Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Vés al contingut
Viquipèdial'Enciclopèdia Lliure
Cerca

Funció contínua

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
(S'ha redirigit des de:Discontinuïtat)
Aquest article o secció nocita les fonts o necessita més referències per a la sevaverificabilitat.
«Continuïtat» redirigeix aquí. Vegeu-ne altres significats a «Continuïtat (desambiguació)».

Funció contínua és un terme utilitzat enmatemàtiques i, en particular, entopologia.

Definició matemàtica per funcions de variables reals

[modifica]

Funció contínua en un punt

[modifica]

SiguinI{\displaystyle I} un interval deR{\displaystyle \mathbb {R} },f{\displaystyle f} unaaplicació deI{\displaystyle I} aR{\displaystyle \mathbb {R} }, ix0{\displaystyle x_{0}} un punt deI{\displaystyle I}.

  1. Six0∈I{\displaystyle x_{0}\in I} ix0{\displaystyle x_{0}} és unpunt d'acumulació deI{\displaystyle I}, direm quef{\displaystyle f} és contínua en el puntx0{\displaystyle x_{0}} silimx→x0f(x)=f(x0){\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}{f(x)}=f(x_{0})}.
  2. Six0∈I{\displaystyle x_{0}\in I} ix0{\displaystyle x_{0}} no és unpunt d'acumulació deI{\displaystyle I}, direm quef{\displaystyle f} és contínua per definició.

La definició anterior també es pot formular en termes de distàncies, diem quef{\displaystyle f} és contínua en el puntx0{\displaystyle x_{0}} del seu dominisi i només si:

∀ε>0,∃δ>0,x∈]x0−δ,x0+δ[∩I⟹|f(x)−f(x0)|≤ε{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\,x\in \,]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [\,\cap I\Longrightarrow |f(x)-f(x_{0})|\leq \varepsilon \,}

És a dir, una funció és contínua quan per qualsevol puntx{\displaystyle x} del seu domini podem trobar un interval tal que la seva imatge estigui continguda en un interval tan petit com vulguem al voltant de la seva imatgef(x){\displaystyle f(x)}.

Finalment, en termes de successions tenim la següent propietat: La funcióf{\displaystyle f} és contínua en el puntx0∈I{\displaystyle x_{0}\in I} si i només si per qualsevol successió{xn}⊂I{\displaystyle \{x_{n}\}\subset I}{xn}→x0⟹{f(xn)}→f(x0).{\displaystyle \{x_{n}\}\rightarrow x_{0}\Longrightarrow \{f(x_{n})\}\rightarrow f(x_{0}).}Aquesta propietat s'anomenacontinuïtat seqüencial def{\displaystyle f} en el puntx0{\displaystyle x_{0}}.

Continuïtat per la dreta i per l'esquerra

[modifica]

Suposem que la funcióf{\displaystyle f} està definida en l'interval tancat[a,b]{\displaystyle [a,b]} i siguix0∈[a,b[{\displaystyle x_{0}\in [a,b[}. Es diu que el nombreℓ{\displaystyle \ell }és el límit per la dreta def{\displaystyle f} enx0{\displaystyle x_{0}} si∀ε>0,∃δ>0{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0} tal que six∈]a,b[{\displaystyle x\in ]a,b[} compleix que0<x−x0<δ{\displaystyle 0<x-x_{0}<\delta } (és dir,x{\displaystyle x} està a la dreta dex0{\displaystyle x_{0}}), aleshores|f(x)−ℓ|<ε{\displaystyle \vert f(x)-\ell \vert <\varepsilon }; en aquest cas, s'escriuℓ=f(x0+){\displaystyle \ell =f(x_{0}^{+})} i s'utilitza la notaciólimx→x0+f(x)=f(x0+)o  limx↓x0f(x)=f(x0+).{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}{f(x)}=f(x_{0}^{+})\quad {\text{o}}\ \ \lim _{x\downarrow x_{0}}{f(x)}=f(x_{0}^{+}).}Es diu quef{\displaystyle f}és continua per la dreta en el puntx0{\displaystyle x_{0}} sif(x0+)=f(x0){\displaystyle f(x_{0}^{+})=f(x_{0})} .

De manera anàloga, per ax0∈]a,b]{\displaystyle x_{0}\in ]a,b]} es defineix ellímit per l'esquerra def{\displaystyle f} en el puntx0{\displaystyle x_{0}} i s'escriu

limx→x0−f(x)=f(x0−)o  limx↑x0f(x)=f(x0−).{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}{f(x)}=f(x_{0}^{-})\quad {\text{o}}\ \ \lim _{x\uparrow x_{0}}{f(x)}=f(x_{0}^{-}).}


Es diu quef{\displaystyle f}és continua per l'esquerra en el puntx0{\displaystyle x_{0}} sif(x0−)=f(x0){\displaystyle f(x_{0}^{-})=f(x_{0})}.

Propietat. Siguix0∈]a,b[{\displaystyle x_{0}\in ]a,b[}. Aleshoresf{\displaystyle f} és contínua en el puntx0{\displaystyle x_{0}} si i només sif(x0)=f(x0+)=f(x0−){\displaystyle f(x_{0})=f(x_{0}^{+})=f(x_{0}^{-})}.

Vegeu més avall lasecció discontinuïtats de salt per un exemple de funció on el límit per la dreta i per l'esquerra en un punt no coincideixen.

Continuïtat en un interval

[modifica]

Sigui[a,b]{\displaystyle [a,b]} unsubconjunt del domini d'una funcióf{\displaystyle f}. Es diu quef{\displaystyle f} éscontínua en[a,b]{\displaystyle [a,b]} (en llenguatge matemàtic,f∈C0[a,b]{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{0}[a,b]}) si és contínua en tots el punts d'aquest interval.

És a dir:

∀x∈[a,b],∀ε>0,∃δ>0,y∈]x−δ,x+δ[∩I⟹|f(x)−f(y)|≤ε{\displaystyle \forall x\in [a,b],\,\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\,y\in \,]x-\delta ,x+\delta [\,\cap I\Longrightarrow |f(x)-f(y)|\leq \varepsilon \,}

que equival a què:

Evidentment, en la definició el númeroδ{\displaystyle \delta } depèn deϵ{\displaystyle \epsilon }, ja que siϵ{\displaystyle \epsilon } es fa més petit, pot ser que hàgim de buscar unδ{\displaystyle \delta } més petit. Però en aquest apartat cal aclarir que el númeroδ{\displaystyle \delta } també depèn del puntx{\displaystyle x}, és a dir, per un mateix valor deϵ{\displaystyle \epsilon }, un valor deδ{\displaystyle \delta } que serveix per algun punt en concret pot no servir per un altre punt. En general, donat un valor deϵ{\displaystyle \epsilon } no existeix un valor deδ{\displaystyle \delta } que serveixi per a tots els puntsx∈[a,b]{\displaystyle x\in [a,b]}, tot i així, quan aquest valor existeix parlem decontinuïtat uniforme.

Derivabilitat i continuïtat

[modifica]

Qualsevol funcióderivable en un punt o en un interval, és igualment contínua en aquest punt o interval.

El recíproc ésfals.

Per exemple, la funcióf(x)=|x|{\displaystyle f(x)=|x|} (valor absolut dex{\displaystyle x} és una funció contínua aR{\displaystyle \mathbb {R} }, en canvi, no és derivable en el puntx=0{\displaystyle x=0}.

Funcions usuals

[modifica]

Les funcions polinòmiques, exponencials, logarítmiques, hiperbòliques, trigonomètriques són derivables en els intervals en què estan definides, i són, doncs, igualment contínues en aquests intervals.

Teoremes sobre funcions contínues

[modifica]

Teorema dels compactes

[modifica]

"f{\displaystyle f} contínua en uncompacteK⟹f(K){\displaystyle K\Longrightarrow f(K)} és compacte."

Efectivament, per demostrar quef(K){\displaystyle f(K)} és un compacte necessitem veure que, siguiya=f(xa),∀xa∈K{\displaystyle y_{a}=f(x_{a}),\forall x_{a}\in K}, la successió{ya}{\displaystyle \{y_{a}\}} té algunasuccessió parcial convergent{yai}{\displaystyle \{y_{a_{i}}\}}.

Com que, per hipòtesiK{\displaystyle K} és un compacte, existeix alguna successió parcial{xai}{\displaystyle \{x_{a_{i}}\}} convergent. Siguil{\displaystyle l} el límit d'aquesta successió({xai}→l){\displaystyle (\{x_{a_{i}}\}\rightarrow l)}, per la definició de continuïtat (definició per successions) tenim que{f(xai)}→f(l)∈f(K){\displaystyle \{f(x_{a_{i}})\}\rightarrow f(l)\in f(K)}. Però per la definició que hem fet al principi,{f(xai)}={yai}→f(l){\displaystyle \{f(x_{a_{i}})\}=\{y_{a_{i}}\}\rightarrow f(l)} resultant així que{yai}{\displaystyle \{y_{a_{i}}\}} (que és una successió parcial de{ya}{\displaystyle \{y_{a}\}}) és convergent. If(K){\displaystyle f(K)} és un compacte.

Teorema del màxim i el mínim

[modifica]

"f{\displaystyle f} contínua en uncompacteK⟹f(K){\displaystyle K\Longrightarrow f(K)} té màxim i mínim."

Efectivament, pel teorema dels compactes sif{\displaystyle f} és contínua en el compacteK{\displaystyle K},f(K){\displaystyle f(K)} és compacte. Com que qualsevol compacte ésfitat, existiran unsuprem (s{\displaystyle s}) i un ínfim (i{\displaystyle i}). Demostrem ara ques,i∈K{\displaystyle s,i\in K}. En efecte, podem trobar valors tan a prop des{\displaystyle s} com vulguem (si no fos així, podríem trobar unafita superior més petita ques{\displaystyle s}, arribant a una contradicció), per tant podem construir una successió{sn}{\displaystyle \{s_{n}\}} que convergeixi as{\displaystyle s}. Com quef(K){\displaystyle f(K)} és un compactef(K){\displaystyle f(K)} éstancat i per tant,s∈f(K){\displaystyle s\in f(K)}. Sents{\displaystyle s} el màxim del compactef(K){\displaystyle f(K)}.f(c)<0{\displaystyle f(c)<0}

De manera anàloga podem trobar valors tan a prop dei{\displaystyle i} com vulguem (o arribem a una contradicció), per tant, podem construir una successió{in}→i{\displaystyle \{i_{n}\}\rightarrow i}. I com quef(K){\displaystyle f(K)} és tancati∈f(K){\displaystyle i\in f(K)}, sent el mínim d'aquest compacte.

Teorema de Bolzano

[modifica]

"f∈C0[a,b]{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{0}[a,b]} ambf(a)⋅f(b)<0{\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0} (és a dir, no nuls i de signe oposat)⟹∃c∈(a,b){\displaystyle \Longrightarrow \exists c\in (a,b)} onf(c)=0{\displaystyle f(c)=0}."

Efectivament, anomenemI0=[a,b]{\displaystyle I_{0}=[a,b]}, siguic0{\displaystyle c_{0}} el punt central d'aquest interval. Sif(c0)=0{\displaystyle f(c_{0})=0} el teorema queda demostrat. Sif(c0)≠0{\displaystyle f(c_{0})\neq 0}, aleshores partim l'intervalI0{\displaystyle I_{0}} en els intervals[a,c0]{\displaystyle [a,c_{0}]} i[c0,b]{\displaystyle [c_{0},b]}. Com quef(a){\displaystyle f(a)} if(b){\displaystyle f(b)} tenen signes oposats,f(c0){\displaystyle f(c_{0})} tindrà el mateix signe que un dels dos i tindrà signe oposat que l'altre. AnomenemI1{\displaystyle I_{1}} a l'interval en quef{\displaystyle f} tingui signes oposats en els extrems, i definimc1{\displaystyle c_{1}} com el punt central deI1{\displaystyle I_{1}}. De nou repetim el mateix procés, sif(c1)=0{\displaystyle f(c_{1})=0} hem acabat, si no, definimI2,I3,...{\displaystyle I_{2},I_{3},...} Si per algun intervalIi{\displaystyle I_{i}} es compleix quef(ci)=0{\displaystyle f(c_{i})=0} hem acabat, si no tenim definits infinits intervals en els qualsf{\displaystyle f} pren valors oposats en els extrems.

Notem que es compleix sempre queI0⊃I1⊃I2⊃...{\displaystyle I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset ...} i la longitud de cada interval és:L0=b−a,L1=b−a2,L2=b−a4,...,Ln=b−a2n{\displaystyle L_{0}=b-a,L_{1}={\frac {b-a}{2}},L_{2}={\frac {b-a}{4}},...,L_{n}={\frac {b-a}{2^{n}}}}.

Construïm la successióxn∈In{\displaystyle x_{n}\in I_{n}}. SiguiIn0{\displaystyle I_{n_{0}}} un interval de longitudLn0=b−a2n0{\displaystyle L_{n_{0}}={\frac {b-a}{2^{n_{0}}}}}, aleshores és clar que|xn−xm|≤b−a2n0,∀n,m>n0{\displaystyle |x_{n}-x_{m}|\leq {\frac {b-a}{2^{n_{0}}}},\forall n,m>n_{0}} ja queIn,Im⊂In0{\displaystyle I_{n},I_{m}\subset I_{n_{0}}}. Per tant,∀ϵ>0,∃n0∈N{\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} } tal queLn0=b−a2n0≤ϵ{\displaystyle L_{n_{0}}={\frac {b-a}{2^{n_{0}}}}\leq \epsilon } i, en conseqüència|xn−xm|≤b−a2n0≤ϵ,∀m,n>n0{\displaystyle |x_{n}-x_{m}|\leq {\frac {b-a}{2^{n_{0}}}}\leq \epsilon ,\forall m,n>n_{0}}. Per tant, la successió{xn}{\displaystyle \{x_{n}\}} és unasuccessió de Cauchy i, per tant, és convergent. Denotemc=lim{xn}{\displaystyle c=\lim\{x_{n}\}}. Suposem quef(c)>0{\displaystyle f(c)>0}, aleshores per continuïtat podem trobar un intervalI{\displaystyle I} que compleixi quef(x)>0{\displaystyle f(x)>0} en tot l'interval. Però a partir d'algun subíndexIn⊂I{\displaystyle I_{n}\subset I} i existeix algun punt deIn{\displaystyle I_{n}} en quef(x)<0{\displaystyle f(x)<0} (recordem quef{\displaystyle f} pren valors de signe oposat en els seus extrems). Igualment, sif(c)<0{\displaystyle f(c)<0} per continuïtat podem trobar un intervalI{\displaystyle I} que compleixi quef(x)<0{\displaystyle f(x)<0}. Però a partir d'algun subíndexIn⊂I{\displaystyle I_{n}\subset I} i existeix algun punt deIn{\displaystyle I_{n}} en quef(x)>0{\displaystyle f(x)>0}. Per tant, l'única possibilitat és quef(c)=0{\displaystyle f(c)=0}. Quedant així demostrat el teorema.

Teorema del valor intermedi de Bolzano

[modifica]
Article principal:Teorema del valor intermedi

"f∈C0[a,b]{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{0}[a,b]}, ambf(a)≠f(b){\displaystyle f(a)\neq f(b)}, iu{\displaystyle u} està entref(a){\displaystyle f(a)} if(b)⟹∃c∈(a,b){\displaystyle f(b)\Longrightarrow \exists c\in (a,b)} onf(c)=u{\displaystyle f(c)=u}."

Efectivament siu{\displaystyle u} està entref(a){\displaystyle f(a)} if(b){\displaystyle f(b)}, aleshoresf(a)−u{\displaystyle f(a)-u} if(b)−u{\displaystyle f(b)-u} tenen signes oposats. Definim aleshores la funcióg(x)=f(x)−u{\displaystyle g(x)=f(x)-u}, com quef{\displaystyle f} és contínua en l'interval[a,b]{\displaystyle [a,b]},g{\displaystyle g} és contínua en el mateix interval. Hem dit queg(a)=f(a)−u{\displaystyle g(a)=f(a)-u} ig(b)=f(b)−u{\displaystyle g(b)=f(b)-u} tenen signes oposats, per tant, pel teorema de Bolzano, existeix un puntc∈(a,b){\displaystyle c\in (a,b)} que compleix queg(c)=f(c)−u=0⟹f(c)=u{\displaystyle g(c)=f(c)-u=0\Longrightarrow f(c)=u}.

Teorema de la continuïtat de la funció inversa

[modifica]
Article principal:Teorema de la funció inversa

"f{\displaystyle f} contínua iinvertible en un intervalI⟹f{\displaystyle I\Longrightarrow f} és estrictament creixent o decreixent aI{\displaystyle I} if−1{\displaystyle f^{-1}} és contínua af(I){\displaystyle f(I)}."

Efectivament, sif{\displaystyle f} és invertiblef{\displaystyle f} ha de serinjectiva. Per tant, si per a dos puntsa,b∈I,{\displaystyle a,b\in I,}a≠b⟹f(a)≠f(b).{\displaystyle a\neq b\Longrightarrow f(a)\neq f(b).} Suposem quef(a)>f(b){\displaystyle f(a)>f(b)}, aleshores,∀x∈(a,b),f(a)>f(x)>f(b){\displaystyle \forall x\in (a,b),f(a)>f(x)>f(b)}, ja que, sif(x)>f(a)>f(b){\displaystyle f(x)>f(a)>f(b)}, pel teorema del valor intermedi de Bolzano, existeix algun punt entrec∈(x,b){\displaystyle c\in (x,b)} que compleix quef(c)=f(a){\displaystyle f(c)=f(a)}, però això no pot ser perquèf{\displaystyle f} és injectiva. Pel mateix argument no es pot donar el cas quef(a)>f(b)>f(x){\displaystyle f(a)>f(b)>f(x)}, ja que existiria algun puntc{\displaystyle c} que compleix quef(c)=f(b){\displaystyle f(c)=f(b)}. Per tant, tenim quef(x){\displaystyle f(x)} està entref(a){\displaystyle f(a)} if(b){\displaystyle f(b)}.

Considerem ara un punty∈(x,b){\displaystyle y\in (x,b)}, és a dir,a<x<y<b{\displaystyle a<x<y<b}, pel mateix argument que a dalt podem afirmar quef(x)>f(y)>f(b){\displaystyle f(x)>f(y)>f(b)} (i, per tant,f(a)>f(x)>f(y)>f(b){\displaystyle f(a)>f(x)>f(y)>f(b)}). Per tant, podem afirmar que six<y⟹f(x)>f(y){\displaystyle x<y\Longrightarrow f(x)>f(y)}, és a dir,f{\displaystyle f} és estrictament decreixent, si en comptes de suposar al principi quef(a)>f(b){\displaystyle f(a)>f(b)} suposem quef(a)<f(b){\displaystyle f(a)<f(b)} arribem a la conclusió (després de aplicar exactament el mateix raonament) quef{\displaystyle f} és estrictament creixent. Demostrem ara quef−1{\displaystyle f^{-1}} és contínua a l'intervalf(I){\displaystyle f(I)}.

Siguiyi=f(xi)∈f(I){\displaystyle y_{i}=f(x_{i})\in f(I)}, hem de demostrar que∀ϵ>0,∃δ>0|d(f(x),f(xi))<δ⟹d(f−1(f(x)),f−1(f(xi)))=d(x,xi)<ϵ{\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists \delta >0|d{\big (}f(x),f(x_{i}){\big )}<\delta \Longrightarrow d{\big (}f^{-1}(f(x)),f^{-1}(f(x_{i})){\big )}=d{\big (}x,x_{i}{\big )}<\epsilon }.

Notem que, en serf{\displaystyle f} contínua i estrictament creixent (decreixent) es compleix quef([a,b])=[f(a),f(b)]{\displaystyle f([a,b])=[f(a),f(b)]}(=[f(b),f(a)]){\displaystyle (=[f(b),f(a)])}. És a dir, que un punt pertany a l'interval[a,b]{\displaystyle [a,b]} si i només si la seva imatge pertany a l'interval d'extremsf(a){\displaystyle f(a)} if(b){\displaystyle f(b)}.

Per tant, per a qualsevolϵ{\displaystyle \epsilon } podem trobar unδ<ϵ{\displaystyle \delta <\epsilon } tal que[yi−δ,yi+δ]=[f(xi)−δ,f(xi)+δ]⊂[f(xi)−ϵ,f(xi)+ϵ]=f([xi−ϵ,xi+ϵ]).{\displaystyle [y_{i}-\delta ,y_{i}+\delta ]=[f(x_{i})-\delta ,f(x_{i})+\delta ]\subset [f(x_{i})-\epsilon ,f(x_{i})+\epsilon ]=f([x_{i}-\epsilon ,x_{i}+\epsilon ]).}

Sid(f(x),f(xi))<δ{\displaystyle d(f(x),f(x_{i}))<\delta }, aleshoresf(x)∈[f(xi)−δ,f(xi)+δ]⟹f(x)∈f([xi−ϵ,xi+ϵ])⟹x∈[xi−ϵ,xi+ϵ]⟹d(x,xi)<ϵ{\displaystyle f(x)\in [f(x_{i})-\delta ,f(x_{i})+\delta ]\Longrightarrow f(x)\in f([x_{i}-\epsilon ,x_{i}+\epsilon ])\Longrightarrow x\in [x_{i}-\epsilon ,x_{i}+\epsilon ]\Longrightarrow d(x,x_{i})<\epsilon }

Quedant demostrat que la funcióf−1{\displaystyle f^{-1}} és contínua.

Tipus de discontinuïtats de funcions d'una variable real

[modifica]

Discontinuïtat asimptòtica

[modifica]

En contextos informals, com ara els estudis de batxillerat, es diu que una funcióf(x){\displaystyle f(x)} de dominiD⊊R{\displaystyle D\varsubsetneq \mathbb {R} } presenta una discontinuïtat asimptòtica en un punt d'acumulacióa∉D{\displaystyle a\not \in D} quan un o tots dos límits laterals de la funció en aquest punt són de tipus infinit. Es pot donar un dels quatre casos diferents:

(1)limx→af(x)=∞{\displaystyle \scriptstyle {\lim _{x\to a}{f(x)=\infty }}} (2)limx→af(x)=−∞{\displaystyle \scriptstyle {\lim _{x\to a}{f(x)=-\infty }}} (3)limx→a−f(x)=+∞{\displaystyle \scriptstyle {\lim _{x\to a^{-}}{f(x)=+\infty }}} ilimx→a+f(x)=−∞{\displaystyle \scriptstyle {\lim _{x\to a^{+}}{f(x)=-\infty }}} (4)limx→a−f(x)=−∞{\displaystyle \scriptstyle {\lim _{x\to a^{-}}{f(x)=-\infty }}} ilimx→a+f(x)=+∞{\displaystyle \scriptstyle {\lim _{x\to a^{+}}{f(x)=+\infty }}}

La rectax=a s'anomena asímptota vertical.

És molt important esmentar que, formalment i matemàtica,no té sentit parlar d'una discontinuïtat en un punt que no pertany al domini de la funció. El concepte de discontinuïtat asimptòtica neix del tractament poc rigorós que es fa del concepte de continuïtat a partir de límits, per no haver d'abordar la definició formal vista anteriorment.

Exemple:

Discontinuïtat asimptòtica
Discontinuïtat asimptòtica

Discontinuïtat de salt

[modifica]

Una funcióf(x){\displaystyle f(x)} de dominiD⊆R{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} } presenta una discontinuïtat de salt en un punta∈D{\displaystyle a\in D} quan els límits laterals en aquest punt no són iguals:

limx→a−f(x)≠limx→a+f(x){\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}{f(x)}\neq \lim _{x\to a^{+}}{f(x)}}

Exemple:

Discontinuïtat de salt
Discontinuïtat de salt

Discontinuïtat evitable

[modifica]

Una funcióf(x){\displaystyle f(x)} de dominiD⊆R{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} } presenta una discontinuïtat evitable en un punta∈D{\displaystyle a\in D} quan la funció té límit en aquest punt però no coincideix amb el valor de la funció:limx→a−f(x)=limx→a+f(x)=limx→af(x)≠f(a){\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}{f(x)}=\lim _{x\to a^{+}}{f(x)}=\lim _{x\to a}{f(x)}\neq {f(a)}}

Per tant, la funció f es podria fer contínua només redefinintf(a){\displaystyle f(a)}.


En contextos informals, com ara els estudis de batxillerat, es parla també de discontinuïtats evitables en puntsa∉D{\displaystyle a\not \in D} quanlimx→a−f(x)=limx→a+f(x){\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}{f(x)}=\lim _{x\to a^{+}}{f(x)}}. Altra vegada és molt important esmentar que, formalment i matemàtica,no té sentit parlar d'una discontinuïtat en un punt que no pertany al domini de la funció.

Exemple en un context informal (punt fora del domini):

Discontinuïtat evitable
Discontinuïtat evitable

Àlgebra de les funcions contínues i composició de funcions contínues

[modifica]

Per definició:

f{\displaystyle f} contínua aa⇔limx→af(x)=f(a){\displaystyle a\Leftrightarrow \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}.

Dels teoremes sobre elslímits resulta:

Àlgebra de les funcions contínues

[modifica]

Siguinf{\displaystyle f} ig{\displaystyle g} dues funcions contínues en un mateix intervalI{\displaystyle I}. Llavors:

sónfuncions contínues aI{\displaystyle I}.

Composició de funcions contínues

[modifica]

Sif{\displaystyle f} és contínua aI{\displaystyle I} ig{\displaystyle g} és contínua af(I){\displaystyle f(I)} llavorsg∘f{\displaystyle g\circ f} és contínua aI{\displaystyle I}.

Funcions contínues entre espais topològics

[modifica]

La definició esmentada de funció contínua es pot expressar de forma més general a les funcions entre dosespais topològics; donada una funcióf:A⟶B{\displaystyle f:A\longrightarrow B} entre dos espais topològics, aquesta és contínua si i només si per a totobertO⊆B{\displaystyle O\subseteq B} es dona quef−1[O]{\displaystyle f^{-1}\left[O\right]} és un obert deA{\displaystyle A}.

Vegeu també

[modifica]
  • Vegeu aquesta plantilla
Lèxic de lageopolítica
Anàlisi diatòpica
Anàlisi diacrònica
Paradís fiscal · Estat · Microestat · Micronació · Estat fallit · Estat del benestar · Poder transversal · Potència · Imperi · Estat-nació · Colonització · Dinàmica · Proteccionisme · Construcció social · Governança · Ordre unipolar · Actor · Guerra · Aliança · Altermundialisme · Descolonització · Neocolonització · Col·lapsologia · Decreixement · Liberalisme · Escac mundial · Integració · Ordre multipolar · Multilateralisme · Minilateralisme · Polilateralisme · Pau · Mercenari · Antimón · Estratègia · Armada · Emancipació · Igualtat · Desigualtat · Genocidi · Complex militar-industrial · Emergència · Rivalitat · Guerra econòmica · Autodeterminació · Ètnia · Identitat · Ingerència · Nacionalisme · Submissió · Crisi · Ciberseguretat · Pax Gallica · Mitjans de comunicació · Pax America · Polarització política · Infrahabitatge · Conflicte · Defensa · Ordre · Caos · Idealisme · Realpolitik · Règim polític · Hegemonia · Talassocràcia · Tel·lurocràcia · Continentalisme
AWikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a:Funció contínua
Registres d'autoritat
Bases d'informació
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Funció_contínua&oldid=34496583»
Categoria:
Categories ocultes:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp