Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Idi na sadržaj
WikipediaSlobodna enciklopedija
Pretraga

Red (matematika)

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljenizvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepepouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putemreferenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Dio serije članaka o
Infinitezimalnom računu

Umatematici,red je često predstavljen kaosumačlanovaniza. To jest, red je predstavlja niz brojeva sa znakom operacije zasabiranje između svakog od njih, npr. ovaaritmetički niz:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100

U većini slučajeva od interesa, članovi niza pojavljuju se po po određenom pravilu, kao što jeformula,algoritam, i sl.

Redovi mogu bitikonačni ilibeskonačni. Konačni redovi mogu se rješavati elementarnomalgebrom, ali beskonačni redovi zahtijevaju poznavanjematematičke analize.

Primjeri prostih redova suaritmetički redovi kod kojih se suma aritmetičke progresije piše kao:

∑n=0k(an+b);{\displaystyle \sum _{n=0}^{k}(an+b);},

te beskonačnigeometrijski redovi, sumageometrijske progresije, koja se može napisati kao:

∑n=0kan.{\displaystyle \sum _{n=0}^{k}a^{n}.}

Historija teorije beskonačnih redova

[uredi |uredi izvor]

Fourierov red

[uredi |uredi izvor]
[icon]
Ovaj odlomakpotrebno je proširiti. Možete pomoćidodavanjem sadržaja.
Glavni članak:Fourierov red

Za2π{\displaystyle 2\pi } -periodičnu funkcijuf(x){\displaystyle f(x)} koja nije integrabilna na intervalu[−π,π]{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}, brojevi

an=1π∫−ππf(x)cos⁡(nx)dx{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)\,dx}

i

bn=1π∫−ππf(x)sin⁡(nx)dx{\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)\,dx}

se nazivaju Fourierovim koeficijentima odf{\displaystyle f}

Beskonačna suma

a02+∑n=1∞[ancos⁡(nx)+bnsin⁡(nx)]{\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)]}

jeFourierov red funkcijef{\displaystyle f} na intervalu[−π,π]{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}.

Apsolutna konvergencija

[uredi |uredi izvor]
Glavni članak:Apsolutna konvergencija

Za red

∑n=0∞an{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}

se kaže dakonvergira apsolutno ako redapsolutne vrijednosti

∑n=0∞|an|{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|}

konvergira. U ovom slučaju, originalni red, kao i sve njegove varijante (koje se dobiju regrupisanjem članova), konvergiraju i to prema istoj sumi.

Riemannov teorem o redu kaže da, ako je red uslovno konvergentan, tada se može pronaći takav raspored članova, takav da novi rred divergira. Štaviše, ako suan realni i ako jeS bilo koji realan broj, može se pronaći takav raspored da novi red konvergira sa limesomS.

Neke vrste beskonačnih redova

[uredi |uredi izvor]
  • Geometrijski red je red kod kojeg se naredni član dobije množenjem prethodnog člana s konstantnim brojem. Primjer:
1+12+14+18+116+⋯=∑n=0∞12n.{\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}.}
Općenito, geomtrijski red
∑n=0∞zn{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}
konvergiraako i samo ako |z| < 1.
1+12+13+14+15+⋯=∑n=1∞1n.{\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.}
Harmonijski red jedivergentan.
  • Alternativni red je red u kojem članovi periodično mijenjaju znak (+ ili -). Primjer:
1−12+13−14+15−⋯=∑n=1∞(−1)n+11n.{\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{1 \over n}.}
  • Red
∑n=1∞1nr{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{r}}}}
konvergira ako jer > 1, a divergira ako zar ≤ 1, što se može dokazatiintegralnim testom, opisanim ispod u dijelu otestovima konvergencije. Kao funkcija odr, suma ovog reda jeRiemannova zeta funkcija.
∑n=1∞(bn−bn+1){\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})}
konvergira akonizbn konvergira u limesL kadan teži u beskonačnost. Vrijednost reda je tadab1 −L.

Testovi konvergencije

[uredi |uredi izvor]
Glavni članak:Testovi konvergencije
  • Test poređenja 1: Ako je ∑bn apsolutno konvergentan red takav da je |an | ≤C |bn | za neki brojC  i za dovoljno veliki brojn , tada i red ∑an  konvergira apsolutno. Ako red ∑|bn | divergira, a |an | ≥ |bn | za svaki dovoljno velikn , tada red ∑an  ne konvergira apsolutno (iako može biti uslovno konvergentan, npr. ako se članuan  promijeni znak).
  • Test poređenja 2: Ako je ∑bn  apsolutno konvergentan red takav da |an+1 /an | ≤ |bn+1 /bn | za dovoljno velikin , tada i red ∑an  konvergira apsolutno. ako red ∑|bn | divergira, a |an+1 /an | ≥ |bn+1 /bn | za sve dovoljno veliken , tada red ∑an  ne konvergira apsolutno (iako može biti uslovno konvergentan, npr. ako se članuan  promijeni znak).
  • D'Alambertov test: Ako se odnos |an+1/an| približava broju manjem od jedan dok n teži u beskonačnost, tada red ∑an konvergira apsolutno. Kada je taj odnos 1, konvergencija se, najčešće, određuje preko drugog testa.
  • Cauchyjev korjeni test: ako postoji konstantaC < 1 takva da je |an|1/n ≤C za svedovoljno veliken, tada red ∑an konvergira apsolutno.
  • Cauchyjev integralni test: Ako jef(x) pozitivna,monotono opadajuća i neprekidna funckija definisana naintervalu [1, ∞) saf(n) =an za sven, tada red ∑an konvergira ako i samo ako postojiintegral ∫1∞f(x) dx.
  • Leibnizov test: Red oblika ∑ (−1)nan (saan ≥ 0) naziva sealternativni red. Takvi redovi konvergiraju ako jenizanmonotono opadajući, te ako konvergira prema nuli.
  • Potreban uslov konvergencije reda: Ako je limn→∞an ≠ 0, tada red divergira.
  • Za neke posebne vrste redova postoje specijalizovani testovi konvergencije, npr. zaFourierov red postojiDinijev test.

Potencijalni red

[uredi |uredi izvor]

Nekoliko bitnih funkcija može se razviti uTaylorov red; ovo je beskonačan red koji sadrži potenciju nezavisne promjenljive, te se zbog toga nazivajupotencijalni redovi.Na primjer, red

∑n=0∞xnn!{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}

konvergira uex{\displaystyle e^{x}} za svex. Također pogledajte članakradijus konvergencije.

Kroz historiju,matematičari, kao što suLeonhard Euler, su slobodno manipulisali beskonačnim redovima, čak i ako nisu bili konvergentni. Kada se pročulo o kalkulusu sa ispravnim i osnovanim temeljima u19. vijeku, zahtijevani su rigorozni testovi konvergencije.

Dirichletov red

[uredi |uredi izvor]
Glavni članak:Dirichletov red

Dirichletov red je onaj red koji ima oblik

∑n=1∞anns,{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}},}

gdje jeskompleksan broj. Općenito, ovaj red konvergira ako je realni dio ods veći od broja koji se nazivaapscisa konvergencije.

Također pogledajte

[uredi |uredi izvor]

Reference

[uredi |uredi izvor]
  • Bromwich, T.J.An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.

Vanjski linkovi

[uredi |uredi izvor]
Commons logo
Commons logo
Commons ima datoteke na temu:Red (matematika)
Preuzeto iz "https://bs.wikipedia.org/w/index.php?title=Red_(matematika)&oldid=3438351"
Kategorije:
Sakrivene kategorije:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp