L'espai al nostre voltant és tridimensional a simple vista, però en realitat hi ha més dimensions, de manera que també pot ser considerat un espaitetradimensional si hi incloem eltemps com a quarta dimensió.
Els llibre XI, XII i XIII delsElements d'Euclides versen sobre la geometria tridimensional. El llibre XI desenvolupa nocions d'ortogonalitat i paral·lelisme de línies i plans, i defineix sòlids que inclouen paral·lelepípedes, piràmides, prismes, esferes, octaedres icosaedres i dodecaedres. El llibre XII desenvolupa nocions de semblança entre sòlids. El llibre XIII descriu la construcció dels cincsòlids platònics regular en una esfera.
En el segle XVII, l'espai tridimensional va ser descrit ambcoordenades cartesianes, amb l'adveniment de lageometria analítica desenvolupada perRené Descartes en la seva obraGeometria i perPierre de Fermat en el seu manuscritAd locos planos et solidos isagoge (Introducció als llocs geomètrics plan i sòlids), inèdit en vida de Fermat. No obstant això, només l'obra de Fermat tractava de l'espai tridimensional.
En el segle XIX, els desenvolupament de la geometria de l'espai tridimensional van arribar amb l'estudi delsquaternions deWilliam Rowan Hamilton. De fet, va ser Hamilton qui va encunyar els termes d'escalar ivector, que es van definir per primer cop dins del marc geomètric per als quaternions. L'espai tridimensional podria llavors ser descrit per quaternions que tenien un components escalar que desapareix, és a dir,. Si bé Hamilton no ho va estudiar explícitament, aquest desenvolupament va introduir indirectament nocions de base, aquí donades pels elements de quaternió, així com elproducte escalar i elproducte vectorial, que corresponen a (el negatiu de) la part escalar i la part vectorial del producte de dos quaternions vectorials.
No va ser fins aJosiah Willard Gibbs, que aquests productes es van identificar per dret propi, i la notació moderna per al producte punt i creu es va introduir en les seves notes d'ensenyament a l'aula, que també es troben en el llibre de text de 1901Vector Analysis escrit perEdwin Bidwell Wilson basat en les conferències de Gibbs.
També durant el segle XIX, es van produir desenvolupaments en el formalisme abstracte dels espais vectorials, amb l'obra deHermann Grassmann iGiuseppe Peano, l'últim dels quals va donar per primer cop la definició moderna dels espais vectorials com a estructura algebraica.
En unespai euclidià convencional, un objecte físic finit està contingut dins d'unortoedre mínim, les dimensions es diuenample,llarg iprofunditat. L'espai físic al nostre voltant és tridimensional a simple vista.[2][3] No obstant això, quan es consideren fenòmens físics com lagravetat, lateoria de la relativitat ens porta a veure que l'univers és un enstetradimensional que inclou tant dimensions espacials, com el temps, com una altra dimensió. Diferentsobservadors perceben diferents "seccions espacials" d'aquestespaitemps, per la qual cosa l'espai físic és una mica més complex que un espai euclidià tridimensional.
No es coneix exactament per què el nostre univers sembla tridimensional; més exactament, en les teories actuals no hi ha una raó clara de per què el nombre de dimensions espacials extenses (nocompactificades) és igual a tres, encara que existeixen certes intuïcions sobre això:Ehrenfest va assenyalar que en quatre o més dimensions lesòrbites planetàries tancades, per exemple, no serien estables (i, per tant, sembla difícil que en un univers així existís vida intel·ligent preguntant per la tridimensionalitat espacial de l'univers). També se sap que hi ha una connexió entre la intensitat d'un camp de forces estàtic ambsimetria esfèrica, que satisfà elteorema de Gauss, i la dimensió de l'espai (d), uncamp gravitatori,electroestàtic o d'un altre tipus que compleixi aquestes condicions. Per a grans distàncies ha de tenir una variació de la forma:
En què:
és la intensitat del camp.
és una constant de proporcionalitat ( per al camp gravitatori).
és una magnitud extensiva que mesura la capacitat de font per provocar el camp, per a un camp gravitatori coincideix amb lamassa i per a un d'elèctric amb lacàrrega.
és ladistància al "centre" o font que crea el camp.
és la dimensió de l'espai.
També, les teories físiques de tipusKaluza-Klein com les diferents versions de lateoria de cordes, postula que hi ha un nombre dedimensions addicionals compactificades, que només serien observables en experiments amb partícules altament energètiques. En aquestes teories, algunes de lesinteraccions fonamentals poden ser explicades de manera senzilla postulant dimensions addicionals d'una manera similar a com la relativitat general explica la gravetat. De fet, la proposta original deTheodor Kaluza iOskar Klein explicava de manera unificada l'electromagnetisme i la gravetat, postulant un univers de5 dimensions amb una dimensió compactificada (teoria Kaluza-Klein).
Totes elles poden ser embegudes en un espai euclidià de tres dimensions. No obstant això, cal assenyalar que tècnicament l'esfera, el con o el cilindre són varietats bidimensionals (només la closca), ja que els punts interiors en aquestes figures no són estrictament part d'aquestes. Només per un abús de llenguatge o extensió d'aquest, informalment es parla d'esferes, cilindres o cons incloent-hi el seu interior.
A més, hi ha la hiperesfera tridimensional (3-varietat), però no és la pela d'una bola sinó la compactificació de amb un punt, així com la 2-esfera és per al pla euclidià.
Enquímica, es parla desistemes tridimensionals quan l'enllaç químic és igualment intens en les tres direccions de l'espai (per exemple, en eldiamant). Enmagnetisme, es diu que l'ordenament magnètic només és possible si l'acoblament magnètic és tridimensional (és a dir, s'estén en les tres direccions de l'espai). En matemàtiques, el sistema tridimensional es representa en el pla cartesià amb els eixos X, Y i Z. En general, en aquestes representacions s'utilitzen les formes geomètriques de tres dimensions com els cubs o les esferes.
Avui dia, és possible la simulació mitjançantcàlculs basats en la projecció d'entorns tridimensionals sobre pantalles bidimensionals, com aramonitors d'ordinador otelevisors. Aquests càlculs requereixen una gran càrrega de procés, per la qual cosa algunsordinadors iconsoles disposen d'un cert grau d'acceleració gràfica 3D gràcies a dispositius desenvolupats per a tal fi. Els ordinadors disposen de les anomenadestargetes gràfiques ambacceleració 3D. Aquests dispositius estan formats amb un o diversos processadors (GPU), dissenyats especialment per accelerar els càlculs que suposen reproduir imatges tridimensionals sobre unapantalla bidimensional i d'aquesta forma alliberar de càrrega de procés laCPU o unitat de procés central de l'ordinador.
En tres dimensions, hi ha noupolítops regulars: cinc de convexos i quatre de no convexos. Els convexos són elssòlids platònics, mentre que els no convexos són elspoliedres de Kepler-Poinsot.
Les superfícies quàdriques degenerades són el conjunt buit, el punt, la línia recta, el pla, una parella de plans o un cilindre quadràtic (una superfície que consisteix a una secció cònica no degenerada en un pla i totes les línies deR3 a través d'aquella cònica que són normals a).[5] De vegades també es consideren els cons el·líptics com superfícies quàdriques degenerades.
Tant l'hiperboloide d'una cara com el paraboloide hiperbòlic sónsuperfícies reglades, en el sentit que es poden construir a partir d'una família de línies rectes. De fet, cadascun té dues famílies de línies generadors, els memebre de cada família són disjunts i cada membre d'una família creua cada membre de l'altra família, amb només una excepció.[6] Cada família rep el nom deregulus.
L'espai tridimensional té un seguit de propietats topològiques que el diferencien d'espais de dimensió diferent. Per exemple, calen un mínim de tres dimensions per lligar unnus en un tros de corda.[7]
onr: [a, b] →C és una parametritzacióbijectiva arbitrària de la corbaC tal quer(a) ir(b) donen els punts extrems deC i.
Donat uncamp vectorialF :U ⊆Rn →Rn, la integral de línia al llarg d'unacorba suau a trossosC ⊂U, en la direcció der, és definida com
on · és elproducte escalar ir: [a, b] →C és unaparametrització bijectiva de la corbaC tal quer(a) ir(b) donen els punts finals deC.
Unaintegral de superfície és una generalització de lesintegrals múltiples a la integració sobresuperfícies. Es pot entendre com l'anàleg d'unaintegral doble a la integral de línia. Per trobar una fórmula explícita per la integral de superfície, calparametritzar la superfície d'interès,S, considerant un sistema de coordenades curvilínies enS, com ho són lalatitud i longitud en unaesfera. Sigui tal parametritzacióx(s,t), on (s,t) varien dins una certa regióT en elpla. Llavors, la integral de superfície ve donada per
on l'expressió entre barres a la banda dreta de la igualtat és lamagnitud delproducte vectorial de lesderivades parcials dex(s,t), i es coneix com l'element superfície. Donat un camp vectorialv enS, és a dir una funció que assigna a cadax enS un vectorv(x), es pot definir la integral de superfície component per component segons la definició de la integral de superfície d'un camp escalar; el resultat és un vector.
El teorema fonamental de les integrals de línia afirma que es pot avaluar unaintegral de línia a través d'un camp que és elgradient d'un camp escalar simplement calculant el valor del camp escalar en els punts finals de la corba.
SiguiV un subconjunt de (en el cas den = 3,V representa un volum en l'espai tridimensional) que éscompacte i té unafrontera suau a trossosS (també indicat com∂V =S). SiF és un camp vectorial contínuament diferenciable definit en un veïnat deV, llavors elteorema de la divergència de Gauss afirma que:[11]
El costat esquerre de la igualtat és laintegral de volum en el volumV, el costat dret és laintegral de superfície en la frontera del volumV. La varietat tancada∂V és de forma bastant general la frontera deV orientada per lesnormals de la superfície apuntant cap a fora, i és el camp de la normal unitària de la frontera∂V apuntant cap a fora. (Es pot utilitzardS com a abreviatura dendS.)
