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Polinomiu

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Polinomiu
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Gráfica d'unpolinomiu de grau 7 encoordenaes cartesianes.

Enmatemátiques, unpolinomiu (delllatínpolynomium, y esti delgriegu, πολυςpolys ‘munchos' y νόμοςnómos ‘regla', ‘prescripción', ‘distribución')[1][2] ye unaespresión alxebraica constituyida por una suma finita de productos entevariables (valores non determinaos o desconocíos) yconstantes (númberos fixos llamaoscoeficientes). Les variables pueden teneresponentes de valores definíosnaturales incluyíu'l cero y que'l so valor máximu va conocese como grau del polinomiu. En términos más simples, un polinomiu ye una suma demonomios.

Ye frecuente'l términupolinómicu (dacuando tamién l'anglicismupolinomial), como axetivu, pa designar cantidaes que pueden espresase como polinomios de dalgún parámetru, como por casu:tiempu polinómicu, etc.

Los polinomios son oxetos bien utilizaos en matemátiques y en ciencia. Na práutica, son utilizaos encálculu yanalís matemáticu p'averar cualesquierfunción derivable; lesecuaciones polinómiques y les funciones polinómiques tienen aplicaciones nuna gran variedá de problemes, dende la matemática elemental y elálxebra hasta árees como lafísica,química,economía y lesciencies sociales.

Enálxebra astracta, los polinomios son utilizaos pa construyir losaniellos de polinomios, un conceutu central enteoría de númberos alxebraicos yxeometría alxebraica.

Definición alxebraica

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Los polinomios tán constituyíos por un conxuntu finito devariables (non determinaes o desconocíes) yconstantes (llamaescoeficientes), coles operaciones aritmétiques de suma, resta y multiplicación, según tamién esponentesenteros positivos. Pueden ser d'una o de delles variables.

Polinomios d'una variable

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Paa0,…,an{\displaystyle a_{0},\;\ldots ,\;a_{n}} constantes en dalgúnanielluA (en particular podemos tomar uncuerpu, comoR{\displaystyle \mathbb {R} } oC{\displaystyle \mathbb {C} }, y nesi casu los coeficientes del polinomiu van ser númberos) conan distintu de cero yn∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }, entós un polinomiuP{\displaystyle P_{}^{}} de graun na variablex ye un oxetu de formar

P(x)={\displaystyle P(x)_{}^{}=}anxn+an−1xn−1+⋯+a1x1+a0x0.{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}.}

Un polinomiuP(x)∈K[x]{\displaystyle P(x)\in K[x]} nun ye más qu'unasocesión matemática finita{an}n{\displaystyle \left\{{a_{n}}\right\}_{n}} tal quean∈K{\displaystyle a_{n}\in K}. Tamién puede considerase una socesión infinita{an}n=1∞{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} entendiendo qu'a partir d'un ciertu términun0∈N{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }podemos consideraran=0{\displaystyle a_{n}=0} pa cadan≥n0{\displaystyle n\geq n_{0}}.


Representáu como:

P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn{\displaystyle P(x)_{}^{}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}}

el polinomiu puede escribise más concisamente usandosumatorios como:

P(x)=∑i=0naixi.{\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}.}

Les constantesa0, …, an llámense loscoeficientes del polinomiu. Aa0 llámase-y elcoeficiente constante (o términu independiente) y aan, elcoeficiente principal (o coeficiente direutor). Cuando'l coeficiente principal ye 1, al polinomiu llámase-y mónico o normalizáu.

Polinomios de delles variables

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Como exemplu de polinomios de dos variables, desenvolviendo losbinomios:

(2){(x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4{\displaystyle {\begin{cases}(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\\(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\\(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\end{cases}}}

Estos polinomios son mónicos,homoxéneos,simétricos y los sos coeficientes soncoeficientes binomiales.

Pa llograr la espansión de lespotencies d'una resta (veaseproductos notables), basta con tomar-y en llugar dey nel casu anterior. La espresión (2) queda de la siguiente forma:

(x−y)2=x2−2xy+y2{\displaystyle (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,}

Los polinomios de delles variables, a diferencia de los d'una variable, tienen en total más d'una variable. Por casu los monomios:

5xy,3xz2,4xy2z,…{\displaystyle 5xy,3xz^{2},4xy^{2}z,\dots }

En detalle'l postreru d'ellos4xy2z{\displaystyle 4xy_{}^{2}z} ye un monomiu de trés variables (yá que nél apaecen les tres lletresx,y yz), el coeficiente ye 4, y los esponentes son 1, 2 y 1 dex,y yz respeutivamente.

Grau d'un polinomiu

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Artículu principal:Grau (polinomiu)

Defínese'l grau d'unmonomiu como l'esponente del so variable. El grau d'un polinomiu ye'l del monomiu de mayor grau, y se denota porgr(p){\displaystyle {\text{gr}}(p)}.

Exemplos
P(x) = 2, polinomiu de grau cero (el polinomiu solo consta del términu independiente).
P(x) = 3x + 2, polinomiu de grau unu.
P(x) = 3x² + 2x, polinomiu degrado dos.
P(x) = 2x³+ 3x + 2, polinomiu degrau trés.
P(x) = 4x4+ 4x + 2, polinomiu degrau cuatro.
P(x) = 2x5+ 3x + 1, polinomiu degrau cinco.

Convencionalmente defínese'l grau del polinomiu nulu como−∞{\displaystyle \scriptstyle -\infty }.

En particular los númberos son polinomios de grau cero.

Operaciones con polinomios

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Artículu principal:Operaciones con polinomios

Los polinomios puédensesumar yrestar arrexuntando los términos y simplificando losmonomios asemeyaos. Pa multiplicar polinomios multiplica cada términu d'un polinomiu per caúnu de los términos del otru polinomiu y depués simplificar los monomios asemeyaos.

Exemplu

Sían los polinomios:P(x)=(2x3+4x+1){\displaystyle P(x)=(2x_{}^{3}+4x+1)} yQ(x)=(5x2+3){\displaystyle Q(x)_{}^{}=(5x^{2}+3)}, entós el productu ye:

P(x)Q(x)={\displaystyle P(x)Q(x)_{}^{}=}(2x3+4x+1)(5x2+3)={\displaystyle (2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2}+3)=}(2x3+4x+1)(5x2)+(2x3+4x+1)(3)={\displaystyle (2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2})+(2x^{3}+4x+1)(3)=}(10x5+20x3+5x2)+(6x3+12x+3)={\displaystyle (10x_{}^{5}+20x^{3}+5x^{2})+(6x^{3}+12x+3)=}10x5+26x3+5x2+12x+3{\displaystyle 10x_{}^{5}+26x^{3}+5x^{2}+12x+3}

Pa poder realizar conducentemente la operación tiense qu'adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica qu'espresa'l productu de dos polinomios ye la siguiente:

P(x)Q(x)={\displaystyle P(x)Q(x)_{}^{}=}(∑i=0maixi)(∑j=0nbjxj)={\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}x^{j}\right)=}∑k=0m+n(∑p=0kapbk−p)xk{\displaystyle \sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{p=0}^{k}a_{p}b_{k-p}\right)x^{k}}

Aplicando esta fórmula al exemplu anterior tiense:

P(x)Q(x)={\displaystyle P(x)Q(x)_{}^{}=}(2x3+4x+1)(5x2+3)={\displaystyle (2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2}+3)=}(1⋅3)x0+(4⋅3)x1+(1⋅5)x2+(4⋅5+2⋅3)x3+(0)x4+(5⋅2)x5={\displaystyle (1\cdot 3)x_{}^{0}+(4\cdot 3)x^{1}+(1\cdot 5)x^{2}+(4\cdot 5+2\cdot 3)x^{3}+(0)x^{4}+(5\cdot 2)x^{5}=}10x5+26x3+5x2+12x+3{\displaystyle 10x_{}^{5}+26x^{3}+5x^{2}+12x+3}

Puede comprobase que pa polinomios non nulos satisfaise la siguiente rellación ente'l grau de los polinomiosP(X){\displaystyle \scriptstyle P(X)} yQ(X){\displaystyle \scriptstyle Q(X)} y el polinomiu productuP(X)Q(X){\displaystyle \scriptstyle P(X)Q(X)}:

(*)gr(P(x)Q(x))=gr(P(x))+gr(Q(x)){\displaystyle {\mbox{gr}}(P(x)Q(x))={\mbox{gr}}(P(x))+{\mbox{gr}}(Q(x))\,}

Yá que el productu de cualquier polinomiu pol polinomiu nulu ye'l mesmu polinomiu nulu, defínese convencionalmente quegr(0)=−∞{\displaystyle \scriptstyle {\mbox{gr}}(0)=-\infty } (xunto cola operación∀p:−∞+p=−∞{\displaystyle \forall p:-\infty +p=-\infty }) polo que la espresión puede estendese tamién al casu de que dalgún de los polinomios sía nulu.

Funciones polinómiques

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Artículu principal:Función polinómica

Unafunción polinómica ye unafunción matemática espresada por aciu un polinomiu. Dau un polinomiuP[x] puede definise una función polinómica asociada al polinomiu dau substituyendo la variablex por un elementu del aniellu:

fP:A→A,a∈A↦fP(a)=anan+an−1an−1+⋯+a1a+a0∈A{\displaystyle f_{P}:A\to A,\qquad \qquad a\in A\mapsto f_{P}(a)=a_{n}a^{n}+a_{n-1}a^{n-1}+\dots +a_{1}a+a_{0}\in A}

Les funciones polinómiques reales sonfunciones nidies, esto ye, son infinitamente diferenciables (tienen derivaes de tolos órdenes). Por cuenta de la so estructura simple, les funciones polinómiques son bien sencielles d'evaluar numbéricamente, y úsense llargamente enanalís numbéricu parainterpolación polinómica o paraintegrar numbéricamente funciones más complexes. Una manera bien eficiente pa evaluar polinomios ye l'usu de laregla de Horner.

Enálxebra llinial elpolinomiu característicu d'unamatriz cuadrada codifica munches propiedaes importantes de lamatriz. Enteoría de los grafos elpolinomiu cromáticu d'ungrafo codifica les distintes maneres de colorear los vértices del grafo usandox colores.

Col desenvolvimientu delordenador, los polinomios fueron remplazados por funcionesspline en munches árees del analís numbéricu. Les splines definir a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidá que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y nidies. Estes son usaes na interpolaciónspline y en gráficos porordenador.

Exemplos de funciones polinómiques

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Note que les gráfiques representen a lesfunciones polinómiques y non a los polinomios en sí, pos un polinomiu solo ye la suma de dellos monomios.

Polinomiu de grau 2:
f(x) = x2 - x - 2= (x+1)(x-2).
Polinomiu de grau 3:
f(x) = x³/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2=
 1/5 (x+5)(x+1)(x-2).
Polinomiu de grau 4:
f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5.
Polinomiu de grau 5:
f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2.

La función

f(x)=13x4−7x3+23x2−5x+3{\displaystyle f(x)=13x^{4}-7x^{3}+{\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\end{matrix}}x^{2}-5x+3}

ye un exemplu de función polinómica de cuartu grau, con coeficiente principal 13 y una constante de 3.

Factorización de polinomios

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Artículu principal:Factorización

Nunaniellu conmutativuA{\displaystyle \scriptstyle A} una condición necesaria por que un monomiu sía un factor d'un polinomiu de graun > 1, ye que'l términu independiente del polinomiu sía divisible pol raigañu del monomiu[3]:

Pn(x)={\displaystyle P_{n}^{}(x)=}anxn+⋯+a1x+a0=(x−α)Qn−1(x){\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}=(x-\alpha )Q_{n-1}(x)}

necesariamenteα{\displaystyle \alpha _{}^{}} estrema aa0.{\displaystyle a_{0}^{}.}

En casu de que'l polinomiu nun tenga términu independiente va sacase la incógnita como factor común y yá ta factorizado. Tamién se puede factorizar usando lesigualdaes notables.

Un polinomiu factoriza dependiendo del aniellu sobre'l cual considérese la factorización, por casu elbinomiuX2−2{\displaystyle X_{}^{2}-2} non factoriza sobreQ{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} } pero sí factoriza sobreR{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }:

x2−2=x+2)(x−2){\displaystyle x^{2}-2=x+{\sqrt {2}})(x-{\sqrt {2}})}

Per otra parteX2+2{\displaystyle X_{}^{2}+2} non factoriza nin sobreQ{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }, nin tampoco sobreR{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} } anque factoriza sobreC{\displaystyle \scriptstyle \scriptstyle \mathbb {C} }:

x2+2=(x+i2)(x−i2){\displaystyle x^{2}+2=(x+i{\sqrt {2}})(x-i{\sqrt {2}})}

Un cuerpu nel que tou polinomiu non constante factoriza en monomios ye uncuerpu algebraicamente zarráu.

Historia

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Volume d'una pirámide truncada.

La resolución d'ecuaciones alxebraiques, o la determinación de los raigaños de polinomios, ta ente los problemes más antiguos de la matemática. Sicasí, la elegante y práutica notación qu'utilizamos anguaño desenvolvióse a partir del sieglu XV.

Nel problema 14º delpapiru de Moscú (ca. 1890 e. C.) pídese calcular el volume d'untueru de pirámide cuadrangular. La escriba espón los pasos: alza al cuadráu 2 y 4, multiplica 2 por 4, suma les anteriores resultancies y multiplícalo por un terciu de 6 (h); remata diciendo: «ves, ye 56, calcular correutamente». En notación alxebraica actual sería:V =h (t² +b² +tb) / 3, un polinomiu de cuatro variables (V,h,t,b) que, conociendo trés, dexa llograr la cuarta variable.

Dellos polinomios, comoP(x) =x² + 1, nun tienen nengún raigañu que sía númberu real. Sicasí, si'l conxuntu de los raigaños posibles estender a losnúmberos complexos, tou polinomiu (non constante) tien un raigañu: esi ye l'enunciáu delteorema fundamental de la álxebra.

Hai una diferencia ente l'aproximamientu de raigaños y el descubrimientu de fórmules concretes pa elles. Conócense fórmules de polinomios d'hasta cuartu grau dende'l sieglu XVI (verecuación cuadrática,Gerolamo Cardano,Niccolò Fontana Tartaglia). Pero, les fórmules pa polinomios de quintu grau fueron irresolubles pa los investigadores mientres enforma tiempu. En 1824,Niels Henrik Abel demostró que nun puede haber fórmules xenerales pa los polinomios de quintu grau o mayores (ver elteorema d'Abel-Ruffini). Esta resultancia marcó l'empiezu de lateoría de Galois que s'ocupa del estudiu detalláu de les rellaciones esistentes ente los raigaños de los polinomios.

Lamáquina diferencial deCharles Babbage foi diseñada pa crear automáticamente tables de valores de funciones logarítmiques y diferenciales, evaluando aproximamientos polinómiques en munchos puntos, usando'l métodu de les diferencies deNewton.

Proposiciones sobre factores

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Sábese que la función g(x) = a0xn + a1xn-1+...+an

na cualn ye un númberu enteru positivu denominarpolinomiu o función racional entera de x;n ye'lgrau del polinomiu; los coeficientes a0, an,..., an son nesti casu númberos reales o complexos, la variable independientex puede tomar tanto valores reales o complexos. El valor de la variablex pal cual la función ye igual 0, llámaseraigañu del polinomiu.[4]

Teorema de Bezout

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El restu de la división de g(x) ente x-a ye igual a g(a)

Corolariu Si g(a)=0,

entósa ye un raigañu del polinomiu.

Exemplu: sía g(x) = x⁴ -5x³ + 5x²-1; como g(1) = 0 , 1 ye un raigañu de g.

Teorema fundamental de la álxebra

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Toa función racional entera g(x) tien siquier un raigañu real o complexa

Teorema de los factores lliniales

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Tou polinomiu de grau n, g(x) = a0xn + a1xn-1+...+an, puede espresase como'l productu de n factores lliniales x-ri y pol coeficiente a0 pa i=1,2,...,n.[5]

Ver tamién

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Referencies

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  1. ↑(CNTRL), etimoloxía.
  2. ↑«Etymology of "polynomial"»Compact Oxford English Dictionary
  3. ↑Nun hai raigañu d'un monomiu. Caso contrariu señalen autor y obra.
  4. ↑Dalgunos llamen al raigañu,cero del polinomiu.
  5. ↑N. Piskunov:Cálculu diferencial ya integral tomu I, Editoial Mir, Moscú (1983)

Enllaces esternos

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