Engeometria, unangle és unafigura geomètrica formada per duessemirectes d'origen comú (elvèrtex de l'angle).[1] També s'anomena angle la regió compresa entre aquestes semirectes.[2] La magnitud de l'angle és la «quantitat de rotació» que separa les dues rectes, i es pot mesurar considerant l'amplitud de l'arc circular format quan es rota una semirecta al voltant del vèrtex fins que coincideix amb l'altra semirecta. Quan no hi ha possibilitat de confusió, el terme "angle" s'usa indistintament tant per la configuració geomètrica com per la seva magnitud angular, que és una quantitat numèrica.
El concepte d'angle té una relació fonamental amb el dedistància, i són elements bàsics de la geometria. Lesfuncions trigonomètriques com el sinus, el cosinus o la tangent prenen angles com a variables de manera natural. Tot plegat fa que els angles siguin un element indispensable dels camps de la geometria i l'anàlisi matemàtica, així com de la resta de branques de la ciència que s'hi basen.
La paraulaangle prové delllatíangulus, que significa "racó";angulus és un diminutiu la forma primitiva del qual,angus, no prové del llatí, sinó delgrec anticἀγκύλος (ankylοs), que significa "encorbat" que, al seu torn, està relacionat amb l'arrelprotoindoeuropeu*ank-, que significa "doblegar" o "arquejar".[3]
Aquesta secció tracta la definició d'angle en un pla euclidià, que pot estar inclòs en un espai euclidià. Existeixen dues maneres de definir angle:
Segons la forma geomètrica: L'angle com afigura geomètrica del pla, és a dir, un conjunt de punts. En llenguatge quotidià, pot ser la regió entre dues línies de qualsevol tipus que concorren en un punt comú anomenat vèrtex o la figura formada per aquestes línies. Tanmateix, enmatemàtiques se solen fer servir línies rectes per definir-lo. Així, l'angle entre dues corbes és l'angle que formen les seves rectes tangents en el punt d'intersecció.
Segons la forma trigonomètrica: L'angle com a quantitatescalar, és a dir, com a magnitud mesurable. És l'obertura d'un angle o l'amplitud de rotació o gir que descriu un segment rectilini entorn d'un dels seus extrems agafant com a vèrtex des d'una posició inicial fins a una posició final. Es pot fer servir un criteri de signes que determini l'orientació de la mesura de l'angle: normalment, si la rotació és ensentit antihorari, l'angle es considera positiu, i si la rotació és ensentit horari, l'angle es considera negatiu.
Antigament aparegueren definicions d'angle que, tot i no ser formals matemàticament, es feren servir com a idees bàsiques per desenvolupar la geometria.
Euclides definí alsElements l'angle com a «inclinació en un pla d'una línia sobre una altra amb la qual es troba i no forma línia recta». SegonsProcle, un angle ha de ser o bé una qualitat o quantitat, o bé una relació. El primer concepte fou usat perEudem de Rodes, que explicava l'angle com una desviació de la recta; el segon, perCarp d'Antioquia, que el veia com un interval o espai entre línies secants; i finalment, el tercer fou usat per Euclides, tot i que les seves definicions d'angle obtús, recte i agut són certament quantitatives.[4][5]
En la forma geomètrica, unangle és un conjunt depunts d'un pla que es pot formar com a unió de duessemirectes amb el mateix punt d'origen, que s'anomenavèrtex de l'angle. Les semirectes s'anomenencostats de l'angle. En el cas d'unarecta definida com a angle (un angle pla), s'ha d'acompanyar el conjunt definit de la tria d'un vèrtex que pertanyi a la recta.
Els quatre angles formats per dues rectes secants
Sovint els angles no es defineixen a partir de semirectes, sinó a partir de punts,segments, rectes i altres objectes. En aquests casos, l'angle és el de dues semirectes determinades per aquests objectes. Per exemple, l'angle entre dos segments que coincideixen en un dels extrems és l'angle format per les dues semirectes que tenen origen en aquest extrem i passen per damunt dels segments, i l'angle d'un polígon en un vèrtex és l'angle format pels costats (segments) del polígon que toquen aquell vèrtex. En alguns casos, emperò, pot existir una ambigüitat sobre l'angle definit. Per exemple, l'«angle entre dues rectes que es tallen» pot referir-se a qualsevol dels quatre angles diferents formats per una semirecta de cada recta i amb vèrtex al punt d'intersecció.
L'angle entre duescorbes que es tallen és l'angle entre la recta tangent a cada corba en el punt d'intersecció (de fet, poden ser quatre angles). Per definir-lo cal que existeixin les rectes tangents en aquest punt, és a dir, que les corbes siguin regulars en aquest punt. L'angle pertany al pla (o plans) que conté les dues semirectes. Si són corbes d'una superfície regular, l'angle pertany alpla tangent.
Es diu que dos angles sóncongruents quan es poden relacionar per unaisometria, és a dir, quan se'n pot moure un fins a quedar coincident amb l'altre. Si dues rectes es tallen formant quatre angles concurrents, llavors aquests angles i tots els que també hi siguin concurrents s'anomenenangles rectes.
Per mesurar l'obertura d'un angle, primer cal determinar a quina de les dues regions angulars ens referim. S'anomenaregió angular, i tambéangle, cada una de les dues regions en què queda dividit un pla per un angle, o sigui, per dues semirectes amb origen comú. Per cada angle hi ha dues regions angulars, que són il·limitades i, juntament amb l'angle, cobreixen el pla. Si les dues semirectes coincideixen, també es poden definir dues regions angulars: una que conté tot el pla excepte una semirecta i una altra regió que és buida.
Si una regió angular es pot moure fins a quedar dins d'una altra, llavors es diu que la primera és més petita o igual que la segona. Així, les regions angulars es poden ordenar per mida. Amb aquesta ordenació, es poden classificar els angles segons si són més grans o més petits que uns angles fixats. D'aquesta manera, es classifiquen en convexos, còncaus, obtusos, aguts, etc.[6]
L'interior d'un angle no pla és la regió angular més petita, o el conjunt de punts pertanyent a segments que tenen un extrem a cada costat de l'angle.[1] L'exterior d'un angle és l'altra regió angular.[7]
Alternativament, també es pot definir la regió angular entre corbes qualssevol que surten d'un vèrtex i s'allunyen infinitament.
L'amplitud,obertura omagnitud d'un angle, i tambéangle, és una quantitat associada a un angle. Es pot veure com unafunció que a cada angle geomètric li assigna un valor numèric.
Donada una regió angular i unacircumferència centrada al vèrtex, la raó entre la longitud de l'arc de circumferència que pertany a la regió i la longitud total de la circumferència no depèn del radi i és la proporció d'obertura de l'angle respecte una volta sencera. Així es pot assignar a cada regió angular un nombre real positiu, entre 0 i 1 voltes. Això permet mesurar i ordenar angles, però també sumar-los, restar-los, i multiplicar-los i dividir-los per un escalar, però amb límits determinats, ja que angles amb valor fora dels límits no tenen sentit.
Sovint, quan dues semirectes defineixen un angle però queda indeterminada quina de les dues regions s'ha de mesurar, es pren l'obertura de l'angle més petita de les dues. Si se segueix aquest conveni, tots els angles prenen valors entre 0 i 0,5 voltes.
L'amplitud de rotació o angle de gir d'una semirecta que gira entorn de l'origen és el valor de l'angle format per la posició inicial i la posició final de la semirecta. A més, s'adopta el criteri de signes següent:
Signe negatiu per rotacions mesurades ensentit horari.
Afegint els signes s'aconsegueix que quan es compon més d'un gir, l'angle del gir resultant sigui la suma d'angles dels girs compostos. A més, té en compte el sentit de gir, cosa que pot ser convenient en alguns casos. Per exemple, és important conèixer si al volant d'un cotxe s'hi ha fet mitja volta cap a un sentit o cap a l'altre. Aquesta definició dona lloc al concepte degir oangle acumulat, que pot tenir qualsevol valor real.
Si no es vol considerar el sentit de la rotació, sinó només el canvi de posició, s'ha de prendre, a més del conveni anterior, una determinació de l'angle. Això vol dir que es determina que tots els angles obtinguts tindran valors a l'interval [0,1), o a qualsevol altre interval semiobert de longitud una volta escollit. Si un angle té un valor fora l'interval, s'hi afegeixen o treuen voltes senceres fins que hi sigui. Així, el canvi de posició de cada gir està determinat per un sol angle. Aquesta interpretació d'angle orientat, amb semirecta inicial i final, es fa servir en general en matemàtiques i permet simplificar l'enunciat d'algunsteoremes de geometria.
En un pla, si es pren una semirecta de referència (si és a ℝ², se sol prendre la part positiva de l'eix d'abscisses), qualsevol punt es pot determinar a partir d'una coordenada angular i una de radial. Per determinar l'angle d'un punt, es pren la semirecta que passa per l'origen i per aquest punt. Aleshores, l'angle del punt és l'angle orientat que va de la semirecta de referència a la semirecta formada.
Definició delradian, l'angle quan tenim un arc de longitud igual al radi.
Enanàlisi dimensional l'obertura dels angles és unamagnitud física que es pot mesurar de diferents maneres. AlSistema Internacional, launitat per a mesurar els angles és elradian[8](també es pot escriureradiant),[9] unaunitat derivada sense dimensions.[10] Hi ha d'altres unitats per mesurar els angles, a més del radiant una de les més utilitzades és el grau. Bàsicament hi ha dues maneres de definir les unitats utilitzades per a mesurar els angles:
1. Amb el quocient entre la longitud (l) de l'arc limitat pels dos costats de l'angle d'una circumferència centrada al vèrtex i el seu radi (r).
Radian: Aquest quocient és independent del radi de la circumferència i no té unitats. Tanmateix se sol indicar amb la pseudounitatradian (rad).. Els radians són molt usats en matemàtiques, ja que no necessiten una convenció arbitrària i lesfuncions trigonomètriques presenten desenvolupaments senzills ensèrie de Taylor si el seu argument és expressat enradians. És per això que és la pseudounitat delSistema Internacional d'Unitats.
2. Comparant-lo amb alguna divisió d'algun angle notable. Les comparacions més usuals són:
Grau: Elgrau sexagesimal de símbol º és la norantena part d'un angle recte. En aquest cas, per subdivisions del grau sexagesimal, usualment s'utilitza la seixantena part del grau sexagesimal, elminut (') i la seixantena part del minut, elsegon ("). Els graus sexagesimals són els més usats en la vida quotidiana tot i que no tenen cap propietat interessant.
Elgrau centesimal o gon i de símbolg oG és la centena part d'una angle recte. Per a subdivisions del grau centesimal, usualment s'utilitza la centena part del grau centesimal, elminut (m oc) i la centena part del minut, elsegon (s occ). Els graus centesimals són molt usats en topografia, ja que tenen la bona propietat de fer les divisions en base 100.
Algunes equivalències apareixen tot seguit:
Taula d'equivalència d'unitats bàsiques i derivades
Les màquines de calcular solen usar els símbols R, D i G per referir-se a radians, graus sexagesimals (en anglès, degrees) i graus centesimals (en anglès, grads) respectivament.
També és freqüent en angles petits, sobretot per mesurar inclinacions respecte a l'horitzontal, l'ús de latangent de l'angle, sovint indicada en forma depercentatge. Llavors, es parla més aviat de pendent o rampa, però també s'està mesurant l'obertura d'un angle. En aquest cas, la tangent té un avantatge clar, i és que és la raó entre la distància vertical i l'horitzontal (per exemple un pendent 4% significa que es recorren 4 metres de distància vertical per cada 100 metres de distància horitzontal). La tangent, coincideix aproximadament amb l'angle en radians quan aquest és petit.
Hi ha diversosaparells de mesura d'angles. Eltransportador d'angles permet mesurar-los sobre el paper o sobre qualsevol superfície plana on estiguin marcats. Elsextant s'utilitza per grans distàncies i permet mesurar l'angle entre dos punts respecte a l'observador, com ara l'angle entre l'horitzó i una estrella. Elgoniòmetre permet mesurar angles o girar objectes un angle determinat; n'hi ha de moderns que tenen molt bonaprecisió, i per això són força utilitzats enciències experimentals i en laconstrucció.
Ennotació matemàtica, normalment s'utilitzenlletres gregues (α, β, γ, θ, φ...) per denotar lesvariables que representen angles (no se sol fer servir la lletra π per evitar confusions amb el seu altre significat). També s'utilitzen leslletres romanes minúscules (a, b, c...).
Engeometria, els angles també es poden designar amb el nom de tres punts que els determinin. Per exemple, l'angle de vèrtex A entre els segments AB i AC (és a dir, l'angle determinat per les dues semirectes que tenen l'origen al punt A i passen pel punt B, l'una, i pel punt C, l'altra) es denota ∠BAC o Quan no hi ha risc de confusió, l'angle també es pot denominar simplement amb el vèrtex («angle A»).
L'angleα és conjugat deβ, així comβ ho és d'αUn parell d'anglesα iβ suplementaris
En funció de la seva posició relativa s'anomenen:
Angles adjacents: dos angles sónadjacents quan els punts que els formen pertanyen a un mateixsemiplà dels determinats per una de les rectes i a diferents semiplans dels determinats per l'altra recta.
Angles consecutius: dos angles són consecutius quan tenen un vèrtex i un costat en comú.
Angles oposats pel vèrtex: dos angles sónoposats pel vèrtex quan els costats d'un són la prolongació dels de l'altre. Dos angles oposats pel vèrtex són iguals.
Angles corresponents: dos angles són corresponents quan són formats per dues paral·leles i una transversal.
En funció de la seva amplitud es poden classificar en:
Angles congruents: dos angles són congruents quan tenen la mateixa amplitud, que mesuren el mateix.
Angles complementaris: dos angles són complementaris quan la suma de les mesures és π/2 radians o 90°.
Angles suplementaris: dos angles són suplementaris quan la suma de les mesures és π radians o 180° (graus sexagesimals), o 200graus centesimals. Així, per obtenir l'angle suplementari d'α, que té una amplitud de 120º, es restaràα de 180 °:β = 180° – 120° = 60°. Si dos angles són suplementaris de dosangles congruents, també són congruents entre si.
Angles conjugats: dos angles són conjugats quan les mesures sumen 2π radians o 360° (graus sexagesimals), o 400graus centesimals. Dos angles conjugats amb vèrtexs coincidents, tindran els seus costats comuns. Així, per obtenir l'angle conjugat d'α que té una amplitud de 250 °, es restaràα de 360 °:Β = 360 ° - 250 º = 110 º. L'angleβ (beta) és el conjugat de l'angleα (alfa).
Si dues rectes paral·leles estan tallades per una recta secant, aleshores els angles formats en una intersecció són iguals que els formats a l'altra intersecció.
Donades dues rectes que es tallen, el conjunt de punts (lloc geomètric) que equidisten de les dues rectes són dues altres rectes, perpendiculars entre elles, que divideixen els quatre angles originals per la meitat. Cadascuna d'aquestes dues rectes obtingudes s'anomenabisectriu. Labisectriu d'un angle és la semirecta que divideix l'angle per la meitat.
En geometria euclidiana, la suma d'angles interiors d'unpolígon simple den costats és de (n-2)·π radians o (n-2)·180°. Així, la suma d'angles interns d'untriangle és 180° i la d'unquadrilàter, 360°.
Elscasos d'angle icircumferència fan referència als diferents noms que rep un angle segons la seva posició respecte a una circumferència, i els diferents teoremes que defineixen el seu valor respecte a l'arc que abasten.
Donat unespai vectorial, que el seu cos és el conjunt dels nombres reals i en el que existeix unproducte escalar entre vectors, es defineix l'angle format per dosvectors no nuls i mitjançant l'expressió: Si el quocient anterior és 0, es diu que ambdós vectors sónortogonals o perpendiculars. El quocient anterior es troba a l'interval a causa de ladesigualtat de Cauchy-Schwarz, cosa que garanteix que sempre es pot aplicar l'arccosinus. Normalment, s'agafa la branca de l'arccosinus de forma que l'angle que formen dos vectors sempre està en l'interval (geomètricament, s'escull l'angle més petit dels que formen els dos vectors). Les propietats principals que compleix l'angle entre dos vectors són les següents:
Si multipliquem un dels vectors per un escalar positiu, l'angle no canvia.
Si multipliquem un dels vectors per un escalar negatiu, l'angle passa a ser el complementari.
L'angle díedre és l'angle format per dos semiplans. Es pot observar sobre un pla perpendicular als dos semiplans. Té un valor igual a l'angle entre els vectors normals.
Elsangles d'Euler són tres coordenades angulars que indiquen l'orientació d'un sistema de referència d'eixos ortogonals, normalment movible, respecte a un altre fixe.
