Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Vés al contingut
Viquipèdial'Enciclopèdia Lliure
Cerca

Distribució de probabilitat

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Una funció dedistribució normal, coneguda pel nom de «campana de Gauss» en honor deCarl Friedrich Gauss (1777–1855).
Percentatges de probabilitat a ladistribució normal.

Enprobabilitats iestadística les expressionsdistribució de probabilitat ollei de probabilitat tenen diversos sentits: per a nombrosos autors, són sinònimes de Probabilitat, però molts altres autors les reserven per a les probabilitats aRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}},n≥1{\displaystyle n\geq 1}. Però hi ha unanimitat en els termesllei odistribuciód'una variable aleatòria o vector aleatori per referir-se a la probabilitat sobreRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} induïda per la variable aleatòria o vector aleatori. Atès que hi ha una correspondència bijectiva entre les probabilitats sobreRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}i lesfuncions de distribució, es pot donar la distribució d'una variable aleatòria o vector mitjançant la seva funció de distribució; si bé això és interessant des del punt dels resultats generals, per a distribucions de variables o vectors concrets (normals, binomials, etc) les funcions de distribució són sovint feixugues d'utilitzar, i llavors és molt habitual fer servir la funció de densitat (cas absolutament continu), la funció de probabilitat (cas discret), la funció característica o alguna altra transformació que determini unívocament la distribució.

Definició 1

[modifica]

Molts autors[1][2] utilitzendistribució de probabilitat ollei de probabilitat per designar una probabilitat o mesura de probabilitat en un espai mesurable general(Ω,A){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}, onΩ{\displaystyle \Omega } és un conjunt arbitrari iA{\displaystyle {\mathcal {A}}} és una família de subconjunts d'Ω{\displaystyle \Omega } que té estructura deσ{\displaystyle \sigma }-àlgebra:

  1. Ω∈A{\displaystyle \Omega \in {\mathcal {A}}}.
  2. SiA∈A{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}, llavors,Ac∈A{\displaystyle A^{c}\in {\mathcal {A}}}, onAc{\displaystyle A^{c}} designa el complementari del conjuntA{\displaystyle A}.
  3. Si tenim una col·lecció numerable d'esdeveniments,{An,n≥1}⊂A{\displaystyle \{A_{n},\,n\geq 1\}\subset {\mathcal {A}}}, aleshores⋃n=1∞An∈A{\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}}.

En aquest context, una distribució de probabilitat o llei de probabilitat és una aplicacióP:A→[0,1]{\displaystyle P:{\mathcal {A}}\to [0,1]} que compleix

  1. P(Ω)=1{\displaystyle P(\Omega )=1}.
  2. Per a qualsevol família numerable d'esdeveniments,{An,n≥1}⊂A{\displaystyle \{A_{n},\,n\geq 1\}\subset {\mathcal {A}}}, disjunts dos a dos: sii≠j, Ai∩Aj=∅{\displaystyle i\neq j,\ A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }, tenimP(⋃n=1∞An)=∑n=1∞P(An).{\displaystyle P{\Big (}\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}{\Big )}=\sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n}).}

Per a molts autors, unadistribució de probabilitat ollei de probabilitat és una probabilitat en un espai mesurable general(Ω,A){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}.

Definició 2

[modifica]

Per a d'altres autors,[3]distribució de probabilitat ollei de probabilitat es reserva per a probabilitats sobre els nombres realsR{\displaystyle \mathbb {R} } o sobreRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

Per a d'altres autors, unadistribució de probabilitat ollei de probabilitat és una probabilitat sobre l'espai mesurable(Rn,B(Rn)){\displaystyle {\big (}\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R^{n}} ){\big )}} onB(Rn){\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})} és laσ{\displaystyle \sigma }-àlgebra de Borel sobreRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}},n≥1{\displaystyle n\geq 1}.

Exemples

[modifica]

1. Unadistribució de probabilitat normal estàndard ve donada perp(A)=12π∫Ae−x2/2dx,∀A∈B(R).{\displaystyle p(A)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{A}e^{-x^{2}/2}\,dx,\quad \forall A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).}En particular, per a−∞≤a≤b≤∞,{\displaystyle -\infty \leq a\leq b\leq \infty ,} l'interval[a,b]{\displaystyle [a,b]} té probabilitatp([a,b])=12π∫abe−x2/2dx.{\displaystyle p{\big (}[a,b]{\big )}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-x^{2}/2}\,dx.}2. Unadistribució de probabilitat binomial de paràmetresn=4{\displaystyle n=4} ip=0,2{\displaystyle p=0,2} és la probabilitat determinada per:p({0})=(40)0,200,84=0,4096, p({1})=(41)0,20,83=0,4096, p({2})=(42)0,220,82=0,1536, p({3})=(43)0,230,81=0,0256, p({4})=(44)0,240,80=0,016,{\displaystyle p(\{0\})={\binom {4}{0}}0,2^{0}\,0,8^{4}=0,4096,\ p(\{1\})={\binom {4}{1}}0,2\,0,8^{3}=0,4096,\ p(\{2\})={\binom {4}{2}}0,2^{2}\,0,8^{2}=0,1536,\ p(\{3\})={\binom {4}{3}}0,2^{3}\,0,8^{1}=0,0256,\ p(\{4\})={\binom {4}{4}}0,2^{4}\,0,8^{0}=0,016,}ip({x})=0,{\displaystyle p(\{x\})=0,} six∉{0,1,…,4}{\displaystyle x\notin \{0,1,\dots ,4\}}. Aleshores, per a qualsevolA∈B(R){\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )},p(A)=∑i=0,1,…,4: i∈Ap({i}).{\displaystyle p(A)=\sum _{i=0,1,\dots ,4:\ i\in A}p(\{i\}).}

Observació sobre la terminologia: Habitualment, quan es parla de distribucions conegudes amb un nom específic, com en els exemples anteriors, en lloc de dirdistribució de probabilitat normal odistribució de probabilitat binomial només es diudistribució normal odistribució binomial.

Distribucions singulars. Parts discreta i contínua d'una distribució de probabilitat aRn

[modifica]

Recordem la nomenclatura estàndard de les mesures sobre(Rn,B(Rn)){\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))}:[4] una mesuraμ{\displaystyle \mu } es diu que és


Quanμ{\displaystyle \mu } és discreta (respectivament absolutament contínua) també es diu que éspurament discreta (resp.purament absolutament contínua). Cal notar que les definicions de continuïtat i singularitat no són incompatibles, sinó que hi ha mesures alhora contínues i singulars; ladistribució de Cantor n'és un exemple. Una mesura contínua i singular es diu que éspurament contínua singular.
Descomposició de mesures.[4][5] Existeixen tres mesures,μd{\displaystyle \mu _{d}} discreta,μcs{\displaystyle \mu _{cs}} contínua singular iμac{\displaystyle \mu _{ac}} absolutament contínua, tals queμ=μd+μcs+μac.{\displaystyle \mu =\mu _{d}+\mu _{cs}+\mu _{ac}.}Aquestes mesures són úniques.La mesuraμd{\displaystyle \mu _{d}} (respectivamentμcs{\displaystyle \mu _{cs}} iμac{\displaystyle \mu _{ac}}) s'anomenen lapart discreta (resp.part contínua singular ipart absolutament contínua) deμ{\displaystyle \mu }. La mesuraμcs+μac{\displaystyle \mu _{cs}+\mu _{ac}} s'anomena lapart contínua deμ{\displaystyle \mu } . Òbviament, aquestes mesures poden ser nul·les: per exemple, siμ{\displaystyle \mu } és discreta, aleshoresμ=μd{\displaystyle \mu =\mu _{d}} iμcs=μac=0{\displaystyle \mu _{cs}=\mu _{ac}=0} .
Finalment, d'acord amb elTeorema de Radon-Nikodym, siμ{\displaystyle \mu } ésσ{\displaystyle \sigma }-finita (en particular, si és finita), aleshores existeix una funcióf:Rn→[0,∞){\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )} mesurable tal queμac(A)=∫Afdλn,∀A∈B(Rn).{\displaystyle \mu _{ac}(A)=\int _{A}f\,d\lambda _{n},\qquad \forall A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}).}La funcióf{\displaystyle f} s'anomena la funció de densitat deμac{\displaystyle \mu _{ac}}.
Adaptació a les distribucions de probabilitat. Totes aquestes definicions i propietats s'adapten directament al cas de les distribucions de probabilitat aRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. Així, per exemple, es diu que una distribució de probabilitatp{\displaystyle p} sobreRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} és unadistribució discreta si existeix un conjunt finit o numerableC⊂Rn{\displaystyle C\subset \mathbb {R} ^{n}} tal quep(C)=1{\displaystyle p(C)=1}. O que és unadistribució singular (respecte la mesura de Lebesgue) si existeix un conjuntC∈B(Rn){\displaystyle C\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})} tal quep(C)=1{\displaystyle p(C)=1} iλn(C)=0{\displaystyle \lambda _{n}(C)=0}.

Funcions de distribució unidimensionals

[modifica]
Article principal:Funció de distribució

Siguip{\displaystyle p} una probabilitat sobreR{\displaystyle \mathbb {R} }. La seva funció de distribució és la funcióF:R→[0,1]{\displaystyle F:\mathbb {R} \to [0,1]} definida per:F(x)=p((−∞,x]).{\displaystyle F(x)=p{\big (}(-\infty ,x]{\big )}.}Té les següents propietats:[6]

(a)F{\displaystyle F} és una funció monòtona no decreixent (també es diu que és creixent): six<y{\displaystyle x<y} aleshoresF(x)≤F(y){\displaystyle F(x)\leq F(y)}.
(b)F{\displaystyle F} éscontínua per la dreta en tot punt, és a dir, per a qualsevolx∈R,F(x)=F(x+)=limy↓xF(y){\displaystyle x\in \mathbb {R} ,F(x)=F(x^{+})=\lim _{y\downarrow x}F(y)}.
(c)limx→−∞F(x)=0ilimx→+∞F(x)=1.{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0\quad {\text{i}}\quad \lim _{x\to +\infty }F(x)=1.}

Per posterior us, és convenient observar que, sia≤b{\displaystyle a\leq b}, atès que(−∞,b]=(−∞,a]∪(a,b],i(−∞,a]∩(a,b]=∅,{\displaystyle (-\infty ,b]=(-\infty ,a]\cup (a,b],\quad {\text{i}}\quad (-\infty ,a]\cap (a,b]=\emptyset ,}

tenim queF(b)−F(a)=p((a,b]).{\displaystyle F(b)-F(a)=p{\big (}(a,b]{\big )}.}

Aquestes tres propietats donen lloc a una nova definició: una funcióG:R⟶[0,1]{\displaystyle G:\mathbb {R} \longrightarrow [0,1]} que compleixi (a), (b) i (c) es diu que ésuna funció de distribució.

Donada una funció de distribucióG{\displaystyle G} podem construir una distribució de probabilitatq{\displaystyle q} aB(R){\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} definint-la primer sobre els intervals de la forma(a,b]{\displaystyle (a,b]}:q((a,b])=G(b)−G(a), a<b,{\displaystyle q{\big (}(a,b]{\big )}=G(b)-G(a),\ a<b,}i estenent-la a totB(R){\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}[7] per les tècniques habituals de Teoria de la mesura (Teorema de Cararthéodory, etc.). Tenim

Equivalència entre distribucions de probabilitat aR{\displaystyle \mathbb {R} } i funcions de distribució. Hi ha una correspondència bijectiva entre les distribucions de probabilitat aR{\displaystyle \mathbb {R} } i les funcions de distribució.

Exemples

[modifica]

1.Distribució normal estàndard: La funció de distribució ésF(t)=12π∫−∞te−x2/2dx.{\displaystyle F(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{t}e^{-x^{2}/2}\,dx.}És important assenyalar que aquesta integral no es pot expressar en termes de funcions elementals: polinomis,funcions racionals, funcions trigonomètriques, exponencials o logarítmiques.

2.Distribució de probabilitat binomial de paràmetresn=4{\displaystyle n=4} ip=0,2{\displaystyle p=0,2}: la funció de distribució és una funció esglaonada:F(t)=∑i=0,1,…,4:i≤tp({i}).{\displaystyle F(t)=\sum _{i=0,1,\dots ,4:\,i\leq t}p(\{i\}).}

Funcions de densitat, funcions de probabilitat, etc

[modifica]

Com hem vist als exemples, la manera més habitual de donar una probabilitat aR{\displaystyle \mathbb {R} } és mitjançant unafunció de densitat (cas absolutament continu) o unafunció de probabilitat (cas discret). També utilitzar lafunció característica o una altra transformació similar.

Distribució o llei d'una variable aleatòria

[modifica]

Sigui(Ω,A,P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)} un espai de probabilitat iX:Ω→R{\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} } una variable aleatòria. La distribució de probabilitat deX{\displaystyle X}, o senzillament,distribució deX{\displaystyle X}, ollei deX{\displaystyle X} és la probabilitat aR{\displaystyle \mathbb {R} } definida perp(A)=P{X∈A},   A∈B(R).{\displaystyle p(A)=P\{X\in A\},\ \ \ A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).}La funció de distribucióF{\displaystyle F} dep{\displaystyle p} s'anomena lafunció de distribució deX{\displaystyle X}, i ve donada perF(x)=p((−∞,x])=P({X∈(−∞,x]})=P(X≤x).{\displaystyle F(x)=p{\big (}(-\infty ,x]{\big )}=P{\big (}\{X\in (-\infty ,x]\}{\big )}=P(X\leq x).}

Funció de distribució d'una variable aleatòria. Donada una variable aleatòriaX{\displaystyle X}, la seva funció de distribució és la funcióF:R→[0,1]{\displaystyle F:\mathbb {R} \to [0,1]} definida perF(x)=P({X≤x}), x∈R.{\displaystyle F(x)=P(\{X\leq x\}),\ x\in \mathbb {R} .}

Ens podem preguntar si, donada una distribució concreta (per exemple, normal, o binomial), la frase <<SiguiX{\displaystyle X} una variable aleatòria amb funció de distribucióF{\displaystyle F}>> sempre és correcta, és a dir, si sempre existeix una variable aleatòria amb la distribució demanada. La resposta és afirmativa:[8]

Donada una funció de distribucióF{\displaystyle F}, existeix un espai de probabilitat(Ω,A,P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)} i una variable aleatòriaX{\displaystyle X} tal que la seva funció de distribució ésF{\displaystyle F}.


Prova
Tal com hem dit, la funció de distribucióF{\displaystyle F} determina una probabilitatp{\displaystyle p} en(R,B(R){\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}. EscrivimΩ=R,A=B(R),P=p{\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ,\quad {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\quad P=p} i siguiX{\displaystyle X} la variable aleatòriaX:Ω→Rω↦ω{\displaystyle {\begin{aligned}X:&\Omega \to \mathbb {R} \\&\omega \mapsto \omega \end{aligned}}}Aleshores, la funció de distribució deX{\displaystyle X}, que designarem perFX{\displaystyle F_{X}}, és:FX(x)=P({X≤x})=p((−∞,x])=F(x).{\displaystyle F_{X}(x)=P(\{X\leq x\})=p({\big (}-\infty ,x]{\big )}=F(x).}


Igualtat en distribució de variables aleatòries

[modifica]

Considerem dues variables aleatòriesX{\displaystyle X} iY{\displaystyle Y}, que poden estar definides en espais de probabilitat diferents, i designem perpX{\displaystyle p_{X}} ipX{\displaystyle p_{X}} les seves distribucions. Es diu queX{\displaystyle X} iY{\displaystyle Y} soniguals en distribució o enllei sipX=pY{\displaystyle p_{X}=p_{Y}}. En aquest cas, s'escriuX =D Y o X =LY.{\displaystyle X\ {\overset {\mathcal {D}}{=}}\ Y\ {\text{o}}\ X\ {\overset {\mathcal {L}}{=}}\,Y.} Evidentment, siFX{\displaystyle F_{X}} iFY{\displaystyle F_{Y}} són les funcions de distribució corresponents, aquesta propietat és equivalent aFX=FY{\displaystyle F_{X}=F_{Y}} .

Exemples

[modifica]
  1. Juguem amb un dau perfecte iΩ1={1,2,3,4,5,6}{\displaystyle \Omega _{1}=\{1,2,3,4,5,6\}}considerem la variableX{\displaystyle X} que val 1 si surt parell i 0 si surt senar .Tirem una moneda perfecta i siguiΩ2={cara, creu}{\displaystyle \Omega _{2}=\{{\text{cara, creu}}\}} iY{\displaystyle Y} la variable que pren el valor 1 si surt cara i 0 si surt creu. Ambdues variables estan definides en espais de probabilitat diferents però són iguals en llei.
  2. Dues variables poden estar definides en el mateix espai de probabilitat i ser iguals en llei, però ser distintes com aplicacions. Per exemple, tirem dos daus iX{\displaystyle X} representa el resultat del primer dau iY{\displaystyle Y} el del segon, aleshores ambdues variables són iguals en llei, però si surt 1 al primer dau i 2 al segon dau,X(1,2)=1 mentre que Y(1,2)=2.{\displaystyle X(1,2)=1\ {\text{mentre que}}\ Y(1,2)=2.}

Igualtat quasi segura de variables aleatòries

[modifica]

Es diu que dues variables aleatòriesX i Y{\displaystyle X\ {\text{i}}\ Y} (definides en el mateix espai de probabilitat) sóniguals quasi segurament oiguals amb probabilitat 1 siP(X=Y)=1{\displaystyle P(X=Y)=1}. S'escriuX=Y,q.s.{\displaystyle X=Y,\quad {\text{q.s.}}}

Si dues variables són iguals quasi segurament, aleshores són iguals en llei. El recíproc no és cert, tal com mostra l'exemple 2 de l'apartat anterior.

Prova
SiguinX=Y, q.s.{\displaystyle X=Y,\ {\text{q.s.}}} i designem perFX{\displaystyle F_{X}} iFY{\displaystyle F_{Y}} les seves funcions de distribució. Aleshores, atès que l'esdeveniment{X=Y}{\displaystyle \{X=Y\}} té probabilitat 1,FX(t)=P({X≤t})=P({X≤t}∩{X=Y})=P({Y≤t}∩{X=Y})=P({Y≤t})=FY(t).{\displaystyle F_{X}(t)=P{\big (}\{X\leq t\}{\big )}=P{\big (}\{X\leq t\}\cap \{X=Y\}{\big )}=P{\big (}\{Y\leq t\}\cap \{X=Y\}{\big )}=P{\big (}\{Y\leq t\}{\big )}=F_{Y}(t).}

Convergència en llei o distribució de variables aleatòries

[modifica]
Article principal:Convergència de variables aleatòries

Considerem una successió devariables aleatòriesX1,X2,…{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots } i siguiX{\displaystyle X} una altra variable aleatòria, ambfuncions de distribucióF1,F2,…{\displaystyle F_{1},F_{2},\dots } iF{\displaystyle F} respectivament. Es diu que la successióconvergeix en distribució ollei aX{\displaystyle X} silimn→∞Fn(t)=F(t),en tot punt t on F és contínua.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(t)=F(t),\quad {\text{en tot punt}}\ t\ {\text{on}}\ F\ {\text{és contínua}}.}Un cas especialment important de convergència en llei és elTeorema central del límit.

Extensió aRn

[modifica]

Considerem una probabilitatp{\displaystyle p} a(Rn,B(Rn)){\displaystyle {\big (}\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}){\big )}}. La seva funció de distribució és la funcióF:Rn→[0,1]{\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]} definida perF(x1,…,xn)=p((−∞,x1]×⋯×(−∞,xn]).{\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{n})=p{\big (}(-\infty ,x_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,x_{n}]{\big )}.}

Per estudiar les seves propietats necessitem les següents notacions: Escriurem els elements deRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} en negretes; donatsa=(a1,…,an){\displaystyle {\boldsymbol {a}}=(a_{1},\dots ,a_{n})} ib=(b1,…,bn){\displaystyle {\boldsymbol {b}}=(b_{1},\dots ,b_{n})} direm quea<b{\displaystyle {\boldsymbol {a}}<{\boldsymbol {b}}}, siai<bi, i=1,…,n.{\displaystyle a_{i}<b_{i},\ i=1,\dots ,n.} Pera<b{\displaystyle {\boldsymbol {a}}<{\boldsymbol {b}}},

Figura 1. Descomposició d'un interval bidimensional

definimΔa,bF=∑(ε1,…,εn)∈{0,1}n(−1)ε1+⋯+εnF(b1+ε1(b1−a1),…,bn+εn(bn−an)).{\displaystyle \Delta _{{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}}F=\sum _{(\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{n})\in \{0,1\}^{n}}(-1)^{\varepsilon _{1}+\cdots +\varepsilon _{n}}\,F{\big (}b_{1}+\varepsilon _{1}(b_{1}-a_{1}),\dots ,b_{n}+\varepsilon _{n}(b_{n}-a_{n}){\big )}.}Per exemple, sin=1{\displaystyle n=1},a,b∈R, a<b{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,\ a<b},Δa,bF=F(b)−F(a)=p((a,b]).{\displaystyle \Delta _{a,b}F=F(b)-F(a)=p{\big (}(a,b]{\big )}.}

Pern=2{\displaystyle n=2}, amba=(a1,a2){\displaystyle {\boldsymbol {a}}=(a_{1},a_{2})},b=(b1,b2){\displaystyle {\boldsymbol {b}}=(b_{1},b_{2})}, amba<b{\displaystyle {\boldsymbol {a}}<{\boldsymbol {b}}},Δa,bF=F(b1,b2)−F(b1,a2)−F(a1,b2)+F(a1,a2)=p((a1,b1]×(a2,b2]).(∗){\displaystyle \Delta _{{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}}F=F(b_{1},b_{2})-F(b_{1},a_{2})-F(a_{1},b_{2})+F(a_{1},a_{2})=p{\big (}(a_{1},b_{1}]\times (a_{2},b_{2}]{\big )}.\qquad (*)} Vegeu la Figura 1.

Prova
Descomponem el conjunt(−∞,b]=(−∞,b1]×(−∞,b2]{\displaystyle (-{\boldsymbol {\infty }},{\boldsymbol {b}}]=(-\infty ,b_{1}]\times (-\infty ,b_{2}]} de la següent manera:(−∞,b]=(a,b]∪(−∞,(a1,b2)]∪(−∞,(b1,a2)].{\displaystyle {\big (}-{\boldsymbol {\infty }},{\boldsymbol {b}}{\big ]}={\big (}{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}{\big ]}\cup {\big (}-{\boldsymbol {\infty }},(a_{1},b_{2}){\big ]}\cup {\big (}-{\boldsymbol {\infty }},(b_{1},a_{2}){\big ]}.}Però els conjunts de la dreta no són disjunts dos a dos, sinó que(−∞,(a1,b2)]∩(−∞,(b1,a2)]=(−∞,a].{\displaystyle {\big (}-{\boldsymbol {\infty }},(a_{1},b_{2}){\big ]}\cap {\big (}-{\boldsymbol {\infty }},(b_{1},a_{2}){\big ]}={\big (}-{\boldsymbol {\infty }},{\boldsymbol {a}}{\big ]}.}Aplicant la fórmula de la probabilitat de la unió de tres conjunts tenimp((−∞,b])=p((a,b])+p((−∞,(a1,b2)])+p((−∞,(b1,a2)])−p((−∞,a]),{\displaystyle p{\big (}(-{\boldsymbol {\infty }},{\boldsymbol {b}}]{\big )}=p{\big (}({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]{\big )}+p{\big (}(-{\boldsymbol {\infty }},(a_{1},b_{2})]{\big )}+p{\big (}(-{\boldsymbol {\infty }},(b_{1},a_{2})]{\big )}-p{\big (}(-{\boldsymbol {\infty }},{\boldsymbol {a}}]{\big )},}d'on resulta la fórmula (*).

Retornant al cas general, tenimΔa,bF=p((a,b]),{\displaystyle \Delta _{{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}}F=p{\big (}({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]{\big )},}on(a,b]=(a1,b1]×⋯×(an,bn].{\displaystyle ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]=(a_{1},b_{1}]\times \cdots \times (a_{n},b_{n}].}


Propietats de la funció de distribución-dimensional

La funcióF{\displaystyle F} té les següents propietats:[9]

(a) Per a qualsevol parellx,y∈Rn, x<y,{\displaystyle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\in \mathbb {R} ^{n},\ {\boldsymbol {x}}<{\boldsymbol {y}},} tenim queΔx,yF≥0.{\displaystyle \Delta _{{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}}F\geq 0.}
(b) És contínua per la dreta: per qualsevol(x1,…,xn)∈Rn,{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n},}limy1↓x1,…,yn↓xnF(y1,…,yn)=F(x1,…,xn).{\displaystyle \lim _{y_{1}\downarrow x_{1},\dots ,y_{n}\downarrow x_{n}}F(y_{1},\dots ,y_{n})=F(x_{1},\dots ,x_{n}).}
(c)limx1→∞,…,xn→∞F(x1,…,xn)=1{\displaystyle \lim _{x_{1}\to \infty ,\dots ,x_{n}\to \infty }F(x_{1},\dots ,x_{n})=1}i

limxi→−∞F(x1,…,xn)=0, i=1,…,n.{\displaystyle \lim _{x_{i}\to -\infty }F(x_{1},\dots ,x_{n})=0,\ i=1,\dots ,n.}

Com en el cas unidimensional, aquestes propietats donen lloc a una nova definició: Una funcióG:Rn→[0,1]{\displaystyle G:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]} que compleixi (a), (b) i (c) es diu que ésuna funció de distribución{\displaystyle n}-dimensional. A partir d'una d'aquestes funcions pot definir-se una probabilitat a(Rn,B(Rn)){\displaystyle {\big (}\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}){\big )}} mitjançantq(a,b])=Δa,bG, a<b.{\displaystyle q{\big (}{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]{\big )}=\Delta _{{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}}G,\ \quad {\boldsymbol {a}}<{\boldsymbol {b}}.}Llavors tenim una correspondència bijectiva entre les probabilitats a(Rn,B(Rn)){\displaystyle {\big (}\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}){\big )}} i les funcions de distribución{\displaystyle n}-dimensionals.

Distribució o llei d'un vector aleatori

[modifica]

S'anomenadistribució ollei d'un vector aleatoriX=(X1,…,Xn){\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{n})} a la probabilitat sobreRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} induïda per ell :

p(A)=P{X∈A},   A∈B(Rn).{\displaystyle p(A)=P\{{\boldsymbol {X}}\in A\},\ \ \ A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}).}La funció de distribució deX{\displaystyle {\boldsymbol {X}}} és la funcióF:Rn→[0,1]{\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]} definida perF(x1,…,xn)=P(X1≤x1,…,≤Xn≤xn),{\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{n})=P(X_{1}\leq x_{1},\dots ,\leq X_{n}\leq x_{n}),}

on, com és habitual amb els vectors aleatoris, les comes s'interpreten com interseccions:P(X1≤x1,…,≤Xn≤xn)=P({X1≤x2}∩⋯∩{Xn≤xn}).{\displaystyle P(X_{1}\leq x_{1},\dots ,\leq X_{n}\leq x_{n})=P{\big (}\{X_{1}\leq x_{2}\}\cap \cdots \cap \{X_{n}\leq x_{n}\}{\big )}.}Les definicions de igualtat en distribució i igualtat quasi segura de vectors aleatoris són iguals a les de variables aleatòries.

També tenim que donada una funció de distribución{\displaystyle n}-dimensionalF{\displaystyle F}, existeix un espai de probabilitat i un vector aleatoriX=(X1,…,Xn){\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{n})} tal que la seva funció de distribució ésF{\displaystyle F}.[10]

Referències

[modifica]
  1. ↑Bertsekas, Dimitri P.; Tsitsiklis, John N.Introduction to probability. 2a edició. Belmont, Mass.: Athena Scientific, 2008, p. 6.ISBN 978-1-886529-23-6. 
  2. ↑DeGroot, Morris H.Probabilidad y estadística. 2a. ed. Wilmington, Delawere, E.U.A.: Addison-Wesley Iberoamericaca, 1988, p. 13.ISBN 0-201-64405-3. 
  3. ↑Sato, Ken-iti.Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 2.ISBN 0-521-55302-4. 
  4. ↑4,04,1Sato, Ken-iti; 佐藤, 健一.Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 174.ISBN 0-521-55302-4. 
  5. ↑Cuppens, Roger.Decomposition of multivariate probabilities. Nova York: Academic Press, 1975, p. 9.ISBN 0-12-199450-3. 
  6. ↑Sanz, Marta.Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, pp. 43-47.ISBN 84-8338-091-9. . Les demostracions estan fetes utilitzant variables aleatòries, però els arguments es traslladen directament al cas que estem tractant
  7. ↑Sanz, Marta.Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, p. 47.ISBN 84-8338-091-9. 
  8. ↑Hoffmann-Jørgensen, J.Probability with a view toward statistics. New York, NY: Chapman & Hall, 1994, p. 110.ISBN 0-412-05221-0. 
  9. ↑Sanz, Marta.Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, pp. 66-68.ISBN 84-8338-091-9. 
  10. ↑Hoffmann-Jørgensen, J.Probability with a view toward statistics. New York, NY: Chapman & Hall, 1994, p. 111.ISBN 0-412-05221-0. 

Bibliografia

[modifica]






AWikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a:Distribució de probabilitat
  • Vegeu aquesta plantilla
Distribucions discretes
amb suport finit
Distribucions discretes
amb suport infinit
Distribucions contínues
suportades sobre un interval acotat
Distribucions contínues
suportades sobre un interval semi-infinit
Distribucions contínues
suportades en tota la recta real
Distribucions contínues
amb el suport de varis tipus
Barreja de distribució variable-contínua
Distribució conjunta
Direccionals
Degenerada isingular
Degenerada
Delta de Dirac
Singular
Cantor
Famílies
Registres d'autoritat
Bases d'informació
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribució_de_probabilitat&oldid=35991611»
Categoria:
Categories ocultes:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp