Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Vés al contingut
Viquipèdial'Enciclopèdia Lliure
Cerca

Hiperboloide

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

L'hiperboloide és lasuperfície de revolució generada per la rotació d'unahipèrbola al voltant d'un dels seus dos eixos de simetria. Depenent de l'eix escollit, l'hiperboloide pot ser d'una o dues fulles.

Per entendre-ho millor, es considera a continuació el cas de la hipèrbola de referència, l'equació és:y=1x{\displaystyle y={\frac {1}{x}}}

Al sistema de coordenades(O,i→,j→){\displaystyle (O,{\vec {i}},{\vec {j}})}.

La revolució voltant de l'eix de simetria vermell genera un hiperboloide connex, mentre que la rotació al voltant de l'eix blau, que travessa dues vegades la hipèrbola, dona un hiperboloide de dos fulls.

Hiperboloide reglat o d'una fulla.

Equacions de l'hiperboloide

[modifica]

Equació Cartesiana

[modifica]

Per trobar les equacions d'aquestes superfícies, resulta més còmode treballar en el sistema de coordenades(O,u→,v→){\displaystyle (O,{\vec {u}},{\vec {v}})}, els eixos dels quals són els de simetria. Siguin X i Y les coordenades en aquest sistema, llavors tenim la igualtat:

Xu→+Yv→=xi→+yj→{\displaystyle X{\vec {u}}+Y{\vec {v}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}}

és a dir:

X(i→+j→)+Y(−i→+j→)=xi→+yj→.{\displaystyle X({\vec {i}}+{\vec {j}})+Y(-{\vec {i}}+{\vec {j}})=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}.}

Després, identificant els coeficients de sengles vectors:

{X−Y=xX+Y=y{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}X-Y=x\\X+Y=y\end{matrix}}\right.}

L'equació inicial s'escriu també xy = 1, és a dir (X - Y) · (X + Y) = 1, llavors:
X2−Y2=1{\displaystyle \,X^{2}-Y^{2}=1}

Si es gira al voltant de l'eix Y, devector directorv→{\displaystyle {\vec {v}}}, llavors s'atorga a la tercera coordenada Z el mateix paper que a X, per tant Z i X apareixen sota la mateixa forma a l'equació, concretament precedit del signe «+ »:

x2+z2−y2=1{\displaystyle \,x^{2}+z^{2}-y^{2}=1}

De la mateixa manera, si gira al voltant de l'eixX{\displaystyle X}, de vector directoru→{\displaystyle {\vec {u}}}, llavorsZ{\displaystyle Z} apareix sota la mateixa manera queY{\displaystyle Y} a l'equació, és a dir amb un signe «-»:

x2−y2−z2=1{\displaystyle \,x^{2}-y^{2}-z^{2}=1}

Reagrupant les coordenades del mateix signe, canviant els signes si hi ha 2 negatius, i reanomenant les variables per obtenir l'ordre habitualx,y,z,{\displaystyle x,y,z,}, s'obté una d'aquestes dues equacions:

x2+y2−z2=1{\displaystyle \,x^{2}+y^{2}-z^{2}=1} (un full)x2+y2−z2=−1{\displaystyle \,x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1} (dos fulls)

Es generalitzen aquests dos exemples així: un hiperboloide és unaquàdrica l'equació de la qual és, en un sistema de coordenades adequat, (amb el centre situat al centre de simetria, els plans dels quals són plans de simetria de la superfície), de la forma:

x2a2+y2b2−z2c2=1  (hiperboloide d'un full) x2a2+y2b2−z2c2=−1  (hiperboloide de dos fulls) {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ {\mbox{ (hiperboloide d'un full) }}\qquad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\ {\mbox{ (hiperboloide de dos fulls) }}}

Aquestes superfícies s'obtenen, d'entre l'exemple, estirant en la direcció dels x pel factor a, multiplicant les distàncies en els i per b, i en els z per c. És a dir que, fonamentalment, tenen la mateixa forma.

Equació paramètrica

[modifica]

En unespai euclidià tridimensional, els punts de la superfície de l'hiperboloide poden ser parametritzats de la següent manera:

{x=acosh⁡(θ)cos⁡(ϕ)y=bcosh⁡(θ)sin⁡(ϕ)z=csinh⁡(θ)amb   θ∈R,   i   0<ϕ≤2π(Hiperboloide d'un full){\displaystyle {\begin{cases}x=a\,\cosh(\theta )\cos(\phi )\\y=b\,\cosh(\theta )\sin(\phi )\\z=c\,\sinh(\theta )\\\end{cases}}\qquad {\mbox{amb }}\ \ \theta \in \mathbb {R} ,\ \ {\mbox{ i }}\ \ 0<\phi \leq 2\pi \,\,{\mbox{(Hiperboloide d'un full)}}}

Parametrització sense utilitzar lesfuncions hiperbòliques:

{x=a1+u2cos⁡(v)y=b1+u2sin⁡(v)z=cu amb 0<v≤2π,   i   u∈R(Hiperboloide d'un full){\displaystyle {\begin{cases}x=a\,{\sqrt {1+u^{2}}}\cos(v)\\y=b\,{\sqrt {1+u^{2}}}\sin(v)\\z=c\,u\\\end{cases}}\qquad {\mbox{ amb }}0<v\leq 2\pi ,\ \ {\mbox{ i }}\ \ u\in \mathbb {R} \,\,{\mbox{(Hiperboloide d'un full)}}}

Àrea

[modifica]

La superfície d'un hiperboloide d'un full d'altura h, situat entre els plansz=h/2   i   z=−h/2{\displaystyle z=h/2\,\ \ {\mbox{ i }}\ \ \,z=-h/2} i de secció transversal circular, és a dir,a=b{\displaystyle \,a=b}. La seva equació queda de la formax2a2+y2a2−z2c2=1.{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}

Sia=c{\displaystyle \,a=c}

A`rea(S)=πa2(2asinh(2h2)+h2h2+42){\displaystyle {\grave {A}}rea(S)=\pi \,a^{2}\left(\,{\sqrt {2}}\,\mathrm {asinh} \left({\frac {{\sqrt {2}}\,h}{2\,}}\right)+{\frac {h\,{\sqrt {2\,{h}^{2}+4\,}}}{2}}\right)}

Volum

[modifica]

El volum comprès per la funció de l'hiperboloide d'un fullx2a2+y2b2−z2c2=1{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1} i els plànolsz=h2{\displaystyle z={\frac {h}{2}}} iz=−h2{\displaystyle z=-{\frac {h}{2}}}.V=πABH(1+h212c2){\displaystyle V=\pi ABH\left(1+{\frac {h^{2}}{12c^{2}}}\right)}

Seccions

[modifica]

La secció produïda per un pla perpendicular a l'eix és unael·lipse. La equació d'un pla qualsevolz=k{\displaystyle z=k},k∈R{\displaystyle k\in \mathbb {R} }, la intersecció amb l'hiperboloide ens donarà una el·lipse d'equació:

x2a2+y2b2=1+k2c2= constant,a,b,c∈≠0.{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1+{\frac {k^{2}}{c^{2}}}={\mbox{ constant}}\,,a,b,c\in \neq 0.}

El cas particular ona=b{\displaystyle a=b} la secció produïda pel pla serà unacircumferència. L'el·lipse menor de totes les possibles rep el nom d'el·lipse de coll.

La secció produïda per un pla paral·lel al seu eix és una hipèrbola de diferents orientacions. Un pla, per exemple, d'equacióx=k,k∈R{\displaystyle x=k\,,k\in \mathbb {R} \,}, talla l'hiperboloide segons la corba d'equació

y2b2−z2c2=1−k2a2=k′ constant.{\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1-{\frac {k^{2}}{a^{2}}}=k'\,{\mbox{ constant}}.}

Depenent del valor de k' s'obtenen les següents corbes:


Hipèrbola amb fulles en horitzontal:y2b2−z2c2=k′sik′∈(0,1){\displaystyle \quad {\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=k'\qquad si\,\,k'\in (0,1)}}


Hipèrbola amb fulles en vertical:y2b2−z2c2=−k′sik′∈R−[0,1]{\displaystyle \quad {\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-k'\qquad si\,\,k'\in \mathbb {R} -[0,1]}}

Un parell de rectes que es tallen:y2b2−z2c2=0sik′=1{\displaystyle \quad {\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0\qquad si\,\,k'=1}}

La secció produïda per unpla inclinat respecte de l'eix de revolució és una el·lipse, d'equació:

x2a2+y2b2=constant{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=\mathrm {constant} }

A les figures es representa la secció d'hiperboloides, d'una i dues fulles, tallats per un pla paral·lel al seu eix de revolució, i de l'altra perpendicular.

AWikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a:Hiperboloide
Bases d'informació
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Hiperboloide&oldid=35591086»
Categoria:
Categories ocultes:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp