Endinàmica de fluids, elflux potencial oflux irrotacional es refereix a la descripció d'un flux de fluids sensevorticitat. Aquesta descripció sorgeix típicament en el límit deviscositat nul·la, és a dir, per a unfluid no viscós i sense vorticitat present en el flux.^[1]

El flux potencial descriu elcamp de velocitat com elgradient d'una funció escalar: elpotencial de velocitat. Com a resultat, un flux potencial es caracteritza per uncamp de velocitats irrotacionals, que és una aproximació vàlida per a diverses aplicacions. La irrotacionalitat d'un flux potencial es deu al fet que lacurvatura del gradient d'unescalar sempre és igual a zero.^[2]

En el cas d'unflux incompressible, el potencial de velocitat satisfà l'equació de Laplace, ila teoria del potencial és aplicable. Tanmateix, els fluxos potencials també s'han utilitzat per descriurefluxos compressibles ifluxos d'Hele-Shaw. L'enfocament del flux potencial es produeix en el modelatge tant de fluxos estacionaris com no estacionaris.^[3]

Les aplicacions del flux potencial inclouen: el camp de flux exterior per aperfils aerodinàmics,ones d'aigua,flux electroosmòtic iflux d'aigües subterrànies. Per a fluxos (o parts d'aquests) amb forts efectes devorticitat, l'aproximació del flux potencial no és aplicable. En regions de flux on se sap que la vorticitat és important, com araesteles icapes límit, la teoria del flux potencial no és capaç de proporcionar prediccions raonables del flux. Tanmateix, sovint hi ha grans regions d'un flux en què la suposició d'irrotacionalitat és vàlida, permetent l'ús del flux potencial per a diverses aplicacions; aquestes inclouen el flux al voltant d'aeronaus, elflux d'aigües subterrànies, l'acústica,les ones d'aigua iel flux electroosmòtic.^[4]

En un flux potencial o irrotacional, el camp vectorial de vorticitat és zero, és a dir,

$${\displaystyle \mathit{\omega }\equiv \mathrm{\nabla }\times \mathbf{v}=0,}$$

on${\displaystyle \mathbf{v}(\mathbf{x},t)}$ és el camp de velocitat i${\displaystyle \mathit{\omega }(\mathbf{x},t)}$ és el camp devorticitat. Com qualsevol camp vectorial amb curvatura zero, el camp de velocitat es pot expressar com el gradient d'un cert escalar, per exemple${\displaystyle \phi (\mathbf{x},t)}$ que s'anomenapotencial de velocitat, ja que la curvatura del gradient sempre és zero. Per tant, tenim

$${\displaystyle \mathbf{v}=\mathrm{\nabla }\phi .}$$

El potencial de velocitat no es defineix de manera única, ja que s'hi pot afegir una funció arbitrària del temps, per exemple${\displaystyle f(t)}$, sense afectar la magnitud física pertinent que és${\displaystyle \mathbf{v}}$. La no-unicitat normalment s'elimina seleccionant adequadament les condicions inicials o de contorn apropiades que es compleixin per${\displaystyle \phi }$ i, per tant, el procediment pot variar d'un problema a un altre.

En flux potencial, lacirculació${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$ al voltant de qualsevolcontorn simplement connectat${\displaystyle C}$ és zero. Això es pot demostrar mitjançant elteorema de Stokes ,

$${\displaystyle \mathrm{\Gamma }\equiv {\oint }_C\mathbf{v}\cdot d\mathbf{l}=\int \mathit{\omega }\cdot d\mathbf{f}=0}$$on${\displaystyle d\mathbf{l}}$ és l'element de línia del contorn i${\displaystyle d\mathbf{f}}$ és l'element d'àrea de qualsevol superfície delimitada pel contorn. En un espai múltiplement connectat (per exemple, al voltant d'un contorn que tanca un cos sòlid en dues dimensions o al voltant d'un contorn que tanca un tor en tres dimensions) o en presència de vòrtexs concentrats (per exemple, en els anomenatsvòrtexs irrotacionals o vòrtexs puntuals, o en anells de fum), la circulació${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$ no cal que sigui zero. En el primer cas, el teorema de Stokes no es pot aplicar i en el segon cas,${\displaystyle \mathit{\omega }}$ és diferent de zero dins de la regió delimitada pel contorn. Al voltant d'un contorn que envolta un cilindre sòlid infinitament llarg amb el qual el contorn fa un bucle${\displaystyle N}$ vegades, tenim

$${\displaystyle \mathrm{\Gamma }=N\kappa }$$on${\displaystyle \kappa }$ és una constant cíclica. Aquest exemple pertany a un espai doblement connectat. En un${\displaystyle n}$ espai connectat dues vegades, hi ha${\displaystyle n-1}$ aquestes constants cícliques, és a dir,${\displaystyle {\kappa }_1,{\kappa }_2,\dots ,{\kappa }_{n-1}.}$^[5]

En el cas d'unflux incompressible —per exemple, d'unlíquid o d'ungas ambnombres de Mach baixos; però no per a onessonores— la velocitatv tédivergència zero:

$${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{v}=0,}$$Substituint aquí${\displaystyle \mathbf{v}=\mathrm{\nabla }\phi }$ demostra que${\displaystyle \phi }$ satisfà l'equació de Laplace

$${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2\phi =0,}$$on∇² = ∇ ⋅ ∇ és l'operador de Laplace (de vegades també escritΔ). Com que les solucions de l'equació de Laplace sónfuncions harmòniques, cada funció harmònica representa una solució potencial de flux. Com és evident, en el cas incompressible, el camp de velocitats es determina completament a partir de la sevacinemàtica: els supòsits d'irrotacionalitat i divergència zero del flux. Ladinàmica en relació amb les equacions de moment només s'ha d'aplicar posteriorment si s'està interessat en calcular el camp de pressió: per exemple, per al flux al voltant dels perfils aerodinàmics mitjançant l'ús delprincipi de Bernoulli.

En fluxos incompressibles, contràriament a la idea errònia comuna, el flux potencial satisfà totes lesequacions de Navier-Stokes, no només lesequacions d'Euler, perquè el terme viscós

$${\displaystyle \mu {\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{v}=\mu \mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{v})-\mu \mathrm{\nabla }\times \mathit{\omega }=0}$$és idènticament zero. És la incapacitat del flux potencial per satisfer les condicions de contorn requerides, especialment prop de límits sòlids, la que el fa invàlid a l'hora de representar el camp de flux requerit. Si el flux potencial compleix les condicions necessàries, aleshores és la solució requerida de les equacions incompressibles de Navier-Stokes.

En dues dimensions, amb l'ajuda de la funció harmònica${\displaystyle \phi }$ i la seva funció harmònica conjugada${\displaystyle \psi }$ (funció de corrent), el flux potencial incompressible es redueix a un sistema molt simple que s'analitza mitjançant unaanàlisi complexa (vegeu més avall).

La teoria del flux potencial també es pot utilitzar per modelar el flux compressible irrotacional. La derivació de l'equació governant per a${\displaystyle \phi }$ del'equació d'Euler és bastant senzill. Les equacions de continuïtat i de moment (flux potencial) per a fluxos estacionaris es donen per

$${\displaystyle \rho \mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{v}+\mathbf{v}\cdot \mathrm{\nabla }\rho =0,(\mathbf{v}\cdot \mathrm{\nabla })\mathbf{v}=-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p=-\frac{c^2}{\rho }\mathrm{\nabla }\rho }$$on l'última equació es desprèn del fet que l'entropia és constant per a una partícula fluida i que el quadrat de lavelocitat del so és

${\displaystyle c^2=(\mathrm{\partial }p/\mathrm{\partial }\rho {)}_s}$. Eliminant${\displaystyle \mathrm{\nabla }\rho }$ a partir de les dues equacions governants resulta en

$${\displaystyle c^2\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{v}-\mathbf{v}\cdot (\mathbf{v}\cdot \mathrm{\nabla })\mathbf{v}=0.}$$La versió incompressible emergeix al límit${\displaystyle c\to \mathrm{\infty }}$. Substituint aquí${\displaystyle \mathbf{v}=\mathrm{\nabla }\phi }$ resultats en^[6][7]

$${\displaystyle (c^2-{\phi }_x^2){\phi }_{xx}+(c^2-{\phi }_y^2){\phi }_{yy}+(c^2-{\phi }_z^2){\phi }_{zz}-2({\phi }_x{\phi }_y{\phi }_{xy}+{\phi }_y{\phi }_z{\phi }_{yz}+{\phi }_z{\phi }_x{\varphi }_{zx})=0}$$on${\displaystyle c=c(v)}$ s'expressa com una funció de la magnitud de la velocitat${\displaystyle v^2=(\mathrm{\nabla }\varphi {)}^2}$. Per a ungas politròpic,${\displaystyle c^2=(\gamma -1)(h_0-v^2/2)}$, on${\displaystyle \gamma }$ és larelació calorífica específica i${\displaystyle h_0}$ és l'entalpia d'estagnació. En dues dimensions, l'equació es simplifica a

Les equacions de continuïtat i de moment (flux potencial) per a fluxos no estacionaris es donen per

$${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\rho }{\mathrm{\partial }t}+\rho \mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{v}+\mathbf{v}\cdot \mathrm{\nabla }\rho =0,\frac{\mathrm{\partial }\mathbf{v}}{\mathrm{\partial }t}+(\mathbf{v}\cdot \mathrm{\nabla })\mathbf{v}=-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p=-\frac{c^2}{\rho }\mathrm{\nabla }\rho =-\mathrm{\nabla }h.}$$La primera integral de l'equació de moment (flux potencial) ve donada per

$${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\phi }{\mathrm{\partial }t}+\frac{v^2}{2}+h=f(t),\Rightarrow \frac{\mathrm{\partial }h}{\mathrm{\partial }t}=-\frac{{\mathrm{\partial }}^2\phi }{\mathrm{\partial }{t}^2}-\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\partial }{v}^2}{\mathrm{\partial }t}+\frac{df}{dt}}$$on${\displaystyle f(t)}$ és una funció arbitrària. Sense pèrdua de generalitat, podem establir${\displaystyle f(t)=0}$ des de${\displaystyle \phi }$ no està definit de manera única. Combinant aquestes equacions, obtenim

$${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^2\phi }{\mathrm{\partial }{t}^2}+\frac{\mathrm{\partial }{v}^2}{\mathrm{\partial }t}=c^2\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{v}-\mathbf{v}\cdot (\mathbf{v}\cdot \mathrm{\nabla })\mathbf{v}.}$$

Substituint aquí${\displaystyle \mathbf{v}=\mathrm{\nabla }\phi }$ resultats en

$${\displaystyle {\phi }_{tt}+({\phi }_x^2+{\phi }_y^2+{\phi }_z^2{)}_t=(c^2-{\phi }_x^2){\phi }_{xx}+(c^2-{\phi }_y^2){\phi }_{yy}+(c^2-{\phi }_z^2){\phi }_{zz}-2({\phi }_x{\phi }_y{\phi }_{xy}+{\phi }_y{\phi }_z{\phi }_{yz}+{\phi }_z{\phi }_x{\varphi }_{zx}).}$$

El flux potencial no inclou totes les característiques dels fluxos que es troben al món real. La teoria del flux potencial no es pot aplicar per afluxos interns viscosos, excepte per afluxos entre plaques properes.Richard Feynman considerava que el flux potencial era tan poc físic que l'únic fluid que obeïa els supòsits era "aigua seca" (citant John von Neumann). El flux potencial incompressible també fa diverses prediccions no vàlides, com ara laparadoxa de d'Alembert, que afirma que la resistència sobre qualsevol objecte que es mogui a través d'un fluid infinit que en altres circumstàncies estaria en repòs és zero. Més precisament, el flux potencial no pot tenir en compte el comportament dels fluxos que inclouen unacapa límit. No obstant això, comprendre el flux potencial és important en moltes branques de la mecànica de fluids. En particular, els fluxos potencials simples (anomenatsfluxos elementals) com ara elvòrtex lliure i lafont puntual tenen solucions analítiques ja preparades. Aquestes solucions es podensuperposar per crear fluxos més complexos que satisfacin diverses condicions de contorn. Aquests fluxos corresponen estretament als fluxos de la vida real en tota la mecànica de fluids; a més, sorgeixen moltes idees valuoses quan es considera la desviació (sovint lleugera) entre un flux observat i el flux potencial corresponent. El flux potencial troba moltes aplicacions en camps com el disseny d'aeronaus. Per exemple, endinàmica de fluids computacional, una tècnica és acoplar una solució de flux potencial fora de lacapa límit a una solució de lesequacions de la capa límit dins de la capa límit. L'absència d'efectes de la capa límit significa que qualsevol línia de corrent es pot substituir per un límit sòlid sense cap canvi en el camp de flux, una tècnica utilitzada en molts enfocaments de disseny aerodinàmic. Una altra tècnica seria l'ús desòlids de Riabouchinsky.

• Mecànica de fluids

• Control d'autoritats