funcions exponencials.
Alguns integrands especials apareixen amb prou freqüència per garantir-ne un estudi especial. En particular, pot ser útil de tenir, en el conjunt de primitives, lesfuncions especials de lafísica (com les funcions deLegendre, lafunció hipergeomètrica, lafunció Gamma i així). Estendre l'algorisme de Risch-Norman de forma que inclogui aquestes funcions és possible però és tot un repte.
La majoria de les persones no són capaces d'integrar aquestes fórmules generals, així, en cert sentit, els ordinadors són més hàbils integrant fórmules altament complicades. És poc probable que les fórmules molt complexes tinguin primitives de forma tancada, per tant fins a quin punt això és un avantatge és una qüestió filosòfica oberta al debat.
Les integrals que es troben en els cursos bàsics de càlcul han estat triades deliberadament per la seva simplicitat; les que es troben en aplicacions reals no sempre són tan avinents. Algunes integrals no es poden trobar exactament, algunes necessiten funcions especials que elles mateixes són tot un repte per calcular-les, i d'altres són tan complexes que trobar la resposta exacta és massa lent. Això motiva l'estudi i l'aplicació de mètodes numèrics per aproximar integrals, els quals, avui en dia fan serviraritmètica de coma flotant enordinadors. Moltes de les idees varen sorgir molt abans, per les calculadores manuals; però la velocitat dels ordinadors de propòsit general han creat la necessitat de millores.
Els objectius de la integració numèrica són exactitud, fiabilitat, eficiència i generalitat. Els mètodes sofisticats poden millorar molt un mètode ingenu en totes quatre mesures (Dahlquist i Björck,;[12] Kahaner, Moler i Nash;[13] Stoer i Bulirsch[14]). Per exemple, la integral
que té la resposta exacta de94⁄25 = 3.76. (en la pràctica ordinària, la resposta no és coneguda per endavant, per tant una tasca important — que no s'explora aquí — és decidir en quin moment una aproximació ja és prou bona.) Un enfocament de "llibre de càlcul" divideix l'interval d'integració en, per exemple, 16 bocins iguals, i calcula els valors de la funció.
Valors de la funció en les posicions
x
−2.00
−1.50
−1.00
−0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
f(x)
2.22800
2.45663
2.67200
2.32475
0.64400
−0.92575
−0.94000
−0.16963
0.83600
x
−1.75
−1.25
−0.75
−0.25
0.25
0.75
1.25
1.75
f(x)
2.33041
2.58562
2.62934
1.64019
−0.32444
−1.09159
−0.60387
0.31734
Mètodes numèrics de quadratura:■ Rectangle,■ Trapezoide,■ Romberg,■ Gauss
Emprant el cantó esquerra de cada bocí, elmètode rectangular suma 16 valors de la funció i multiplica per l'amplada del pas,h, en aquest cas 0.25, i obté una valor aproximat de 3.94325 per la integral. L'exactitud no és impressionant, però formalment el càlcul empra bocins d'amplada infinitesimal, per tant d'entrada això no sembla que hagi de ser motiu de preocupació. Efectivament, doblant repetidament el nombre de passos s'arriba a obtenir una aproximació de 3.76001. Ara bé, han fet falta 218 bocins, un cost computacional gran per una exactitud tan petita; i buscar precisions més grans pot forçar a fer passos tan petits que la precisió aritmètica esdevé un obstacle.
Una aproximació millor substitueix les parts superiors dels rectangles per segments inclinats que toquen la funció als extrems de cada bocí. Aquestmètode trapezial és gairebé igual de fàcil de calcular; suma els 17 valors de la funció, però al primer i al últim els dona un pes de la meitat, i altre cop multiplica per l'amplada del pas. Això millora l'aproximació de forma immediata a 3.76925, que és notablement més exacte. És més, només calen 2¹⁰ bocins per assolir una exactitud de 3.76000, substancialment menys potència de càlcul per obtenir una exactitud comparable.
Elmètode de Romberg construeix el mètode del trapezoide amb un efecte més gran. Primer, la longitud dels passos es parteix de forma incremental, donades les aproximacions trapezoïdals indicades perT(h0),T(h1), i així, onhk+1 és la meitat dehk. Per cada nova mida de pas, només cal calcular la meitat dels valors de la funció; els altres s'agafen de la partició amb la mida prèvia (tal com es mostra a la taula de més amunt). Tanmateix, la idea realment potent és la d'interpolar un polinomi a través de les aproximacions, i extrapolar aT(0). Amb aquest mètode una resposta numèricamentexacta només requereix quatre bocins (cins valors de la funció)! Elpolinomi de Lagrange que interpola {hk,T(hk)}k=0…2 = {(4.00,6.128), (2.00,4.352), (1.00,3.908)} is 3.76+0.148h², produeix el valor extrapolat exacte 3.76 ah = 0.
Per obtenir aproximacions millors, amb laquadratura de Gauss normalment fa falta molta menys feina. En aquest exemple, pot calcular els valors de la funció només a dues posicions dex, ±²⁄√3, llavors dobla cada valor i els suma per obtenir la resposta numèrica exacta. L'explicació d'aquest èxit dramàtic recau en l'anàlisi de l'error i en una mica de sort. Un mètode de Gauss de n punts és exacte per polinomis de fins a graun−1. La funció d'aquest exemple és un polinomi de grau 3, més un terme que s'anul·la perquè els punts finals escollits són simètrics respecte al zero. (L'anul·lació d'aquest terme també beneficia el mètode de Romberg.)
Desplaçant l'interval a l'esquerra en deixa una mica, si la integral és des de −2.25 fins a 1.75, s'elimina la simetria. De totes maneres, el mètode trapezoïdal és més aviat lent, el mètode d'interpolació polinòmica de Romberg és acceptable — Si el nombre de punts és conegut per endavant. La interpolació racional, també pot fer servir les mateixes avaluacions trapezoïdals del mètode de Romberg per tal d'obtenir un efecte més gran.
Comparació del cost de computació dels mètodes de quadratura
Mètode
Trapezoide
Romberg
Racional
Gauss
Punts
1048577
257
129
36
Error relatiu
−5.3×10−13
−6.3×10−15
8.8×10−15
3.1×10−15
Valor
A la pràctica, cada mètode ha d'utilitzar avaluacions extra per tal d'assegurar una fita del error en una funció desconeguda; això tendeix a eliminar alguns avantatges del mètode de Gauss pur, i motiva el popularmètode híbrid de Gauss–Kronrod. La simetria encara es pot explotar a base de dividir la integral en dos intervals, des de −2.25 fins a −1.75 (no simètric), i des de −1.75 fins a 1.75 (simètric). De forma més ampla, laquadratura adaptativa parteix un interval entre bocins basant-se en les propietats de la funció, així els punts de dades es concentren on són més necessaris.
Aquesta introducció breu omet les integrals de dimensió superior (per exemple, càlculs d'àrea i de volum), on alternatives tals com el mètode deintegració de Montecarlo tenen gran importància.
Un text de càlcul no es pot substituir per l'anàlisi numèrica, però la inversa també és certa. Fins i tot el millor codi numèric adaptatiu, de vegades requereix que l'usuari ajudi amb les integrals que necessiten més potència de càlcul. Per exemple, les integrals impròpies poden requerir un canvi de variable o mètodes que puguin evitar que la funció presenti valors infinits; i propietats conegudes com la simetria i la periodicitat poden subministrar avantatges crítics.
Per calcular el valor mitjà m d'unafunció f en uninterval [a,b] es fa servir la següent fórmula:
Fixeu-vos que, si la funció f és unafunció esglaonada amb graons d'igual amplada, aquesta definició coincideix amb lamitjana aritmètica dels valors de la funció. Si els graons tenen amplades diferents, llavors coincideix amb lamitjana aritmètica ponderada on el valor de la funció a cada graó es pondera amb l'amplada del graó. Per tant, aquesta definició es pot entendre com l'extensió natural de la mitjana.
Enfabricació mecànica es fa servir aquesta definició. Si f(x) és la mida d'una superfície física donada per un rugosímetre i aquesta superfície s'ha fabricat pretenent obtenir una superfície plana, llavors el valor m és la cota mitjana de la superfície, per trobar la rugositat mitjana es torna a aplicar la definició sobre la funció g(x)=|f(x)-m|.
Moltes lleis de la física s'expressen en forma d'equacions diferencials en el cas més senzill aquestes equacions diferencials es resolen amb el càlcul d'una primitiva i moltes vegades el resultat final que es busca es troba amb el càlcul d'una integral.
Per exemple, la integral s'aplica per resoldre el problema de la caiguda lliure d'un cos sotmès a lagravetat de laterra. A la Terra, l'acceleració de la gravetat és aproximadamentg = 9,81 m/s². Per tant, un cos que cau lliurement començant la seva caiguda amb velocitat nul·la té una velocitat que ve donada per la següent funció:
El signe negatiu és degut al fet que la gravetat és cap al centre de la terra i els sistemes de referència normalment es trien de forma que la direcció positiva és cap amunt.
Si es vol saber la distància que ha recorregut el cos durant un temps donat T es pot raonar (emprantanàlisi no estàndard) que entorn a cada instant t la velocitat és constant tret de variacions infinitesimals, per tant l'espai recorregut en aquest instant durant un període infinitesimal dt és v(t)dt la suma de tots els espais recorreguts durant tots els instants des de t=0 fins a t=T (el moment en què es vol saber la distància recorreguda) es calcula amb la integral:
.
El resultat d'aquesta integral és:
.
Altres exemples de camps de la física on s'apliquen les integrals:
L'energia consumida en un període és la integral de lapotència durant el temps.
La integració delcabal (metres cúbics per segon) que flueix per un conducte proporciona elvolum de fluid que ha passat pel conducte durant el període d'integració.
Laintegral impròpia té interval no fitats tant al domini com al recorregut.
Una integral de Riemann "pròpia" suposa que l'integrand està definit i és finit en un interval tancat i fitat, els extrems del qual són els límits d'integració. Una integral impròpia apareix quant una o més d'aquestes condicions no se satisfà. En alguns casos questes integrals es poden definir prenent ellímit d'unasuccessió d'integrals de Riemann pròpies sobre intervals successivament més llargs.
Si l'interval no és fitat, per exemple al seu extrem superior, llavors la integral impròpia és el límit quant el punt final tendeix a infinit.
Si l'integrand només està definida en un interval finit semiobert, per exemple (a,b], llavors, altre cop el límit pot subministrar un resultat finit.
Això és, la integral impròpia és ellímit d'integrals pròpies qun un dels punts extrems de l'interval d'integració s'aproxima, ja sigui a unnombre real especificat o a −∞. En casos més complicats, calen límits aIs dos punts extrems o a punts interiors.
Per exemple, la funció integrada des de 0 a ∞ (imatge de la dreta). A l'extrem inferior, a mesura quex s'apropa a 0 la funció tendeix a ∞, i l'extrem superior és ell mateix ∞, tot i que la funció tendeix a 0. Així aquesta és una integral doblement impròpia. Integrada, per exemple, des de 1 fins a 3, amb un sumatori de Riemann ordinari n'hi ha prou per obtenir un resultat de. Per integrar des de 1 fins a ∞, un sumatori de Riemann no és possible. Ara bé, qualsevol límit superior finit, per exemplet (ambt> 1), dona un resultat ben definit,. Aquest resultat té un límit finit quant tendeix a infinit, que és. De forma semblant, la integral des de ¹⁄₃ fins a 1 admet també un sumatori de Riemann, que per casualitat dona altre cop. Substituint ¹⁄₃ per un valor positiu arbitraris (ambs< 1) resulta igualment un resultat definit i dona. Aquest, també té un límit finit quans tendeix a zero, que és. Combinant els límits dels dos fragments, el resultat d'aquesta integral impròpia és
Aquest procés no té l'èxit garantit; un límit pot no existir, o pot ser infinit. Per exemple, sobre l'interval tancat de 0 a 1 la integral de no convergeix; i sobre l'interval obert de l'1 a ∞ la integral de no convergeix.
Laintegral impròpia no està fitada internament, però tots dos límits (per la dreta i per l'esquerra) existeixen.
També pot passar que un integrand no estigui fitat en un punt interior, en aquest cas la integral s'ha de partir en aquest punt, i el límit de les integrals de tots dos cantons han d'existir i han de ser fitats. Així
En a la integral similar
no se li pot assignar un valor d'aquesta forma, atès que les integrals per damunt i per davall de zero no convergeixen independentment l'una de l'altra. (En canvi, vegeuvalor principal de Cauchy.)
Integral doble com el volum limitat per una superfície.
Les integrals es poden calcular sobre regions diferents dels intervals. En general, una integral sobre unconjuntE d'una funcióf s'escriu:
Aquíx no cal que sigui necessàriament un nombre real, sinó que pot ser qualsevol altra quantitat adequada, per exemple, unvector deR3. Elteorema de Fubini demostra que aquestes integrals poden ser reescrites com unaintegral iterada. En altres paraules, la integral es pot calcular a base d'integrar les coordenades una per una.
Si la integral definida d'una funció positiva representa l'àrea de la regió tancada entre la gràfica de la funció i l'eixx, laintegral doble d'una funció positiva de dues variables representa elvolum de la regió compresa entre la superfície definida per la funció i el pla que conté el seudomini.[15] Si el nombre de variables és més gran, llavors la integral representa unhipervolum, el volum d'un sòlid de més de tres dimensions, que no es pot representar gràficament.
Per exemple, el volum delparal·lelepípede de cares 4 × 6 × 5 es pot obtenir de dues maneres:
Amb la integral doble
de la funcióf(x,y) = 5 calculada a la regióD del plaxy que és la base del paral·lelepípede.
Per la integral triple
de la funció constant 1 calculada sobre el paral·lelepípede mateix (tot i que aquest segon mètode també es pot interpretar com l'hipervolum d'un hiperparal·lelepípede de quatre dimensions que té com a base el paral·lelepípede en qüestió i una altura constat de 1, com que l'altura és 1 el volum coincideix amb l'àrea de la base).
Una integral curvilínia acumula elements al llarg d'una corba.
El concepte d'integral es pot estendre a dominis d'integració més generals, tals com les línies corbes i les superfícies. Aquestes integrals es coneixen com integrals curvilínies i integrals de superfície respectivament. Tenen importants aplicacions a física quan es tracta ambcamps vectorials.
Unaintegral curvilínia (anomenada de vegadesintegral de camí) és una integral on lafunció a integrar és avaluada al llarg d'unacorba. Es fan servir diverses integrals curvilínies diferents. En el cas d'una corba tancada també se'n diu unaintegral de contorn.
La funció a integrar pot ser uncamp escalar o uncamp vectorial. El valor de la integral curvilínia és la suma dels valors del camp als punts de la línia, ponderats per alguna funció escalar de la corba (habitualment lalongitud de l'arc o, pel cas d'un camp vectorial, elproducte escalar del camp vectorial per un vectordiferencial de la corba). Aquesta ponderació distingeix les integrals curvilínies de les integrals més senzilles definides sobreintervals.
Moltes fórmules senzilles de la física tenen de manera natural anàlogues contínues en termes d'integrals curvilínies; per exemple, el fet que eltreball sigui igual a laforça multiplicada per la distància es pot expressar (en termes de quantitats vectorials) com:
Que té el seu paral·lel en integral curvilínia:
Que acumula els components vectorials al llarg d'un camí continu, i així troba el treball fet per un objecte en moure's a través d'un camp, com ara un camp elèctric o un camp gravitatori.
La definició de les integrals de superfície descansa en la divisió de la superfície en petits elements de superfície.
Unaintegral de superfície és unaintegral definida calculada sobre unasuperfície (que pot ser unconjunt corbat a l'espai) es pot entendre com laintegral doble anàloga a laintegral curvilínia. La funció a integrar pot ser uncamp escalar o uncamp vectorial. El valor de la integral de superfície és la suma ponderada dels valors del camp a tots els punts de la superfície. Això es pot aconseguir a base de dividir la superfície en elements de superfície, els quals proporcionen la partició pels sumatoris de Riemann.
Com a exemple de les aplicacions de les integrals de superfície, es pot considerar un camp vectorialv sobre una superfícieS; és a dir, per cada puntx deS,v(x) és un vector. Imagineu que es té un fluid fluint a través deS, de forma quev(x) determina la velocitat del fluid al puntx. Elcabal es defineix com la quantitat de fluid que flueix a través deS en una unitat de temps. Per trobar el cabal, cal calcular elproducte escalar dev pel vector unitarinormal a la superfícieS a cada punt, això donarà un camp escalar, integrant aquest camp escalar sobre la superfície:
.
El cabal de fluid d'aquest exemple pot ser d'un fluid físic com l'aigua o l'aire, o d'un flux elèctric o magnètic (en aquest cas rep el nom de flux en comptes de cabal). Així les integrals de superfície tenen aplicacions a lafísica, en particular a lateoria clàssica de l'electromagnetisme.
Es pot considerar quedx¹ fins adxn són objectes formals ells mateixos, més que no pas etiquetes afegides per fer que la integral s'assembli als sumatoris deRiemann. De forma alternativa es poden veure com acovectors, i així unamesura de la "densitat" (per tant integrable en un sentit general). Es diu alsdx¹, …,dxnformes diferencials de grau ubasiques.
Es defineix elproducte exterior, "∧", un operador "multiplicació" bilineal sobre aquests elements, amb la propietatalternant de
per tots els índexsa. Fixeu-vos que l'alternança juntament amb la linealitat implicadxb∧dxa = −dxa∧dxb. Això també assegura que el resultat del producte exterior té unaorientació.
Es defineix el conjunt de tots aquests productes com les 2-formesbàsiques, i de forma similar es defineix el conjunt dels productes de la formadxa∧dxb∧dxc com les 3-formesbàsiques. Unak-forma general és, per tant, una suma ponderada dek-formes, bàsiques on els pesos són les funcions infinitament derivablesf. Totes juntes formen unespai vectorial amb lesk-formes bàsiques com els vectors base, i les 0-formes (funcions infinitament derivables) com el camp d'escalars. El producte exterior s'estén a lesk-formes de la forma natural. SobreRn com a màximn covectors poden ser linealment independents, així unak-forma ambk>n serà sempre zero per la propietat alternant.
A més del producte exterior, també hi ha l'operadorderivada exteriord. Aquest operador fa correspondre a lesk-formes (k+1)-formes. Per unak-forma ω =fdxa sobreRn, es defineix l'acció ded per:
Amb extensió a lesk-formes generals de linealment.
Aquest plantejament més general permet un enfocament de la integració sobrevarietats lliure de coordenades. També permet una generalització natural delteorema fonamental del càlcul, anomenada elteorema de Stokes, que es pot establir com
on ω és unak-forma general, i ∂Ω indica lafrontera de la regió Ω. Així en el cas que ω és una 0-forma i Ω és un interval tancat de la recta real, el teorema de Stokes es redueix alteorema fonamental del càlcul. En el cas que ω sigui una 1-forma i Ω sigui una regió de dimensió 2 en el pla, el teorema es redueix alteorema de Green. De manera similar, emprant, 2-formes, i 3-formes i ladualitat de Hodge, es pot arribar alteorema de Stokes i alteorema de la divergència. D'aquesta forma es pot veure que les formes diferencials subministren una potent visió unificadora de la integració.
↑No hi ha cap prova de com es va assolir el resultat; alguns, entre els quals s'inclouMorris Kline (Mathematical thought from ancient to modern times Vol. I) suggereixen que s'hi va arribar per prova i error.
↑Burton, David M. (2005).The History of Mathematics: An Introduction (6a ed.), McGraw-Hill, pàg. 359,ISBN 978-0-07-305189-5
↑Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899) (Gerhardt, Karl Immanuel, ed.).Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band, Berlin: Mayer & Müller, pàg. 154
↑Cajori, Florian (1929).A History Of Mathematical Notations, Vol. II, Open Court Publishing, pàg. 247–252,ISBN 978-0-486-67766-8
↑Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822).Théorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, père et fils, pàg. §231,Google Llibres
↑Kahaner, David; Moler, Cleve & Nash, Stephen (1989). "Chapter 5: Numerical Quadrature",Numerical Methods and Software, Prentice Hall,ISBN 978-0-13-627258-8
↑Stoer, Josef & Bulirsch, Roland (2002). "Chapter 3: Topics in Integration",Introduction to Numerical Analysis (3a ed.), Springer,ISBN 978-0-387-95452-3
↑El mateix volum es pot obtenir a través d'unaintegral triple — la integral de la funció de tres variables — de la funció constantf(x,y,z) = 1 sobre la regió esmentada abans entre la superfície i el pla, el mateix es pot fer amb una integral doble per calcular una superfície.
Apostol, Tom M.Calculus Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra(en anglès). 2a ed.. John Wiley & Sons,1967.ISBN 978-0-471-00005-1.
(anglès)Saks, Stanisław.Theory of the integral. English translation by L. C. Young. With two additional notes by Stefan Banach. Second revised. Nova York:Dover,1964.
(anglès)Stoer, Josef;Bulirsch, Roland.«Chapter 3: Topics in Integration». A:Introduction to Numerical Analysis. 3a ed.. Springer-Verlag,2002.ISBN 978-0-387-95452-3..
