Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljenizvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepepouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putemreferenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Umatematici,binomni red je čista generalizacija algebarske formulebinomnog teorema za kompleksne vrijednosti od α. To je specijalni slučajNewtonovog reda. Binomni red jered

${\displaystyle (1+x{)}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})x^k}$

gdje je αkompleksan broj i gdje je

${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})=\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}$

(generalizovani)binomni koeficijent (ako je α nenegativan cijeli broj, tada (α + 1)-ti član i svi slijedeći članovi su nula, pošto svaki sadrži faktor oblika (α − α): zbog toga, u tom slučaju, sumiranje se svodi na algebarsku binomnu formulu).

Slijedeće vrijedi za svaki kompleksan broj α:

${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{0})=1,}$

${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k+1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})\frac{\alpha -k}{k+1},(1)}$

${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k-1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +1}{k}).(2)}$

Kada α nije prirodan broj, korisnaasimptotska veza za binomni koeficijent je, prema tzv.veliko O notaciji:

${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})=\frac{(-1{)}^k}{\mathrm{\Gamma }(-\alpha )k^{1+\alpha }}(1+o(1))=O\left(\frac{1}{k^{1+Re(\alpha )}}\right),(3)}$

kada${\displaystyle k\to \mathrm{\infty }}$, što je, u suštini, jednako Eulerovoj definicijigama funkcije, koja je data preko formule

${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(z)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{k!k^z}{z(z+1)\cdots (z+k)}.}$

Prve rezultate o konvergenciji binomnog reda dao je SirIsaac Newton, te se zbog toga pinekad naziva iNewtonov binomni teorem. Kasnije,Niels Henrik Abel se, također, bavio ovom problematikom.

• Binomni teorem
• Tabela Newtonski redova

• Infinitezimalni račun
• Teme o faktorijelima i binomima
• Matematički redovi
• Realna analiza
• Kompleksna analiza

• Članci koji trebaju izvor