فيالرياضيات ،جَيْب الزاوية (بالإنجليزية :Sine of an angle ) هو أحدالدوال المثلثية الرئيسية، وهو طول الضلع المقابل لهذه الزاوية مقسوما على طول الوتر فيمثلث ذيزاوية قائمة ، حيث يكونالوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. ويرمز له بالرمز (جا) أو (حا) أو (بالإنجليزية :sin ).
في المثلث القائم في الشكل حيث يُرمز للوتر (الضلع الأكبر في المثلث) بالرمز c. فيكون تعريف جيب الزاوية A كالآتي:
جيب الزاوية A = الضلع المقابل ÷ الوتر (أي نسبة الضلع a إلى الضلع c).
فيالرياضيات وفيالفيزياء وفيالهندسة ، تعتبر التوابع المثلثية أوالدوال المثلثية دوالا لزاوية هندسية من أهم الدوال المستخدمة فيها. وهي دوال تتردد في صيغ كثيرة جدا في العلوم ولا مجال لتقدم العلوم بدونها. ومن دراسة حساب المثلثات يمكن وصف ظواهرِ دورية مثل حساب أفلاكالكواكب فيالفلك وحساباتالتيار المتردد فيالهندسة الكهربائية وغيرها.
يمكن تعريف هذه الدوال نسبة بين أضلاع مثلث قائم يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عمومية إحداثيات علىدائرة واحدية .
الدوال المثلثية هي دوال ترتبط بالزاوية، وهي مهمة في دراسة المثلثات وتمثيل الظواهر الدورية المتكررةكالموجات . ويمكن تعريف الدوال المثلثية على أنها نسب بين ضلعين في مثلث قائم فيه الزاوية المعنية، أو بشكل أوسع نسبةً بين إحداثيات نقاط على دائرة الوحدة، ويعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات أن الحديث يدور حول مثلث فيسطح مستوي (مستوى إحداثي أو إقليدي)، وذلك ليكون مجموع الزوايا 180 درجة دائما.
استعيرت كلمة جيب من لفظ في لغة هندية قديمة تعرفبالسنسكريتية هو jīvā بمعنى وتر وكانت ترادفها أيضاً كلمة jyā في تلك اللغة والتي استعملت في الأصل لوصف وتر قوس المحارب. يقال أن الكلمة jīvā استعيرت إلى العربية «جيبا» أثناء ترجمة العرب للكتب الهندية حيث كان فيهم علماء مولعين بالرياضيات.[بحاجة لمصدر ]
[ عدل ] هناك ثلاثة دوال مثلثية أساسية هي:
جا أو جيب الزاوية A = النسبة بين الضلع المقابل للزاوية a مقسوما على الوتر c. جتا أوجيب التمام الزاوية A = النسبة بين الضلع المجاور للزاوية a مقسوما على الوتر c. ظا أو ظل الزاوية A = النسبة بين الضلع المقابل للزاوية a والضلع المجاور لها b. بصفة عامة، قيمة جيب الزاوية محصورة بين 1- و1، وكذلك قيمةجيب تمام الزواية.و بصفة خاصة، جيبالزاوية الحادة محصور بين 0 و1، وكذلك جيب التمام لها.[ 1]
مثال المثلث القائم بواسطة تعريف جيب الزاوية يمكن حساب الارتفاعh c {\displaystyle h_{c}} ABC بالمتر حيث:
مترa = 5 , 4 {\displaystyle a=5,4} والزاويةβ = 42 ∘ {\displaystyle \beta =42^{\circ }} h c a = sin ( β ) h c = a ⋅ sin ( β ) h c = 5 , 4 ⋅ sin ( 42 ∘ ) ≈ 3,613 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {h_{c}}{a}}&=\sin(\beta )\\h_{c}&=a\cdot \sin(\beta )\\h_{c}&=5{,}4\cdot \sin(42^{\circ })\approx 3{,}613\end{aligned}}} متر
مثلما في المثال السابق يمكن حساب الأطوال (والارتفاعات) سواء كانت المقاييس المستخدمة بالمتر أوسنتيمتر أوكيلومتر .
ينص قانون الجيب على أنه: في أيمثلث أضلاعه هيa وb وc والزوايا المقابلة لهذه الأضلاع هيA وB وC على الترتيب يكون:
sin A a = sin B b = sin C c . {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}.} أو يمكن صياغته بالشكل التالي:
a sin A = b sin B = c sin C = 2 R , {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,} حيثR هو نصف قطرالدائرة المحيطية لهذا المثلث.
دالة الجيب هيدالة دورية دورها2π .
∀ x ∈ R sin ( x + 2 π ) = sin x {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \sin(x+2\pi )=\sin x} هذه الخاصية تتدفق بشكل طبيعي من التعريف انطلاقا من دائرة الوحدة.بتعبير أدق، هناك رقمان حقيقيان لهما نفس الجيب إذا كان مجموعهم أو فرقهم ينتمي إلى2 π Z {\displaystyle 2\pi \mathbb {Z} }
دالة الجيب هيدالة فردية أي:
∀ x ∈ R sin ( − x ) = − sin x {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \sin(-x)=-\sin x} دالة الجيب هي دالة دورية وبالتالي غيرتباينية . أيضا، نعتبراقتصارها إلى[-π / 2 π / 2 التي هيتقابلية عند نفس المجال في المدى[-1,1] ، ثم نعرفدالتها العكسية ،قوس الجيب :
a r c s i n : [ − 1 , 1 ] → [ − π 2 , π 2 ] x ↦ arcsin x {\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {arcsin} :&[-1,1]&\to &[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]\\&x&\mapsto &\arcsin x\end{matrix}}} التي تحقق:
∀ x ∈ [ − π 2 , π 2 ] arcsin ( sin x ) = x {\displaystyle \forall x\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\quad \arcsin(\sin x)=x} ∀ x ∈ [ − 1 , 1 ] sin ( arcsin x ) = x {\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \sin(\arcsin x)=x} مشتق الدالة هو دالةجيب التمام .
∀ x ∈ R sin ′ x = cos x {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \sin 'x=\cos x}
∫ sin ( x ) d x = − cos ( x ) {\displaystyle \int \sin(x)dx=-\cos(x)} من أجل إلى كل عدد حقيقي x، تكون دالة الجيب مستمرة عند النقطة a، لذلك تكون النهاية في هذه النقطة هي sin (a)، بتعبير آخر:
lim x → a sin ( x ) = sin ( a ) {\displaystyle \lim _{x\to a}\sin(x)=\sin(a)}
أما بالنسبة لنهاية الدالة عند±∞ ، فهي غير موجودة بسبب دورية الدالة.
e i θ = cos θ + i sin θ e − i θ = cos θ − i sin θ . {\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&=\cos \theta +i\sin \theta \\[5pt]e^{-i\theta }&=\cos \theta -i\sin \theta .\end{aligned}}}
من تلك الصيغ (صيغ أويلر )، يمكن كتابة دالة الجيب على هذا الشكل:
sin θ = e i θ − e − i θ 2 i = sinh ( i θ ) i {\displaystyle \sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}={\frac {\sinh(i\theta )}{i}}} حيثi الوحدة التخيلية التي مربعها يساوي الواحد، بتعبير آخر:i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} sinh θ {\displaystyle \sinh \theta } دالة الجيب الزائدية .
[ عدل ] في هندسةالمتجهات ، يُعرَّف الجيب انطلاقا منالجداء الخارجي للمتجهتينu → {\displaystyle {\vec {u}}} v → {\displaystyle {\vec {v}}} ‖ u → ‖ {\displaystyle \|{\vec {u}}\|} ‖ v → ‖ {\displaystyle \|{\vec {v}}\|}
sin ( u , v ) = u → × v → ‖ u → ‖ ‖ v → ‖ {\displaystyle \sin(u,v)={\frac {{\vec {u}}\times {\vec {v}}}{\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|}}}
حيث‖ u → × v → ‖ {\displaystyle \|{\vec {u}}\times {\vec {v}}\|} الجداء المتجهي (أو الجداء الشعاعي) للمتجهتين.
لحساب جيب الزاوية عندما تتغير الزاوية A بين 0 و360 درجة يمكن استخدامدائرة الوحدة . تستخدم تلك الطريقة كثيرا فيالفيزياء والفلك والهندسة الكهربائية . وتفسح دائرة الوحدة المجال لحساب الدوال الموجية، ونبين هنا رسما بيانيا لما يسمىالموجة الجيبية .
دائرة الوحدة. عملية الرسم البياني لـy = sin ( x ) {\displaystyle y=\sin(x)} دائرة الوحدة
[ عدل ] دالة الجيب (أزرق) ومقاربتها بواسطة متسلسلة تايلور من الدرجة السابعة(وردي). يمكن التعبير عن جيب الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة سلسلة تايلور التالية:
sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 , {\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1},\\[8pt]\end{aligned}}} كلما أخذنا عدد أكبر منالحدود الجبرية كلما كانت متسلسلة تايلور أكثر تعبيرا عن دالة الجيب. إذا كانت الزاوية مقاسة بالدرجات فسوف تحتوي السلسلة علي كسور مكونة من قوي «ط» مقسومة علي 180 كالتالي:
sin x d e g = sin y r a d = π 180 x − ( π 180 ) 3 x 3 3 ! + ( π 180 ) 5 x 5 5 ! − ( π 180 ) 7 x 7 7 ! + ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin x_{\mathrm {deg} }&=\sin y_{\mathrm {rad} }\\&={\frac {\pi }{180}}x-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{3}\ {\frac {x^{3}}{3!}}+\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{5}\ {\frac {x^{5}}{5!}}-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{7}\ {\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .\end{aligned}}} كما يمكن التعبير عن جيب الزاوية x بواسطةالكسر المستمر المعمم التالي:
sin x = x 1 + x 2 2 ⋅ 3 − x 2 + 2 ⋅ 3 x 2 4 ⋅ 5 − x 2 + 4 ⋅ 5 x 2 6 ⋅ 7 − x 2 + ⋱ . {\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.} يقال أن أول من اكتشف دالة الجيب هو الرياضياتي الهنديأريابهاتا ، كان ذلك في القرن السادس ميلادي.
أول من نشر المختصرات sin و cos و tan هو عالم الرياضيات الفرنسيألبرت جيرارد ولقد كان ذلك في القرن السادس عشر.
[ عدل ] بيانلمستوى مركب . تظهرالأعداد التخيلية على محول الإحداثيات العمودي .
[ عدل ] sin ( θ ) {\displaystyle \sin(\theta )} e i θ {\displaystyle e^{i\theta }} sin ( z ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! z 2 n + 1 = e i z − e − i z 2 i = sinh ( i z ) i {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\\&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\\&={\frac {\sinh \left(iz\right)}{i}}\end{aligned}}} [ عدل ] بعض الزوايا الشائعة موضحة علي دائرة الوحدة.مقدرة بالدرجات.مع قيم الجيب وجيب التمام المناظرة لها(جا θ ، جتا θ ).
