Laadición ye una operación básica de l'aritmética de los númberos naturales, enteros, racionales, reales y complexos; pola so naturalidá, que se representa col signu "+", que combínase con facilidá matemática de composición na que consiste en combinar o añader dos númberos o más para llograr una cantidá final o total. La adición tamién ilustra'l procesu de xuntar dos coleiciones d'oxetos col fin de llograr una sola coleición. Per otru llau, l'acción repetitiva de sumarunu ye la forma más básica de cuntar.
En términos más formales, la suma ye una operaciónaritmética definida sobro conxuntos de númberos (naturales,enteros,racionales,reales ycomplexos), y tamién sobro estructures acomuñaes a ellos, comoespacios vectoriales con vectores que les sos componentes sían estos númberos ofunciones que tengan la so imaxe nellos. Tamién se suman matrices.
Naálxebra moderna utilízase'l nomesuma y el so símbolu "+" para representar la operación formal d'un aniellu que dota al aniellu d'estructura de grupu abelianu, o la operación d'un módulu que dota al módulu d'estructura degrupu abelianu. Tamién s'utiliza dacuando en teoría de grupos para representar la operación que dota a un conxuntu d'estructura de grupu. Nestos casos #tratar d'una denominación puramente simbólica, ensin que necesariamente coincida esta operación cola suma habitual en númberos, funciones, vectores, etc.
L'homeneolíticu yá faía matemática elemental, polo tanto sabía sumar; pero primeramente captó la idea derestar, yá que los sos medios de subsistencia menguaben mientres l'añu, y nun-y yera tan bono de reponer.
Los exipcios llegaron a sumar lo que se llamen güei, númberos naturales y los númberos fraccionarios. Los babilonios llegaron a sumar los cuadraos de los númberos naturales. Los chinos y los hindús sumaron númberos negativos. Na Renacencia, cola puxanza de la banca y del comerciu, impúnxose la suma de decimales, catapultada pol usu del sistema de numberación decimal. Amás popularizóse la adición dellogaritmos vulgares, que reemplazaba conducentemente a la multiplicación de númberos tantu nel comerciu, finances, astronomía, navegación, etc.[2]
Cola formalización de los distintos tipos de númberu, #falar de suma de númberos reales (o espresiones decimales) y la suma de númberos complexos, que nun ye sinón la suma de pares ordenaos de númberos reales. Pero sí coles sos propies peculiaridaes, tanto al xeneralizar pa racionales y enteros. Amás #sumir con otros oxetos, entá naálxebra de Boole #falar de suma boleana.[3]
==Propiedaes de la adición de númberos naturales
Propiedá de pesllera o cluurativa:i a , b∈S{\displaytyle a,\in S}etós a
bS{\displaystyle a+b\in S}, siendo S {}
ualesquier d'estos conxuntos: N, Z,
, R{ {N} ,\mathbb {} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} }o C {\displaystyle \mathbb {C} }.Propiedá conmutativa: L'arreglu de los sumandos nun #modificar la resultancia: a +b=a {\displaystylea+b=b+a}.Propiedá asociativa: Propiedá qu'establez que cuando se suma trés o más númberos, el resultáu siempres ye'l mesmu independientemente del so agrupamientu.[4] Un exemplu ye: a +(bc)=(
)
{\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}.Propiedá distributiva: La suma de dos númberos multiplicada por un tercer númberu ye igual a la suma del productu de cada sumandu multiplicáu pol tercer númberu. Por casu, ( 3+4)⋅6=
{\displaystyle (3+4)\cdot=3\cdot 6+4\cdot 6}.Propiedá cancelativa: Si a + c=bc{ a+c=+c}entós a =b{\displaystyle a=b}y recíprocamente.
Elementu neutru: L'elementu identidá #aditivo de los númberos ye'l cero, denotado por 0; porque tou númberu sumáu col 0 da'l mesmu númberu como total. Simbólicamente:
+0= =
{
==a}; exemplu: 0+3=
{\diplaystyle 0+3=3}Elementu opuestu: Si a ∈ S{}esiste − a
S{}tal que a +(a )=0{\displaystyle a+(-a)=0}.[nota 1] Exemplu: 7()=
{\displaystyle 7+(-7)=0}
Si tolos términos escríbense individualmente, utilízase'l símbolu "+" (lleíu más). Con esto, la suma de los númberos 1, 2 y 4 ye
+=
{\displaystyle 1+2+4=7}.
Tamién puede emplegase el símbolu "+" cuando, a pesar de nun escribise individualmente los términos, indíquense los númberos omitíos por aciu puntos suspensivos y ye senciellu reconocer los númberos omitíos. Por casu:
+
{} ye la suma de los cien primeros númberos naturales.
2 +
51 {} ye la suma de los diez primeres potencies de 2.
En sumes llargues o infinites emplégase un nuevu símbolu, llamáu sumatorio, y represéntase cola lletra griega Sigma mayúscula (Σ). Por casu:
k =
{\displaystyle \sum _{k=1}^{100}k} ye la suma de los cien primeros númberos naturales.
k =
2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{10}^{k}} ye la suma de los diez primeres potencies de 2.
k = 1
2 { \sum _{=}^{\infty }{\frac {1}{k^{}}}} ye la suma de tolos númberosracionales de la forma 1 k 2 {\displaystyle {\frac {1}{k^{2}}}} . Como escurre que s'avera esta ye unasuma infinita que nunca termina; esto ye, #sumirtolos elementos d'unconxuntu infinitu; sicasí, en realidá calcula lallende de la socesión que'l so enésimu términu ye la suma primeros n términos de laserie.
Si tolos términos escríbense individualmente, utilízase'l símbolu "+" (lleíu más). Con esto, la suma de los númberos 1, 2 y 4 ye
+=
{\displaystyle 1+2+4=7}.
Tamién puede emplegase el símbolu "+" cuando, a pesar de nun escribise individualmente los términos, indíquense los númberos omitíos por aciu puntos suspensivos y ye senciellu reconocer los númberos omitíos. Por casu:
+
{} ye la suma de los cien primeros númberos naturales.
2 +
51 {} ye la suma de los diez primeres potencies de 2.
En sumes llargues o infinites emplégase un nuevu símbolu, llamáu sumatorio, y represéntase cola lletra griega Sigma mayúscula (Σ). Por casu:
k =
{\displaystyle \sum _{k=1}^{100}k} ye la suma de los cien primeros númberos naturales.
k =
2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{10}^{k}} ye la suma de los diez primeres potencies de 2.
k = 1
2 { \sum _{=}^{\infty }{\frac {1}{k^{}}}} ye la suma de tolos númberosracionales de la forma 1 k 2 {\displaystyle {\frac {1}{k^{2}}}} . Como escurre que s'avera esta ye unasuma insocesión que'l so enésimu términu ye la suma primeros ntérminos de la serie.finita que nunca termina; esto ye, #sumir tolos elementos d'unconxuntu infinitu; sicasí, en realidá calcula lallende detolos elementos que se suman y calcúlase ellimite matematico
El procedimientu estándar para efectuar sumes de dellos númberos, llamaos "sumandos", ye'l siguiente:
Los sumandos #asitiar en files socesives ordenando les cifres en columnes, empezando pela derecha cola cifra de les unidaes (O), a la izquierda les decenes (D), la siguiente les centenes (C), la siguiente los millares (M), etc.
La suma de los númberos 750 + 1583 + 69 #ordenar de la siguiente forma:
#Sumir en primer llugar les cifres de la columna de les unidaes según les tables elementales, asitiando na resultancia la cifra d'unidaes que resulte; cuando estes unidaes sían más de 10 les decenes atrópense como un sumandu más na fila d'acarretu.Nesti casu3 más9 son12, el 2 del12 #poner na parte inferior y el 1 pásase como acarretu na columna siguiente.
Na columna de les decenes, procediendo entós a la suma d'esa columna como si fueren unidaes.Sumemos el1 del acarretu más5,8 y6 que dan un total de20, el 0 de20 #poner na parte inferior como resultancia y el 2 pásase como acarretu a la columna siguiente.
#Venir# de igual forma cola columna de les decenes, acarretu incluyíu, asitiando na fila d'acarretu sobro la columna de les centenes les decenes (d'unidaes de decenes).Na columna de les centenes tenemos, el2 d'acarretu, el7 y el5 que sumaos dan14, el 4 del14 #poner na parte inferior y el 1 #pasar a la siguiente columna como acarretu.
#Venir# de igual forma con toles columnes, añadiendo a la columna última de la izquierda les decenes de la columna anterior en cuenta de xubir a la fila d'acarretu.Na columna de los millares tenemos 1 d'acarretu más el1 de sumando que sumaos dan2, que se pon na parte inferior como resultancia, al nun haber más sumandos damos per rematada la operación.
De normal los acarretos o llevaes nun s'anoten nel papel, sumando direutamente l'acarretu a los sumandos de la columna siguiente y l'aspeutu de la realización de la suma ensin les anotaciones auxiliares sería'l siguiente:
Si los sumandos tienen el mesmu signu #sumir los valores absolutos y al resultáu asígnase-y el signu común.
Si los dos sumandos tienen distintu signu #restar del mayor absolutu'l menor valor absolutu. A la diferencia asígnase-y el signu del númberu de mayor valor absolutu.[6]
Si se trat de m = ( a , b ) {\isplaystyle=(a,)} y n = ( c , d ) {=(,d)} la suma ye m + n = ( a c , b
Cuando tienen el mesmu denominador, solamente #sumir los numberadores, según la regla de la adición de númberos enteros y eldenominador ye'l mesmu.
Si tien distintu denominador, tolosnúmberos racionales amenórguense racionales col mesmu denominador; depués aplícase'l criteriu inmediatu anterior.[8]
