Formalna algebra počinje u18. vijeku. U to vrijemeLeonhard Euler pokreće svoje sistematsko istraživanje svojstava brojeva, posebnoprostih brojeva. Njegovi su rezultati postali osnovom discipline teorije brojeva. Kasnije se, u bližim istraživanjima poopćenih algebarskih struktura, pokazalo da prosti brojevi igraju vodeću ulogu, jer je puno tih struktura u svojim osnovnim crtama identično malom broju "osnovnih", koje proizlaze iz dijeležnih svojstava cijelih brojeva.
Veliki doprinos algebri dao je mladi francuski genijeEvariste Galois, koji je prvi sistematski uveo pojamgrupe. Njegov je rad doprinio slavljenom teoremu o nerješivosti jednačina stepena višeg od 5 pomoću radikala i četiri aritmetičke operacije.
Od vremena Galoisa pa do naših dana, moderna algebra je prošla dugu evoluciju. Danas se algebra koristi u teoretskoj fizici, u informatici te kao osnova za izgradnju ostalih ogranaka matematike, kao što suanaliza,geometrija,kombinatorika iteorija brojeva.
Podalgebarskom strukturom podrazumijevamo neprazan skup G i jednu ili više binarnih operacija na tom skupu. Najprostiji primjer algebarske strukture jegrupoid, i to je uređeni par
nepraznog skupa G i binarne operacije
na tom skupu.
Za binarnu operaciju kažemo da je
Za grupoid kažemo da je komutativan ako i samo ako je operacija komutativna.
Grupoid nazivamo polugrupom ako i samo ako je operacije asocijativna.
Ako je polugrupa sa neutralnim elementom
, onda za element
kažemo da posjedujelijevi inverzni element ako i samo ako postoji element
takav da je
, a za element kažemo da posjedujedesni inverzni element ako i samo ako postoji element
takav da je
.
Za element kažemo da jeinvertibilan ako i samo ako postoji element
takav da je
, i u tom slučaju element b nazivamoinverznim elementom elementa a.
Jedna od najvažnijih algebarskih struktura je tzv.grupa.Za polugrupu G kažemo da je grupa ako i samo ako posjeduje neutralni element u odnosu na binarnu operaciju i ako je svaki element iz G invertibilan.
Podkategorija grupa su tzv.Abelove grupe. Za grupu G kažemo da jekomutativna ili Abelova grupa, ako i samo ako je binarna operacija nad skupom G komutativna.
Za algebarsku strukturu G kažemo da je konačna, ako i samo ako je G konačan skup.
Podasocijativnim prstenom
podrazumijevamo neprazan skup R sa dvije binarne operacije + i
koje zovemo sabiranje i množenje respektivno, takve da vrijedi:
- (R,+) je aditivna Abelova grupa
je multiplikativna polugrupa- Množenje je distributivno u odnosu na sabiranje, tj.
Zaprsten R kažemo da jekomutativan, ako je množenje komutativno.Prsten sa jedinicom je prsten R u kojem multiplikativna polugrupa ima neutralni element, i isti nazivamojedinicom prstena ilijediničnim elementom prstena.Prsten R sa jedinicom čiji nenulti elementi formiraju multiplikativnu grupu zove setijelo.Komutativno tijelo zove sepolje.
