يسعىعلماء الرياضيات إلى استخدام أنماط رياضية لصياغة فرضيات جديدة؛[12][13] من خلال استعمالإثباتات رياضية بهدف الوصول للحقيقة وذرء الفرضيات السابقة أو الخاطئة. فمن خلال استخدامالتجريدوالمنطق، طُوِّرت الرياضيات منالعدوالحسابوالقياس إلى الدراسة المنهجية للأشكال وحركات الأشياء المادية. لقد كانت الرياضيات العملية نشاطًا إنسانيًا يعود إلى تاريخ وجود السجلات المكتوبة. يمكن أن يستغرق البحث المطلوب لحل المسائل الرياضية سنوات، أو حتى قرونًا من البحث المستمر.
ظهرت الحجج الصارمة أولًا في الرياضيات اليونانية، وعلى الأخص فيأصولإقليدس. منذ العمل الرائدلجوزيبه بيانو (1858-1932)،وديفيد هيلبرت (1862-1943)، وغيرهم في النظم البديهية في أواخر القرن التاسع عشر، أصبح من المعتاد النظر إلى الأبحاث الرياضية كإثبات للحقيقة عن طريق الاستنتاج الدقيق للبديهيات والتعاريف المختارة بشكل مناسب. وتطورت الرياضيات بوتيرة بطيئة نسبيًا حتىعصر النهضة، عندما أدت الابتكارات الرياضية التي تتفاعل مع الاكتشافات العلمية الجديدة إلى زيادة سريعة في معدل الاكتشافات الرياضية التي استمرت حتى يومنا هذا.[14]
يأتي مصطلح الرياضيات من الجذر اللغوي رَوْض.[25] يذكر قاموسمجمع اللغة العربية في القاهرة بأن كلمة رياضة تشير إلى علم الرياضيات وأيضًا استخدمت صفة «رياضيّ/رياضيّة» بديل مصطلحعالم رياضيات أورياضياتي.[26] كان مصطلح الرياضيات يتم استبداله بمصطلح «علم الحساب» وأيضًا قامالخوارزمي بإضافة مصطلح «الجبر» وهنالك مصطلح إضافي هوعلم المثلثات، كانت هذه المصطلحات تقوم مقام مصطلح الرياضيات في الكتابات العربية القديمة.
«ومنهمبَطْلَمْيُوس الْقَلُوذِيّ الوافي علمالرياضيات والمستعمل في شرائطه وبراهينه الشرائط والبراهين الفلسفية فيالرياضيات، والقافي أثره المبرز فيالرياضيات أيضًاثَاوُن الإسكندراني» — يعقوب بن إسحاق الكندي، كتاب أبي يعقوب بن إسحاق الكندي إلى بعض إخوانه في تقويم الخطأ والمشكلات التي لأوقليدس في كتابه الموسوم بالمناظر
تأتي كلمة mathematics من (باليونانية:máthēma)، وتعني «ما الذي تُعُلِّم»،[28] «ما يمكن للمرء أن يعرف»، وبالتالي «الدراسة» و«العلم». أصبحت كلمة «الرياضيات» تحمل معنى «دراسة رياضية» أضيق وأكثر تقنية حتى في الأوقات الكلاسيكية.[29] صفتها هي (μαθηματικός (mathēmatikós، بمعنى «ذات صلة بالتعلم» أو «مجتهد»، والتي أصبحت كذلك تعني «رياضية». على وجه الخصوص، (μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē، (باللاتينية:ars mathematica)، وتعني «الفن الرياضي».
وبالمثل، كانت إحدى مدرستي الفكر الرئيسيتين في فيثاغوريات تُعرف باسم mathēmatikoi) μαθηματικοί) والتي كانت في ذلك الوقت تعني «المعلمين» بدلًا من «علماء الرياضيات» بالمعنى الحديث.
فياللغة اللاتينية، وفياللغة الإنجليزية حتى حوالي عام1700، كان مصطلح الرياضيات أكثر شيوعًا ب«علم التنجيم» (أو في بعض الأحيان «علم الفلك») بدلًا من «الرياضيات»؛ لقد تغير المعنى تدريجيًّا إلى معناه الحالي من حوالي1500 إلى1800. وقد أدى ذلك إلى العديد من الترجمات الخاطئة. على سبيل المثال، تحذير القديسأوغسطينوس بأنه يجب على المسيحيين أن يحذروا من الرياضيات، أيالمنجمين، يتم تفسيره أحيانًا باعتباره إدانة لعلماء الرياضيات.[30]
يعود شكل الجمع الواضحباللغة الإنجليزية، مثل صيغة الجمع الفرنسية للرياضيات (والمشتق المفرد الأقل استخدامًا للرياضيات)، إلى الرياضيات التعددية اللغوية اللاتينية، بناءً على الجمع اليوناني (θημαθηματικά (ta mathēmatiká، استخدمهأرسطو (384–322 قبل الميلاد)، ويعني «كل الأشياء الرياضية»؛ على الرغم من أنه من المعقول أن تقترض اللغة الإنجليزية فقط ((mathematic(al) وشكلت الرياضيات الاسم من جديد، بعد نمطالفيزياءوالميتافيزيقيا، التي ورثت من اليونانية.[31] في اللغة الإنجليزية، تأخذ كلمة (mathematics) الاسمية صيغة مفردة. غالبًا ما يتم اختصارها إلى (maths) أو (math) فيأمريكا الشمالية.[32]
يمكن اعتبار تاريخ الرياضيات كسلسلة متزايدة من التجريدات. ربما كان التجريد الأول، الذي تشترك فيه العديد من الحيوانات،[33] هوالأعداد: إدراك أن مجموعة من تفاحتين ومجموعة من برتقالتين (على سبيل المثال) تشترك في شيء ما، ألا وهوكمية أعضائها.
لا تظهر أدلة الرياضيات المعقدة حتى حوالي عام 3000قبل الميلاد، عندما بدأالبابليونوالمصريون في استخدامالحسابوالجبروالهندسة لفرض الضرائب والحسابات المالية الأخرى، للبناء والتشييد،وعلم الفلك.[35] أقدم النصوص الرياضية منبلاد ما بين النهرينومصر هي من 2000-1800 قبل الميلاد. تذكر العديد من النصوص المبكرة أن نظرية فيثاغورس هي التطور الرياضي الأقدم والأكثر انتشارًا بعدالحسابوالهندسة الأساسية. في الرياضيات البابلية يظهر الحساب الأولي (الجمعوالطرحوالضربوالقسمة) أولًا في السجل الأثري. يمتلكالبابليون أيضًا نظامًا للقيمة الموضعية، واستخدموا نظامًا رقميًا خاصًا بالجنس، ولا يزالون يستخدمون اليوم لقياسالزواياوالوقت.[36]
ابتداءً من القرن السادس قبل الميلاد معفيثاغورس، بدأالإغريق القدماء دراسة منهجية للرياضيات كموضوع في حد ذاته مع الرياضيات اليونانية.[37] حوالي 300 قبل الميلاد، قدمإقليدس الطريقة البديهية التي لا تزال تستخدم في الرياضيات اليوم، والتي تتكون من التعريف، البديهية، النظرية،والإثبات. يعتبر كتابهالأصول الأكثر نجاحًا وتأثيرًا في كل العصور.[38] غالبًا ما يُعتبر عالم الرياضيات الأكبر في العصور القديمةأرخميدس (حوالي 287-212 قبل الميلاد).[39] قام بتطوير صيغ لحساب مساحة السطح وحجم المواد الصلبة واستخدمطريقة الاستنفاد لحساب المنطقة تحت قوسالقطع المكافئ مع تجميعسلسلة لانهائية، بطريقة لا تختلف كثيرًا عن حسابالتفاضل والتكامل الحديث.[40] الإنجازات البارزة الأخرى في الرياضيات اليونانية هيأقسام مخروطية (أبلونيوس البرغاوي، القرن الثالث قبل الميلاد)،[41]وعلم المثلثات (أبرخش، القرن الثاني قبل الميلاد)،[42] وبداياتالجبر (ديوفانتوس الإسكندري، القرن الثالث للميلاد).[43]
كانلعلماء المسلمين فيعصر الحضارة الإسلامية فضل كبير في تقدم علم الرياضيات، فقد أثروه وابتكروا فيه وأضافوا إليه وطوّروه، استفاد العالم أجمع من الإرث الذي تركوه. في البداية، جمع العلماء المسلمون نتاج علماء الأمم السابقة في حقل الرياضيات، ثم ترجموه، ومنه انطلقوا في الاكتشاف والابتكار والإبداع، ويُعد المسلمون أول من اشتغل فيعلم الجبر وأول من كتب فيهالخوارزمي،[44] وهم الذين أطلقوا عليه اسم «الجبر»، ونتيجة الاهتمام الذي أولوه إليه، فقد كانوا أول من ألَّف فيه بطريقة علمية منظمة. كما توسعوا فيحساب المثلثاتوبحوث النسبة التي قسموها إلى ثلاثة أقسام: عددية وهندسية وتأليفية، وحلّوا بعضالمعادلات الخطية بطريقة حساب الخطأين،والمعادلات التربيعية، وأحلّواالجيوب محلالأوتار، وجاءوا بنظريات أساسية جديدة لحل مثلثات الأضلاع، وربطوا علم الجبر بالأشكال الهندسية، وإليهم يرجع الفضل في وضععلم المثلثات بشكل علمي منظم مستقل عنعلم الفلك، ما دفع الكثيرين إلى اعتباره علمًا عربيًّا خالصًا.[45] ومن الإنجازات البارزة الأخرى في الفترة الإسلامية هي التقدم في علم المثلثات الكروية وإضافة العلامة العشرية إلى نظام الأرقام العربية. كان العديد من علماء الرياضيات البارزين من هذه الفترة من بلاد فارس، مثلالخوارزميوعمر الخياموشرف الدين الطوسي.
حتى حوالي عام1700 فيأوروبا، كان مصطلح الرياضيات أكثر شيوعًا بمعنى «علم التنجيم» (أو في بعض الأحيان «علم الفلك») بدلًا من «الرياضيات»؛ لقد تغير المعنى تدريجيًّا إلى معناه الحالي من حوالي1500 إلى1800 للميلاد.[30]
منذ ذلك الحين امتدت الرياضيات إلى حد كبير، وكان هناك تفاعل مثمر بين الرياضياتوالعلوم، لما فيه فائدة لكليهما. الاكتشافات الرياضية لا تزال تبذل اليوم. وفقا لميخائيل سيفريوك، في عدد يناير2006 من نشرةالجمعية الرياضية الأمريكية، «عدد الأوراق والكتب المدرجة في قاعدة بيانات المراجعات الرياضية منذ عام1940 (السنة الأولى من تشغيلماثماتيكل ريفيوز) هو الآن أكثر من 1.9 مليون، وأكثر من 75 ألف عنصر إلىقاعدة البيانات كل عام. تحتوي الغالبية العظمى من الأعمال في هذا المحيط على نظريات رياضية جديدة وإثباتها».[46]
ليس للرياضيات تعريف مُتفق عليه عمومًا.[10][11] عرّفأرسطو الرياضيات بأنها «علم الكمية»، وساد هذا التعريف حتىالقرن الثامن عشر.[47] قالغاليليو غاليلي (1564–1642): «لا يمكن قراءةالكون حتى نتعلم اللغة ونتعرف على الحروف التي كتبت بها. إنه مكتوب بلغة رياضية، والحروفمثلثاتودوائر وغيرها من الأشكال الهندسية. حروف، بدونها تعني أنه من المستحيل إنسانيًا فهم كلمة واحدة، وبدون ذلك، يتجول الشخص في متاهة مظلمة».[48] أشاركارل فريدريش غاوس (1777-1855) إلى الرياضيات باسم «ملكة العلوم».[49] صرحألبرت أينشتاين (1879-1955) بأنه «بقدر ما تشير قوانين الرياضيات إلى الواقع، فهي غير مؤكدة، وبقدر ما تكون مؤكدة، فإنها لا تشير إلى الواقع».(4)
ابتداءً منالقرن التاسع عشر، عندما ازدادت دراسة الرياضيات بصرامة وبدأت في معالجة الموضوعات المجردة مثلنظرية المجموعاتوالهندسة الإسقاطية، التي لا علاقة واضحة لهابالكميةوالقياس، بدأعلماء الرياضياتوالفلاسفة في اقتراح مجموعة متنوعة من التعريفات.[50] تؤكد بعض هذه التعريفات على الطابع الاستنتاجي للكثير من الرياضيات، وبعضها يركز على تجريده، بينما يركز البعض على مواضيع معينة داخل الرياضيات. اليوم، لا يوجد توافق في الآراء حول تعريف الرياضيات، حتى بين المهنيين.[10] لا يوجد إجماع حول ما إذا كانت الرياضياتفن أمعلم.(5) الكثير من علماء الرياضيات المحترفين لا يهتمون بتعريف الرياضيات، أو يعتبرونه غير قابل للتعريف.[10] يقول البعض فقط «الرياضيات هي ما يفعله علماء الرياضيات».[10]
وتسمى ثلاثة أنواع رائدة من تعريف الرياضيات المنطق، الحدس، والشكلية، كل منها يعكس مدرسة فلسفية مختلفة.[51] جميعهم يعانون من مشاكل حادة، لا يوجد قبول واسع النطاق، ولا يبدو أن الاتفاق ممكن.[51]
كان التعريف المبكر للرياضيات من حيث المنطقلبنيامين بيرس والذي قال «العلم الذي يستخلص النتائج الضرورية» (1870).[52] فيمبادئ الرياضيات، قدمبرتراند راسلوألفريد نورث وايتهيد البرنامج الفلسفي المعروف بالمنطقية، وحاولا إثبات أنه يمكن تعريف جميع المفاهيم والبيانات والمبادئ الرياضية وإثباتها بالكامل من حيث المنطق الرمزي.[53]
تعرف التعريفات البديهية، التي نشأت من فلسفة عالم الرياضياتلويتزن براور، على الرياضيات مع بعض الظواهر العقلية. مثال على تعريف الحدس هو «الرياضيات هي النشاط العقلي الذي يتكون في تنفيذ بنيات واحدة تلو الأخرى».[51] وخصوصية الحدس هو أنه يرفض بعض الأفكار الرياضية التي تعتبر صالحة وفقا لتعاريف أخرى. على وجه الخصوص، في حين أن فلسفات الرياضيات الأخرى تسمح بوجود أشياء يمكن إثبات وجودها على الرغم من عدم إمكانية بنائها، فإن الحدس يسمح فقط بالأشياء الرياضية التي يمكن للمرء أن يصنعها بالفعل.
تعرّف التعاريف الشكلية الرياضيات برموزها وقواعد العمل عليها. عرفهاسكل كاري الرياضيات ببساطة بأنها «علم النظم الرسمية».[54] النظام الرسمي هو مجموعة من الرموز أو الرموز المميزة وبعض القواعد التي توضح كيفية دمج الرموز في صيغ. في النظم الرسمية، فإن كلمة البديهية لها معنى خاص، تختلف عن المعنى العادي «لحقيقة بديهية». في الأنظمة الرسمية، البديهية هي مزيج من الرموز التي يتم تضمينها في نظام رسمي معين دون الحاجة إلى اشتقاقها باستخدام قواعد النظام.
ثلاثة تعريفات رائدة من تعريفات الرياضيات اليوم تسمىالمنطقانية،والحدسية،والشكلية، كل منها يعكس مدرسة فلسفية مختلفة.[55] جميعها بها عيوب خطيرة، ولا يوجد قبول واسع لأي منها، ولا يبدو أن الاتفاق ممكن.[55]
كان التعريف المبكر للرياضيات من حيث المنطقانية هو تعريف بنجامين بيرس (1870): «العلم الذي يستخلص الاستنتاجات الضرورية».[56] فيمبادئ الرياضيات، طوربرتراند راسلوألفريد نورث وايتهيد البرنامج الفلسفي المعروف بالمنطقانية، وحاول إثبات أن جميع المفاهيم والبيانات والمبادئ الرياضية يمكن تعريفها وإثباتها بالكامل من حيثالمنطق الرمزي. المنطقانية في تعريف الرياضيات بواسطة راسل (1903) «كل الرياضيات هي منطق رمزي.»[57]
التعريفات الحدسية، التي نشأت من فلسفة عالم الرياضياتلويتزن براور، تحدد الرياضيات بظواهر عقلية معينة. مثال على التعريف الحدسي هو «الرياضيات هي النشاط العقلي الذي يتكون من تنفيذ البنى واحدة تلو الأخرى.»[55] من خصوصية الحدسية أنه ترفض بعض الأفكار الرياضية التي تعتبر صالحة وفقًا لتعريفات أخرى. على وجه الخصوص، في حين أن فلسفات الرياضيات الأخرى تسمح بالأشياء التي يمكن إثبات وجودها على الرغم من عدم إمكانية بنائها، فإن الحدسية تسمح فقط بالكائنات الرياضية التي يمكن للمرء أن يبنيها بالفعل. ترفض الحدسية أيضًاقانون الوسط المستبعد (أي،). في حين أن هذا الموقف يجبرهم على رفض نسخة شائعة واحدة منالإثبات عن طريق التناقض كطريقة إثبات قابلة للتطبيق، أي استنتاج من، لا يزالون قادرين على استنتاج من. بالنسبة لهم، هي عبارة أضعف تمامًا من.[58]
تعرف الشكلية الرياضيات من خلال رموزها وقواعد العمل عليها. عرّف هاسكل كاري الرياضيات ببساطة على أنها «علم الأنظمة الرسمية».[59] النظام الرسمي عبارة عن مجموعة من الرموز أو الرموز المميزة وبعض القواعد المتعلقة بكيفية دمج الرموز المميزة في صيغ. في الأنظمة الرسمية، كلمة بديهية لها معنى خاص يختلف عن المعنى العادي لـ«حقيقة بديهية»، وتُستخدم للإشارة إلى مجموعة من الرموز المميزة المضمنة في نظام رسمي معين دون الحاجة إلى اشتقاقها باستخدام قواعد النظام.
أشار عالم الرياضيات الألمانيكارل فريدريش غاوس إلى الرياضيات باسم «ملكة العلوم».[49] في الآونة الأخيرة، أطلقماركوس دو سوتوي الرياضيات على أنها «ملكة العلوم. القوة الدافعة الرئيسية وراء الاكتشاف العلمي».[60] في (اللاتينية: Regina Scientiarum)، وكذلك في (اللغة الألمانية: Königin der Wissenschaften)، تعني الكلمة المقابلة للعلم «مجال المعرفة»، وكان هذا هو المعنى الأصلي «للعلم»باللغة الإنجليزية أيضًا؛ الرياضيات في هذا المعنى مجال المعرفة. يتبع التخصص الذي يقصر معنى «العلم» علىالعلوم الطبيعية صعود علمبيكون، الذي يقارن «العلوم الطبيعية» بالمدرسة، الطريقة الأرسطية للاستفسار من المبادئ الأولى. دور التجريب والملاحظة التجريبية ضئيل في الرياضيات، مقارنة بالعلوم الطبيعية مثلالبيولوجياوالكيمياءوالفيزياء. صرحألبرت أينشتاين بأنه «بقدر ما تشير قوانين الرياضيات إلى الواقع، فهي غير مؤكدة، وبقدر ما تكون مؤكدة، فإنها لا تشير إلى الواقع».(4)
يعتقد العديد من الفلاسفة أن الرياضيات ليستقابلة للدحض تجريبيًّا، وبالتالي فهي ليست علمًا وفقًا لتعريفكارل بوبر.[61] ومع ذلك، في ثلاثينياتالقرن العشرين، أقنعت نظرياتغودل عدم الاكتمال العديد من علماء الرياضيات بأنه لا يمكن اختزال الرياضيات إلىالمنطق وحده، وخلصكارل بوبر إلى أن «معظم النظريات الرياضية هي، مثل نظرياتالفيزياءوالبيولوجيا، استنتاجي افتراضي؛فالرياضيات البحتة استنتاجية. أقرب إلى العلوم الطبيعية التي فرضياتها هي التخمينات، مما بدا حتى في الآونة الأخيرة».[62] قام مفكرون آخرون، وخاصةإمري لاكاتوس، بتطبيق نسخة من قبول الدحض على الرياضيات نفسها.[63][64]
وجهة نظر بديلة هي أن بعض المجالات العلمية (مثلالفيزياء النظرية) هي رياضيات مع البديهيات التي تهدف إلى تتوافق مع الواقع. تشترك الرياضيات كثيرًا في العديد من المجالات فيالعلوم الفيزيائية، لا سيما استكشاف النتائج المنطقية للافتراضات. يلعب الحدس والتجريب أيضًا دورًا في صياغة التخمينات في كل من الرياضياتوالعلوم الأخرى. تستمرالرياضيات التجريبية في الأهمية داخل الرياضيات، ويلعب الحسابوالمحاكاة دورًا متزايدًا في كل من العلوم والرياضيات.
تتنوع آراء علماء الرياضيات حول هذه المسألة. يشعر العديد من علماء الرياضيات(12) أن تسمية منطقتهم بالعلم هو التقليل من أهمية جانبها الجمالي، وتاريخها في الفنون الليبرالية التقليدية السبعة؛ يشعر الآخرون أن تجاهل علاقتها بالعلوم هو غض الطرف عن حقيقة أن العلاقة بين الرياضيات وتطبيقاتها فيالعلوموالهندسة دفعت الكثير من التطور في الرياضيات. إحدى الطرق التي يلعب بها هذا الاختلاف في وجهات النظر هي النقاش الفلسفي حول ما إذا كان يتم إنشاء الرياضيات (كما فيالفن) أو اكتشافها (كما فيالعلوم). من الشائع رؤية الجامعات مقسمة إلى أقسام تتضمن تقسيمًا للعلوم والرياضيات، مما يشير إلى أن الحقول ينظر إليها على أنها متحالفة ولكنها لا تتزامن. في الممارسة العملية، يتم تجميع علماء الرياضيات عادة مع العلماء على المستوى الإجمالي ولكن يتم فصلهم في مستويات أدق. هذا هو واحد من العديد من القضايا التي تتناولهافلسفة الرياضيات.
تنشأ الرياضيات من العديد من أنواع المسائل المختلفة. في البداية وجدت هذه فيالتجارة، وقياس الأراضي،والهندسة المعماريةوعلم الفلك في وقت لاحق؛ اليوم، تشير جميع العلوم إلى المسائل التي يدرسها علماء الرياضيات، وتنشأ العديد من المسائل داخل الرياضيات نفسها. على سبيل المثال، اخترع الفيزيائيريتشارد فاينمان صياغة متكاملةلميكانيكا الكم باستخدام مزيج من المنطق الرياضي والبصيرة الفيزيائية، وهناكنظرية الأوتار أيضًا، وهينظرية علمية لا تزال قيد التطور تحاول توحيدالقوى الأساسية الأربعة للطبيعة، لا تزال تلهم المزيد من التطوير في الرياضيات الجديدة.[65]
بعضمجالات الرياضيات ذات صلة فقط في المجال الذي تتعامل معه، ويتم تطبيقها لحل المزيد من المسائل في هذا المجال. ولكن غالبًا ما تثبت الرياضيات المستوحاة من مجال واحد أنها مفيدة في العديد من المجالات، وتنضم إلى المجموعة العامة من المفاهيم الرياضية. غالبًا ما يتم التمييز بينالرياضيات البحتةوالرياضيات التطبيقية. ومع ذلك، غالبًا ما تتحول موضوعات الرياضيات البحتة إلى تطبيقات، على سبيل المثالنظرية الأعداد فيالتشفير. هذه الحقيقة الرائعة، وهي أن الرياضيات «البحتة» غالبًا ما تتحول إلى تطبيقات عملية، هو ما أسماهيوجين ويغنر «الفعالية غير المعقولة للرياضيات».[66] كما هو الحال في معظم مجالات الدراسة، أدى انفجار المعرفة في العصر العلمي إلى التخصص؛ حيث يوجد الآن المئات من المجالات المتخصصة في الرياضيات وأحدث تصنيف لمواد الرياضيات يصل إلى 46 صفحة.[67] دمجت العديد من مجالات الرياضيات التطبيقية مع التقاليد ذات الصلة خارج الرياضيات وأصبحت التخصصات في حد ذاتها، بما في ذلكالإحصاءات، وبحوث العمليات،وعلوم الحاسوب.
بالنسبة لأولئك الذين يميلون رياضيا، غالبا ما يكون هناك جانب جمالي محدد لكثير من الرياضيات. يتحدث العديد من علماء الرياضيات عن أناقة الرياضيات،وعلم الجمال الداخلي والجمال الداخلي. تقدر البساطة والعمومية. هناك جمال في دليل بسيط وأنيق، مثل دليلإقليدس على وجود عدد لا نهائي منالأعداد الأولية، وبأسلوب عددي أنيق يسرع الحساب، مثلتحويل فورييه السريع. أعربغودفري هارولد هاردي في مقالتهدفاع رياضياتي عن اعتقاده بأن هذه الاعتبارات الجمالية كافية بحد ذاتها لتبرير دراسةالرياضيات البحتة. حدد معايير مثل الأهمية وعدم اليقين والحتمية والاقتصاد كعوامل تسهم في جمالية رياضية.[68] غالبًا ما يبحث البحث الرياضي عن ميزات مهمة لكائن رياضي. إن النظرية التي يتم التعبير عنها كتوصيف للكائن بهذه الميزات هي الجائزة.
شعبيةالرياضيات المسلية سواء في حل الألغاز الرياضية أو الألعاب. هي علامة أخرى على المتعة التي يجدها الكثيرون في حل الأسئلة الرياضية. وعلى الطرف الاجتماعي الآخر، لا يزال الفلاسفة يجدون مسائل في فلسفة الرياضيات، مثل طبيعةالبرهان الرياضي.[69]
قامليونهارت أويلر بإنشاء وتعميم الكثير من الرموز الرياضية المستخدمة اليوم.
معظم الرموز الرياضية المستخدمة اليوم لم يتم اختراعها حتىالقرن السادس عشر.[70] قبل ذلك، تم كتابة الرياضيات بالكلمات، مما يحد من الاكتشافات الرياضية.[71] كانأويلر (1707-1783) مسؤولًا عن العديد من الرموز المستخدمة اليوم. التدوين الحديث يجعل الرياضيات أسهل بكثير بالنسبة للمحترفين، ولكن المبتدئين غالبا ما يجدونها شاقة. وفقا لباربرا أوكلي، يمكن أن يعزى ذلك إلى حقيقة أن الأفكار الرياضية هي أكثر تجريدية وأكثر تشفيرًا من أفكار اللغة الطبيعية.(6) على عكس اللغة الطبيعية، حيث يمكن للناس في كثير من الأحيان مساواة كلمة (مثل الشجرة) مع الشيء المادي الذي تقابله، فإن الرموز الرياضية مجردة، وتفتقر إلى أي تناظرية مادية.(7) الرموز الرياضية مشفرة أيضًا بدرجة أكبر من الكلمات العادية، مما يعني أن الرمز الواحد يمكن أن يشفر عددًا من العمليات أو الأفكار المختلفة.(8)
قد يصعب فهم اللغة الرياضية بالنسبة للمبتدئين لأن المصطلحات الشائعة، مثل أو فقط، لها معنى أكثر دقة من المصطلحات المستخدمة في الكلام اليومي، بينما تشير المصطلحات الأخرى مثل «فتح» و«حقل» إلى أفكار رياضية محددة، لا تغطيها معاني العلمانيين. تتضمن اللغة الرياضية أيضًا العديد من المصطلحات الفنية مثل التجانس التماثلي والتكامل الذي لا معنى له خارج الرياضيات. بالإضافة إلى ذلك، تنتمي العبارات المختصرة مثل "iff" ل«إذا وفقط إذا» إلى المصطلحات الرياضية. هناك سبب للتدوين الخاص والمفردات الفنية: تتطلب الرياضيات دقة أكثر من الكلام اليومي. يشير علماء الرياضيات إلى هذه الدقة في اللغة والمنطق باسم «الصرامة».
البرهان الرياضي هو في الأساس مسألة صرامة. يريد علماء الرياضيات أن تتبع نظرياتهم من البديهيات عن طريق التفكير المنهجي. هذا هو تجنب «النظريات» الخاطئة، القائمة على الحدس الخاطئ، والتي حدثت العديد من الحالات في تاريخ الموضوع. تباين مستوى الصرامة المتوقعة في الرياضيات بمرور الوقت: توقع اليونانيون حججًا مفصلة، لكن في زمنإسحاق نيوتن كانت الأساليب المستخدمة أقل صرامة. المشاكل الكامنة في التعاريف التي يستخدمها نيوتن ستؤدي إلى عودة التحليل الدقيق والدليل الرسمي فيالقرن التاسع عشر. سوء الفهم للدقة هو سبب لبعض المفاهيم الخاطئة الشائعة في الرياضيات. اليوم، يواصل علماء الرياضيات الجدال فيما بينهم حول البراهين المدعومةبالحاسوب. نظرًا لأنه يصعب التحقق من الحسابات الكبيرة، فقد لا تكون هذه الأدلة دقيقة بدرجة كافية.(9)
البديهيات في الفكر التقليدي كانت «حقائق بديهية»، ولكن هذا المفهوم إشكالي. على المستوى الرسمي، البديهية هي مجرد سلسلة من الرموز، التي لها معنى جوهري فقط في سياق جميع الصيغ المشتقة من نظام البديهية. كان هدفبرنامج هيلبرت وضع جميع الرياضيات على أساس بديهي ثابت، ولكن وفقًالمبرهنات عدم الاكتمال لغودل، كل نظام بديهي (قوي بما فيه الكفاية) له صيغ غير قابلة للبرهان؛ وبالتالي فإن البديهية النهائية للرياضيات أمر مستحيل. ومع ذلك، غالبًا ما يُتخيل أن الرياضيات (بقدر محتواها الرسمي) ليست سوى نظرية ثابتة في بعض البديهيات، بمعنى أن كل بيان رياضي أو دليل يمكن أن يُطرح في صيغ ضمننظرية المجموعات.(10)
من أجل توضيحأسس الرياضيات، تم تطوير مجالاتالمنطق الرياضيونظرية المجموعات. يتضمنالمنطق الرياضي الدراسة الرياضيةللمنطق وتطبيقات المنطق الرسمي في مجالات أخرى من الرياضيات؛نظرية المجموعات هي فرع الرياضيات الذي يدرس مجموعات أو مجموعات من الأشياء.نظرية الأصناف، التي تتعامل بطريقة مجردة مع الهياكل الرياضية والعلاقات بينهما، لا تزال قيد التطوير. تصف عبارة «أزمة الأسس» البحث عن أساس صارم للرياضيات التي حدثت في الفترة من عام1900 إلى1930 تقريبًا.[75] يستمر بعض الخلاف حول أسس الرياضيات حتى يومنا هذا. تم حفز أزمة المؤسسات من قبل عدد من الخلافات في ذلك الوقت، بما في ذلك الجدل حولمبرهنة كانتور وجدل بروير-هيلبرت.
يهتمالمنطق الرياضي بإعداد الرياضيات ضمن إطار بديهي صارم، ودراسة الآثار المترتبة على هذا الإطار. على هذا النحو، تعد موطنًالمبرهنات عدم الاكتمال لغودل التي تعني -بشكل غير رسمي- (أن أي نظرية مولدة بشكل كفء قادرة على التعبير عن الحساب الابتدائي لا يمكن أن تكون كاملة وراسخة في وقت واحد. على وجه الخصوص، من أجل أي نظرية راسخة مولدة بشكل كفء والتي تبرهن حقيقة حسابية بسيطة، فإنه يوجد عبارة حسابية تكون محققة ولكنها غير مبرهنة بالنظرية). فقد أوضح غودل كيفية بناء بيان رسمي يمثل حقيقة نظرية للأعداد، ولكنه لا يتبع تلك البديهيات. لذلك، لا يوجد نظام رسمي هو البديهية الكاملة لنظرية الأعداد الكاملة. ينقسم المنطق الحديث إلىنظرية الحاسوبية،نظرية النموذج،ونظرية البرهان، ويرتبط ارتباطًا وثيقًابعلوم الحاسوب النظرية، وكذلكبنظرية الأصناف. في سياقنظرية الحاسوبية.
تعرض العديد من الكائنات الرياضية، مثل مجموعات الأرقام والوظائف، بنية داخلية كنتيجة للعمليات أو العلاقات المحددة في المجموعة. ثم تدرس الرياضيات خصائص تلك المجموعات التي يمكن التعبير عنها من حيث هذا الهيكل؛ على سبيل المثال، تدرسنظرية الأعداد خصائص مجموعةالأعداد الصحيحة التي يمكن التعبير عنها من حيث العمليات الحسابية. علاوة على ذلك، يحدث في كثير من الأحيان أن هذه المجموعات (أو الهياكل) المختلفة تظهر خصائص متشابهة، مما يجعل من الممكن، من خلال خطوة أخرى من التجريد، تحديد البديهيات لفئة من الهياكل، ثم دراسة دفعة واحدة كاملة من الهياكل التي توافق هذه البديهيات. وهكذا يمكن للمرء دراسة المجموعات والحلقات والحقول والأنظمة التجريدية الأخرى معا؛ مثل هذه الدراسات (للهياكل التي تحددها العمليات الجبرية) تشكل مجالالجبر التجريدي.[81]
بحكم عمومية كبيرة، يمكن في كثير من الأحيان تطبيقالجبر التجريدي على المسائل التي تبدو غير ذات صلة. على سبيل المثال، تم حل عدد من المسائل القديمة المتعلقة ببناء البوصلة والبسط باستخدامنظرية غالوا، والتي تتضمن نظرية المجال ونظرية المجموعة. مثال آخر لنظرية الجبر هوالجبر الخطي، وهو الدراسة العامة لمساحات المتجهات، التي تحتوي عناصرها المتجهات على كمية واتجاه، ويمكن استخدامها لنمذجة العلاقات بين نقاط فيالفضاء. هذا مثال على الظاهرة المتمثلة في أن المناطق غير المرتبطة أصلًا فيالهندسةوالجبر لها تفاعلات قوية للغاية في الرياضيات الحديثة.التوافقيات يدرس طرق تعداد عددالكائنات التي تناسب بنية معينة.
يعد فهم التغيير ووصفه موضوعًا شائعًا فيالعلوم الطبيعية، وقد تم تطويرحساب التفاضل والتكامل كأداة للتحقيق فيه. تنشأ وظائفه هنا، كمفهوم مركزي يصف كمية متغيرة. تُعرف الدراسة الدقيقة للأعداد الحقيقية ووظائف المتغير الحقيقيبالتحليل الحقيقي، معالتحليل المركب للحقل المكافئ للأعداد المركبة. يركز التحليل الوظيفي الانتباه على مسافات الوظائف (عادة غير محدودة الأبعاد). واحدة من العديد من تطبيقاتالتحليل الدالي هيميكانيكا الكم. تؤدي العديد من المسائل بشكل طبيعي إلى العلاقات بين كمية ما ومعدل التغير، ويتم دراستها على أنهامعادلات تفاضلية. يمكن وصف العديد من الظواهر في الطبيعة بواسطة الأنظمة الديناميكية؛ تعملنظرية الفوضى على تحديد الطرق التي تظهر بها العديد من هذه الأنظمة سلوكًا لا يمكن التنبؤ به ولكنه لا يزال محددًا.[84][85]
تهتمالرياضيات التطبيقية بالطرق الرياضية التي تستخدم عادة فيالعلوموالهندسةوالأعمالوالاقتصاد[86][87][88]والصناعة. وهكذا، «الرياضيات التطبيقية» هي علم الرياضيات مع المعرفة المتخصصة. يصف مصطلح الرياضيات التطبيقية أيضًا التخصص المهني الذي يعمل فيه علماء الرياضيات على حل المسائل العملية؛ كمهنة تركز على المسائل العملية، تركز الرياضيات التطبيقية على «صياغة ودراسة واستخدام النماذج الرياضية» فيالعلوموالهندسة وغيرها من مجالات الممارسة الرياضية.
في الماضي، حفزت التطبيقات العملية على تطوير نظريات رياضية، والتي أصبحت بعد ذلك موضوع الدراسة فيالرياضيات البحتة، حيث يتم تطوير الرياضيات في المقام الأول من أجلها. وهكذا، يرتبط نشاط الرياضيات التطبيقية ارتباطًا حيويًا بالبحث فيالرياضيات البحتة.
تتداخلالرياضيات التطبيقية كثيرًا مع مجالالإحصاء، حيث تصاغ نظريته رياضيا، خاصة معنظرية الاحتمالات. يقوم الإحصائيون «بإنشاء بيانات منطقية» من خلال أخذ عينات عشوائية وتجارب عشوائية؛[89] يحدد تصميم العينة أو التجربة الإحصائية تحليل البيانات (قبل أن تتوفر البيانات). عند إعادة النظر في البيانات من التجارب والعينات أو عند تحليل البيانات من الدراسات القائمة على الملاحظة، فإن الإحصائيين «يفهمون البيانات» باستخدام فن النمذجةونظرية الاستدلال مع اختيار النموذج وتقديره؛ يجب اختبار النماذج المقدرة والتوقعات المترتبة على البيانات الجديدة.
تدرس النظرية الإحصائية مشاكل اتخاذ القرار، مثل التقليل إلى الحد الأدنى (من الخسارة المتوقعة) في إجراء إحصائي، مثل استخدام إجراء، على سبيل المثال، اختبار الفرضيات، واختيار الأفضل. في هذه المجالات التقليدية للإحصاءات الرياضية، تتم صياغة مشكلة القرار الإحصائي عن طريق تقليل دالة موضوعية، مثل الخسارة أو التكلفة المتوقعة، في ظل قيود محددة: على سبيل المثال، ينطوي تصميمالاستقصاء في كثير من الأحيان على تقليل تكلفة تقدير متوسط عدد السكان باستخدام محدد معين.[90] نظرًا لاستخدامها في التحسين، تتقاسم النظرية الرياضية للإحصاء الاهتمامات مع علوم القرارات الأخرى، مثلبحوث العمليات،ونظرية التحكم،والاقتصاد الرياضي.[91]
تقترحالرياضيات الحسابية وتدرس أساليب لحل المسائل الرياضية التي تكون عادةً أكبر من قدرة الإنسان العددية.[92] يدرسالتحليل العددي طرق المسائل في التحليل باستخدامالتحليل الداليونظرية التقريب؛ يشمل التحليل العددي دراسة التقريب والتقدير على نطاق واسع مع اهتمام خاص بأخطاء التقريب. التحليل العددي، وعلى نطاق أوسع،الحوسبة العلمية تدرس أيضًا موضوعات غير تحليلية في العلوم الرياضية، وخاصة المصفوفة الحسابيةونظرية المخططات. مجالات أخرى من اهتمامات الرياضيات الحسابية تشملالحساب الرمزي.
نالتجائزة وولف في الرياضيات، التي تأسست عام1978، تقديرًا للإنجاز مدى الحياة، وتم إنشاء جائزة دولية كبرى أخرى، وهيجائزة أبيل، عام2003. وتم تقديمميدالية تشيرن عام2010 تقديرًا للإنجازات الرياضية مدى الحياة. يتم منح هذه الجوائز تقديرًا لمجموعة عمل معينة، والتي قد تكون ابتكارية، أو توفر حلًّا لمسألة بارزة في مجال محدد.
في عام1900 قام عالم الرياضيات الألمانيديفيد هيلبرت بتجميع قائمة شهيرة تضم 23 مسألة مفتوحة، تسمى «مسائل هيلبرت». حققت هذه القائمة شهرة كبيرة بين علماء الرياضيات، وتم الآن حل معظم الأسئلة. تم نشر قائمة جديدة من سبع مسائل مهمة، بعنوان «جائزة مسائل الألفية»، في عام2000. واحدة منها فقط، هيفرضية ريمان، تكررت أيضًا فيمسائل هيلبرت. إن حل أي من مسائل الألفية يحمل مكافأة قدرها مليون دولار.[94]
يتم الاحتفال في شهرمارس من كل سنة بداية من عام2007 باليوم العالمي للرياضيات حيث تقام فيه العديد من المسابقات والجوائز.[99][100] أيضًا يتم الاحتفال من كل سنة في14 مارسبيوم العدد pi (π) حيث يتم الاحتفال بهذا الثابت الرياضي وتحديدًا الساعة 1:59:26 من يوم14 مارس بسبب كون القيمة التقريبية للعد (π) هي 3.1415926.[101][102]
1. علم الفضاء والعدد والكمية والترتيب، الذي تتضمن طرائقه التفكير المنطقي واستخدام الترميز الرمزي، والذي يتضمن الهندسة والحساب والجبر والتحليل.[7]
2. الرياضيات... هي ببساطة دراسة الهياكل المجردة، أو الأنماط الرسمية للترابط.[103]
3. التفاضل والتكامل هو دراسة التغيير، كيف تتغير الأشياء، ومدى سرعة تغيرها.[104]
4. الاقتباس هو إجابة أينشتاين على السؤال: «كيف يمكن أن تكون الرياضيات، كونها نتاج فكر بشري مستقل عن التجربة، مناسبة بشكل مثير للإعجاب لموضوعات الواقع؟» استلهم هذا السؤال من مقالة يوجين وينر «الفعالية غير المعقولة للرياضيات في العلوم الطبيعية».[105]
5. من الضروري أولاً أن نسأل ما هو المقصود بـ«الرياضيات» عمومًا. ناقش العلماء اللامعون هذه المسألة حتى أصبح وجههم أزرق، ومع ذلك لم يتم التوصل إلى إجماع حول ما إذا كانت الرياضيات هي علم طبيعي، أو فرع من العلوم الإنسانية، أو شكلاً من أشكال الفن.[11]
6. «غالبًا ما يكون حل المشكلات المركزة في الرياضيات والعلوم أكثر جهدًا من التفكير المركّز الذي يشمل اللغة والناس. قد يكون هذا بسبب عدم تطور البشر على مدى آلاف السنين للتلاعب بالأفكار الرياضية، والتي غالبًا ما تكون مشفرة بشكل تجريدي أكثر من تلك الموجودة في اللغة التقليدية.»[106]
7. "ماذا أعني بالتجريد؟ يمكنك الإشارة إلى "بقرة" حية حقيقية تمضغ طعامها في مرعى وتساويها بالحروف"ب – ق – ر – ة" على الصفحة. ولكن لا يمكنك ذلك إلا بالاستعانة ب"علامة الجمع" الحقيقية التي صصمم الرمز "+" لها، الفكرة الكامنة وراء علامة الجمع هي أكثر "تجريدا"."[106]
8. «من خلال» التشفير«، أعني أن رمزًا واحدًا يمكن أن يمثل عددًا من العمليات أو الأفكار المختلفة، تمامًا كما ترمز علامة الضرب إلى الإضافة المتكررة».[106]
9. «يشتكي البعض من أنه لا يمكن التحقق من برنامج الحاسوب بشكل صحيح»، (في إشارة إلى إثبات هاكين - أبل لنظرية الألوان الأربعة).[107]
10. من بين الفروع العديدة لنظرية مجموعات الرياضيات الحديثة، تحتل نظرية المجموعات مكانًا فريدًا: مع استثناءات قليلة نادرة، يمكن اعتبار الكيانات التي يتم دراستها وتحليلها في الرياضيات على أنها مجموعات معينة أو فئات معينة من الكائنات.[108]
11. تعتبر ميدالية فيلدز الآن بلا منازع أفضل جائزة معروفة وأكثرها تأثيرًا في الرياضيات.[109]
12. انظر، على سبيل المثال، بيانبيرتراند راسل «الرياضيات، إذا نظرنا إليها بشكل صحيح، لا تمتلك الحقيقة فحسب، بل الجمال الأسمى...» في كتابهتاريخ الفلسفة الغربية.
^اب"mathematics,n.".Oxford English Dictionary. Oxford University Press. 2012. مؤرشف منالأصل في 2019-11-16. اطلع عليه بتاريخ2012-06-16.
^Ramana (2007).Applied Mathematics. Tata McGraw–Hill Education. ص. 2.10.ISBN:978-0-07-066753-2.الدراسة الرياضية للتغيير أو الحركة أو النمو أو الاضمحلال هي حساب التفاضل والتكامل.
^ابجدهMura, Roberta (ديسمبر 1993). "Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences".Educational Studies in Mathematics. ج. 25 ع. 4: 375–385.DOI:10.1007/BF01273907.JSTOR:3482762.
^Devlin, Keith, Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library) 1996,ISBN 978-0-7167-5047-5
^Wigner, Eugene (1960). "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences".Communications on Pure and Applied Mathematics. 13 (1): 1–14. Bibcode:1960CPAM...13....1W. doi:10.1002/cpa.3160130102. Archived from the original on February 28, 2011.نسخة محفوظة 05 مايو 2019 على موقعواي باك مشين.
^IREG Observatory on Academic Ranking and Excellence.IREG List of International Academic Awards(PDF). Brussels: IREG Observatory on Academic Ranking and Excellence. مؤرشف منالأصل(PDF) في 2019-03-12. اطلع عليه بتاريخ2018-03-03.
^Zheng، Juntao؛ Liu، Niancai (2015). "Mapping of important international academic awards".Scientometrics. ج. 104: 763–791.DOI:10.1007/s11192-015-1613-7.
^ابجSnapper، Ernst (سبتمبر 1979). "The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism".Mathematics Magazine. ج. 52 ع. 4: 207–16.DOI:10.2307/2689412.JSTOR:2689412.
^du Sautoy، Marcus (يونيو 25, 2010)."Nicolas Bourbaki".A Brief History of Mathematics. وقع ذلك في min. 12:50. BBC Radio 4.مؤرشف من الأصل في ديسمبر 16, 2016. اطلع عليه بتاريخ أكتوبر 26, 2017.
^Shasha, Dennis Elliot؛ Lazere, Cathy A. (1998).Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. Springer. ص. 228.
موسوعة الرياضيات موسوعة على الإنترنت منسبرنجر، عمل مرجعي للمرحلة ما بعد الجامعية لما يزيد عن 8,000 إدخال، تشرح ما يقرب من 50,000 مفهوم رياضي.(بالإنجليزية)
