| صنف فرعي من | |
|---|---|
| جزء من |  القائمة ...نظرية الحقول theory of algebraic field extensions[الإنجليزية]  Theorie der K-Algebra-Automorphismen (kommutative Algebra)[الألمانية] Körper- und Galoistheorie[الألمانية] invariant theory[الإنجليزية]  |
في الرياضيات، وبالتحديد فيالجبر التجريدي،نظرية غالوا (بالإنجليزية:Galois theory)، المسماة هكذا نسبة لعالم الرياضيات الفرنسيإيفاريست غالوا، تعطي صلة بيننظرية الحقول من جهة،ونظرية الزمر من جهة ثانية.[1][2][3] باستعمال نظرية غالوا، يمكن تبسيط مجموعة من المعضلات من نظرية الحقول إلى نظرية الزمر، التي تعتبر أكثر بساطة وأكثر فهما.
اقترح غالوا دراسةجذور متعددات الحدود بدلا من دراسةمتعددات الحدود ذاتها. مكنه ذلك من تصنيفالمعادلات الحدودية إلى ما هنقابلات للحلحلة بالجذور، نظرا إلى خصائصزمرة التبديلات التي تكونها جذور الحدودية، وإلى ما هن غير ذلك.
نشر عملَ غالواجوزيف ليوفيل أربعة عشر سنة بعد وفاته. أستغرقت النظرية أكثر من ذلك من الوقت لكي تنتشر في أوساط علماء الرياضيات ولكي تفهم بشكل جيد.
ميلاد نظرية غالوا استمد أصلا من السؤال التالي، والذي تجيب عليهمبرهنة أبيل-روفيني.
ليس فقط نظرية غالوا تعطي جوابا جميلا لهذا السؤال، بل تفسر أيضا لماذا يمكن حلحلة المعادلات من الدرجة الرابعة فما أدنى بالطريقة المذكورة أعلاه، ولماذا هذه الحلول تأخذ الشكل الذي تأخذه. بالإضافة إلى ذلك، تعطي نظرية غالوا الوسائل الواضحة اللائي يمكنن من القول أن معادلة ما بشكل معين من درجة عالية يمكن أن تحلحل بالطريقة الموصوفة أعلاه.
كما تعطي نظرية غالوا نظرة واضحة حول المسائل المتعلقة بمعضلاتإنشاءات الفرجار والمسطرة. إنها تحدد بشكل أنيق النسب بين أطوال القطع اللائي يمكن رسمهن باستعمال هذه الطريقة. وبذلك، يمكن الإجابة بشكل سهل عن بعض المعضلات الكلاسيكية في الهندسة الرياضية كما يلي:
انظر أيضا:جبر تجريدي.
تنبثق نظرية غالوا من دراسةالدوال التماثلية. معاملات متعددةٍ ما للحدودواحدية المدخل، هنمتعددات تماثلية ابتدائية للحدود متغيراتهن هن جذور متعددة الحدود هذه. على سبيل المثال،(x –a)(x –b) =x2 – (a +b)x +ab حيث 1 و a+b و ab هن ثلاث متعددات تماثلية للحدود من الدرجة الصفر والدرجة الأولى والدرجة الثانية، متغيراتها الاثنين هن a و b.
وثق هذه الصيغ عالم الرياضيات الفرنسيفرانسوا فييت والذي عاش خلال القرن السادس عشر من خلال صيغه المعروفة باسمصيغ فييت، حين تكون هذه الجذور حقيقية وموجبة.
مثل المقال الذي كتبه عالم الرياضيات الفرنسي الإيطاليجوزيف لويس لاغرانج عام 1770، والذي يحمل عنوانتخمينات حول الحلحلة الجبرية للمعادلات خطوة إضافية.
لتكنالمعادلة التربيعية التالية:
باستعمالصيغة حلحلة المعادلات التربيعية، يحصل على ما يلي:
الجذران و يحققان المعادلتين التاليتين:و:
إذا أخذ مكان و مكان في هاتين المعادلتين، فإننا نحصل على معادلتين أخرتين، صحيحتين أيضا. على سبيل المثال، المعادلة تصير.
يُستنتج من ذلك أن زمرة غالوا المتعلقة بمتعددة الحدود هي زمرة مكونة من تبديلتين اثنتين، أولاهما هي التبديلة المحايدة (التي تترك كل عنصر على حاله)، وثانيهما هي التبديلة التي تستبدل العنصر الأول بالثاني والثاني بالأول. هيزمرة دائرية درجتها اثنان. هي إذنزمرة مساوية الشكل لZ/2Z.انظر إلىمتعددة حدود تماثلية وإلىتبديل دائري.
لتكن المعادلة الرباعية التالية:
والتي يمكن أن تكتب أيضا كما يلي:
نحاول أن نصف زمرة غالوا المتعلقة بمتعددة الحدود هذه، عبر مجموعةالأعداد الجذرية. لهذه المعادلة أربعة جذور هن:
هناك أربعة وعشرون تبديلة لهذه الجذور ()، ولكن لسن كلهن أعضاء من زمرة غالوا (أي أن ليس كلهن ينتمين إلى زمرة غالوا المتعلقة بمتعددة الحدود هذه).
على سبيل المثال، مجموع العنصرين الأول والأخير من مجموعة الجذور الأربعة، كما جئن في الترتيب أعلاه، يساوي الصفر. أيضا، مجموع العنصرين الثاني والثالث يساوي الصفر. هذا يقصي من زمرة غالوا التبديلة(A,B,C,D) → (A,D,C,B).
زمرة غالوا تتكون من أربعة عناصر (أربعةتبديلات) هن:
هذا يعني أن زمرة غالوا هيزمرة متساوية الشكل معزمرة كلاين رباعية العناصر.
انظر إلىامتداد الحقول وإلىالتماثلات الذاتية.
يمكن مفهومزمرة قابلة للحلحلة فينظرية الزمر من تحديد ما إذا كانت متعددة حدود ما قابلة للحلحلة بالجذور، من عدمه.
{{استشهاد بكتاب}}:تحقق من التاريخ في:|سنة= (مساعدة) و|مؤلف1= باسم عام (مساعدة)
