Enmatemàtiques, unafunció oaplicació bijectiva també anomenada simplement unabijecció és unafuncióf d'unconjuntX a un conjuntY (f:X →Y) amb lapropietat que per a caday deY hi ha exactament unx deX tal que.[1]
D'una bijecció també se'n diu unapermutació. Tot i que això es fa servir més habitualment quan. El conjunt de totes les bijeccions deX enY es denota com a. De fet, quan existeix alguna bijecció entre dos conjuntsX iY es diu que aquests sónequipotents i es nota. Larelació d'equipotència és d'equivalència i conserva moltes propietats, com elcardinal.
Per a qualsevol conjuntX, lafunció identitat idX deX enX, definida per, és bijectiva.
La funcióf de lalínia real ℝ en ℝ definida per és bijectiva, donat que per a caday hi ha un únic tal que.
Lafunció exponencialg: ℝ → ℝ, amb, no és bijectiva: per exemple, no hi ha capx de ℝ tal queg(x) = −1, provant queg no és suprajectiva. En canvi, si es canvia elcodomini perquè sigui el conjunt dels nombres reals positius ℝ+ = (0,+∞), llavorsg esdevé bijectiva; la seva inversa és la funciólogaritme natural ln.
La funcióh: ℝ → [0,+∞) amb no és bijectiva: per exemple,, per tanth no és injectiva. Ara bé, si eldomini també es canvia per [0,+∞), llavorsh esdevé bijectiva; la seva inversa és la funció arrel quadrada positiva.
ℝ → ℝ :x ↦ no és una bijecció perquè −1, 0, i +1 són dins del domini i a tots tres els correspon el 0.
ℝ → [-1,1] :x ↦ sin(x) no és una bijecció perquè π/3 i 2π/3 són dins els domini i a tots dos els correspon (√3)/2.
SiX iY són conjuntsfinits, llavors hi ha una bijecció entre els dos conjuntsX iY (és a dir, sónequipotents)si i només siX iY tenen el mateix nombre d'elements. De fet, en lateoria axiomàtica de conjunts, això es pren com a l'autènticadefinició de "mateix nombre d'elements", i generalitzant aquesta definició al cas de conjuntsinfinits porta al concepte denombre cardinal, una forma de distingir les diferents grandàries delsconjunts infinits.
Quan existeix una bijecció entre dos conjunts finitsX iY, llavors tota funció injectiva entre ells és suprajectiva i tota funció suprajectiva és injectiva;[4] per tant, en aquest cas el conjunt de les funcions deX aY està format per la unió disjunta de les bijeccions entreX iY i les aplicacions entre aquests dos conjunts que no són ni injectives ni suprajectives.
Segons eltest de la línia horitzontal, una funcióf de ℝ en ℝ és bijectiva si i només si la sevagràfica és intersecada per qualsevol línia horitzontal exactament en un únic punt.[5]
SiX és un conjunt, llavors les funcions bijectives deX en si mateix, juntament amb l'operació de composició de funcions (∘), formen ungrup, elgrup simètric deX, el qual es denota com a S(X),SX, oX! (l'últimanotació es llegeix "Xfactorial").
Per a un subconjuntA del domini i un subconjuntB del codomini es té:
.
SiX iY sónconjunts finits de la mateixacardinalitat if:X →Y, llavors les següents afirmacions són equivalents:
#f és una bijecció.
#f és suprajectiva.
#f és injectiva.
Com a mínim per a qualsevol conjunt finitS, hi ha una bijecció entre el conjunt de totes les possiblesordenacions totals dels seus elements i el conjunt de totes les bijeccions deS enS. Això és el mateix que dir que el nombre depermutacions (un altre nom per a referir-se a les bijeccions) dels elements deS és el mateix que el nombre d'ordenacions totals d'aquest conjunt --anomenat,n!.
↑Un teorema d'àlgebra lineal és anàleg: siE iF són espais vectorials sobre de la mateixa dimensió finita, llavors tota funció lineal injectiva entre ells és suprajectiva i tota funció lineal suprajectiva és injectiva.
