Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Idi na sadržaj
WikipediaSlobodna enciklopedija
Pretraga

Gama funkcija

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljenizvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepepouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putemreferenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Za članak o gama funkciji ordinala, pogledajteVeblenova funkcija.
Gama funkcija duž dijela realne ose

Umatematici,gama funkcija (označena velikimgrčkim slovomΓ) je proširenjefaktorijelskefunkcije urealne ikompleksne brojeve. Za kompleksan brojz sa pozitivnim realnim dijelom, gama funkcija je definisana sa

Γ(z)=∫0∞tz−1e−tdt.{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\;.}

Ova definicija može se proširiti na ostatak kompleksne ravni, osim u negativne cijele brojeve.

Ako jen pozitivni cijeli broj, tada je

Γ(n)=(n−1)!{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,}

što pokazuje vezu sa faktorijelskom funkcijom. Gama funkcija uopćuje faktorijelsku funkciju za ne-cijele i kompleksne vrijednosti odn.

Gama funkcija je komponeneta u raznim funkcijama raspodjele vjerovatnoća, i tako takva je primjeljiva u oblastimavjerovatnoće istatistike, kao ikombinatorike.

Definicija

[uredi |uredi izvor]

Glavna definicija

[uredi |uredi izvor]
Proširena verzija gama funkcije u kompleksnoj ravni

Oznaku Γ(z) uveo jeAdrien-Marie Legendre. Ako je realni dio kompleksnog brojaz pozitivan (Re[z] > 0), tadacijeli broj

Γ(z)=∫0∞tz−1e−tdt{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}

konvergira apsolutno. Koristećiintegraciju po članovima, može se pokazati da je

Γ(z+1)=zΓ(z).(1){\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\,\!}

Ovafunkcionalna jednačina uopćuje relacijun! =n×(n-1)! faktorijelske funkcije. Γ(1) izračunavamo analitički:

Γ(1)=∫0∞e−tdt=limk→∞−e−t|0k=−0−(−1)=1.{\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }-e^{-t}|_{0}^{k}=-0-(-1)=1.}

Kombinujući ove dvije relacije pokazuje nam kako je faktorijelska funkcija spacijalni slučaj gama funkcije:

Γ(n+1)=nΓ(n)=⋯=n!Γ(1)=n!{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,}

za sveprirodne brojeven.

Partikularne vrijednosti

[uredi |uredi izvor]
Glavni članak:Partikularne vrijednosti gama funkcije
Γ(−3/2)=4π3≈2.363Γ(−1/2)=−2π≈−3.545Γ(1/2)=π≈1.772Γ(1)=0!=1Γ(3/2)=π2≈0.886Γ(2)=1!=1Γ(5/2)=3π4≈1.329Γ(3)=2!=2Γ(7/2)=15π8≈3.323Γ(4)=3!=6{\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2.363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3.323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}

Također pogledajte

[uredi |uredi izvor]

Zabilješke

[uredi |uredi izvor]

Reference

[uredi |uredi izvor]
  • Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function,"Am. Math. Monthly66, 849-869 (1959)
  • Pascal Sebah and Xavier Gourdon.Introduction to the Gamma Function. InPostScript andHTML formats.
  • Bruno Haible & Thomas Papanikolaou.Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers. Technical Report No. TI-7/97, Darmstadt University of Technology, 1997
  • Julian Havil,Gamma, Exploring Euler's Constant",ISBN0-691-09983-9 (c) 2003
  • Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.)Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).

Vanjski linkovi

[uredi |uredi izvor]

Internet stranice

[uredi |uredi izvor]

Dalje čitanje

[uredi |uredi izvor]
  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.(See Chapter 6)
  • G. Arfken and H. Weber.Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000.(See Chapter 10.)
  • Harry Hochstadt.The Functions of Mathematical Physics. New York: Dover, 1986(See Chapter 3.)
  • W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling.Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988.(See Section 6.1.)
Commons logo
Commons logo
Commons ima datoteke na temu:Gama funkcija
Preuzeto iz "https://bs.wikipedia.org/w/index.php?title=Gama_funkcija&oldid=3141073"
Kategorije:
Sakrivena kategorija:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp