فيالرياضيات،البرهان أوالإثبات هيحجةاستدلالية لتحديدصحةعبارة رياضية تستند علىمُسلَّمات (بالإنجليزية:Axiom)ومبرهنات (بالإنجليزية:Theorem). يقال لعبارة رياضية أو علاقة رياضية بأنها صحيحة منطقيا إذا تم التوصل إليها في ظل هذه المجموعة من البدهيات باستخدام الاستنتاج وطرق الاستنباط المنطقية.[1][2][3] البرهان الرياضي إذا عبارة عنحجة argument أو تعليلمنطقي، ليستجريبيا. ضمن هذا التعريف فإن مقولة أو عبارة رياضية يجب أن تبرهن على صحتها في جميع الظروف والحالات قبل أن يتم اعتبارهامبرهنة theorem رياضية. أما المقولة غير المبرهنة التي تلقى نوعا من الدعم التجريبي فتعرفبالحدسية conjecture. افتراضيا في جميع فروع الرياضيات، تكون البدهيات المفترضة هي بدهياتZFC أي Zermelo–Fraenkel set theory (و هي نظرية مجموعات زيرميلو-فرينكل مع بدهيات الاختيار) ما لم يشار إلى بدهيات مختلفة. نظرية مجموعة زيرميلو-فرينكل تقوم بمشاكلة formalize (أي تجعله شكليا formal) الحدس الرياضي حولنظرية المجموعات، وفي نفس الوقت تقوم نظرية المجموعات بوصفالجبروالتحليل الرياضي.
عندما يراد إثبات قضية رياضية يستحسن، في حال الإمكان، وضعها في صيغة اقتضاء ق ¬ ك، إن ذلك يتيح صياغة عكس هذه القضية بسهولة. يسمى العنصر الأيمن (المقدم) «ق» في الاقتضاء فرضاً، ويسمى العنصر الأيسر (التالي) «ك» طلباً. وعلى سبيل المثال تكتب المبرهنة: في كلمتوازي أضلاع: ينصف كل من القطرين القطر الآخر، في صيغة اقتضاء كما يأتي: إذا كان الرباعي متوازي أضلاع، فإن قطريه ينصِّف كل منهما الآخر. فالفرض هو أن الرباعي متوازي الأضلاع، والطلب هو أن ينصف كل من قطريه القطر الآخر.
للبرهان الرياضي عدة طرق : البرهان المباشر، العكسي، البرهان بالتناقض، البرهان بالاختيار، البرهان بالاستقراء... إلخ.
مثلاالبرهان المباشر
وتعتمد هذه الطريقة على الاقتناع بأنعلاقة الاقتضاء متعدية
ونعني بذلك أنه إذا كان :
- أ تقتضي ب، ب تقتضي جـ فإن أ تقتضي جـ
مثال:
- أثبت أنه إذا كان س = 3 فإن 2(4 س + 5) – 1 = 33
البرهان
س = 3
تقتضي 4 س = 12
تقتضي 4س + 5 = 17
تقتضي 2 (4س + 5) = 34
تقتضي 2 (4س + 5) – 1 = 33
