L'àrea combinada d'aquestes tres formes és d'entre quinze i setzequadrats.
L'àrea és unaquantitat que expressa l'extensió d'unasuperfície oforma de dues dimensions alpla. L'àrea es pot entendre com la quantitat de material que seria necessària per crear un model de la forma, o la quantitat de pintura necessària per cobrir la superfície amb una sola capa. És l'analogia en dues dimensions de lalongitud d'unacorba (concepte unidimensional) i delvolum d'unsòlid (concepte tridimensional).
L'àrea d'una figura pot ser mesurada comparant la forma ambquadrats d'una mida fixa. En elSistema Internacional d'Unitats (SI), la unitat estàndard d'àrea és elmetre quadrat (m²), que és l'àrea d'un quadrat elscostats del qual mesuren un metre de llargada.[1] Una forma amb una àrea de tres metres quadrats tindria la mateixa àrea que tres d'aquests quadrats. Enmatemàtiques, elquadrat unitari es defineix com el que té una àrea igual a u. Pel que fa a lanotació, si l'àrea correspon a una superfície plana se sol denotar comA, i si correspon a una superfície tridimensional se sol denominarS.[2]
L'àrea té un paper important en les matemàtiques modernes. En addició a la seva òbvia importància engeometria i càlcul, l'àrea està relacionada amb la definició delsdeterminants enàlgebra lineal i és una propietat bàsica de superfícies engeometria diferencial.[5] Enanàlisi matemàtica, l'àrea d'un subconjunt del pla es defineix amb lamesura de Lebesgue,[6] tot i que no tot subconjunt és mesurable. En general, en matemàtiques avançades l'àrea es percep com un cas especial delvolum en regions de dues dimensions.
La idea que l'àrea és la mesura que proporciona la mida de la regió dins d'unafigura geomètrica prové de l'antiguitat. A l'antic Egipte, després de la crescuda anual del riuNil inundant els camps, sorgeix la necessitat de calcular l'àrea de cada parcel·la agrícola per restablir els seus límits; per a solucionar això, els egipcis van inventar lageometria, segonsHeròdot.[7]
El mètode de calcular l'àrea d'unpolígon com a suma d'àrees triangulars és un mètode que va ser proposat per primera vegada pel savi grecAntifò cap a l'any 430 aC. Trobar l'àrea d'una figura corba comporta més dificultat; elmètode d'exhaustió consisteix a inscriure i circumscriure polígons a la figura geomètrica, augmentar el nombre de costats d'aquests polígons i trobar l'àrea buscada. Amb aquest mètode,Èudox de Cnidos va aconseguir trobar la fórmula per a calcular l'àrea d'un cercle. Aquest sistema va ser utilitzat més tard perArquimedes per a resoldre altres problemes similars.[8]
Una aproximació a la definició del que significaàrea és l'ús d'axiomes. Per exemple, es pot definir l'àrea com una funcióa d'una col·leccióM d'un tipus especial de figures planes respecte al conjunt denombres reals tal que satisfà les següents propietats:
Per totS enM,.
SiS iT estan aM llavors també hi estan i i, a més,.
SiS iT estan aM amb llavorsT −S és aM i.
Si un conjuntS és aM iS és congruent ambT llavorsT està també aM i.
Tot rectangleR és aM. Si el rectangle té longitudh i ampladak llavors.
SiguiQ un conjunt tancat entre dues regions etapaS iT. Una regió etapa està formada per una unió finita de rectangles adjacents que reposen sobre la mateixa base, és a dir. Si hi ha un únic nombrec tal que per totes les regions etapaS iT, llavors.
Es pot provar que una funció d'àrea com aquesta existeix.[9]
Cada unitat de longitud té la seva corresponent unitat derivada de superfície; per als principalsprefixos del Sistema Internacional s'obtenen les següents unitats.
Una altra unitat no reconeguda pel Sistema Internacional, però molt utilitzada és l'hectàrea, que és equivalent a un hectòmetre quadrat (1 hm² = 10.000 m²) i a 100àrees (1 àrea = 100 m²).
Hi ha d'altres unitats no oficials que s'usen en certs àmbits com elbarn, d'ordre molt petit i que s'usa en l'àmbit nuclear. En el món agrari s'havien utilitzat moltes unitats, sovint pròpies d'un indret determinat, com per exemple lafanecada, latafulla o lavessana. En elSistema Imperial d'Unitats (el sistema anglosaxó), la unitat base és laiarda quadrada, que equival a 0,83612736 m²; d'ella se'n deriven lapolzada quadrada, elpeu quadrat i l'acre, entre d'altres.
La fórmula d'àrea més bàsica és la de l'àrea delrectangle. Donat un rectangle de longitudsl iw, la fórmula de l'àrea és:
És a dir, l'àrea del rectangle és l'amplada multiplicada per l'alçada. Un cas especial és el quadrat, els costats del qual són iguals, de longituds; la seva fórmula és, doncs:
La fórmula de l'àrea del rectangle sorgeix directament de les propietats bàsiques de l'àrea i, de vegades, es pren com a definició oaxioma. Per altra banda, si lageometria hagués estat desenvolupada abans que l'aritmètica, aquesta fórmula podria haver estat usada per definir lamultiplicació denombres reals.
Moltes fórmules simples d'àrea s'aconsegueixen mitjançant elmètode de la dissecció, que consisteix a partir la forma en peces la suma de les àrees de les quals sigui l'àrea de la forma original.
Per exemple, qualsevolparal·lelogram pot ser dividit en untrapezoide i untriangle rectangle, tal com es mostra a la figura de l'esquerra. Si el triangle es mou a l'altra banda del trapezoide, llavors la figura resultant és un rectangle; d'aquí es conclou que l'àrea del paral·lelogram és la mateixa que la d'aquest rectangle:
Dos triangles congruents.
De totes maneres, el mateix paral·lelogram també es pot dividir tallant per ladiagonal obtenint dos trianglescongruents, tal com es mostra a la figura. L'àrea de cada triangle és la meitat de l'àrea del paral·lelogram:
Els mateixos arguments es poden utilitzar per trobar les fórmules del trapezoide, del rombe i de polígons més complexos.
L'àrea deltrapezoide o de qualsevolquadrilàter és igual al semiproducte de les seves diagonals pelsinus de l'angle que formen:
L'àrea també es pot obtenir mitjançanttriangulació:
Essent:
l'angle comprès entre els costats i.
l'angle comprès entre els costats i.
Elrombe és un paral·lelogram en el qual els 4 costats són iguals però els angles són iguals dos a dos. La seva àrea ve donada pel semiproducte de les seves dues diagonals:
Elromboide té la seva àrea donada pel producte d'un dels seus costats i la sevaaltura respectiva:
Eltrapezi, el qual té dos costats oposats paral·lels entre si i dos costats no paral·lels, té una àrea que ve donada per la mitjana aritmètica dels seus costats paral·lels multiplicada per la distància entre les seves (altura):
Donat uncercle de radir és possible partir el cercle ensectors circulars. Cada sector és aproximadament triangular, de manera que tots poder ser col·locats de manera que formin aproximadament unparal·lelogram. L'alçada d'aquest ésr i l'amplada és la meitat de lacircumferència, és a dir,. L'àrea total és, doncs,r ×, o:[13]
Tot i que el mètode de dissecció usat amb aquesta fórmula és tan sols aproximat, l'error esdevé més petit quan el cercle es divideix en més sectors. En ellímit, l'àrea del paral·lelogram aproximat és exactament, l'àrea del cercle.
Aquest argument és, de fet, una simple aplicació de les idees delcàlcul. En temps antics, elmètode de l'exhaustió es feia servir de manera similar per trobar l'àrea del cercle; aquest mètode és considerat el precursor delcàlcul integral. Usant mètodes moderns, l'àrea del cercle es pot trobar mitjançant unaintegral definida:
Una altra manera per trobar l'àrea del cercle és inscrivint-hi un triangle i anar augmentant progressivament els costats del polígon inscrit fins a l'infinit. Si es considerenn puntsA1,A₂, ...An col·locats de manera regular sobre un cercle de centreO i radiR s'obté unpolígon regular den costats constituït pern triangles isòsceles de la mateixa àreaOA1A₂,OA₂A₃, etc. L'àrea del polígon regular inscrit és, llavors,n vegades la d'aquest triangle. Si l'altura de cadascun dels triangles éshn, l'àrea de cada triangle és1⁄2hn ×A1A₂. Multiplicant-ho pern vegades, l'àrea del polígon resultant és, doncs, la meitat de l'alturahn multiplicada pelperímetre del polígon. Ara bé, com que el nombren de punts tendeix a l'infinit, l'alturahn tendeix aR i el perímetre del polígon tendeix al perímetre del cercle, és a dir, 2πR, la qual cosa dona el resultat esperat de l'àrea del cercle, que és.
Aproximacions successives al cercle a partir de polígons regulars inscrits en ell, ambn (nombre de costats) variant de 3 a 10.
La majoria de les fórmules bàsiques per a obtenir l'àrea de la superfície d'un objecte tridimensional es basen en obtenir figures planes a partir de les seves cares i sumar l'àrea del conjunt. Per exemple, la superfície d'uncilindre (o qualsevolprisma) s'obtindria tallant-lo i "aplanant" les seves cares: en el cas del cilindre s'obtindria un rectangle i doscercles, figures de les quals se'n pot calcular la superfície fàcilment. De la mateixa manera, en el cas d'uncon, en tallar-lo s'obté unsector circular i un cercle.
El càlcul de l'àrea de la superfície d'unaesfera és més difícil perquè l'esfera no té cares que es puguin aplanar (la sevacurvatura gaussiana észero). La fórmula per a l'àrea de la superfície d'una esfera la va publicar per primer copArquimedes a la seva obraDe l'esfera i el cilindre. La fórmula és:
onr és el radi de l'esfera. Igual que en la fórmula per l'àrea del cercle, qualsevol derivació d'aquesta usa inherentment mètodes similars alcàlcul.
Per calcular l'àrea d'un triangle es pot usar, a part de la fórmula més corrent, la següent fórmula:
OnB és qualsevol costat ih és la distància de la línia on reposaB fins alvèrtex oposat del triangle. Aquesta fórmula es pot usar si l'alturah és coneguda. Si es coneixen les longituds dels tres costats llavors es pot usar lafórmula d'Heró, tal com s'ha descrit anteriorment:
Ona,b,c són els costats del triangle i, és a dir, la meitat delperímetre). Si es coneixen un angle i els dos costats que el formen, llavors:
OnC és l'angle donat ia ib són els costats que el formen. Si el triangle es troba en un pla de coordenades, es pot usar una matriu i se simplifica en elvalor absolut de (x1y₂+ x₂y₃+ x₃y1 - x₂y1- x₃y₂- x1y₃), tot això dividit per 2. Aquesta fórmula també es coneix com afórmula del cordó i és una manera fàcil i ràpida de resoldre l'àrea d'un triangle del qual se'n saben els tres punts localitzats en elpla cartesià. Aquesta fórmula també es pot usar per trobar àrees d'altres polígons quan se'n coneixen els seus vèrtexs. Una altra aproximació pel triangle situat en un pla amb coordenades es pot dur a terme utilitzantcàlcul infinitesimal per trobar l'àrea.
Unpolígon simple construït en una xarxa de punts equidistants i tal que tots els vèrtexs del polígon són punts d'aquesta xarxa, llavors
Oni és el nombre de punts de la xarxa dins el polígon ib és el nombre de punts fora del polígon. Aquesta resultat és conegut amb el nom deteorema de Pick.
La fórmula general per l'àrea superficial d'un gràfic d'una funció diferenciable contínua, on i és una regió en el plaxy de frontera suau, és:
Una fórmula encara més genèrica de l'àrea d'un gràfic d'unasuperfície paramètrica en la forma vectorial, on és una funció vectorial diferenciable contínua de, és:[5]
Algunes superfícies aparentment simples poden mostrar algunes propietats molt interessants: per exemple, el gràfic de la funció revolucionant al voltant de l'eixx per dona una superfície anomenadabanya de Gabriel que tévolum finit però superfície infinita.[2]
↑Mark de Berg, Marc van Kreveld, Mark Overmars i Otfried Schwarzkopf.Computational Geometry. 2a revisada. Springer-Verlag, 2000.ISBN 3-540-65620-0. Capítol 3, Polygon Triangulation: pàg.45–61.
↑Braden, Bart «The Surveyor’s Area Formula» (en anglès). The College Mathematics Journal, volum 17, núm. 4, 9-1986, pàg. 326–337. Arxivat de l'original el 2003-11-05 [Consulta: 10 juny 2011].
