Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Idi na sadržaj
WikipediaSlobodna enciklopedija
Pretraga

Mersenneovi prosti brojevi

S Wikipedije, slobodne enciklopedije

Mersenneoviprosti brojevi su prosti brojevi oblika2n−1{\displaystyle 2^{n}-1}[1]

Nije poznato ima li ovih brojeva konačno ili beskonačno mnogo.

Naziv su dobili po matematičaruMarinu Mersenneu (8. septembar 1588 - 1. septembar 1648) koji je bio francuskiteolog,filozof,matematičar iteoretičar muzike, koga često nazivaju ocemakustike. Mersenne je bio centar naučnog svijeta i svijetamatematike u prvoj polovini 17. stoljeća. U knjiziCogita Physico–Mathematica iznio je tvrdnju da je broj2n−1{\displaystyle 2^{n}-1} za n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257prost, a za sve drugeprirodne brojeve manje od 257 da jesložen broj. Kasnije su provjere pokazale da je Mersenne pogriješio i da brojevim67{\displaystyle m_{67}} im257{\displaystyle m_{257}} nisu prosti, a da su prosti brojevim61{\displaystyle m_{61}},m89{\displaystyle m_{89}} im107{\displaystyle m_{107}}.[1]

Do danas su poznata 52 Mersenneova broja, a u donjoj tabeli navedeno je nekoliko njih:[1]

nbroj cifrigodinaotkrio
1 257 7873786321996.Slowinski i Gage
1 398 269420 9211996.Armengaud i Woltman
2 976 221895 9321997.Spence i Woltman
3 021 377909 5261998.Clarkson
6 972 5932 098 9601999.Hajratwala

Godine 1963. uSjedinjenim Americkim Državama kreiran je poštanski pečat na kojem stoji zapis da je broj211213−1{\displaystyle 2^{11213}-1} prost. A na memorandumu velikog proizvodača računalaIBM–a neko je vrijeme stajalo zapisano da je broj219937−1{\displaystyle 2^{19937}-1} prost.[1]

Mersseneova tvrdnja probudila je veliko zanimanje zato što su brojevi toliko veliki da nekoliko stotina godina niko nije mogao potvrditi ni opovrgnuti njegovu tvrdnju. Tadašnjimmatematičarima bilo je jasno da Mersenne nije mogao provjeriti tvrdnju za sve navedene brojeve, ali isto tako nisu mogli ni oni.Leonhard Euler pokazao je 1772. godine da jem31{\displaystyle m_{31}} prost tako što je provjerio sve proste brojeve do46339 kao moguće djelitelje, ali tu metodu nije mogao upotrijebiti na brojevimam67{\displaystyle m_{67}},m127{\displaystyle m_{127}} im257{\displaystyle m_{257}}. Na sličan način jePietro Cataldi 1588. godine pokazao da sum17{\displaystyle m_{17}}im19{\displaystyle m_{19}} prosti brojevi.[2]

Provjera da li je neki broj oblika2n−1{\displaystyle 2^{n}-1} Mersenneov ili nije je komplikovana. Broj2n{\displaystyle 2^{n}} vrlo brzo raste pa je neophodno u provjerama koristiti računare. No neki stariji rezultati su uistinu impresivni. Francuski matematičarEdouard Lucas (1842. - 1891.) dokazao je 1876. da je broj

m127=170141183460469231731687{\displaystyle m_{127}=170141183460469231731687}303715884105727{\displaystyle 303715884105727} prost broj.[2]

Lucas je pritom razvijao metode kojima bi se postupak provjere što vise pojednostavio, pa ga danas smatraju pionirom modernog numeričkog računa. Važan je rezultat kako broj2n−1{\displaystyle 2^{n}-1} uopšte može biti prost samo ako jen{\displaystyle n} prost. Uz traganje za Mersenneovim brojevima vezan je niz detalja. Tako su, primjerice Laura Nickel i Curt Noll, dvoje osamnaestogodišnjih studenata Kalifornijskog sveučilista u Haywardu, otkrili uz pomoć računara da je221701−1{\displaystyle 2^{21701}-1} prost broj. Taj broj sastoji se od6533{\displaystyle 6533} cifri. Također, devetnaestogodišnji Amerikanac Ronald Clarkson je 1998. na svom kućnom računaru otkrio Mersenneov brojm3021377{\displaystyle m_{3021377}} u čijem je zapisu909526{\displaystyle 909526} cifri.[1]

Reference

[uredi |uredi izvor]
  1. 12345"Mersenneovi brojevi"(PDF).misbeta.element.hr. Pristupljeno 16. 2. 2025.
  2. 12Maslać, Ana (2012)."Mersenneovi i savršeni brojevi"(PDF).mathos.unios.hr. Pristupljeno 16. 2. 2025.
Commons logo
Commons logo
Commons ima datoteke na temu:Mersenneovi prosti brojevi
Normativna kontrolaUredi na Wikipodacima
Preuzeto iz "https://bs.wikipedia.org/w/index.php?title=Mersenneovi_prosti_brojevi&oldid=3753171"
Kategorije:
Sakrivena kategorija:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp