S'anomenencovectors o1-forma lesformes lineals d'unespai vectorial. Els covectors són, per tant, els elements de l'espai dual d'un espai vectorial.

Intuïtivament un covector és un objecte matemàtic definit sobre un cert domini${\displaystyle \mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n}$ (o d'unavarietat diferenciable) que "operat" amb uncamp vectorial dona lloc uncamp escalar o funció definida sobre el mateix domini. És a dir:

${\displaystyle T:{\text{Vec}}_n(\mathrm{\Omega })\to \mathbb{R}{\text{Vec}}_n(\mathrm{\Omega })={\mathcal{C}}^{(k)}(\mathrm{\Omega },{\mathbb{R}}^n)}$

On${\displaystyle {\text{Vec}}_n(\mathrm{\Omega })}$ denota el conjunt de funcions vectorials amb derivades parcials contínues fins a ordre k definides sobre${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, és a dir, és un conjunt format per camps vectorials. Una 1-forma o manera un és un cas particular d' n-forma.

• Enmecànica newtoniana diverses magnituds funcionen com 1-formes. Per exemple, el "treball infinitesimal" pot ser formalitzat adequadament com una 1-forma definida al llarg de la trajectòria d'una partícula:

${\displaystyle \delta W=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz}$

És una 1-forma, que aplicada a un vector velocitat dona la potència realitzada per la força:

${\displaystyle ⟨\delta W,\mathbf{v}⟩=F_x{v}_x+F_y{v}_y+F_z{v}_z}$

La integral al llarg del temps de la potència, que és un escalar, dona el treball finit realitzat per la força. Quan la 1-forma treball infinitesimal causa de la naturalesa de les forces és una diferencial exacta, es diu que el conjunt de forces forma uncamp conservatiu.

• En termodinàmica l'anomenat impròpiament "calor infinitesimal" és una altra 1-forma, normalment no exacta, que és expressable en diferents tipus de coordenades:

${\displaystyle \delta q=T(S,V)dS\delta q=C_V(V,T)dT\delta q=C_p(p,T)dT}$

On${\displaystyle C_v,C_P}$ són lescapacitats calorífiques baix volum i sota pressió constants respectivament i${\displaystyle dS,dT}$ són 1-formes exactes associades a les variables d'estat, temperatura i entropia respectivament.Un factor integrant és una funció multiplicativa que converteix a una 1-forma no exacta en exacta. Així un factor integrant per a la magnitud "calor infinitesimal" és l'invers de la temperatura, en aquest cas la 1-forma resultant pot derivar de lavariable d'estat anomenadaentropia

• Enelectrodinàmica clàssica el potencial vector pot ser considerat una 1-forma sobre unespaitemps dequatre dimensions del qual es pot derivar totes les components del camp electromagnètic. Aquesta 1-forma mai és exacta a menys que el camp electromagnètic sigui nul.
• Uncamp vectorial que derivi d'un potencial admet una representació com 1-forma exacta.

• Ladiferencial total d'una funció de diverses variables pot ser tractada rigorosament com una 1-forma. Així si es té una funció de diverses variables f ( x, y, z) diferenciable, la seva diferencial total és una1-forma exacta:

${\displaystyle df=\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}dx+\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}dy+\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }z}dz}$

Per ser l'anterior una 1-forma exacta, també és una1-forma tancada, la qual cosa implica que:

${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}_i\mathrm{\partial }{x}_j}-\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}_j\mathrm{\partial }{x}_i}=0}$

Una 1-forma F, es diuexacta si existeix una funció g tal que:

${\displaystyle \left[\mathbf{F}=\sum _i{F}_{i}d{x}^i\text{exacta}\right]⟺F_i=\frac{\mathrm{\partial }g}{\mathrm{\partial }{x}_i}}$

Es pot provar que unacondició necessària i suficient perquè una 1-forma sigui exacta, al voltant d'algun punt, d'acord amb el teorema de Poincaré és que hi hagi algun punt en el qual es compleixi que:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }{f}_i}{\mathrm{\partial }{x}_j}=\frac{\mathrm{\partial }{F}_j}{\mathrm{\partial }{x}_i}}$

Quan la condició anterior se satisfà en algun punt llavors la 1-forma éslocalment exacta en aquest punt, és a dir, hi ha una petita regió al voltant del punt en què la 1-forma és exacta.

Òbviament no tota 1-forma és exacta, un exemple físic interessant el constitueix la calor o eltreball que apareixen a laforma diferencial de l'energia interna tal com sol usar-se per a formular, elprimer principi de la termodinàmica:

${\displaystyle dU=\delta Q+\delta W\delta Q:=T(S,V)dS\delta W:=-p(S,V)dV}$

Òbviament aquesta diferencial de l'energia interna si és una 1-forma exacta, ja que l'energia interna és unavariable d'estat. No obstant això, ni la calor, ni el treball són 1-formes exactes. Per la calor tenim:

${\displaystyle \delta Q=T(S,V)dS+0dV\wedge {\left(\frac{\mathrm{\partial }T}{\mathrm{\partial }V}\right)}_S\ne 0\Rightarrow \mathrm{\neg }\mathrm{\exists }\overline{Q}(S,V):\left[{\left(\frac{\mathrm{\partial }\overline{Q}}{\mathrm{\partial }S}\right)}_V=T\wedge {\left(\frac{\mathrm{\partial }\overline{Q}}{\mathrm{\partial }V}\right)}_S=0\right]}$

En l'anterior equació si la derivada de la temperatura respecte al volum fos nul significaria que el cos té una taxa de dilatació adiabàtica infinita, la qual cosa és absurd. Per al treball hem de per lesrelacions de Maxwell, el treball no és una 1-forma exacta a menys que elcoeficient de dilatació adiabàtica (α _S) sigui zero, ja que el treball només pot ser una diferencial exacta en un sistema termodinàmic si i només si:

${\displaystyle {\left(\frac{\mathrm{\partial }p}{\mathrm{\partial }S}\right)}_v=-{\left(\frac{\mathrm{\partial }T}{\mathrm{\partial }V}\right)}_S=-\frac{1}{V{\alpha }_S}}$

• Forma lineal
• Espai dual

• Espais vectorials