Engeometria diferencial, laderivada de Lie (/liː/lee), anomenada en honor aSophus Lie perWładysław Ślebodziński,^[1][2] avalua el canvi d'uncamp tensor (incloent funcions escalars,camps vectorials iunes formes), al llarg de elflux definit per un altre camp vectorial. Aquest canvi és invariant de coordenades i, per tant, la derivada de Lie es defineix en qualsevolvarietat diferenciable.^[3]

Les funcions, camps tensorals i formes es poden diferenciar respecte a un camp vectorial. SiT és un camp tensor iX és un camp vectorial, es denota la derivada de Lie deT respecte aX${\displaystyle {\mathcal{L}}_{X}T}$. L'operador diferencial${\displaystyle T\mapsto {\mathcal{L}}_{X}T}$ és unaderivació de l'àlgebra decamps tensorials de la varietat subjacent.^[4]

La derivada de Lie commuta ambla contracció i laderivada exterior enformes diferencials.

Encara que hi ha molts conceptes de prendre una derivada en geometria diferencial, tots coincideixen quan l'expressió que es diferencia és una funció oun camp escalar. Així, en aquest cas, s'abandona la paraula "Mentida", i es parla simplement de la derivada d'una funció.

La derivada de Lie d'un camp vectorialY respecte a un altre camp vectorialX es coneix com el "corxet de Lie" deX iY, i sovint es denota [X,Y ] en lloc de${\displaystyle {\mathcal{L}}_{X}Y}$. L'espai de camps vectorials forma unaàlgebra de Lie respecte a aquest parèntesi de Lie. La derivada de Lie constitueix unarepresentació d'àlgebra de Lie de dimensions infinites d'aquesta àlgebra de Lie, a causa de la identitat

${\displaystyle {\mathcal{L}}_{[X,Y]}T={\mathcal{L}}_X{\mathcal{L}}_{Y}T-{\mathcal{L}}_Y{\mathcal{L}}_{X}T,}$

Prova de la identitat

:${\displaystyle {\mathcal{L}}_{[X,Y]}T=[[X,Y],T]=[X,Y]T-T[X,Y]=([X,YT]-Y[X,T])-([X,TY]-[X,T]Y)=}$ ${\displaystyle =XYT-YTX-Y[X,T]-XTY+TYX+[X,T]Y=(XYT-YTX)+(TYX-XTY)-(Y[X,T]-[X,T]Y)=}$ ${\displaystyle =(X[Y,T]+[T,Y]X)-(Y[X,T]-[X,T]Y)=(X[Y,T]-[Y,T]X)-(Y[X,T]-[X,T]Y)=}$ ${\displaystyle =[X,[Y,T]]-[Y,[X,T]]={\mathcal{L}}_X{\mathcal{L}}_{Y}T-{\mathcal{L}}_Y{\mathcal{L}}_{X}T}$

vàlid per a qualsevol camp vectorialX iY i qualsevol camp tensorT.

Considerant els camps vectorials com ageneradors infinitesimals defluxos (és a dir,grups unidimensionals dedifeomorfismes ) enM, la derivada de Lie és eldiferencial de la representació delgrup de difeomorfismes en camps tensorals, anàloga a les representacions d'àlgebra de Lie com arepresentacions infinitesimals associades ala representació del grup en Teoriadel grup de la mentida.

Existeixen generalitzacions per a campsespinos,paquets de fibres amb unaconnexió iformes diferencials de valor vectorial.

Un intent "naïf" de definir la derivada d'uncamp tensor respecte a uncamp vectorial seria prendre lescomponents del camp tensor i prendre laderivada direccional de cada component respecte al camp vectorial. No obstant això, aquesta definició no és desitjable perquè no és invariant sotacanvis de sistema de coordenades, per exemple, la derivada ingenua expressada encoordenadespolars o esfèriques difereix de la derivada ingenua de les components encoordenades cartesianes. En unavarietat abstracta, aquesta definició no té sentit i està mal definida.

Engeometria diferencial, hi ha tres nocions principals de coordenades independents de diferenciació de camps tensorals:

1. derivats de la mentida,
2. derivades pel que fa ales connexions ,
3. laderivada exterior de tensors covariants totalment antisimètrics, és a dir,formes diferencials.

   

La principal diferència entre la derivada de Lie i una derivada respecte a una connexió és que la darrera derivada d'un camp tensor respecte a unvector tangent està ben definida encara que no s'especifiqui com estendre aquest vector tangent a un camp vectorial.. Tanmateix, una connexió requereix l'elecció d'una estructura geomètrica addicional (per exemple, unamètrica riemanniana en el cas dela connexió Levi-Civita, o només unaconnexió abstracta) a la varietat. En canvi, quan es pren una derivada de Lie, no es necessita cap estructura addicional a la varietat, però és impossible parlar de la derivada de Lie d'un camp tensor respecte a un sol vector tangent, ja que el valor de la derivada de Lie d'un tensor camp respecte a un camp vectorialX en un puntp depèn del valor deX en un veïnatge dep, no només enp mateix. Finalment, la derivada exterior de les formes diferencials no requereix cap elecció addicional, sinó que només és una derivada ben definida de les formes diferencials (incloses les funcions), excloent així vectors i altres tensors que no són purament formes diferencials.

La idea de les derivades de Lie és utilitzar un camp vectorial per definir una noció de transport (transport de Lie). Un camp vectorial suau defineix un flux suau a la varietat, que permet transportar vectors entre dos punts de la mateixa línia de flux (Això contrasta amb les connexions, que permeten el transport entre punts arbitraris). Intuïtivament, un vector${\displaystyle Y(p)}$ basat en el punt${\displaystyle p}$ es transporta fent fluir el seu punt base${\displaystyle p^{\prime }}$, mentre flueix el seu punt de punta${\displaystyle p+Y(p)\delta }$ a${\displaystyle p^{\prime }+\delta p^{\prime }}$.

La derivada de Lie es pot definir de diverses maneres equivalents. Per simplificar les coses, comencem definint la derivada de Lie actuant sobre funcions escalars i camps vectorials, abans de passar a la definició dels tensors generals.

Definició de la derivada d'una funció${\displaystyle f:M\to \mathbb{R}}$ en una varietat és problemàtic perquè elquocient de diferència${\displaystyle (f(x+h)-f(x))/h}$ no es pot determinar mentre el desplaçament${\displaystyle x+h}$ està indefinit.

La derivada de Lie d'una funció${\displaystyle f:M\to \mathbb{R}}$ respecte a uncamp vectorial${\displaystyle X}$ en un punt${\displaystyle p\in M}$ és la funció

${\displaystyle ({\mathcal{L}}_{X}f)(p)=\frac{d}{dt}{|}_{t=0}(f\circ {\mathrm{\Phi }}_X^t)(p)=\underset{t\to 0}{lim}\frac{f({\mathrm{\Phi }}_X^t(p))-f(p)}{t}}$

on${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_X^t(p)}$ és el punt al qual elflux definit pel camp vectorial${\displaystyle X}$ mapeja el punt${\displaystyle p}$ a l'instant de temps${\displaystyle t.}$ Als voltants de${\displaystyle t=0,}$${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_X^t(p)}$ és la solució única del sistema

${\displaystyle \frac{d}{dt}{|}_t{\mathrm{\Phi }}_X^t(p)=X({\mathrm{\Phi }}_X^t(p))}$

d'equacions diferencials autònomes de primer ordre (és a dir, independents del temps), amb${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_X^0(p)=p.}$

Configuració${\displaystyle {\mathcal{L}}_{X}f={\mathrm{\nabla }}_{X}f}$ identifica la derivada de Lie d'una funció amb laderivada direccional, que també es denota per${\displaystyle X(f):={\mathcal{L}}_{X}f={\mathrm{\nabla }}_{X}f}$.

SiX iY són tots dos camps vectorials, aleshores la derivada de Lie deY respecte aX també es coneix com acorxet Lie deX iY, i de vegades es denota${\displaystyle [X,Y]}$. Hi ha diversos enfocaments per definir el parèntesi Lie, tots equivalents. Enumerem aquí dues definicions, corresponents a les dues definicions d'un camp vectorial donades anteriorment:

La derivada de Lie és la velocitat amb què el camp tensor canvia sota la deformació espacial causada pel flux.

Formalment, donat un camp vectorial diferenciable (independent del temps).${\displaystyle X}$ en un col·lector llis${\displaystyle M,}$ deixar${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_X^t:M\to M}$ sigui el flux local corresponent. Des que${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_X^t}$ és un difeomorfisme local per a cadascun${\displaystyle t}$, dóna lloc a unretrocés de camps tensorals.

• Geometria diferencial

• Articles with Respell capitalisation issues (lowercase input)