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Enerxía cinético

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De Wikipedia

Enerxía cinético
forma d'enerxía
enerxía mecánico, propiedá física escalar y cantidá física

Enfísica, laenerxía cinético d'un cuerpu ye aquellaenerxía que tien por cuenta del so movimientu. Defínese como'ltrabayu necesariu p'acelerar un cuerpu d'una masa determinao dende'l reposu hasta la velocidá indicada. Una vegada consiguida esta enerxía mientres l'aceleración, el cuerpu caltién la so enerxía cinético sacantes camude la so velocidá. Por que el cuerpu torne al so estáu de reposu ríquese un trabayu negativu de la mesma magnitú que la so enerxía cinético. Suel embrivise con lletraY_- oY₊ (dacuando tamiénT oK).

Introducción

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L'axetivu cinéticu» nel nomeenerxía vien de l'antigua pallabragriega κίνησιςkinēsis, que significa «movimientu». Los términosenerxía cinético ytrabayu y el so significáu científicu provienen del sieglu XIX.

El principiu de la mecánica clásica que $Y\propto mv^{2}$ foi desenvueltu per primer vegada porGottfried Leibniz yDaniel Bernoulli , que describe la enerxía cinético como lafuercia vivo ovis viva.Willem 's Gravesande de los Países Baxos apurrió evidencia esperimental d'esta rellación. Al cayer los pesos de distintos altores nun bloque de magre, Gravesande determinó que la fondura de penetración ye proporcional al cuadráu de lavelocidá d'impautu.Émilie du Châtelet reconoció les implicaciones del esperimentu y publicó una esplicación.

Les primeres conocencies d'eses idees pueden ser atribuyíos aGaspard Coriolis quien en 1829 publicó un artículu tituláuDu Calcul de l'Effet des Machines esbozando les matemátiques de la enerxía cinético. El términuenerxía cinético deber aWilliam Thomson más conocíu como Lord Kelvin en 1849.

Esisten delles formes d'enerxía como laenerxía química, elcalor, laradiación electromagnético, laenerxía nuclear, les enerxíes gravitacional, llétrica, elástica, etc, toes elles pueden ser arrexuntaes en dos tipos: laenerxía potencial y la enerxía cinético.

La enerxía cinético pue ser entendida meyor con exemplos que demuestren cómo esta se tresforma d'otros tipos d'enerxía y a otros tipos d'enerxía. Por casu un ciclista quier usar la enerxía química que-y apurrió'l so comida p'acelerar la so bicicleta a una velocidá escoyida. La so velocidá puede caltenese ensin enforma trabayu, sacante pola resistencia aerodinámica y el resfregón mecánicu. La enerxía química ye convertida nuna enerxía de movimientu, conocida comoenerxía cinético, pero'l procesu nun ye dafechu eficiente una y bones el ciclista tamién produz calor.

La enerxía cinético en movimientu de labicicleta y elciclista pueden convertise n'otres formes. Por casu, el ciclista puede atopar una cuesta lo suficientemente alta pa xubir, asina que tien de cargar la bicicleta hasta'l visu. La enerxía cinético hasta agora usada convertiríase n'enerxía potencial gravitatoria que puede lliberar llanzándose cuesta abaxo pel otru llau de la llomba. Alternativamente'l ciclista puede coneutar unadínamo a una de les sos ruedes y asina xenerar enerxía llétrica nel descensu. La bicicleta podría tar viaxando más adulces nel final de la llomba porque muncha d'esa enerxía foi esviada en faer enerxía llétrica. Otra posibilidá podría ser que'l ciclista aplique los sos frenos y nesi casu la enerxía cinético taría estenándose al traviés del resfregón n'enerxía calórica.

Como cualquier magnitú física que seya función de la velocidá, la enerxía cinético d'un oxetu non solo depende de la naturaleza interna d'esi oxetu, tamién depende de la rellación ente l'oxetu y l'observador (en física un observador ye formalmente definíu por una clase particular de sistema de coordenaes llamáusistema inercial de referencia). Magnitúes físiques como esta son llamaesinvariantes. La enerxía cinético esta co-alcontrada col oxetu y atribuyíu a esi campu gravitatoriu.

El cálculu de la enerxía cinético realizar de distintes formes según úsese la mecánica clásica, la mecánica relativista o la mecánica cuántica. La manera correuta de calcular la enerxía cinético d'un sistema depende del so tamañu, y la velocidá de les partícules que la formen. Asina, si l'oxetu mover a una velocidá muncho más baxa que la velocidá de la lluz, lamecánica clásica deNewton va ser abonda pa los cálculos; pero si la velocidá ye cercana a la velocidá de la lluz, la teoría de la relatividá empieza a amosar diferencies significatives na resultancia y tendría de ser usada. Si'l tamañu del oxetu ye más pequeñu, esto ye, de nivel sub-atómicu, lamecánica cuántica ye más apropiada.

Esta enerxía degrádase y caltiénse en cada tresformamientu, perdiendo capacidá de realizar nuevos tresformamientos, pero la enerxía nun puede ser creada nin destruyida, solo tresformada, polo que la suma de toles enerxíes nel universu ye siempres constante. Un oxetu va perder enerxía nun tresformamientu, pero esa perda d'enerxía dirá parar a otru sitiu, por casu puede tresformase en calor.

Enerxía cinética en mecánica clásica

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Enerxía cinética en distintos sistemes de referencia

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Como diximos, namecánica clásica, la enerxía cinético d'una masa puntual depende de la somasa $m {\displaystyle m}$ y los sos componentes del movimientu. Espresar enJoule (J). 1 J = 1 kg·m²/s². Estos son descritos polavelocidá $v {\displaystyle v}$ de la masa puntual, asina: $Y_{c}={\frac {mv^{2}}{2}}$

Nunsistema de coordenaes especial, esta espresión tien les siguientes formes:

Coordenaes cartesianes (x, y, z):

Y_{c}={1 \over 2}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})

Coordenaes polares ( $r,\phi$ ):

Y_{c}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right)

Coordenaes cilíndriques ( $r,\phi ,z$ ):

Y_{c}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)

Coordenaes esfériques ( $r,\phi ,\theta$ ):

Y_{c}={\frac {1}{2}}m\left(r^{2}\left[{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right]+{\dot {r}}^{2}\right)

Con eso'l significáu d'un puntu nuna coordenada y el so cambéu temporal descríbese como laderivada temporal de la sodesplazamientu:

{\dot {x}}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)

Nun formalismuhamiltoniano nun se trabaya con eses componentes del movimientu, esto ye cola so velocidá, sinón cola soimpulsu $p {\displaystyle p}$ (cambéu na cantidá de movimientu). En casu d'usar componentes cartesianes llogramos:

Y_{c}={\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2m}}

Enerxía cinética de sistemes de partícules

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Pa una partícula, o pa un sólidu ríxidu que non esti rotando, la enerxía cinético cai a cero cuando'l cuerpu para. Sicasí, pa sistemes que contienen munchos cuerpos con movimientos independientes, qu'exercen fuercies ente ellos y que pueden (o non) tar rotando, esto nun ye del tou ciertu. Esta enerxía ye llamada 'enerxía interna'. La enerxía cinético d'un sistema en cualquier intre de tiempu ye la suma simple de les enerxíes cinétiques de les mases, incluyendo la enerxía cinético de la rotación.

Un exemplu d'esto pue ser elSistema Solar. Nel centru de mases del sistema solar, el Sol ta (cuasi) estacionariu, pero los planetes y planetoides tán en movimientu sobre él. Asina nun centru de mases estacionariu, la enerxía cinético ta entá presente. Sicasí, recalcular la enerxía de distintos marcos puede ser aburrible, pero hai un trucu. La enerxía cinético d'un sistema de distintos marcos inerciales puede calculase como la simple suma de la enerxía nun marcu con centru de mases y añader na enerxía'l total de les mases de los cuerpos que se mueven con velocidá relativa ente los dos marcos.

Esto puédese demostrar fácilmente: seya V la velocidá relativa nun sistemak d'un centru de masesi:

$Y_{c}=\int {\frac {\mathbf {v} ^{2}}{2}}dm=\int {\frac {({\bar {\mathbf {v} }}+\mathbf {V} )^{2}}{2}}dm=\underbrace {\int {\frac {{\bar {\mathbf {v} }}^{2}}{2}}dm} _{Y_{c,int}}+\underbrace {\mathbf {V} \int {\bar {\mathbf {v} }}dm} _{\mathbf {V} \cdot \mathbf {P} =0}+\underbrace {{\frac {V^{2}}{2}}\int dm} _{Y_{c,Cn}}$

Onde:

Y_{c,int}\,

, ye la enerxía cinético interna respectu al centru de mases d'esi sistema :

\mathbf {P}

ye'l momentu respeuto al centru de mases, que resulta ser cero pola definición de centru de mases.

M\,

, ye la masa total.

Polo que la espresión anterior puede escribise a cencielles como:^[1]

$Y_{c}=\overbrace {Y_{c,int}} ^{Y_{rot}}+M{\frac {V^{2}}{2}}=Y_{rot}+Y_{tres}$

Onde puede trate más claramente queenerxía cinético parcial d'un sistema puede descomponese nel soenerxía cinético detraslación y la enerxía derotación alredor del centru de mases. La enerxía cinético d'un sistema entós depende delSistema de referencia inercial y ye más baxu con respectu alcentru de mases reverencial, por casu, nun sistema de referencia en que'l centru de mases seya estacionariu. En cualesquier otru sistema de referencia hai una enerxía cinético adicional correspondiente a la masa total que se mueve a la velocidá del centru de mases.

Enerxía cinética d'un sólidu ríxidu en rotación

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Pa un sólidu ríxidu que ta rotando puede descomponese la enerxía cinético total como dos sumes: la enerxía cinético de traslación (que ye l'asociada al desplazamientu del centru de masa del cuerpu al traviés del espaciu) y la enerxía cinético de rotación (que ye l'asociada al movimientu de rotación con cierta velocidá angular). La espresión matemática pa la enerxía cinético ye:

$Y_{c}=Y_{tra}+Y_{rot}={\frac {1}{2}}m\|\mathbf {v} \|^{2}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{t}\cdot (\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }})$

Onde:

Y_{tra}\;

Enerxía de traslación.

Y_{rot}\;

Enerxía de rotación.

m\,

Masa del cuerpu.

\mathbf {I}

tensor de (momentos de) inercia.

{\boldsymbol {\omega }}=

velocidá angular del cuerpu.

{\boldsymbol {\omega }}^{t}=

trespuesta del vector de la velocidá angular del cuerpu.

\mathbf {v} =

velocidá llinial del cuerpu.

El valor de la enerxía cinético ye positivu, y depende delsistema de referencia que se considere al determinar el valor (módulu) de la velocidá $\mathbf {v}$ y ${\boldsymbol {\omega }}$ . La espresión anterior puede deducise de la espresión xeneral:

$Y_{c}=\int _{M}{\frac {\|\mathbf {v} \|^{2}}{2}}dm$

Enerxía cinética en mecánica relativista

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Enerxía cinética d'una partícula

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Si la velocidá d'un cuerpu ye una fracción significante de lavelocidá de la lluz, ye necesariu utilizarmecánica relativista pa poder calcular la enerxía cinético. Enrelatividá especial, tenemos de camudar la espresión palmomentu llinial y della por interacción puede deducise la espresión de la enerxía cinético:

$Y_{c}=m\gamma c^{2}-mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}$

Tomando la espresión relativista anterior, desenvolviéndola enserie de Taylor y tomando namái'l términu $(1/2)m(v^{2}/c^{2})$ recupérase la espresión de la enerxía cinético típica de lamecánica newtoniana:^[2]

$Y_{c}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-mc^{2}=mc^{2}\left[{\frac {1}{2}}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)+{\frac {3}{8}}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{2}+...\right]={\frac {1}{2}}mv^{2}$

Tómase namái'l primer términu de la serie de Taylor yá que, conforme la serie progresa, los términos vuélvense cada vez más y más pequeños y ye posible desprecialos.

La ecuación relativista amuesa que la enerxía d'un oxetu averar al infinitu cuando la velocidáv averar a la velocidá de la lluzc, entós yeimposible acelerar un oxetu a eses magnitúes. Esti productu matemáticu ye la fórmula d'equivalencia ente masa y enerxía, cuando'l cuerpu ta en reposu llogramos esta ecuación:

$Y_{0}=mc^{2}\!$

Asina, la enerxía totalY puede particionarse ente les enerxíes de les mases en reposu más la tradicional enerxía cinético newtoniana de baxa velocidá. Cuando los oxetos mover a velocidaes muncho más baxes que la lluz (ej. cualquier fenómenu na tierra) los primeros dos términos de la serie predominen.

La rellación ente enerxía cinético ymomentum ye más complicada nesti casu y vien dada pola ecuación:

$Y_{c}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}$

Esto tamién puede espandise como unaserie de Taylor, el primer términu d'esta simple espresión vien de la mecánica newtoniana. Lo que suxer esto ye que les fórmules pa la enerxía y el momentu nun son especiales nin axomátiques pero dalgunos conceutos remanecen de les ecuaciones de masa con enerxía y de los principios de la relatividá.

Enerxía cinética d'un sólidu en rotación

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A diferencia del casu clásicu la enerxía cinético de rotación en mecánica relativista nun puede ser representada a cencielles por untensor d'inercia y una espresión cuadrática a partir d'él nel qu'intervenga lavelocidá angular. El casu simple d'una esfera en rotación ilustra esti puntu; si suponemos una esfera d'un material abondo ríxido por que podamos despreciar les deformaciones por culpa de la rotación (y por tanto los cambeos de densidá) y tal que la so velocidá angular satisfaiga la condición $\scriptstyle \omega R<c$ puede calculase la enerxía cinético $\scriptstyle Y_{c}$ a partir de la siguiente integral:

$Y_{c}+m_{0}c^{2}=\int _{S}{\frac {c^{2}dm}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=2\pi \int _{r=0}^{r=R}\int _{\theta =0}^{\theta =\pi }{\frac {\rho c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}\omega ^{2}}{c^{2}}}}}}r^{2}\sin \theta drd\theta$

Integrando la espresión anterior llógrase la espresión:

$Y_{c}={\frac {3}{2}}m_{0}c^{2}\left({\frac {c}{R\omega }}\right)^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {R\omega }{c}}-{\frac {c}{R\omega }}\right)\ln \left({\frac {c+R\omega }{c-R\omega }}\right)\right]-m_{0}c^{2}$

Comparanza ente la espresión pa la enerxía cinético d'una esfera acordies colamecánica clásica y lateoría de la relatividá mecánica relativista (equíR ye'l radiu, ω la velocidá angular ym₀ la masa en reposu de la esfera.

Pa una esfera en rotación los puntos sobre la exa nun tienen velocidá de traslación ente que los puntos más alloñaos de la exa de xiru tienen una velocidá $\scriptstyle \omega R$ , a midida que esta velocidá averar a la velocidá de la lluz la enerxía cinético de la esfera tiende a crecer ensin llende. Esto oldea cola espresión clásica que se da de siguío:

$Y_{c}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {2}{5}}m_{0}R^{2}\right)\omega ^{2}$

Paradóxicamente, dientro de la teoría especial de la relatividá, el supuestu de que ye posible construyir un sistema rotar progresivamente más rápidu una esfera sobre la so exa, lleva a que los puntos más alloñaos de la exa de xiru algamen la velocidá de la lluz aplicando al cuerpu una cantidá finita d'enerxía $(Y_{c}=mR^{2}\omega ^{2}/2)$ . Lo cual revela que'l supuestu nun puede ser correutu cuando dellos puntos de la periferia del sólidu tán moviéndose a velocidaes cercanes a la de la lluz.

Enerxía cinética en mecánica cuántica

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Namecánica cuántica, el valor que s'espera d'enerxía cinético d'unelectrón, $\langle {\hat {T}}\rangle$ , pa un sistema d'electrones describe unafunción d'onda $\vert \psi \rangle$ que ye la suma d'un electrón, l'operador espérase qu'algame'l valor de:

$\langle {\hat {T}}\rangle =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{y}}}{\bigg \langle }\psi {\bigg \vert }\sum _{i=1}^{N}\nabla _{i}^{2}{\bigg \vert }\psi {\bigg \rangle }$

onde $m_{y}$ ye la masa d'un electrón y $\nabla _{i}^{2}$ ye'loperador laplaciano qu'actúa nes coordenaes del electróni-ésimo y la suma de tolos otros electrones. Note que ye una versión cuantizada d'una espresión non relativista d'enerxía cinético en términos pel momento:

$Y_{c}={\frac {p^{2}}{2m}}$

El formalismu de lateoría del funcional de la densidá funcional de densidá en mecánica cuántica rique una conocencia sobre la densidá electrónica, pa esto formalmente nun se riquir conocencies de la función d'onda.

Dau una densidá electrónica $\rho (\mathbf {r} )$ , la funcional exacta de la enerxía cinético deln-ésimo electrón ye incierta; sicasí, nun casu específicu d'un sistema d'un electrón, la enerxía cinético puede escribise asina:

$T[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d^{3}r$

onde $T[\rho ]$ ye conocida como la funcional de la enerxía cinético deVon Weizsacker.

Enerxía cinética de partícules na mecánica cuántica

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Na teoría cuántica una magnitú física como la enerxía cinético tien de venir representada por unoperador autoadjunto nun espaciu de Hilbert fayadizu. Esi operador puede construyise por un procesu decuantización, que conduz pa una partícula moviéndose pel espaciu euclidianu tridimensional a una representación natural d'esi operador sobre'lespaciu de Hilbert $L^{2}(\mathbb {R} )$ dau por:

${\hat {Y}}_{c}=-\hbar ^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)$

que, sobre un dominiu trupu de dichu espaciu formáu clases d'equivalencia representables por funcionesC², define un operador autoadjunto conautovalores siempres positivos, lo cual fai que sían interpretables como valores físicamente medibles de la enerxía cinético.

Enerxía cinética del sólidu ríxidu na mecánica cuántica

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Un sólidu ríxidu a pesar de tar formáu por un númberu infinitu de partícules, ye un sistema mecánicu con un númberu finito degraos de llibertá lo cual fai que'l so equivalente cuánticu pueda ser representáu por sobre un espaciu de Hilbert de dimensión infinita de tipuL² sobre unespaciu de configuración de dimensión finita. Nesti casu l'espaciu de configuración d'un sólidu ríxidu ye precisamente'lgrupu de Lie SO(3) y per tantu l'espaciu de Hilbert pertinente y l'operador enerxía cinético de rotación pueden representase por:

${\mathcal {H}}=L^{2}({\text{SO}}(3),\mu _{h})\qquad {\hat {Y}}_{rot}=\left({\frac {{\hat {L}}_{x}^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {{\hat {L}}_{y}^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {{\hat {L}}_{z}^{2}}{2I_{3}}}\right)$

onde $\mu _{h}$ ye lamidida de Haar invariante de SO(3), ${\hat {L}}_{i}$ son los operadores delmomentu angular na representación fayadiza y esguilar $I_{i}$ son los momentos d'inercia principales.

Enerxía cinética y temperatura

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Artículos principales:Teoría cinética yBaturiciu térmicu

A nivel microscópicu la enerxía cinético permediu de lesmolécules d'un gas define'l sotemperatura. Acordies cola llei deMaxwell-Boltzmann pa un gas ideal clásicu la rellación ente latemperatura absoluta (T) d'un gas y la so enerxía cinético media ye:

T={\frac {2}{3\kappa _{B}}}\langle Y_{k}\rangle ={\frac {m}{3\kappa _{B}}}\langle v^{2}\rangle

onde $\kappa _{B}$ ye laconstante de Boltzmann, $m\;$ ye lamasa de caúna de les molécules del gas.

Ver tamién

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Referencies

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↑«Center of Mass Reference Frame».Archiváu dende l'orixinal, el 2007-06-11.
↑Resnick, R.; Halliday, D.; Krane, K. S.(2001).«Trabajo y energía»,Física Vol. 1, 4ª edición n'inglés; n'español, 3ª,compañía Editorial Mexicana; John Wiley and Sons Inc,páx. 162.ISBN 968-26-1230-6.

Bibliografía

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Serway, Raymond A.; Jewett, John W.(2004).Physics for Scientists and Engineers, 6th ed.,Brooks/Cole.ISBN 0-534-40842-7.
Tipler, Paul(2004).Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics, 5th ed.,W. H. Freeman.ISBN 0-7167-0809-4.
Tipler, Paul; Llewellyn, Ralph(2002).Modern Physics, 4th ed.,W. H. Freeman.ISBN 0-7167-4345-0.

Enllaces esternos

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Datos:Q46276
Multimedia:Kinetic energy

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