Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Idi na sadržaj
WikipediaSlobodna enciklopedija
Pretraga

Neprekidna funkcija

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljenizvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepepouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putemreferenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Dio serije članaka o
Infinitezimalnom računu

Neprekidne funkcije predstavljaju jednu od najvažnijih klasa funkcija koje se proučavaju u različitim matematičkim disciplinama. Za neku funkcijuf{\displaystyle f} kažemo da je neprekidna u nekoj tačkix0{\displaystyle x_{0}} ako funkcija uopšte posjeduje vrijednost u toj tački, te ako se njena vrijednost kada se sa lijeva ili desna približavamo posmatranoj tački također približava njenoj vrijednosti u posmatranojtački. Za funkciju koja nije neprekidna u nekoj tački kažemo da je prekidna u toj tački, odnosno da ima prekid u posmatranoj tački.

Radi lakšeg opisivanja ponašanja (svojstava) neke funkcije, u praksi je od velikom značaja tzv.grafik funkcije, tj. grafički prikaz skupa vrijednosti posmatrane funkcije nad nekim podskupom njenogdomena. Pojednostavljeno gledajući, za funkciju možemo reći da je neprekidna ako njen grafik možemo nacrtati bez da vrh olovke odvojimo od papira. No, ovo je veoma daleko od formalne definicije neprekidne funkcije, iz čistog razloga što se pojam "crtanja bez odvajanja od papira" ne može matematički predstaviti.

Današnju formalnu definiciju neprekidne funkcije dao jeKarl Weierstraß krajem 19. vijeka.

Neprekidnost funkcije u tački

[uredi |uredi izvor]

U upotrebi je nekolicina različitih, ali ekvivalentnih definicija neprekidnosti funkcije u tački

Pomakni u desno:
limx→x0f(x)=f(x0){\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)\,=f(x_{0})}
|f(x)−f(x0)|<ϵ{\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon }
limx−x0→0(f(x)−f(x0))=0{\displaystyle \lim _{x-x_{0}\rightarrow 0}(f(x)-f(x_{0}))\,=0}

Razlikux−x0{\displaystyle x-x_{0}} nazivamo priraštaj nezavisne promjenljive i označavamo sa△x{\displaystyle \bigtriangleup x}, dok razlikuf(x)−f(x0){\displaystyle f(x)-f(x_{0})} nazivamo priraštaj zavisno promjenljive i označavamo sa△f(x)=△y{\displaystyle \bigtriangleup f(x)=\bigtriangleup y}.

limx→x0+f(x)=f(x0){\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)\,=f(x_{0})}
limx→x0−f(x)=f(x0){\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)\,=f(x_{0})}
  1. Funkcijaf{\displaystyle f} nije definisana u tačkix0{\displaystyle x_{0}}
  2. Barem jedna od graničnih vrijednostilimx→x0+f(x){\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)},limx→x0−f(x){\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)} ne postoji. Tačku prekidax0{\displaystyle x_{0}} funkcijef{\displaystyle f} za koju vrijedi ovaj uslov, nazivamotačkom prekida druge vrste.
  3. Postoje granične vrijednostilimx→x0+f(x){\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)},limx→x0−f(x){\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)}, ali je barem jedna od njih različita od vrijednosti funkcijef{\displaystyle f} u tačkix0{\displaystyle x_{0}}, tj.f(x0){\displaystyle f(x_{0})}. Tačku prekidax0{\displaystyle x_{0}} funkcijef{\displaystyle f} za koju vrijedi ovaj uslov, nazivamotačkom prekida prve vrste.
  4. Ako postoje granične vrijednostilimx→x0+f(x){\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)},limx→x0−f(x){\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)} ilimx→x0+f(x)=limx→x0−f(x){\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)}, ali funkcijaf{\displaystyle f} nije definisana u tačkix0{\displaystyle x_{0}}, onda funkcijuf{\displaystyle f} možemo proširiti stavljajućif(x0)=limx→x0f(x){\displaystyle f(x_{0})=\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)} tako da nova funkcija postane neprekidna u tačkix0{\displaystyle x_{0}}. Ovakvu tačkux0{\displaystyle x_{0}} nazivamotačkom otklonjivog prekida.

Primjeri funkcija sa različitim vrstama tačaka prekida

[uredi |uredi izvor]

Obratite pažnju da je neprekidnost lokalno svojstvo i ispituje se samo na tačkama domena funkcije. Da je gornja funkcija bila definisina samo saf(x)=1x{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} onda ne bi bilo moguće ispitivati neprekidnost funkcije u tački 0 jer tu funkcija nije definisana (deljenje sa 0) što znači da je funkcijaf(x)=1x{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}neprekidna. To jest ona jeneprekidna na svom domenu


Neprekidnost funkcija na zatvorenom intervalu

[uredi |uredi izvor]

Za funkcijuf{\displaystyle f} definisanu na nekom intervalu ili uniji intervalaD(f){\displaystyle D(f)} kažemo da jeneprekidna naD(f){\displaystyle D(f)} ako je neprekidna u svakoj tačkix0∈D(f){\displaystyle x_{0}\in D(f)}.

Ako je funkcija neprekidna nazatvorenom intervalu[a,b]{\displaystyle [a,b]}, ona je na tom intervalu i ograničena, te na tom intervalu poprima svoju najmanju i najveću vrijednost.

Uniformna neprekidnost funkcija

[uredi |uredi izvor]

Za funkcijuf{\displaystyle f} definisanu na nekom intervalu(a,b){\displaystyle (a,b)} kažemo da jeuniformno neprekidna na tom intervalu, ako za svakoϵ>0{\displaystyle \epsilon >0} postojiδ=δ(ϵ)>0{\displaystyle \delta =\delta (\epsilon )>0} takvo da za sve parove tačakax1,x2∈(a,b){\displaystyle x_{1},x_{2}\in (a,b)} za koje je|x2−x1|<δ{\displaystyle |x_{2}-x_{1}|<\delta } vrijedi|f(x2)−f(x1)|<ϵ{\displaystyle |f(x_{2})-f(x_{1})|<\epsilon }.

Ako je funkcijaf{\displaystyle f} uniformno neprekidna na nekom intervalu, ona je očigledno i neprekidna na tom intervalu. Dakle, klasa uniformno neprekidnih funkcija je potskup klase neprekidnih funkcija. U slučaju zatvorenog intervala[a,b]{\displaystyle [a,b]} ove dvije klase se poklapaju, tj. svaka neprekidna funkcija nad zatvorenim intervalom[a,b]{\displaystyle [a,b]} je ujedno i uniformno neprekidna nad ovim intervalom. U slučaju otvorenih intervala, ovo ne vrijedi. Npr. funkcijaf(x)=1x{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} je neprekidna naotvorenom intervalu(0,1){\displaystyle (0,1)}, ali nije uniformno neprekidna na ovom intervalu.

Također pogledajte

[uredi |uredi izvor]


Commons logo
Commons logo
Commons ima datoteke na temu:Neprekidna funkcija
Preuzeto iz "https://bs.wikipedia.org/w/index.php?title=Neprekidna_funkcija&oldid=3483573"
Kategorije:
Sakrivena kategorija:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp