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Vector

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Vector
conceutu xeométricu
vector(en)Traducir
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Representación gráfica d'un vector como unsegmentu empobináu sobre unarecta.

Enfísica, unvector[1] (tamién llamáuvector euclidianu ovector xeométricu) ye unamagnitú física definida nunsistema de referencia que se caracteriza por tenermódulu (ollargor), direición yorientación.[2][3][4]

Enmatemátiques defínese un vector como un elementu d'unespaciu vectorial. Esta noción ye más astracta y pa munchos espacios vectoriales nun ye posible representar los sos vectores por aciu el módulu y la direición. En particular los espacios de dimensión infinita ensin productu angular nun son representables d'esa manera. Los vectores nunespaciu euclideu pueden representase geométricamente como segmentos de rectaR{\displaystyle \mathbb {R} }, nel planuR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} (bidimensional), o nel espaciuR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} (tridimensional).

Dellos exemplos de magnitúes físiques que son magnitúes vectoriales: lavelocidá con que se mueve un móvil, yá que nun queda definida tan solo pol so módulu que ye lo que marca'l velocímetru, nel casu d'un automóvil, sinón que se riquir indicar la direición (escontra onde se dirixe), lafuercia qu'actúa sobre un oxetu, yá que el so efeutu depende amás de la so magnitú o módulu, de la direición na qu'actúa; tamién, eldesplazamientu d'un oxetu, pos ye necesariu definir el puntu inicial y final del movimientu.

Esquema d'un vector como unsegmentu derecta ente dospuntos A y B

Conceutos fundamentales

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Esta seición esplica los aspeutos básicos, la necesidá de los vectores pa representar ciertes magnitúes físiques, los componentes d'un vector, la notación de los mesmos, etc.

Definición

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Componentes d'un vector.

Llámasevector de dimensiónn{\displaystyle n\,} a unatupla den{\displaystyle n\,}númberos reales (que se llamen componentes del vector). El conxuntu de tolos vectores dedimensiónn{\displaystyle n\,} represéntase comoRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} (formáu por aciu elproductu cartesianu).

Asina, un vectorv{\displaystyle \scriptstyle v} perteneciente a un espaciuRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} represéntase como:

v=(a1,a2,a3,…,an){\displaystyle v=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})}, ondev∈Rn{\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}

Un vector tamién puede vese dende'l puntu de vista de laxeometría comovector xeométricu (usando frecuentemente l'espaciu tridimensionalR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} o bidimensionalR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}).

Un vector fixu del planu euclídeo ye un segmentu empobináu, nel qu'hai qu'estremar trés carauterístiques:[2][3][4]

  • Módulu: el llargor del segmentu.
  • Direición: la direición de la recta.
  • Sentíu: la orientación del segmentu, del orixe al estremu del vector.

N'inglés, la pallabradirection indica tantu la direición como'l sentíu del vector, colo que se define'l vector con solu dos carauterístiques: módulu y direición.[5]

Los vectores fixos del planu se denotan con dos lletres mayúscules (y una flecha escontra la derecha enriba), por casuAB→{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}, qu'indiquen el so orixe y estremu respeutivamente. Esto ye, el puntu A ye l'orixe o puntu d'aplicación y el puntu B ye l'estremu del vectorAB→{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}, que les sos coordenaes son:

AB→=(xB−xA,yB−yA){\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A})\,}

Carauterístiques d'un vector

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Coordenaes cartesianes.

Un vector puede definise polos soscoordenaes, si'l vector ta nel planu xy, represéntase:

V→=V=(Vx,Vy){\textstyle {\vec {V}}={\boldsymbol {V}}=(V_{x},V_{y})}

siendo les sos coordenaes:

Vx,Vy{\displaystyle V_{x},\;V_{y}}

Si consideramos el triángulu formáu polos componentesVx,Vy{\displaystyle V_{x},V_{y}} (como catetos) yV{\displaystyle V} (como hipotenusa): puede calculaseVx{\displaystyle V_{x}} multiplicandoV{\displaystyle V} polcosα (siendoα l'ángulu formáu porVx{\displaystyle V_{x}} yV{\displaystyle V}) o multiplicandoV{\displaystyle V} polsenβ (siendoβ l'ángulu formáu porVy{\displaystyle V_{y}} yV{\displaystyle V}). D'igual forma puede calculaseVy{\displaystyle V_{y}} multiplicandoV{\displaystyle V} polsenα o multiplicandoV{\displaystyle V} polcosβ (considerando les posiciones deα yβ mentaes enantes).

Siendo'l vector la suma vectorial de les sos coordenaes:

V→=Vx→+Vy→{\displaystyle {\vec {V}}={\vec {V_{x}}}+{\vec {V_{y}}}}
Coordenaestridimensionales.

Si un vector ye de tres dimensiones reales, representáu sobre les exes x, y, z, puede representase:

V→=V=(Vx,Vy,Vz){\displaystyle {\vec {V}}={\boldsymbol {V}}=(V_{x},V_{y},V_{z})}

siendo les sos coordenaes:

Vx,Vy,Vz{\displaystyle V_{x},\;V_{y},\;V_{z}}

Si representamos el vector gráficamente podemos estremar los siguientes elementos:

La recta soporte odireición, sobre la que se traza'l vector.esquierda

Elmódulu o amplitú con un llargor proporcional al valor del vector.esquierda

Elsentíu, indicáu pola punta de flecha, siendo unu de los dos posibles sobre la recta soporte.esquierda

Elpuntu d'aplicación que correspuende al llugar xeométricu al cual correspuende la carauterística vectorial representáu pol vector.esquierda

Elnome o denominación ye la lletra, signu o secuencia de signos que define al vector.esquierda

Polo tanto nun vector podemos estremar:esquierda

Nome :

Direición

Sentíu :

Módulu :Puntu d'aplicación

Magnitúes vectoriales

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Representación gráfica d'una magnitú vectorial, con indicación del so puntu d'aplicación y de los versores cartesianos.
Representación de los vectores.

Frente a aquelles magnitúes físiques, tales como lamasa, lapresión, elvolume, laenerxía, latemperatura, etc; que queden dafechu definíes por un númberu y les unidaes utilizaes na so midida, apaecen otres, tales como'ldesplazamientu, lavelocidá, l'aceleración, lafuercia, elcampu llétricu, etc., que nun queden dafechu definíes dando un datu numbéricu, sinón que lleven acomuñaes una direición. Estes últimes magnitúes son llamaesvectoriales en contraposición a les primeres llamaesangulares.

Les magnitúes vectoriales queden representaes por un ente matemáticu que recibe'l nome de vector. Nunespaciu euclidianu, de non más de tres dimensiones, un vector representar por un segmentu empobináu. Asina, un vector queda carauterizáu polos siguiente elementos: el so llargor omódulu, siempres positivu por definición, y el sodireición, que puede ser representada por aciu la suma de les sos#Componentes d'un vector componentes vectoriales ortogonales, paraleles a les exes de coordenaes; o por aciucoordenaes polares, que determinen l'ángulu que forma'l vector coles exes positives de coordenaes.[6][7]

Represéntase como un segmentu empobináu, con una direición, dibuxáu de forma similar a una "flecha". El so llargor representa'l módulu del vector, la recta indica la direición, y la "punta de flecha" indica'l so sentíu.[2][3][4]

Les magnitúes vectoriales representar nos testos impresos por lletres ennegrina, pa estremales de les magnitúes angulares que se representen encursiva. Nos testos manuscritos, les magnitúes vectoriales represéntense asitiando una flecha sobre la lletra que designa'l so módulu (el cual ye unangular).

Exemplos

Cuando convenga, represéntense la magnitú vectorial faciendo referencia al orixe y al estremu del segmentu empobináu que lu representa geométricamente; asina, desígnense los vectores representaos na Figura 2na formaA=MN→,B=OP→{\displaystyle \mathbf {A} ={\overrightarrow {MN}},\mathbf {B} ={\overrightarrow {OP}}\,}, ... resultando bien útil esta notación pa los vectores que representen el desplazamientu.

Amás d'estes convenciones losvectores unitarios o versores, que'l somódulu ye la unidá, represéntense frecuentemente con un circunflexu enriba, por casuo^,v^{\displaystyle \mathbf {\hat {o}} ,\mathbf {\hat {v}} }.

Clasificación de vectores

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Según los criterios que s'utilicen pa determinar la igualdá oequipolencia de dos vectores, pueden estremase distintos tipos de los mesmos:

  • Vectores llibres: nun tán aplicaos en nengún puntu en particular.
  • Vectores esnidiosos: el so puntu d'aplicación puede esmucir a lo llargo de la so recta d'aición.
  • Vectores fixos o amestaos: tán aplicaos nun puntu en particular.

Podemos referinos tamién a:

  • Vectores unitarios: vectores de módulu unidá.
  • Vectores concurrentes o angulares: son aquelles que les sos direiciones o llinies d'aición pasen por un mesmu puntu. Tamién se-yos suel llamar angulares porque formen un ángulu ente elles.
  • Vectores opuestos: vectores d'igual magnitú y direición, pero sentíos contrarios.[2] N'inglés dizse que son d'igual magnitú pero direiciones contraries, una y bones la direición tamién indica'l sentíu.
  • Vectores colineales: los vectores que comparten una mesma recta d'aición.
  • Vectores paralelos: si sobre un cuerpu ríxidu actúen dos o más fuercies que les sos llinies d'aición son paraleles.
  • Vectores coplanarios: los vectores que les sos rectes d'aición son coplanarias (asitiaes nun mesmu planu).

Componentes d'un vector

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Componentes del vector.

Un vector nel espaciu euclideu tridimensional puede espresase como unacombinación llinial de trésvectores unitarios o versores, que son perpendiculares ente sigo y constitúin unabase vectorial.

En coordenaes cartesianes, los vectores unitarios representar pori{\displaystyle \mathbf {i} \,},j{\displaystyle \mathbf {j} },k{\displaystyle \mathbf {k} }, paralelos a les exes de coordenaesx{\displaystyle x},y{\displaystyle y},z{\displaystyle z} positivos. Les componentes del vector nuna base vectorial predeterminada pueden escribise ente paréntesis y separaes con comes:

a=(ax,ay,az){\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})}

o espresase como una combinación de los vectores unitarios definíos na base vectorial. Asina, nun sistema de coordenaes cartesianu, va ser

a=axi+ayj+azk{\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}\,\mathbf {i} +a_{y}\,\mathbf {j} +a_{z}\,\mathbf {k} }

Estes representaciones son equivalentes ente sigo, y los valoresax{\displaystyle a_{x}},ay{\displaystyle a_{y}},az{\displaystyle a_{z}}, son les componentes d'un vector que, sacantes s'indique lo contrario, sonnúmberos reales.

Una representación conveniente de les magnitúes vectoriales ye por aciu unvector columna o unvector fila, particularmente cuando tán implicaes operacionesmatrices (tales como'l cambéu de base), de la manera siguiente:

a=[axayaz]a=[ax ay az]{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\\\end{bmatrix}}\qquad \mathbf {a} =[a_{x}\ a_{y}\ a_{z}]}

Con esta notación, los vectores cartesianos queden espresaos de la siguiente manera:

i=[1 0 0], j=[0 1 0], k=[0 0 1]{\displaystyle {\mathbf {i} }=[1\ 0\ 0],\ {\mathbf {j} }=[0\ 1\ 0],\ {\mathbf {k} }=[0\ 0\ 1]}

Ellema de Zorn, consecuencia delaxoma d'elección, dexa establecer que tou espaciu vectorial almite unabase vectorial, polo que tou vector ye representable como'l productu d'unes componentes al respeutive de dicha base. Dau un vector solo esisten un númberu finito de componentes distintos de cero.

Representación gráfica de los vectores

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Hai persones que nun encamienta usargráficos pa evitar el tracamundiu de conceutos y l'inducción al error, ensin investigación que la acote, tamién ye ciertu que la memoria aguiyar con meyores resultaos. Pa ello:

  • Llámase vector a larepresentación visual col símbolu de flecha (un segmentu y un triángulu nun estremu).
  • La derechura visual d'una flecha o combadura de la mesma, nun la fai distinta en símbolu si los dos estremos permanecen nel mesmu llugar y orde.
  • El qu'una flecha cierre en sí mesma, indica l'ausencia d'efectosalxebraicos.
  • Pa visualizar la suma de vectores va faese encadenándolos, esto ye, xuniendo l'estremu que tien un triángulu (final) del primer vector col estremu que nun lo tien (orixe) del segundu vector calteniendo la direición y distancia, mesmes al espaciu, de los sos dos estremos, una y bones estos dos cualidaes estremar visualmente d'otros vectores.
  • Losangulares van representar con una llinia de trazos a manera, puramente, de distinción yá que non siempres pertenecen alespaciu de vectores.

Esamínense cada unu de los casos qu'apaecen na definición de les operaciones suma de vectores y productu por un angular:

Suma de vectores

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La definición suma de vectores nel ordeo+v produz otru vector, ye como encadenar, siempres visualmente, un vectoro y depués unuv. Vamos Dicir queo+v simplificar como un vectorw o quew descompon como suma de vectoreso yv.

1) Dicir queo+v=v+o, ye esixir que los dos sumas simplifiquen nel mesmu vector, en negru. Vease qu'en física los vectores en colloráu asemeyen la descomposición de fuercies exercíes pol vector negru nel so orixe, y represéntase con unparalelogramu.
2) Dicir queo+(v+w)=(o+v)+w, ye esixir que les simplificaciones de sumes de vectores puedan ser optatives en cualquier cadena de sumes.
3) Dicir qu'esiste un vector cero (elementu neutru) tal queo+0=o, equival a esixir qu'esista un vector incapaz d'efectuar, por aciu la suma, cambéu dalgunu a tolos vectores.
4) Dicir queo+(-o)=0, ye esixir la esistencia d'unelementu opuestu, -o, que sumáu ao simplifique nunvector cero.

Productu por un angular

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La definición productu por un angulara⋅o{\displaystyle a\cdot o} produz otru vector; ye como modificar l'estremu final del vectoro, siempres visualmente.

Per un sitiu la representación del productu nel casu que'lcuerpu d'angular síaK=R{\displaystyle K=\mathbb {R} } modifica, visualmente, el llargor de la imaxe del vector, quedando dambos siempres superpuestos; per otru llau les representaciones nel casu queK=C{\displaystyle K=\mathbb {C} } amás de modificar el llargor, tamién amiestarotaciones, pa facilitales visualmente considérense centraes nel orixe del vector, siendo estos cambeos un pocu más espresives, visualmente, pero non más fáciles que nel casu real:

a)Dicir quea(bu)=(ab)o, ye esixir que los productos encadenaosa(b(o)) pueden simplificase como unu,c=ab, depués (ab)o queda comocu.
b) Dicir qu'esiste l'angular 1 tal que 1o=o, equival a dicir esista un angular incapaz d'efectuar, por aciu productu, cambéu dalgunu a tolos vectores.
c) Dicir quea(o+v)=au+av, ye esixir lapropiedá distributiva respeuto lasuma vectorial.
d) Dicir que (a+b)o=au+bu, ye esixir la propiedá distributiva respeuto la suma angular.

Pal casu real haber d'esaniciar les rotaciones de los exemplos anteriores.

Operaciones con vectores

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Suma de vectores

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Pa sumar dos vectores llibres (vector y vector) escuéyense como representantes dos vectores tales que l'estremu final d'unu coincida col estremu orixe del otru vector.

Suma de vectores sobre un mesmu puntu

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La suma de vectores ta bien definida si ambos vectores pertenecen al mesmu espaciu vectorial, en física por que dos vectores puedan ser sumaos tienen de tar aplicaos nel mesmu puntu. La composición de fuercies sobre unsólidu ríxidu cuando los puntos d'aplicación nun coinciden lleva a la noción demomentu de fuercia daos dos fuerciesF1,F2{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {F} _{1},\mathbf {F} _{2}} con puntos d'aplicaciónP1,P2{\displaystyle \scriptstyle \mathrm {P} _{1},\mathrm {P} _{2}} defínense lafuercia resultante como'l par:[ensin referencies]

(PR,FR)=(P1,F1)⊞(P2,F2){\displaystyle (\mathrm {P} _{R},\mathbf {F} _{R})=(\mathrm {P} _{1},\mathbf {F} _{1})\boxplus (\mathrm {P} _{2},\mathbf {F} _{2})}

Onde⊞{\displaystyle \boxplus } ye la suma xeneralizada a vectores aplicaos en distintos puntos. El puntu d'aplicaciónPR{\displaystyle \scriptstyle \mathrm {P} _{R}} ye'l puntu d'interseición de les rectes d'aición de les fuercies. Les componentes del vector de fuercia resultante ye de fechu la suma de componentes ordinaries de vectores:

(PR,FR)=(PR,F1+F2){\displaystyle (\mathrm {P} _{R},\mathbf {F} _{R})=(\mathrm {P} _{R},\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2})}

Elmomentu resultante ye'lmomentu de fuercia del conxuntu de fuercies respeuto al puntu calculáu pa la fuercia resultante.

Métodu del paralelogramu

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Métodu del paralelogramu.

Esti métodu dexa solamente sumar vectores de dos en dos. Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los oríxenes de dambos coincidan nun puntu, trazando rectes paraleles a cada unu de los vectores, nel estremu del otru y d'igual llargor, formando asina unparalelogramu (ver gráficu). El vector resultáu de la suma ye la diagonal de dichu paralelogramu que parte del orixe común de dambos vectores.

Métodu del triángulu o métodu poligonal

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Métodu del triángulu.

Consiste en disponer gráficamente un vector de siguío d'otru, ordenadamente: l'orixe de cada unu de los vectores va coincidir col estremu del siguiente. El vector resultante ye aquel que'l so orixe coincide col del primer vector y termina nel estremu del postreru.

==== Métodu analíticu pa la suma y diferencia de vectores Daos dos vectores llibres,

a=(axi+ayj+azk){\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )}

b=(bxi+byj+bzk){\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )}

La resultancia de la so suma o de la so diferencia espresar en formar

a±b=(axi+ayj+azk)±(bxi+byj+bzk){\displaystyle \mathbf {a} \pm \mathbf {b} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )\pm (b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )}

y ordenando les componentes,

a±b=(ax±bx)i+(ay±by)j+(az±bz)k{\displaystyle \mathbf {a} \pm \mathbf {b} =(a_{x}\pm b_{x})\mathbf {i} +(a_{y}\pm b_{y})\mathbf {j} +(a_{z}\pm b_{z})\mathbf {k} }

Cola notación matricial sería

a±b=[axayaz]±[bxbybz]=[ax±bxay±byaz±bz]{\displaystyle \mathbf {a} \pm \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\\\end{bmatrix}}\pm {\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}\pm b_{x}\\a_{y}\pm b_{y}\\a_{z}\pm bz\\\end{bmatrix}}}

Conocíos los módulos de dos vectores daos,a{\displaystyle \mathbf {a} } yb{\displaystyle \mathbf {b} }, según l'ánguluθ{\displaystyle \theta } que formen ente sigo, el módulu dea±b{\displaystyle \mathbf {a} \pm \mathbf {b} } ye:

|a±b|=a2+b2±2abcos⁡θ≤a2+b2+2abcos⁡θ{\displaystyle |\mathbf {a} \pm \mathbf {b} |={\sqrt {a^{2}+b^{2}\pm 2ab\cos \theta }}\leq {\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \theta }}}

La deducción d'esta espresión puede consultase endeducción del módulu de la suma.

Productu d'un vector por un angular

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Productu por un angular.

El productu d'un vector por un angular ye otru vector que'l so módulu ye'l productu del angular pol módulu del vector, que la so direición ye igual a la del vector, y que'l so sentíu ye contrariu a esti si l'angular ye negativu.

Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la mesma llinia de la so direición tomamos tantes vegaes el módulu de vector como indica l'angular.

Síanp{\displaystyle p\,} un angular ya{\displaystyle \mathbf {a} } un vector, el productu dep{\displaystyle p\,} pora{\displaystyle \mathbf {a} } represéntasepa{\displaystyle p\,\mathbf {a} } y realízase multiplicando caúna de les componentes del vector pol angular; esto ye,

pa=paxi+payj+pazk{\displaystyle p\,\mathbf {a} =pa_{x}\mathbf {i} +pa_{y}\mathbf {j} +pa_{z}\mathbf {k} }

Cola notación matricial sería

pa=p[axayaz]=[paxpaypaz]{\displaystyle p\,\mathbf {a} =p\,{\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p\,a_{x}\\p\,a_{y}\\p\,a_{z}\\\end{bmatrix}}}

Productu angular

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Artículu principal:Productu angular

Productu vectorial

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Artículu principal:Productu vectorial

=== Derivada ordinaria d'un vector Dau un vector que ye función d'una variable independiente

a(t)=ax(t)i+ay(t)j+az(t)k{\displaystyle \mathbf {a} (t)=a_{x}(t)\mathbf {i} +a_{y}(t)\mathbf {j} +a_{z}(t)\mathbf {k} }

Calculamos laderivada ordinaria del vector con respectu de la variablet, calculando la derivada de caúna de los sos componentes como si d'angulares tratárase:

ddta(t)=ddtax(t)i+ddtay(t)j+ddtaz(t)k{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {a} (t)={\frac {d}{dt}}a_{x}(t)\mathbf {i} +{\frac {d}{dt}}a_{y}(t)\mathbf {j} +{\frac {d}{dt}}a_{z}(t)\mathbf {k} }

teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulu y direición.

Con notación matricial sería

ddta(t)=ddt[axayaz]=[ddtaxddtayddtaz]{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {a} (t)={\frac {d}{dt}}\,{\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {d}{dt}}a_{x}\\{\frac {d}{dt}}a_{y}\\{\frac {d}{dt}}a_{z}\\\end{bmatrix}}}

r(t)=sin⁡(t)i+cos⁡(t)j+5tk{\displaystyle \mathbf {r} (t)=\sin(t)\mathbf {i} +\cos(t)\mathbf {j} +5t\mathbf {k} }

Veamos un exemplu de derivación d'un vector, partiendo d'una función vectorial:

r(t)=sin⁡(t)i+cos⁡(t)j+5tk{\displaystyle \mathbf {r} (t)=\sin(t)\mathbf {i} +\cos(t)\mathbf {j} +5t\mathbf {k} }

Esta función representa una curva helicoidal alredor de la exa z, de radio unidá, como s'ilustra na figura. Podemos imaxinar qu'esta curva ye la trayeutoria d'una partícula y la funciónr(t){\displaystyle \mathbf {r} (t)\,} representa'l vectorposición en función del tiemput. Derivando vamos tener:

dr(t)dt=ddtsin⁡(t)i+ddtcos⁡(t)j+ddt5tk{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}={\frac {d}{dt}}\sin(t)\mathbf {i} +{\frac {d}{dt}}\cos(t)\mathbf {j} +{\frac {d}{dt}}5t\mathbf {k} }

Realizando la derivada:

dr(t)dt=cos⁡(t)i−sin⁡(t)j+5k{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=\cos(t)\mathbf {i} -\sin(t)\mathbf {j} +5\mathbf {k} }

La derivada del vectorposición respectu al tiempu ye la velocidá, asina que esta segunda función determina'l vector velocidá de la partícula en función del tiempu, podemos escribir:

v(t)=cos⁡(t)i−sin⁡(t)j+5k{\displaystyle \mathbf {v} (t)=\cos(t)\mathbf {i} -\sin(t)\mathbf {j} +5\mathbf {k} }

Esti vectorvelocidá ye un vector tanxente a la trayeutoria nel puntu ocupáu pola partícula en cada intre. El sentíu ye escontra los valores crecientes de los valores angulares.[5] Si deriváramos de nuevu llograríamos el vector aceleración.

Derivada covariante d'un vector

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Artículu principal:Derivada covariante

Cuando en llugar d'emplegar una "base fixa" en tol dominiu d'un vector úsense "bases móviles" como cuando s'empleguencoordenaes curvillinies la variación total d'un vector dependiente del tiempu depende non solo de la variación de componentes como nel casu de la derivada ordinaria sinón tamién de la variación de la orientación de la base. La variación total llámasederivada covariante:

δδta(t)=∑k(a˙kyk+aky˙k)=ddta(t)+a(t)×ω(t){\displaystyle {\frac {\delta }{\delta t}}\mathbf {a} (t)=\sum _{k}\left({\dot {a}}^{k}\mathbf {y} _{k}+a^{k}{\dot {\mathbf {y} }}_{k}\right)={\frac {d}{dt}}\mathbf {a} (t)+\mathbf {a} (t)\times {\boldsymbol {\omega }}(t)}

Cuando s'emplega una base fixa (coordenaes cartesianes) la derivada covariante coincide cola derivada ordinaria. Por casu cuando s'estudia'l movimientu d'una partícula dende un sistema de referencia non inercial en rotación, les aceleracionesde Coriolis ycentrípeta deber a los factores que contienenω{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} y otros factores menos comunes.

Ángulu ente dos vectores

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L'ángulu determináu poles direiciones de dos vectoresa{\displaystyle \mathbf {a} } yb{\displaystyle \mathbf {b} } vien dau por:

cos⁡θ=a⋅b|a||b|{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}}}

=== Descomposiciones d'un vector Dau un vectora{\displaystyle \mathbf {a} } y una direición de referencia dada por un vector unitariun{\displaystyle \mathbf {n} } puede descomponese el primer vector nuna componente paralela y otra componente perpendicular a la direición de referencia:

a=a‖+a⊥=(n⋅a)n+(n×a)×n{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{\|}+\mathbf {a} _{\bot }=(\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {n} +(\mathbf {n} \times \mathbf {a} )\times \mathbf {n} }

En física esta descomposición usar en distintos contestos como descomponer l'aceleración nuna componente paralela a la velocidá y otra componente perpendicular a la mesma. Tamién eltensión mecánico nun puntu sobre un planu puede descomponese nuna componente normal al planu y otra paralela.

Tamién dau un campu vectorialo(x){\displaystyle \mathbf {o} (\mathbf {x} )} definíu sobre un dominiu de Lipschitz, acutáu, a cencielles conexu y decuadráu integrableo∈(L2(Ω))3{\displaystyle \mathbf {o} \in (L^{2}(\Omega ))^{3}} almite la llamadadescomposición de Helmholtz como suma d'uncampu conservativo y uncampu solenoidal:

o=oC+oS=(∇φ)+(∇×A){\displaystyle \mathbf {o} =\mathbf {o} _{C}+\mathbf {o} _{S}=({\boldsymbol {\nabla }}\varphi )+({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )}

Cambéu de base vectorial

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Cambéu de base vectorial.

Enmatemátiques les rotaciones sontresformamientos lliniales que caltienen les normes n'espacios vectoriales nos que se definió una operación deproductu interior. Lamatriz de tresformamientu tien la propiedá de ser una matriz unitaria, esto ye, yeortogonal y la sodeterminante ye 1. Sía un vectorA{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {A} } espresáu nun sistema de coordenaes cartesianes (x, y, z) con una base vectorialB{\displaystyle {\mathcal {B}}} asociada definida polos versores(i,j,k){\displaystyle \left(\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \,\right)}; esto ye,

A=[AxAyAz]B{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{bmatrix}}_{\mathcal {B}}}

Agora, supongamos que xiramos el sistema d'exes coordenaes, calteniendo fixu l'orixe del mesmu, de cuenta que llogremos un nuevu triedru ortogonal d'exes (x′, y′, z′), con una base vectorialB′{\displaystyle {\mathcal {B}}'} asociada definida polos versores(i′,j′,k′){\displaystyle \left(\mathbf {i} ',\mathbf {j} ',\mathbf {k} '\,\right)}. Les componentes del vectorA{\displaystyle \mathbf {A} \,} nesta nueva base vectorial van ser:

A=[Ax′Ay′Az′]B′{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A'_{x}\\A'_{y}\\A'_{z}\end{bmatrix}}_{{\mathcal {B}}'}}

La operación de rotación de la base vectorial siempres puede espresase como l'aición d'un operador llinial (representáu por una matriz) actuando sobre'l vector (multiplicando al vector):

RAB=AB′{\displaystyle \mathbb {R} \,\mathbf {A} _{\mathcal {B}}=\mathbf {A} _{{\mathcal {B}}'}}

que ye la matriz de tresformamientu pal cambéu de base vectorial.

Cambéu de base vectorial.
Exemplu

Nel casu simple nel que'l xiru tenga magnitúθ{\displaystyle \theta \,} alredor de la exaz, vamos tener el tresformamientu:

R=[cos⁡θsin⁡θ0−sin⁡θcos⁡θ0001]{\displaystyle \mathbb {R} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}

Al faer l'aplicación del operador, esto ye, al multiplicar la matriz pol vector, vamos llograr la espresión del vectorA{\displaystyle \mathbf {A} \,} na nueva base vectorial:

[cos⁡θsin⁡θ0−sin⁡θcos⁡θ0001][AxAyAz]B=[Ax′Ay′Az′]B′{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{bmatrix}}_{\mathcal {B}}={\begin{bmatrix}A'_{x}\\A'_{y}\\A'_{z}\end{bmatrix}}_{{\mathcal {B}}'}}

siendo

Ax′=Axcos⁡θ+Aysin⁡θ{\displaystyle A'_{x}=A_{x}\cos \theta +A_{y}\sin \theta \,}
Ay′=−Axsin⁡θ+Aycos⁡θ{\displaystyle A'_{y}=-A_{x}\sin \theta +A_{y}\cos \theta \,}
Az′=Az{\displaystyle A'_{z}=A_{z}\,}

les componentes del vector na nueva base vectorial.

Requerimientos físicos de les magnitúes vectoriales

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Non cualesquiern-tupla de funciones o númberos reales constitúi un vector físicu. Por que unan-tupla represente un vector físicu, los valores numbéricos de les componentes del mesmu midíos por distintosobservadores tienen de tresformase acordies con ciertes rellaciones fixes.

En mecánica newtoniana xeneralmente utilícense vectores xenuinos, llamaos dacuando vectores polares, xunto con pseudovectores, llamaosvectores axiales que realmente representen eldual de Hodge de magnitúes tensoriales antisimétricas. Elmomentu angular, elcampu magnéticu y toles magnitúes en que la so definición intervién elproductu vectorial son en realidá pseudovectores ovectores axiales.

Enteoría especial de la relatividá, solo losvectores tetradimensionales que les sos midíes tomaes por distintos observadores pueden ser rellacionaes por aciu dalgunatresformamientu de Lorentz constitúin magnitúes vectoriales. Asina les componentes de dos magnitud vectoriales midíes por dos observadoresO{\displaystyle O\,} yO′{\displaystyle O'} tienen de rellacionase acordies cola siguiente rellación:

V′β=∑α=03Λαβ Vα{\displaystyle {V'}^{\beta }=\sum _{\alpha =0}^{3}\Lambda _{\alpha }^{\beta }\ V^{\alpha }}


OndeΛαβ{\displaystyle \Lambda _{\alpha }^{\beta }} son les componentes de la matriz que da'l tresformamientu de Lorentz. Magnitúes como'lmomentu angular, elcampu llétricu o'lcampu magnéticu de fechu en teoría de la relatividá nun son magnitúes vectoriales sinóntensoriales.

Ver tamién

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Referencies

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  1. ↑Esti términu apaez nelDiccionariu de l'Academia de la Llingua Asturiana. Ver:vector
  2. 1234Enrico Bompiani, Universidad Nacional de la Mariña, ed.,Geometría Analítica,ISBN9789875084339,https://books.google.es/books/ucm?id=jLHB0fdw67AC&pg=PA15 
  3. 123Llopis, GÁlvez, Rubio, López, Editorial Tebar, ed.,Física: cursu teóricu-práuticu de fundamentos físicos de la inxeniería,ISBN9788473601870,https://books.google.es/books/ucm?id=FOLIA-GRmTzHEC&pg=PA26,«(cito dellos exemplos) [de páxina 26] [Otres magnitúes] llamaes vectoriales, onde nun basta conocer el so valor numerico, sinón qu'amás ye necesariu dar tamién la so direición y sentíu. [páxina 70] (...) el cual ye un vector que polo xeneral va tener distinta direición y sentíu que r(t). [páxina 71] (...) Consecuencia de la definición ye que la direición d'esti vector derivada, dr/dt, ye tanxente a la curva indicatriz, el so sentíu ye'l de los valors crecientes del parámetru angular t, y que'l so módulu ye: (...)» 
  4. 123Manuela Blanco Sánchez, Marcial Carreto Sánchez, José Ma González Clouté, Ediciones de la Torre, ed.,Programa de diversificación curricular: ámbitu científicu-teunolóxicu: 2o. ciclu d'ESO, Proyeutu Didácticu Quirón. Ciencies y tecnología, 102(ilustradaedición),ISBN9788479601867,https://books.google.es/books/ucm?id=ICOmEDmY6gYC&pg=PA200 
  5. 12(n'inglés)Chapter 2: Vectors and dyadics,http://www.stanford.edu/class/engr14/Documents/VectorHandout.pdf Archiváu 2012-11-20 enWayback Machine
  6. ↑«Euclidean vector»(inglés). PlanetMath.org.Archiváu dende l'orixinal, el 2016-03-06.Consultáu'l 3 de xunu de 2010.
  7. ↑«Vector»(inglés). Math Academy Online.Archiváu dende l'orixinal, el 2012-10-28.Consultáu'l 3 de xunu de 2010.

Bibliografía

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Enllaces esternos

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