Aquest article tracta sobre les equacions matemàtiques en la seva generalitat. Si cerqueu una introducció al concepte i mètodes de resolució, vegeu «Equació (àlgebra elemental)».
Robert Recorde és un precursor de l'escriptura d'una equació. Va inventar l'ús del signe = per a designar una igualtat[1]Unsistema dinàmic correspon a un tipus particular d'equació, les solucions de la qual són funcions. El comportament límit és de vegades complex. En certs casos, es caracteritza per una curiosa figura geomètrica, anomenadaatractor estrany.
Enmatemàtiques unaequació és una igualtat entre dues expressions algebraiques que només és certa per alguns valors de les lletres. Resoldre l'equació consisteix a determinar els valors que pot prendre la variable (o les variables) per tal de fer verdadera la igualtat. La variable també s'anomenadesconeguda oincògnita i els valors per als quals la igualtat es verifica s'anomenensolucions. A diferència d'unaidentitat, una equació és una igualtat que no és necessàriament verdadera per a tots els valors possibles de la variable.[2][Nota 1][3] Les equacions poden ser de naturalesa diversa i apareixen en diferents branques de les matemàtiques. Les tècniques associades al seu tractament difereixen segons el tipus d'equacions.
L'àlgebra estudia sobretot dues famílies d'equacions: lesequacions polinòmiques i lesequacions lineals. Les equacions polinòmiques són de la formaP(X) = 0, en quèP és unpolinomi. Els mètodes de transformacions i de canvi de variable permeten resoldre les més simples. Les equacions lineals són de la formaa(x) +b = 0, en quèa és unaaplicació lineal ib unvector. Per a resoldre-les, es fan servir tècniquesalgorísmiques ogeomètriques, sorgides de l'àlgebra lineal o de l'anàlisi matemàtica. Si es modifica elconjunt en què està definida la variable pot canviar considerablement la naturalesa de l'equació. L'àlgebra estudia també lesequacions diofàntiques, unes equacions en les quals elscoeficients i les solucions sónenters. Les tècniques utilitzades són diferents i essencialment procedents de l'aritmètica modular. Aquestes equacions són, en general, difícils; sovint, tan sols s'intenta determinar l'existència o l'absència de solucions i, si n'existeixen, el seu nombre.
Lageometria fa servir les equacions per a caracteritzar lesfigures. En relació als casos anteriors, l'objectiu és diferent; l'equació es fa servir per a posar en evidència propietats geomètriques. En aquest context, hi ha dues grans famílies d'equacions: lescartesianes i lesparamètriques.
L'anàlisi estudia equacions del tipusf(x) = 0, en quèf és unafunció que té certes propietats com lacontinuïtat, laderivabilitat o, fins i tot, el fet de sercontractant. Hi ha tècniques que permeten construirsuccessions que convergeixen cap a una solució de l'equació. L'objectiu és poder aproximar la solució amb tanta precisió com sigui possible.
Unsistema dinàmic és el que evoluciona al llarg del temps. Es defineix per una equació en què les solucions són, o bésuccessions –que indiquen els valors de l'estat del sistema en cada un dels instants discrets del temps–, o bé funcions d'una variable (per exemple, el temps), o bé de diverses variables (el temps i d'altres com, per exemple, lescoordenades cartesianes dels punts de l'espai). Existeixen dues qüestions centrals: l'"estat inicial" i el "comportament asimptòtic". Per a cada estat inicial admissible –per exemple, el valor de la successió o de la funció en zero–, l'equació admet una única solució. De vegades, una petita modificació de l'estat inicial en modifica poc la solució. No és sempre aquest el cas; aquestasensibilitat a la condició inicial és l'objecte de la primera qüestió. El comportament límit o tambéasimptòtic d'una solució correspon a la forma de la solució quan la variable (el temps) tendeix cap a l'infinit; aquest comportament és l'objecte de la segona qüestió. Si no divergeix, pot tendir cap a un valor donat, o bé apropar-se a un comportament cíclic –unafunció periòdica o una successió que recorre sempre un mateix conjunt finit de valors i en el mateix ordre–, o bé tenir un comportamentcaòtic. En aquest últim cas, sembla que evolucioni per atzar, fins i tot si la solució és, per definició, determinista.[Nota 2]
Un home mor i deixa quatre fills i fa una donació a un home igual a la part d'un dels seus fills i a un altre el quart del que queda. Six designa la incògnita, aquí la fracció de l'herència que rep cada un dels fills, la pregunta es tradueix en l'equació següent, on el valor 1 a la dreta designa l'herència:
»
En l'exemple, la formulació en forma d'equació, és a dir, la igualtat(1), és equivalent a la pregunta plantejada. Respondre-la significa determinar l'únic valor que ha de prendre laincògnitax perquè la igualtat que defineix l'equació sigui verdadera. El maneig de la incògnita permet resoldre algunes equacions, com la que es presenta aquí. Aquesta visió és font d'una altra manera de definir una equació. Per a l'Enciclopèdia soviètica de matemàtiques, una equació és la traducció, sota una forma analítica, d'un problema.[5][6] L'equacióf(x) =g(x) correspon a la pregunta: per a quin valor dex, l'equació es transforma en igualtat? Aquesta definició descriu bé les primeres equacions estudiades, que són de vegades la formulació matemàtica d'una pregunta de la vida corrent.
Aquesta definició fundada en una pregunta no és la més general: engeometria, l'equació de lacircumferència no fa referència a una pregunta.[7] Tanmateix, la forma continua sent la mateixa: una igualtat entre dues expressions, utilitzant dues variables generalment notadesx iy.
Al segle xvi,Viète, un matemàtic francès, troba un mètode per expressar de manera genèrica una família d'equacions.[8] Per comprendre'n l'interès, s'il·lustra amb un exemple:
Exemple d'equació paramètrica.
La gràfica de la funcióf és laparàbola dibuixada en blau a la figura, la deg1(x) la recta dibuixada en vermell, la deg-2(x) en violeta i la deg-1 en verd.
Quin és el nombre de solucions reals[9] de les equacions següents?
Per trobar aquest nombre, es considera la funcióf(x), que ax li associax², la gràfica de la qual és la paràbola representada a la recta en blau. La funcióg1(x) associa ax el valor 2·x +1 (la recta vermella). Les solucions de l'equació són les abscisses de les interseccions de la paràbola amb la recta vermella, la representació gràfica mostra l'existència de dues solucions, ja que existeixen dues interseccions. Per a l'equació(2), es considera la funcióg-2(x) que ax li associa 2·x -2 (la recta violeta). No troba la paràbola i l'equació no admet solució. Per tractar l'últim cas, es considera la funcióg-1(x) que ax li associa 2·x -1 (la recta verda), és una recta paral·lela a la precedent i aquesta vegada existeix una única solució.
Una manera global de resoldre aquestes tres qüestions és fer servir una lletraa que representa un nombre qualsevol. Les tres equacions precedents corresponen a la següent, sia és igual a 1, -2 o a -1:
L'equació(4) anterior s'anomenaequació paramètrica i la lletraa designa elparàmetre. El seu ús permet estudiar les equacions per famílies.
Demostrar l'existència d'una solució alproblema isoperimètric, es transforma en el fet de demostrar l'existència d'un màxim a la figura. A cada parella (C, φ), s'associa l'àrea del triangle de perímetre 3, que conté un costat de longitudC i un angle adjacent a aquest costat igual a φ. Els matemàtics de l'antiguitat no disposaven d'eines per a resoldre aquesta qüestió[Nota 3]
Les qüestions que sorgeixen en l'estudi d'una equació depenen de la seva naturalesa. En la imatge de l'equació precedent, algunes es defineixen amb l'ajuda d'una funcióf :R →R, és a dir, del conjunt dels nombres reals en si mateix. L'equació s'escriuf(x) = 0. De vegades, es comença l'estudi per establir l'existència o no de solució a l'equació. El nombre de solucions ve donat per l'estudi de la funcióf, aquest cas s'estudia en el paràgraf sobre elszeros d'una funció.
De vegades, és més simple començar per estudiar les propietats de la o de les eventuals solucions, sense preocupar-se per la seva existència. És el cas delproblema isoperimètric del triangle. El problema consisteix a trobar el triangle de perímetre donat (es pren aquí el valor 3) de major àrea possible. SiT designa la desconeguda, aquí un triangle de perímetre 3,S(T) la funció que a un triangle li associa la seva àrea im lafita superior de les superfícies dels triangles de perímetre 3, la traducció en forma d'equació del problema s'escriu:
Des de l'antiguitat, els matemàtics saben que l'única resposta possible és eltriangle equilàter.[10] En canvi, establir l'existència d'una solució és un problema més tècnic i fa ús d'eines desconegudes fins al segle xviii.[Nota 4] L'existència d'una solució està íntimament vinculada al conjunt en el qual se cerca aquesta solució. Si, en l'exemple escollit, aquest conjunt s'estén al delspolígons de perímetre 3, l'equació ja no admet solució. Per establir aquest resultat, es demostra al principi que una eventual solució seria necessàriament un polígon regular.[Nota 5] Ara bé, a mesura que el nombre de costats d'un polígon regular de perímetre donat augmenta, la seva àrea creix més; la qual cosa demostra l'absència de solució, ja que cap polígon regular no és d'àrea màxima.
La forma d'una solució depèn de les necessitats. Agafem, com a exemple, l'equació que defineix elnombre d'or φ:X² -X - 1 = 0. Per a un arquitecte, la forma més pragmàtica és una aproximació decimal com 1,618. En canvi, si l'objectiu és d'establir la fórmula que enllaça lasuccessió de Fibonacci (un) ambφ:
és indispensable una forma exacta com (1+ √5)/2. Com que el nombre d'or ésirracional, no hi pot haver cap expressió exacta sense l'ajuda d'una funció auxiliar com l'arrel quadrada, ja que les quatre operacions i elsnombres enters no permeten expressar més queracionals. L'aproximació de solucions és objecte de vastos estudis, que entren en un àmbit de les matemàtiques anomenatcàlcul numèric.[11]
La gràfica del mòdul del valor numèric del polinomiX⁵ - 3X + 2, mostra que, pel cap baix, admet quatre arrels (la cinquena no és pas visible a la gràfica), això il·lustra elteorema fonamental de l'àlgebra amb un cas particular
La primera teoria d'equacions no fa referència més que a lesequacions polinòmiques, és a dir, de la formaP(X) = 0, en quèP és unpolinomi.[12] Es basa a fer transformacions als membres de l'equació aplicant les cinc operacions «clàssiques» (addició,multiplicació,subtracció,divisió iextracció d'arrels), tant als coeficients de l'equació com a la seva incògnita.
Si elgrau del polinomi és igual a 2 i si els coeficients i les solucions cercades són reals, llavors aquests mètodes permeten trobar les solucions, anomenadesarrels, tal com varen descobrir els matemàtics catalans a l'edat mitjana (vegeu l'articleEquació de segon grau). L'ús de la tècnica delcanvi de variable permet estendre la família d'equacions que es resolen, així, com il·lustra l'exemple[Nota 6] e2x - (ea + eb)ex + ea+b = 0, es resol posantX = ex. Aquest mètode de canvi de variable no es limita a les equacions algebraiques.
Per anar més lluny i resoldre l'equació cúbica, és a dir, de tercer grau, els matemàtics italians del Renaixement varen descobrir la necessitat d'enriquir el conjunt dels nombres afegint-los els nombres imaginaris.[13] Aquest descobriment permet la resolució de les equacions detercer iquart grau (vegeu elsmètodes de Cardan iFerrari).
Elteorema fonamental de l'àlgebra estableix que tot polinomi de grau superior o igual a 1 i amb coeficientsreals ocomplexos, admet pel cap baix una arrel complexa.[14] Si bé aquest teorema assegura, en un cas molt general, l'existència d'una solució, no n'ofereix cap formulació explícita. El següent teorema, anomenatteorema d'Abel, n'explica la raó: no existeix, en general, cap fórmula anàloga[Nota 7] a les que hi ha per a equacions de grups més petits o iguals a quatre, capaç d'expressar les arrels. Aquest resultat, obra deNiels Abel,[15] va ser completat perÉvariste Galois, que indica una condició necessària i suficient per a determinar en quins casos les arrels d'una equació polinòmica contenen una expressió d'aquesta natura.[16] La seva demostració fa servir lateoria de Galois.
Els dos teoremes precedents clouen lateoria d'equacions. Aquesta expressió encara era vigent en matemàtiques durant tot el segle xix.[17] Es manté en història de les ciències.[18] Encara es fa servir en matemàtiques,[19] però s'ha fet rara i una mica passada de moda.
Una altra família d'equacions que es tracta en àlgebra és la de les equacions lineals. Són les equacions de la forma (1)a(x) +b = 0, en quèa és unaaplicació lineal d'unespai vectorialE en un espai vectorialF,b unvector deF ix una variable que pertany al conjuntE. Si els espaisE iF són dedimensió finita, notatsn per aE im per aF, la tria d'unabase d'E i deF permet expressara en forma d'unamatriu (ajk),x en forma d'unvector columna ambn coordenades (xk) ib la d'un vector columna ambm coordenades (bj):
o, cosa que és el mateix,
D'una equació(1) es passa a un sistema(2) dem equacions ambn desconegudes. Aquesta tècnica, consistent a passar d'una equació vectorial a un sistema de diverses equacions reals de diverses variables reals, no es limita al cas lineal.
Sota la forma (2), hi ha diversosalgorismes que permeten trobar una arrel. Sin és igual am i si eldeterminant de la matriua és no nul, és possible fer servir laregla de Cramer. No és l'algorisme més eficient, elmètode del pivot és més simple i més ràpid. Significa aïllar els no variables amb l'ajuda d'una continuació de substitucions. Aquest mètode és antic; se'n troba un d'equivalent al capítol 8 del llibre xinès de matemàtiques titulatEls nou capítols de les arts matemàtiques (九章算术) i datat d'abans de la nostra era.[20][21] Alsegle xiii,Qin Jiushao va anar-hi més lluny i va trobar com resoldre un sistema lineal ambcongruències com a coeficients, per resoldre una qüestió vinculada a un «programa de repartiment de grans».[22]
Lageometria permet trobar algorismes de resolució de l'equació lineal, més ràpids que elmètode del pivot. La figura il·lustra la gràfica en 3 dimensions, de la funciófAquesta figura il·lustra les corbes de nivell en blau de la funcióf. Els segments vermells i verds corresponen a la trajectòria en dimensió 2 seguida per les aproximacions successives, que convergeix en dues etapes
L'enfocament geomètric de l'equació lineal ofereix informacions d'una altra naturalesa. Laimatge d'una aplicació lineala, és a dir, el conjunt delsvectors que són imatge d'algun vector perf forma unsubespai vectorial, com ho és un pla en un espai dedimensió tres. Elnucli dea, és a dir, els vectors del conjunt de sortida que tenen per imatge el vector nul, és també un subespai. Aquests resultats mostren que el conjunt de les solucions forma unespai afí de direcció al nucli dea.
El punt de vista geomètric permet elaboraralgorismes de resolució que tenen en compte les especificitats dea. En certs casos particulars, existeixen tècniques que permeten trobar-hi una solució més ràpidament que amb elmètode del pivot. Un exemple en correspon al cas en quèE és unespai euclidià igual aF ia és tal que l'aplicació que ax iy els associa <-ax,y> sigui unproducte escalar. Aquí, els claudàtors designen el producte escalar inicial de l'espaiE.[Nota 8] Això implica que lamatriu dea és de determinant no nul isimètrica, si la base deE s'escullortonormal.
Un mètode consisteix a no intentar resoldre directament l'equacióa·x +b = 0, sinó respondre a una altra qüestió, d'aparença més complexa. Es tracta de trobar el punt òptim[Nota 9] de l'expressió que ax li associaf(x), definit per:
El seu punt òptim és la solució de l'equació lineal. Per a comprendre el mètode de resolució, el més simple és de representar el cas en quèF és de dimensió 2. Llavors, la gràfica def té la forma d'un cim, com s'il·lustra a la figura de l'esquerra. Un mètode consisteix a començar en un punt qualsevolx0 i a seguir la recta de majorpendent, il·lustrat en vermell a les figures i que correspon a una paràbola a l'esquerra i a un segment a la dreta. El cim d'aquesta paràbola s'anota com ax1. A partir del puntx1, se segueix de nou la recta de major pendent, en verd sobre les figures. Aquesta tècnica porta el nom dedescens del gradient.[23]
Si, en comptes de seguir exactament el camí de major pendent, se n'escull un de direcció ortogonal en les direccions precedents per al producte escalar <-a·x,y>, el mètode convergeix cap a la solució en un màxim den etapes, sin designa la dimensió deE. Aquest mètode s'anomena elmètode del gradient conjugat.[24]
Una decònica és sempre la intersecció d'unpla i d'uncon
Engeometria euclidiana, és possible associar a cada punt de l'espai un conjunt de coordenades; per exemple, amb l'ajuda d'unsistema de referència ortonormal. Aquest mètode permet caracteritzarfigures geomètriques amb l'ajuda d'equacions. Un pla en un espai dedimensió 3 s'expressa com el conjunt de les solucions d'una equació del tipusa·x +b·y +c·z +d = 0, en quèa,b,c id sónnombres reals, ix,y,z les incògnites que corresponen a les coordenades d'un punt del pla en la referència ortonormal. Els valorsa,b ic són les coordenades d'un vector perpendicular al pla definit per l'equació. Unarecta s'expressa com la intersecció de dos plans; és a dir, com les solucions d'una equació lineal amb valors aR² o com les solucions d'un sistema de dues equacions lineals amb valors aR, siR designa el conjunt dels nombres reals.
Unacònica és la intersecció d'uncon d'equacióx² +y² =z² i d'un pla. En altres paraules, en l'espai, tota cònica és definida com els punts les coordenades dels quals són solucions de l'equació d'un pla enR² i de l'equació precedent. Aquest formalisme permet determinar les posicions i les propietats delsfocus de la cònica.
Amb aquest enfocament, s'obtenen equacions l'objectiu de les quals no és l'expressió de les solucions en el sentit del paràgraf precedent. Un exemple en ve donat pelsegon teorema de Tales, que indica que un triangle és rectangle si té un costat igual a un diàmetre d'una circumferència i un vèrtex oposat que pertany a la circumferència. Aquest teorema s'il·lustra a la figura de la dreta. Si el sistema de referència s'escull adequadament, l'equació de la circumferència s'escriu:x² +y² = 1, els puntsA iC de la figura de la dreta tenen per coordenades respectives (-1,0) i (1,0). Dir queAB és perpendicular aCB vol dir que els vectors associats són ortogonals. L'equació de la circumferència permet concloure la demostració, en efecte:
L'ús d'una equació permet fer servir una nova àrea de les matemàtiques per a resoldre qüestions de geometria. El sistema de referència cartesià transforma un problema de geometria en un problema d'anàlisi, una vegada les figures estudiades s'han traduït en equacions; d'on li ve el nom degeometria analítica.[25] Aquest punt de vista, descobert perDescartes, va enriquir i modificar la geometria tal com la concebien els matemàtics de laGrècia antiga.[Nota 11]
Actualment, la geometria analítica designa una branca de les matemàtiques en què la recerca és activa. Si bé fa servir sempre l'equació per a caracteritzar una figura, també fa servir eines sofisticades procedents de l'anàlisi funcional o de l'àlgebra lineal.[26]
Existeixen almenys dos mètodes per a descriure una figura geomètrica amb l'ajuda d'equacions. La primera consisteix a descriure-la per una equació de la formaf(x) =0, en quèf és una funció de l'espai euclidiàE de dimensión enRd en quèd és un enter més petit quen. Sif és una funció prou regular,n -d és ladimensió de la figura geomètrica. Si és igual a 1, la figura és una corba, si és 2, es parla desuperfície, etc.[27] Tal equació es pot escriure també com unsistema ded equacions amb valors en els reals exactament com per al cas de l'equació lineal. Aquest tipus d'equació s'anomenacartesiana six s'expressa amb l'ajuda de les seves coordenades en unsistema de referència cartesià.[28] Les equacions descrites en el paràgraf precedent són totes cartesianes, com en la de la circumferència d'equacióx² +y² = 1.
Un altre mètode consisteix a descriure la figura geomètrica amb l'ajuda d'una funcióf deRd enE de la manera següent: un puntm deE és element de la figura quan existeix un puntx del conjunt de definició de la funcióf tal quef(x) és igual am. En aquest cas, i depenent d'una regularitat suficient def (n'hi ha prou que el seudiferencial siguiinjectiu), la figura és de dimensiód. Es parla d'equació paramètrica de la figura geomètrica;[29] aquesta definició de l'equació està relativament allunyada d'aquella que es troba en àlgebra.
Si la figura és prou regular; per exemple, si correspon a unavarietat, almenys localment, existeix unaparametrització de la figura. Localment, significa que sim és un element de la figura, existeix una funcióf i unveïnatV d'un punt del conjunt de sortida def tal que la imatge def quedi inclosa en la figura i tal que la imatge deV perf sigui un veïnat dem en la figura.[30] Per tant, localment és possible definir la figura amb l'ajuda d'una equació cartesiana.
Després de diversos segles d'esforços de la comunitat matemàtica, ésDavid Hilbert qui acaba resolent l'equació diofàntica de grau 2
Històricament, les primeres equacions que es formalitzen són de naturalesa aritmètica i daten delsegle iii.[31] Si se cerca com a solució d'una equació, no un nombre qualsevol, sinó unnombre enter i si l'equació és de coeficients enters, es parla d'equació diofàntica.[32] Els mètodes descrits anteriorment, generalment, són insuficients per a resoldre les equacions diofàntiques; per fer-ho, són indispensables les eines procedents de l'aritmètica, o almenys de l'aritmètica elemental. Un exemple relativament simple[33] n'és l'equació lineal amb dues desconegudesa.x +b.y =c.
Si elgrau de l'equació augmenta, la qüestió es fa molt més complexa. Ni tan sols una equació de grau 2, en general, no és simple (vegeu per exemple elteorema dels dos quadrats de Fermat o l'equació de Pell-Fermat). A condició d'afegir altres mètodes, com el deldescens infinit i nous resultats com elpetit teorema de Fermat, és possible resoldre'n alguns casos particulars. El cas general de l'equació de grau 2 demana l'ús d'eines més sofisticades, com les de lateoria algebraica de nombres. Els conjunts de nombres s'enriqueixen, es fan servir elscossos finits i elsenters algebraics, que s'estudien, com per a l'equació algebraica, amb l'ajuda de lateoria de Galois. Si bé l'equació algebraica de grau 2 va ser essencialment resolta perMuhàmmad ibn Mussa al-Khwarazmí, un matemàtic àrab del segle viii, iSavasorda, un matemàtic català del segle xii, en va donar la solució completa, cal esperar la fi del segle xix perquèDavid Hilbert obtingui el seu equivalent diofàntic.[Nota 12] L'estudi de les equacions diofàntiques, sovint, és prou complex per a limitar-lo a establir l'existència de solucions i, si n'existeixen, a determinar-ne el nombre.
Un vast àmbit d'aplicació de les equacions diofàntiques és la informàtica. Les eines procedents dels seus estudis permeten dissenyarcodis correctors i són la base d'algorismes decriptografia. Hi ha equacions diofàntiques que s'escriuen de manera simple, però que demanen temps de tractament prohibitius per resoldre-les, són la base delscodis secrets. Per exemple, l'equación =x·y, en quèn és unnombre natural fixat i en quèx iy són les desconegudes, no és resoluble en la pràctica, sin és el producte de dosnombres primers prou grans. Aquesta equació és la base del codiRSA.[34]
En lloc de preguntar-se quins nombres són solucions d'una equació donada, es pot considerar el problema invers: de quines equacions un nombre donat n'és solució? Un nombre s'anomenaracional si és solució d'unaequació de primer grau ambcoeficientsenters. S'anomenaalgebraic si és solució d'unaequació polinòmica amb coeficients enters. Si no és algebraic, s'anomenatranscendent. Així, per a un nombre donat, l'objectiu és trobar les eventuals equacions polinòmiques de les quals aquest nombre és arrel (vegeu l'articlePolinomi mínim d'un nombre algebraic).
Per exemple, per a la√2, es planteja la qüestió de saber si és possible construir una equació de primer grau que tingui aquest valor per arrel. Es resol fàcilment: si existeix tal equació, se'n dedueix l'expressió2·a² =b², en quèa ib són nombres naturals. L'anàlisi de ladescomposició en factors primers mostra que el terme de la dreta conté el factor 2, un nombre parell de vegades i el de l'esquerra un nombre senar. Aquesta observació demostra que √2 no és un nombre racional.[Nota 13] En canvi, és per definició algebraic, ja que és solució de l'equacióX² - 2 = 0.
La mateixa qüestió per al nombreπ és més delicada. Per a demostrar que aquest nombre no és solució de cap equació de primer grau amb coeficients en els nombres enters, es fan servirfraccions contínues. Les tècniques són més sofisticades que les que es fan servir per a demostrar la irracionalitat de √2. Mentre que la irracionalitat de √2 ja era coneguda en temps d'Euclides,[35] cal esperar fins alsegle xviii per establir la irracionalitat de π.[36]
Si demostrar que π no és solució d'una equació del primer grau amb coeficients en els enters no és ja tan simple, encara és més complicat demostrar que no és solució de cap equació polinòmica amb coeficients enters. Va caldre encara més d'un segle d'esforços per a establir aquesta transcendència.[37] Aquesta clou una vella qüestió, és a dir, si és possibleconstruir amb el regle i el compàs unquadrat d'igualàrea que unacircumferència; aquesta pregunta porta el nom dequadratura del cercle. És impossible, ja que tota construcció d'aquesta naturalesa defineix una superfície d'àrea igual a un nombre algebraic.
Resoldre una equació diofàntica polinòmica no és sempre possible només amb les eines de lateoria algebraica de nombres. Amb aquest tipus de mètode,Ernst Kummer aconsegueix resoldre, a mitjans del segle xix, gairebé tots els casos inferiors a 100 de la cèlebre equació anomenadaúltim teorema de Fermat,[38] però el cas general queda pendent.
Per concloure'l cal la geometria, i més precisament lageometria algebraica. L'equació de l'últim teorema de Fermat s'escriu la manera següent:xn +yn =zn. A condició d'estudiar les solucions en els nombres racionals, es pot dividir entrezn i escriure's l'equacióqn +rn = 1. Siq ir es trien entre elsnombres complexos, notats aquíC, geomètricament, aquesta equació correspon a una figura deC², es tracta d'una superfície real en un espai de dimensió 4. Vista en l'espai projectiu deC², s'obté una superfície real, submergida en unespai compacte la visualització del qual no és intuïtiva. N'hi ha prou amb conèixer els punts racionals d'aquesta superfície per a permetre concloure sobre les solucions del teorema de Fermat.
Latopologia ofereix elements de resposta per a aquesta equació. Una superfície d'aquesta naturalesa té ungènere. Topològicament, pot serequivalent a una esfera (gènere 0), a untor (gènere 1) o a una figura ambn forats (gèneren). En el cas d'unavarietat algebraica, definida per una equació del tipusP(X,Y), en quèP és un polinomi amb coeficients racionals, el gènere de la varietat és una indicació sobre el nombre de solucions. Aquest resultat, que porta el nom deteorema de Faltings, és de la mateixa família d'eines de les que es fan servir per a la demostració del teorema de Fermat.[Nota 14]
Enanàlisi matemàtica, ben sovint és impossible intentar resoldre una equació amb tècniques elementals de substitució o transformació, esperant aïllar-ne la variable. I fins i tot quan això es demostra possible, com per a certes equacions algebraiques, si l'objectiu és l'obtenció d'un valor numèric, l'enfocament que es descriu en aquest paràgraf sovint és menys costós computacionalment.[Nota 15] Sempre es pot transformar l'equació en una de la formaf(x) = 0. Per exemple l'equació següent, en què la desconeguda és un nombre real estrictament positiu:
Es transforma enf(x) = 0 si es posaf(x) = sin(x) + 1/2ln(x). En aquest cas particular, un zero és una solució de l'equació. Seria en va intentar expressar un zero per una fórmula composta de funcions elementals (funcions racionals,funcions exponencials,logarítmiques otrigonomètriques…). En aquest cas, tal expressió no existeix. Caldrà conformar-se a buscar el nombre de zeros, dels intervals que els contenen, així com de les aproximacions d'aquests zeros.[39]
En l'exemple, l'estudi de la funcióf mostra fàcilment que hi ha exactament tres zeros, un en l'interval [0, 1], un en [3, 4] i l'últim en [5, 6]. La continuïtat de f permet construir una primera successió (xn), que convergeix cap al zero de l'interval [0, 1]. Alveïnat de 0, la funció és estrictament negativa, en el punt 1, és estrictament positiva; elteorema del valor intermedi garanteix l'existència d'un zero en aquest interval, ja quef és contínua. Es posax0 = 0, en el punt 1/2, la funcióf és estrictament positiva; se'n dedueix l'existència d'un zero en l'interval [0, 1/2] i es posax1 = 0. En el punt 1/4, és estrictament negativa; se'n dedueix l'existència d'un zero en [1/4, 2/4] i es posax₂ = 1/4 així successivament. Es construeix així una successió que convergeix cap a la solució, cosa que permet obtenir-ne una aproximació tan precisa com es vulgui. Aquest mètode porta el nom decerca dicotòmica i és el primer que s'il·lustra a la figura de dalt.[40]
En l'algoritme precedent, només s'ha fet servir la continuïtat def, elteorema del punt fix és a la base d'un mètode més eficient. Es construeix una funcióg (en vermell a la figura del mig) que té per punt fix (és a dir, un puntx tal comg(x) =x) la solució cercada. S'escullg de tal manera que laderivada en el punt fix sigui la més petita possible. Una solució simple és de definirg(x) =x + λ·f(x). En l'exemple, es pot escollir λ igual a -1/2. Aquesta vegada, és més assenyat escollirx0 igual a 1. Es defineixxn =g(xn-1). Si la derivada deg és propera a 0, la convergència és força millor que la de l'algorisme precedent. En l'exemple escollit, la solució és igual a 0,43247... La quarta iteració del primer mètode dona per valor 0,375 mentre que la quarta del punt fix dona 0,4322...[41]
Laderivabilitat def arreu del seudomini permet posar a punt un algorisme que té una convergència encara millor. El mètode consisteix en: a partir d'un puntx0, igual a 1 en l'exemple, trobar la solucióx1 de l'equació lineal tangent a la funcióf en el puntx0. Després, es construeixx₂ com la solució de l'equació lineal tangent de la funcióf en el puntx1. En l'exemple estudiat, això s'il·lustra a la figura de la dreta: el valor dex₄ és igual a 0,43246, o sigui, té quatre decimals exactes. Aquest mètode s'anomenamètode de Newton.[42]
El mètode del descens del gradient s'aplica a tota equació d'un espai vectorial de dimensió finita i amb valors en el conjunt delsnombres reals. Aquí s'il·lustra amb l'ajuda d'una representació de la funció en corbes de nivell
Si l'equació pren la formaf(x) = 0, en quèf és una funció d'unespai vectorialE amb valors en un espai vectorialF, el vector nul del qual és notat 0, les idees de l'àlgebra lineal encara s'hi poden aplicar parcialment. És possible escollir una base d'E i una deF i expressarf amb l'ajuda dem funcionsfjreals den variablesxk, en quèm és la dimensió deF in la deE, s'obté el que s'anomena unsistema d'equacions, de la forma següent:
Aquesta representació correspon a la mateixa equació que la que es representa a l'esquerra, però aquí en dimensió 3
S'apliquen les mateixes limitacions que les descrites en el paràgraf precedent. És possible que la tècnica d'aïllament de les variables, que funciona en el cas de l'equació lineal, no hi sigui possible, per exemple si lesfi contenen expressions massa complexes. Algunes de les idees, expressades en el cas en quèf és una funció de variable real amb valors reals, es poden adaptar a la geometria d'un espai vectorial de dimensió finita, d'altres no. No existeix un equivalent del teorema dels valors intermediaris per a la nova configuració. En canvi, el teorema del punt fix es generalitza, així com la definició d'una derivada.
La derivada, o més aviat eldiferencial def, es pot fer servir de diverses maneres. La primera és una simple adaptació del mètode de Newton: a partir d'un puntx0, es resol l'equació lineal tangent en aquest punt, és a dir, Dfx0·h +f(x0) = 0. El valorx1 és igual ax0 +h i es reitera el procés per obtenir una successió. SiE és igual aF i, per permetre una convergència més ràpida, es resol sovint una equació lineal anàloga, però tal que l'aplicació lineal associada defineix un producte escalar. Aquesta astúcia permet una acceleració del temps de tractament de la resolució de les equacions lineals intermèdies, el mètode associat porta el nom dequasi-Newton.[43]
Un altre mètode consisteix a transformar el conjunt d'arribada enR+, per exemple equipantF amb unproducte escalar i cercant els zeros de la funcióg amb valors reals, que a cadax li associa el quadrat de lanorma def(x), o fins i tot el producte escalar def(x) perx, siE és igual aF. Les dues equacionsf(x) = 0 if(x)² = 0 tenen les mateixes solucions. El problema es transforma per trobar un extrem de la nova funcióg. Es comença en un puntx0 en la direcció de la línia de major pendent, la direcció del qual ve donada pel gradient, i hom s'atura al puntx1, el mínim de la funcióg en la direcció del gradient. Després, es reitera el càlcul.[Nota 16]
L'aerodinàmica d'un objecte en vol es regeix per una equació que s'estudia amb l'ajuda de l'anàlisi funcional. Calen eines potents tals com l'espai de Hilbert per a establir-hi alguns teoremes generals
Si l'espai vectorialE és més vast i ja no és de dimensió finita, s'han de fer servir altres idees per a resoldre l'equació. Aquest cas es dona si la desconegudax designa una funció. Encara més, és en va cercar mètodes sistemàtics per expressar les solucions sota la forma d'una composició de funcions elementals, els casos en què tals expressions existeixen són més l'excepció que la regla.
Un mètode general[44] consisteix a associar a un espai de funcionsHp, com el de les funcions contínues definides sobre un interval [a,b], una geometria. Per a fer-ho, es pot definir sobre l'espai unadistància euclidiana, és a dir, definida per unproducte escalar com el que, en dues funcionsf ig deHp els associa:
Amb l'ajuda d'aquesta distància, es construeix una successió de funcions (xn) que verifica lapropietat de Cauchy; és a dir, que si els índexsn im són prou grans,xn ixm són arbitràriament propers. Un exemple en ve donat per l'equació integral, anomenadade Fredholm:[45]
La successió (xn) s'ha construït de tal manera que la distància entre les funcionsFxn(t) ig(t) tendeixi cap a zero. La dificultat és que una successió de Cauchy no convergeix necessàriament enHp, cosa que ve a dir que aquest espai no éscomplet. Llavors, sesubmergeix en un espaiH que el conté i que és complet.[46] Un element deH ja no és una funció, pot ser vist com un element deldual deHp.[47] EnH, la successió (xn) convergeix cap a un límits. Es pot interpretar com una solució de l'equació(1), ja que la distància entreF(s) ig és nul·la. Peròs no és una funció; és un ens abstracte, element del dual deHp, se'n parla desolució feble. Finalment, es demostra que aquest ens abstracte s'identifica amb un element deHp, és a dir, una a funció que verifica l'equació(1), anomenadasolució forta.[48][Nota 17]
Una vegada conegudes la velocitat i la posició d'uncometa en un instantt, la resolució d'unaequació diferencial permet determinar la seva trajectòria exacta.
Lafísica és l'origen d'unes equacions funcionals particulars: els sistemes dinàmics. Un exemple històricament cèlebre, procedeix de lallei de la gravitació universal. Si es negligeix l'atracció deguda als altres planetes, l'acceleració de laTerra es dirigeix cap alSol i la seva intensitat és inversament proporcional al quadrat de la distància que separa els dos astres. Aquesta llei física es tradueix en una equació que, una vegada conegudes la posició i la velocitat inicials de la Terra, dona la seva trajectòria, és a dir, la seva posició en funció del temps. Històricament, la capacitat per a preveure la posició exacta dels cometes al segle xviii va ser una confirmació de la teoria de Newton.[Nota 18]
Un sistema que evoluciona i del qual una equació permet conèixer exactament el seu estat en el transcurs del temps, a condició de conèixer el seu estat inicial, es qualifica dedinàmic. Els sistemes dinàmics es poden classificar en tres grans categories. La formulació més simple s'anomenadiscreta,[Nota 19] l'estat del sistema es descriu en diferents etapes, notades pels enters 0, 1, 2...,k... i la solució n'és unasuccessió (uk). Aquest tipus de sistema es fa servir per a simular un comportament continu, discretitzant el temps amb l'ajuda d'intervals prou petits perquè la imprecisió generada per aquest mètode resti en límits acceptables. Conèixer la trajectòria exacta d'un cometa suposa tenir en compte l'atracció de tots els cossos del sistema solar. Resoldre l'equació en aquest cas es fa difícil; llavors, es pot suposar que, en un segon, la gravetat és gairebé constant, la trajectòria del cometa és gairebé parabòlica i la seva posició al cap d'un segon es calcula fàcilment, una vegada coneguda la posició dels diferents cossos massius com els planetes o el Sol. Llavors, n'hi ha prou amb recalcular, a cada segon, la nova atracció per obtenir una successió que en dona una aproximació de la trajectòria real. Si (pk,vk) designa la parella posició i velocitat del cometa en el segonk, existeix en dues funcionsf ig:
S'obtenen successions definides per recurrència, característica d'un sistema dinàmic discret.[49]
També és possible seguir un altre camí. Una relació que lliga la posició del cometa amb la sevavelocitat instantània (que, en matemàtiques, s'anomenaderivada) i la sevaacceleració (oderivada segona). Resoldre l'equació permet trobar la trajectòria del planeta.[Nota 20] L'equació pren una forma de la naturalesa següent, anomenadaequació diferencial:
Finalment, l'objectiu pot ser determinar l'estat d'un objecte que no es tradueix en un vector d'un espai de dimensió finita, sinó per una funció, com per exemple l'estat d'unacorda vibrant. Es parla d'equació en derivades parcials.[50]
Traçat d'una solució d'una equació diferencial (blau) de la formax' = φ(x), la funció s'il·lustra en verd.
La lletrax aquí designa unafunció de variable real if una funció den + 1 variables reals. SiguiF la funció que ax li associa la funciót ↦f(t,x(t),x'(t),x(2)(t),...,x(n)(t)), en quèx(k) és la derivadakèsima de la funcióx. Es planteja l'equacióF(x) = 0. Aquesta equació s'anomenaequació diferencial.
Les solucions, en general, s'estudien sota la «forma de Cauchy», és a dir, associades als valorst0 ,ξ0 ,ξ1,... ,ξn-1 tals que una solució verifica:
La situació és una mica anàloga a la de les equacions polinòmiques. Hi ha una teoria d'equacions diferencials.[51] Un primer resultat global és elteorema de Cauchy-Lipschitz, que garanteix que, sif és unafunció de Lipschitz, existeix una única solució alproblema de Cauchy. Resoldre el problema de Cauchy consisteix a determinar la solució d'una equació diferencial que verifica una condició inicial donada.[52] En certs casos particulars, és possible explicitar-ne directament una solució, com per a l'equació diferencial d'ordre 1 amb variables separades o l'equació diferencial lineal, però no sempre.
L'exemple de dreta il·lustra una solució d'una equació de la formax' = φ(x), en què la solució que s busca és una funció que defineix una corba del pla. La seva variable és real i té valors enR². La funció φ és una funció contínua deR² enR². A cada punt del pla, li associa un vector, s'anomenacamp vectorial. Una soluciós té la propietat de tenir, per a cada puntp de la seva imatge, una tangent a la corba de direcció φ(p). La velocitat escalar a l'instantt[Nota 21] és igual a la norma de la imatge per φ del punts(t).
L'equació que regeix la superfície del mar és una equació en derivades parcials
La física proposa diversos exemples en què la solució buscada no depèn d'una, sinó de diverses variables. Un cas relativament simple és el d'una ona sobre unacorda vibrant. La funció que descriu la seva posició depèn de dos paràmetres, el temps i una coordenada per a descriure un punt de la corda. Per a descriure una ona calen tres variables, dues en descriuen la posició d'un punt de la superfície, i la tercera el temps. Enfísica quàntica, larelació fonamental de la dinàmica es tradueix per unaequació d'ona que requereix quatre variables, tres per a l'espai i una pel temps. Aquest principi fonamental s'anomenaequació de Schrödinger.
L'equació equivalent a la del paràgraf precedent, per a una funcióx de diverses variables, s'anomenaequació en derivadesparcials. L'equivalent del problema de Cauchy s'expressa de manera més complexa. la condició inicial és reemplaçada per lescondicions de contorn. En certs casos, se cerca com a solució una funció definida sobreΩ × [a,b] en què Ω és un obert que se suposa fitat,connex i tal que la seva frontera és regular,[Nota 22]a,b és un interval que representa el temps. Les condicions de contorn s'expressen en forma de dues restriccions. L'una correspon al valor o el límit de la funció sobre∂Ω × ]a,b[. La funció que modelitza els moviments d'una membrana de tambor és constant al contorn de la membrana; aquesta restricció s'anomena lacondició de contorn de Dirichlet. Els valors de la funció sobreΩ × {a} s'anomenen lacondició inicial odada de Cauchy.[53]
Enmeteorologia, laprevisió numèrica del temps consisteix a modelitzar els moviments de l'atmosfera terrestre per lesequacions de Navier-Stokes.[54] Una dificultat pràctica és la de determinar amb precisió la dada de Cauchy: caldria mesurar latemperatura, lapressió, lahumitat, etc., en tot punt de l'atmosfera. Aquesta dificultat, afegida al fet que no se sàpiga resoldre l'equació de Navier-Stokes, fan que els mètodes de resolució emprats siguin numèrics: no se'n poden calcular més que valors aproximats.[55]
Certes equacions en derivades parcials no són tan complexes.Fourier, un matemàtic de començament del segle xix, havia trobat com es difon la calor en un cos sòlid en el cas de condicions de contorn simples.[56] L'especificitat d'aquesta equació, com la que descriu les ones que es propaguen sobre una corda vibrant, és de ser lineal, és a dir, que se la pot posar sota la formaa(x) +b = 0, en quèa és un operador lineal construït amb l'ajuda de derivades parcials, ib una funció particular. El cas lineal se'n tracta amb una teoria «relativament ben constituïda».[57] L'eina principal és un espai funcional particular, anomenatdeSobolev.
Altres equacions continuen sent de difícil accés. La superfície d'un oceà també es modelitza per una equació en derivades parcials. Com fa pensar la forma d'una ona, l'expressió d'una solució es pot mostrar difícil.[Nota 23] S'està lluny de disposar-ne d'una teoria general;[58] els dos apartats que segueixen indiquen el tipus de dificultats a resoldre per comprendre els sistemes dinàmics.
Una de les qüestions que es formula sobre els sistemes dinàmics és la naturalesa de la solució en funció del seu valor inicial. Si una petita modificació d'aquest valor canvia de manera important el comportament de la solució, fins i tot si el sistema ésdeterminista, la seva evolució semblaràaleatòria. Determinista significa que tota evolució del sistema depèn de manera única del seu valor inicial; el coneixement perfecte d'aquest valor inicial permet preveure perfectament el seu futur, cosa que és sempre el cas d'un sistema dinàmic. En física, és impossible conèixer perfectament l'estat inicial del sistema. Se'l coneix, per exemple amb una precisió de 5 decimals; si el sisè decimal acaba modificant l'evolució del sistema de manera significativa, el futur de l'evolució no és perfectament conegut, sinó que depèn d'una informació inaccessible i el futur apareix com a incert, fins i tot si les lleis que modelitzen l'evolució són deterministes. Aquest fenomen es produeix en meteorologia; aquesta ciència està modelitzada per un sistema dinàmic que, per a permetre una previsió a llarg termini, necessita un coneixement precís de l'estat inicial. Com que aquest coneixement és d'una precisió limitada, existeix un horitzó en la previsió.[59] Si bé l'equació que modelitza la meteorologia és ben coneguda, no se sap sempre si les solucions depenen contínuament dels valors a les fronteres del domini de la solució (l'equivalent s és la condició inicial per a una equació a les derivades parcials); aquesta qüestió correspon a un delsset premis d'un milió de dòlars oferts per l'Institut de Matemàtiques Clay al primer que n'aporti la resposta.[60]
Un mètode per apropar-se a la resposta és estudiar-ne els casos més simples possibles. S'intenta comprendre aquest fenomen sobre una successió recurrent definida per l'equació:xn+1 =f(xn) en quèf és un polinomi de segon grau, real o complex. Un cas molt estudiat és el def(x) =x² +c. Aquí, la condició inicial és el valor dex0, un nombre complex.Jc és el conjunt de les condicions inicials tals que la successió és fitada, s'anomenaconjunt de Julia, un exemple del qual s'il·lustra a la figura de l'esquerra. Tota condició inicialp fora de lafrontera deJc té unveïnat que no conté més que condicions inicials tals que el comportament de les successions que els correspon són qualitativament anàlogues. Els colors indiquen els valors de convergència, la intensitat simbolitza la velocitat de convergència.[61]
Una primera qüestió que es planteja és elpes de la zona frontera. Sobre aquesta zona, existeix sempre una pertorbació de la condició inicial, per mínima que sigui, que modifica la naturalesa de la solució. En les configuracionsclàssiques, una frontera d'una figura geomètrica de dimensió 2 téàrea nul·la, fins i tot si la figura té una àrea estrictament positiva. Així, uncercle de radi estrictament positiu és d'àrea estrictament positiva i la seva frontera, unacircumferència d'igual radi, té àrea nul·la. En canvi, la circumferència, considerada com una corba, té unalongitud finita. Per la frontera del conjunt de Julia, aquest mètode es mostra de vegades inoperant; es pot trobar una longitud infinita, si la frontera es considera com una corba.[62] Per a avaluar el pes d'aquesta longitud, es fa servir una observació geomètrica. SiguiS una superfície d'àreas, l'homotècia de relació 2 aplicada aS defineix una nova superfície d'àrea 2²·s. SiV és una figura geomètrica de dimensió 3 i de volumv, l'homotècia de relació 2 defineix una figura de volum23·v. L'exponent que s'aplica a la relació d'homotècia indica la dimensió de la figura, cosa que, en certa manera, permet una avaluació delpes de la figura: es parla dedimensió de Hausdorff o dedimensió fractal.[63] Aquesta tècnica es pot aplicar a la frontera del conjunt de Julia; la seva dimensió és, en general, diferent d'1:[64] la frontera s'anomenafractal.[65]
Una successió recurrent, fins i tot definida de manera simple, permet veure l'aparició de fenòmens caòtics
La sensibilitat a la condició inicial no és l'única qüestió a resoldre per a elaborar una teoria general dels sistemes dinàmics. També es desitja conèixer el comportament límit del sistema, també anomenatcomportamentasimptòtic; és a dir, el que es dona una vegada ques'ha esperat que el sistema s'estabilitzi. Si no divergeix, es pot classificar el seu comportament en tres categories, o bé el sistema s'atura en un determinat estat, o bé tendeix cap a una evolució cíclica entre un conjunt d'estats, o bé cap a una altra cosa que, segons certes definicions, s'anomenacaos.[66]
A més, és útil considerar el sistema dinàmic més simple possible, per a comprendre pel cap baix qualitativament els mecanismes que hi entren en joc. Com abans, es fa servir una successió recurrent definida per un polinomi del segon grauPr, aquesta vegada real amb valors reals. Lasuccessió logística es defineix per recurrència:xr,n+1 = r·xr,n.(1 -xr,n). Un dels encants d'aquesta successió és que el seu comportament és relativament independent de la condició inicial si s'escull entre 0 i 1.[Nota 24]
Lesturbulències generades per les masses d'aire al voltant d'una ala d'avió en moviment són caòtiques
L'objectiu n'és augmentar el valor der, al començament nul, i estudiar aquest comportament asimptòtic. Si una funcióf té un punt fixpf, ambderivada estrictament compresa entre -1 i 1, en valor absolut, i si la successió definida perxn+1 =f(xn) pren un valorproper a aquest punt fix, llavors convergeix cap apf. Aquest punt s'anomenaatractor i la zona dels valors inicials on les successions convergeixen cap a aquest punt s'anomenaconcad'atracció. Per a una successió logística, la conca d'atracció principal conté sempre [0, 1], tret d'unconjunt de mesura nul·la, sigui quin sigui el valor de l'atractor. La successió sembla atreta, com per un imant, cap a aquest atractor. Sir està comprès entre 0 i 3, l'atractor és un punt i la successió convergeix. A partir del valor 3, el polinomiPr ja no té punt fix, però el polinomi compost amb ell mateix, en té un, sir és prou petit. El comportament asimptòtic de la successió és una oscil·lació entre els dos punts fixos atractius dePr². El valor 3 der s'anomena unabifurcació. L'atractor esdevé un conjunt de dos elements, il·lustrat a la figura de la dreta. En el punt 1+√6, es produeix una nova bifurcació; l'atractor té llavors 4 punts. El cardinal de l'atractor augmenta cada vegada més en funció der duplicant-se, fins a atènyer un valor infinit per ar igual a μ, que se situa entorn de 3,57.[67]
Es fa necessari precisar el que s'entén per «atractor»: és la intersecció dels conjuntsAn onAn és laclausura (matemàtiques) dels puntsx k per ak superior an. En el cas de la successió logística i a excepció d'un conjunt de mesura nul·la, l'atractor és independent de la condició inicial. Es pot veure l'atractorAr com un conjunt que atreu els elements de la successió, la qual, a partir d'un cert rang, esdevé arbitràriament propera aA. Entre μ i 4, és possible un triple comportament. Per a un conjuntH (d'«hiperbòlic»[68]) de valors del paràmetrer que és un obert des de [μ, 4], l'atractor és un conjunt finit[69] (comportament cíclic). Per a un altre conjuntC (de «caòtic»[70]) de valors del paràmetre, que és tancat,totalment discontinu i demesura estrictament positiva, per agairebé tots els valors inicialsx0 (depenent der), l'atractor és un interval d'interior no buit i el comportament n'és caòtic,[71] és a dir, que evoluciona sense ordre aparent, a excepció d'un conjunt de mesura nul·la, semblant, que evoluciona a l'atzar, fins i tot si aquesta evolució és, de fet, determinista. L'últim comportament es produeix sobre el conjuntA, complementari de la unió deC i deH en [μ, 4]. El conjuntA no és buit; el comportament és, llavors, més complex i fa intervenir, com a atractor, elsconjunts de Cantor.[Nota 25] Des del 2002, se sap queA és de mesura nul·la.[72]
Aquest comportament s'aplica també a les equacions diferencials o a les equacions en derivades parcials.Edward Lorenz ha trobat una equació diferencial relativament simple, que té un atractor fractal, generalment qualificat d'estrany, i es representa a la segona il·lustració d'aquest article.[73] Certes equacions diferencials no poden tenir solucions tan complexes; elteorema de Poincaré-Bendixson mostra una família d'equacions que no tenen comportament caòtic.[74] Solucions caòtiques complexes apareixen també en les equacions de derivades parcials; se les troba en les modelitzacions dels moviments de les masses d'aire, per exemple al voltant de les ales d'un avió, que prenen la forma deturbulències. El2009, l'estat de les matemàtiques està lluny de ser capaç de presentar una condició necessària i suficient general, que indiqui si hi apareix o no un comportament caòtic, fins i tot en el cas dels sistemes discrets.
↑Una altra font proposa una definició amb el mateix esperit: «A statement of equality between two expressions. Equations are of two types,identities andconditional equations (or usually simply "equations")». (en anglès)
↑El termeinequació correspon a una definició diferent; vegeu, per exemple, la definició proposada a l'entrada "InéquationArxivat 2011-02-17 at Wikiwix" (Enciclopèdia Encarta). Si bé en certs casos particulars com en el cas, per exemple, de certes equacions estudiades en l'ensenyament preuniversitari (L. Pecqueux,Équations - Inéquations) els temes són connexos; en el cas general són prou allunyats per merèixer tractaments diferents. En conseqüència la inequació es tracta en un article separat.
↑En termes moderns, observant que la funció éscontínua i definida sobre uncompacte, n'hi ha prou per demostrar l'existència d'un màxim
↑El raonament de l'època consistia a demostrar que tota solució és necessàriament un triangle dos costats adjacents del qual són d'igual longitud. Aquest resultat demostra la unicitat d'una eventual solució, però no en demostra l'existència. F. Dress indica: «O Perron ha observat que el mateix esquema de demostració provaria que "el nombre 1 és el major nombre natural", ja que a tot nombre naturala diferent d'1 se li pot en efecte associar un nombre natural més gran, el seu quadrata². Aquest argument només demostra que el nombre 1 és l'únic candidat possible, i l'error d'aquesta "demostració" és evidentment que aquí el màxim no existeix. » F. DressQuelques grands problèmes en mathématiques[Enllaç no actiu] Butlletí de la societat de matemàtiques de França T 115 (1987) pàg. 43
↑Tots aquests mètodes es presenten i s'analitzen en la referència següent: C. Brezinski M. Redivo-ZagliaMéthodes numériques itératives: Algèbre linéaire et non linéaire Ellipses Marketing (2006)ISBN 2729828877
↑Es troba una curta introducció a l'anàlisi funcional en la referència d'aquesta nota. Comença per l'estudi dels espais de Hilbert (cap VIII pàg. 147) i acaba en el de l'operador de Fredholm (cap IX pàg. 203): S. LangAnalyse réelle InterEditions, Paris (1977)ISBN 2729600590
↑Al començament, «El director de l'Observatori de París, Jean-Dominique Cassini, sembla ignorar les teories de Newton i de Halley. » 50 anys més tard, el seu fill Jacques s'uneix a la concepció newtoniana i heliocèntrica del sistema solar. Escriu : «... no hem cregut haver d'apartar-nos del sentiment el de manera més comuna rebut dels Astrònoms, que són Planetes que fan les seves revolucions al voltant del Sol, respecte al qual ells [els cometes] descriuen Orbes molt excèntrics. » F. MichelLes comètes observées en France au début du XVIIIe siècleArxivat 2008-05-11 aWayback Machine.
↑No és més que la formulació el que és més simple, en el cas d'un sistema lògic, s'atribueix té Birkhoff l'afirmació següent: «El continu, és més simple que el discret»: D. PerrinLa suite logistique et le chaos Université Paris Sud 11 Orsay p 8
↑ La velocitat escalar (oceleritat correspon a lanorma (omòdul) de la derivada de φ, o per a un automòbil, a l'escalar precisat pelvelocímetre
↑Aquestes hipòtesis de regularitat del domini no són generals, s'estudien de vegades dominis la frontera dels quals és unafractal, un article cèlebre en aquest tema és: M. KacCan you hear the fractal dimension of a drum? Ann. Math. Month. Vol 73 pàg 1-23 (1966)
↑Un estudi de la dinàmica de les ones es proposa a: D. J. AchesonElementary Fluid Dynamics Oxford University Press (1990)ISBN 0198596790 pàg. 56 a 110
↑Per comprendre el comportament una mica estrany de la successió en aquest cas particular, es pot consultar el llibre següent, que tracta qüestions d'aquesta naturalesa: W. de Melo S. van StrienOne-Dimensional Dynamics Springer (1996)ISBN 3540564128
↑Aquesta equació prové del llibre deR. RecordeThe Whetstone of Witte publicat el 1557. Vegeu: J. J. O'Connor E. F. RobertsonRobert RecordeArxivat 2013-04-15 aWayback Machine. al lloc web sobre la història de les matemàtiques de la Universitat de St. Andrews
↑Glenn James i Robert C. James (editors). «Equació», aMathematics dictionary, Van Nostrand, 1968, 3a edició (1a edició 1948), p. 131
↑The algebra of Mohammed ben Musa. Edited and translated by Frederic Rosen (1831)Llegir-lo online, pàg. 104
↑«equació» enEncyclopaedia of mathematics - An updated and annotated translation of the Soviet Mathematical Encyclopaedia (Michel Hazewinkel, éd.), Reidel, 1988, vol. 3, pàg. 399.ISBN 1556080107Llegir-lo online. L'article, no signat, diu «estar basat en l'article del mateix nom de la Gran Enciclopèdia Soviètica.»(en anglès)
↑Es troba també una definició o la idea de problema a resoldre hi és subjacent a l'Encyclopédie EncartaArxivat 2009-06-02 aWayback Machine., també sense signar: «Igualtat entre dues expressions matemàtiques de la qual es busca si es verifica per a cert(s) valor(s) de la variable anomenada desconeguda.»
↑Aquest resultat s'atribueix aZenodor alsegle II aC: P. NahinWhen Least Is Best: How Mathematicians Discovered Many Clever Ways to Make Things as Small (or as Large) as Possible Princeton University Press p 47 (2007)ISBN 0691130523
↑L'anàlisi numèrica és una vasta disciplina que tracta en particular de la resolució d'equacions de diferent naturalesa, a la pàgina 2 d'aquesta referència, es troba: «Aquest curs és una introducció als mètodes d'anàlisi numèrica ... per tal de resoldre les equacions algebraiques o diferencials »: P. ViotMéthodes d'analyse numérique Curs en línia d'un bon nivell matemàticDEA
↑L'ús d'una notació que indica una indeterminada més que una variable no és rara en àlgebra, és així com es defineix l'equació polinòmica a:La théorie de Galois et l'arithmétiqueArxivat 2013-10-04 aWayback Machine. Imatges de matemàtiques, CNRS (2004)
↑Pel que fa a això vegeu: P. FregugliaSobre la teoria de les equacions algebraiques entre el segle xvi i el segle XVII Bollettino di storia delle scienze matematiche 1994, volum 14, n°2, pàg. 259-298
↑Hi ha diverses formulacions d'aquest teorema. En la referència següent, es formula per: «El cos C dels nombres complexos és algebraicament tancat.», els enunciats semblen diferents però a l'articleTeorema fonamental de l'àlgebra s'explicarà que els dos són equivalents. Adrien Douady i Régine Douady, Àlgebra i teories de Galois pàg 283
↑Se la troba a l'article: Sobre la història del teorema fonamental de l'àlgebra: teoria de les equacions i càlcul integral Archive for History of Exact Sciences volum 42 n°2 pàg. 91 136.
↑Aquest lloc web precisa «Tanmateix aquestes fórmules no es fan servir mai en la pràctica, ja que condueixen a càlculs molt més llargs que el mètode del pivot de Gauss»: V. F. BayartPivot de GaussArxivat 2013-10-04 aWayback Machine. per Bibm@th.net
↑K. Chemla G. ShuchunLes neuf chapitres: le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires Paris Dunod (2004)ISBN 2100077783
↑A. GazagnesUn problème de restes et sa résolution par Qin Jiushao au 13e siècle Butlletí de l'APMEP. N° 444 pàg. 51-62 (2003)
↑Una anàlisi local de la representació de les subvarietats deRn es tracta a la pàg. 56 i pàg. 101. El cas de les corbes més general que el de les subvarietats de dimensió 1, es tracta localment a pàg. 300 a 333 i de manera global a pàg. 334 a 372 Marcel Pastor, Bernard Gostiaux, Geometria diferencial: varietats, corbes i superfícies
↑Aquest terme és freqüent, es troba per exemple a:J. Dieudonné P. DugacAbrégé d'histoire des mathématiques, 1700-1900 Hermann (édition de 1996)ISBN 2705660240 pàg. 227 a l'edició de 1986
↑Aquesta qüestió es tracta a: B. RittaudLe fabuleux destin de √2 Le Pommier (2006)ISBN 2746502755. Es troba també una referència més acadèmica a: T. M. Apostol Irrationality of The Square Root of Two - A Geometric Proof. The American Mathematical Monthly 107 (9): pàg. 841-842 (nov. 2000)
↑La primera demostració, que contenia encara llacunes en el sentit del rigor que es demana a les demostracions actuals, es troba en la referència:Johann Heinrich LambertMémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques Memòries de l'Acadèmia de les Ciències de Berlín, 17 1761 pàg. 265-322
↑Aquesta transcendència es demostra per primera vegada a l'article: Zu Hrn. Lindemanns Abhandlung: 'Über DIè Ludolph'sche Zahl', Sitzungber. Königl. Preuss. Akad. Wissensch. zu Berlín, 2, pàgines 1067-1086, 1885
↑Per als detalls de la història d'aquesta equació explicats de forma planera, vegeu: Simon Singh,L'Últim Teorema de Fermat Hachette Littérature (1999) (ISBN 2-01-278921-8), una versió més acadèmica és : H. M. Edwards, The background of Kummer's proof of Fermat's Last Theorem for regular primes, Arch. History Exact Sci. 14(1975)
↑En aquest lloc web s'explica com buscar el nombre de zeros, els intervals que els contenen, així com mètodes d'aproximació, primer per a polinomis i després per a funcions qualssevol:Thèmes d'analyse numérique Laboratori de Matemàtiques E. Picard, Université Paul Sabatier a Tolosa de Llenguadoc
↑Aquest lloc web presenta el mètode de Newton i de Quasinewton i explica per què el mètode de Newton és més ràpid: R. TapieroMéthodes newtoniennesArxivat 2006-11-16 aWayback Machine. Universitat de Lyon I
↑Aquest enfocament és comú a les dues referències bibliogràfiques d'aquest article: Els llibres de J P. Aubin i de H. Brézis
↑Es troba el nom d'aquesta equació així com un estudi a la pàgina 99 de: Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle: théorie et applications
↑Es pot trobar la construcció de la compleció de l'espaiHp a: J. P. AubinAnalyse fonctionnelle appliquée Puf 1987ISBN 02463822 Error en ISBN: longitud ni 10 ni 13 Vol 1 capítol VI pàgines 142-168
↑És així com s'explica a la referència: J. P. AubinAnalyse fonctionnelle appliquée Puf 1987ISBN 02463822 Error en ISBN: longitud ni 10 ni 13 Vol 1 capítol V pàgines 117-137
↑Aquesta distinció es descriu de manera u més general, en el context dels espais de Sobolev en: Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications pàgina 119
↑Aquesta descripció és àmpliament simplificada respecte als mètodes que realment es fan servir, fins i tot si l'ús de successions definides per recurrència és exacte: M. Fouchard Ch. Froeschlé S Breiter R. Ratajczak g. B. Valsecchi i H. RickmanMethods to study the dynamics of the Oort cloud comets II: modelling the galactic tide Lectura Notes in Physics 729 pàg. 271 293
↑Aquestes expressions s'expliquen a Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications pàg. 204
↑Es llegeix «Els escolaments turbulents, i els moviments de l'atmosfera són particularment turbulents, es poden modelitzar amb les equacions de Navier-Stokes» al lloc web: Sur une idée de Philippe Courtier (Météo-France) et Claude Basdevant (ENS-Ecole Polytechnique-Paris)Une météo turbulente a France-diplomatie.
↑Es troba l'explicació d'aquesta figura a: J. Dubois J. ChalinLe monde des fractales Ellipse (2006) EllipsesISBN 272982782 Error en ISBN: longitud ni 10 ni 13
↑És el cas sic és un real de l'interval ]-2, 2[, diferent de 0: C. VerckenEnsemble de JuliaArxivat 2010-04-15 aWayback Machine. per l'Ecole nationale supérieure des télécom Paris
↑Aquest lloc web estudia la successió recurrent del paràgraf i defineix la dimensió fractal. És indicada com a equivalent a la dimensió d'Hausdorff-Besicovitch en els casos simples: J. P. LouvetDimension fractaleArxivat 2010-04-14 aWayback Machine. per l'Université de Bordeaux I
↑Hi ha diverses definicions diferents. La que s'ha triat aquí és la que es troba a: R. L. DevaneyAn Introduction to Chaotic Dynamical Systems Westview Press 2nd ed (2003)ISBN 0813340853 pàgines 48-52
.jpg)
.png)
.png)
.jpg)
