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はてなキーワード:自然数とは
無限は数ではないってことをいままで信じていたけど
自然数全体の集合に最大元として∞を追加したものと、一番最初に∞含めなんらかの元を設定したあとに自然数を順に並べたものとでは順序型が違う
ってことが書いてあるといよいよよくわからなくなるね
そもそも上で言っていることは、もし∞が数じゃないとするならだが、数の集合に数じゃないものを混入させてそれを並べることができると言っている。
無限も数って言ってくれた方がまだ理解できるよね。有理数を実数に拡張するのが数の拡張であるのと同様(そして両者ともに順序付けられる)、自然数に∞という要素を加えることも数の拡張って言われる方がしっくり来るよね。
-----BEGINPGP SIGNEDMESSAGE-----Hash: SHA512https://anond.hatelabo.jp/20250728163544# -----BEGINPGP SIGNATURE-----iHUEARYKAB0WIQTEe8eLwpVRSViDKR5wMdsubs4+SAUCaIcoUgAKCRBwMdsubs4+SJWjAQCxlLvDVJ6twyXPytZ4vVaOAnWijw7iYdyvIcSHofZYKQEA09m25JTd3G8/dAeEcdgTO8Z6K/3vascSDBy1raUZBAU==QBaW-----ENDPGP SIGNATURE-----
数学的帰納法で成り立つと言えることが無限で成り立つとは言えないことへの分からなさ。
これがなぜか論理的でもありながらわかりやすく(これが重要)教えてくれる人がいないから数学が嫌いになるんだよね。
たとえば一般項がan=Σ[k=1,n]k^-2だと証明しても、n=無限ではπ/6。一般項自体は有理数の形になっているのに無限の場合は無理数になるから成り立たないってことだ。
と、具体例を押し付けられても結局なんで論理的にそんなことが言えるのかの「わかりやすい」説明は見つからない。ちょっと深く理解しようと思ったら数理論理の難解な羅列の資料しかなくて投げるしかない。
この数列anを集合としてみたときは言い換えれば自然数全体の集合Nを添え字集合とした{an}n∈Nと書けるはず。
任意の自然数で成り立つと証明した以上添え字nは自然数全体を走らなければならないはず。
一方A1、A２…An…という集合を要素を持つ集合、つまり{An}n∈Nの要素全ての和集合は刃ッと帰納法で成り立つと言えることが無限で成り立つとは言えないことへの分からなさ。
これがなぜか論理的でもありながらわかりやすく(これが重要)教えてくれる人がいないから数学が嫌いになるんだよね。
たとえば一般項がan=Σ[k=1,n]k^-2だと証明しても、n=無限ではπ/6。一般項自体は有理数の形になっているのに無限の場合は無理数になるから成り立たないってことだ。
と、具体例を押し付けられても結局なんで論理的にそんなことが言えるのかの「わかりやすい」説明は見つからない。ちょっと深く理解しようと思ったら数理論理の難解な羅列の資料しかなくて投げるしかない。
この数列anを集合としてみたときは言い換えれば自然数全体の集合Nを添え字集合とした{an}n∈Nと書けるはず。
任意の自然数で成り立つと証明した以上添え字nは自然数全体を走らなければならないはず。
一方A1、A２…An…という集合を要素を持つ集合、つまり{An}n∈Nの要素全ての和集合は∩[n=1,∞]Anと記述される。
もしこのAnが任意の自然数nについてAn⊂An+1の関係を持つ閉区間であるとすれば∩[n=1,∞]Anは一点になるという定理がある。
そのようなAnの具体例にAn=[-1/n,1/n]がある。位相数学では{∩[n=1,k]An|k<∞}なんていう集合を考えることがあるが、Anが先述のものだとした場合、この集合(族)に∩[n=1,∞]An=0は含まれないことになっている。
なぜなら∩[n=1,∞]Anは無限個の集合の和集合だが、{∩[n=1,k]An|k<∞}に含まれる任意の要素は有限個の集合の和集合だから、ということになっている。添え字に関する条件k<∞を満たさない∩[n=1,k]Anすなわち∩[n=1,∞]An含まれないことになっているというイメージ。
一方で添え字に関する条件k<∞に対していかなる自然数でも正しいのだから、任意の自然数Nに関する∩[n=1,N]ANはこの集合に含まれるはず。
この図式は任意の自然数nについてあることが成り立っていると主張する数学的帰納法と同じにしか見えない。
つまり任意のaNは{an}n∈Nに含まれるし逆に{an}n∈Nの要素でaNではない要素は存在しない。
このaNが実は∈について言っていたANなら、数学的帰納法で任意の自然数N(<∞)で依存する形([-1/N,1/N]など)で表されると証明された全てのANの集合の別の表現はただちに{AN}N∈自然数、になる。
そしてこの集合の要素全ての和集合をとったら、定義からそれは∪[N=1,∞]ANになると思う。N<∞という条件を満たす集合だけ集めてその和集合をとったのに、矛盾しているように思う。
もう一つはっきりおかしさをあげられる例はイプシロンエヌ論法。
どんなに小さなεをとったとしても、あるN以上のnで満たすべき不等式が成り立つことが言えればいいということだけど、このあるNは結局いかなるときでも絶対に「任意の自然数のうちのどれか」だよね。
εを小さくとればとるほどNも大きくなるけど、結局N<∞のなかで閉じているといいうことは帰納法と同じだと思う。
この論法で有限の自然数のなかで閉じていないというなら、帰納法だって項番号が無限のときでも成り立っていないとおかしい、と感じるのは自然な疑問だと思う。
なぜ自然数のなかでの閉じた議論にしか見えない論法が無限大に飛ばしたときの極限の論法として通用すると言えるのか、というおかしさ。
結局自分を含めこのような無限に対して数学的な正しい扱い方を理解できる程度の論理的思考力を持つ人さえ数学科じゃなければ本当に少ないと思う。どんなに教えられても一笑理解できない人も全く稀ではないと思う。
そんな人が政治家としてもっともらしい論理的に見える何かを吐いて政策決定をしたり裁判官として人を裁いている立場にかなり混じっているはずだ。
我々はいかにも感情論に見えることを言うと最初から相手にされないから、感情語をできるだけ取り除いて接続詞とか使って論理的な主張を発信しようと努めている。
しかし無限さえ正しく扱えない人が本当に論理的に整合性があることを言えているとは思えないんだよね。
たぶん、論理記号を出鱈目に並べたものと本質的に差が無い「音の並び/文字の並び」をぶつけあっているだけになっている場合が大半かもしれない。ようは本当に鳴き声の応酬をしているだけ。
いやー虚無感がすごいわ。
-----BEGINPGP SIGNEDMESSAGE-----Hash: SHA512https://anond.hatelabo.jp/20250724174244# -----BEGINPGP SIGNATURE-----iHUEARYKAB0WIQTEe8eLwpVRSViDKR5wMdsubs4+SAUCaIHyBwAKCRBwMdsubs4+SMieAQCdW6/ZyPe+rjukRDsuHZpqZKO6OVwSVIX2Qymt1CzdVwD+LyCLS16mlsKf8/8bLYQJ8dSKrnJyQfyIcCLPmPIqqgU==mkc6-----ENDPGP SIGNATURE-----
この質問は、定義の無限後退という問題に関連しています。数理論理学では、この問題を解決するためにいくつかの方法や考え方があります。
数理論理学（特に公理的集合論や形式体系）では、すべての概念を定義しようとすると無限後退に陥るため、いくつかの基本的な概念を無定義、すなわち「原始概念」として受け入れます。
これらの概念はそれ以上定義されず、公理によってその性質が規定されます。
例えば、ユークリッド幾何学における「点」「線」「平面」などがこれに当たります。
これらは定義されず、公理（例：「異なる二点を通る直線はただ一つ存在する」）によってその関係や振る舞いが規定されます。
数理論理学の文脈では、例えば「集合」「要素」「論理結合子（AND, OR, NOT）」などが原始概念とされることがあります。
原始概念は、直接的な定義ではなく、公理によってその意味や性質が与えられます。
公理とは、その体系内で真であると仮定される基本的な命題です。
これらの公理を通して、原始概念間の関係や、それらから構築される概念の性質が暗黙的に定義されます。
自然数「0」、後者関数「S(x)」を原始概念として、以下の公理を設定します。
4.任意の自然数 x, y に対して、S(x) = S(y) ならば x = yである。
5.任意の集合 K について、0 ∈ K かつ「任意の自然数 x に対して x ∈ K ならば S(x) ∈ K」が成り立つならば、すべての自然数は K に属する。（数学的帰納法の原理）
これらの公理によって、「自然数」「0」「後者関数」という概念が間接的に、しかし厳密に定義されます。
厳密な形式体系においては、循環定義や無限後退を避けるために、定義の階層を明確にすることが重要です。
現代の数理論理学、特に集合論では、ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）などの公理系が、数学のほとんどすべての概念を基礎づけるものとして広く受け入れられています。
ZFCは、「集合」という原始概念と、いくつかの公理（外延性公理、空集合公理、対の公理、和集合公理、冪集合公理、無限公理、置換公理、基礎の公理、選択公理）から構成されます。
これらの公理によって、数学的対象（数、関数、関係など）がすべて集合として構成され、その性質が集合論の枠組みの中で厳密に記述されます。
「X1とは？」「X2とは？」といった定義の無限後退は、数理論理学においては、最終的に原始概念に到達し、それらの概念は公理によってその性質が規定されることで解決されます。
つまり、すべての概念を定義し尽くすのではなく、一部の基本的な概念を無定義として受け入れ、その関係性を公理によって厳密に定めることで、論理体系全体の基礎を築いています。
例えばグーグルのページランクアルゴリズムはリンクの荷重を使ったマルコフ連鎖で価値を更新してるわけだが、これは客観を偽った主観で、実際にはインパクトファクターみたいなもん(つまり社会構築主義)でしかない
何が言いたいかというと、世の中には主観で作られたアルゴリズムがたくさんあるので、数学と主観を分けるものがなんであるかというメタな知識が必要になる
その入口に要るという意味では「10進数を選んでいるから客観的ではない」というのは一歩踏み出しているんじゃないかな (進数の10の選び方は主観、自然数そのものは客観)
まあ進法が変わっても偶奇も素数も変わらんけど、それは単に計算ができないというレベルの話であり、抽象とは少し違うのでは
実際、そいつモジュローのことを言ってそうだし
星野源さんの今回のアルバム「Gen」のプロモーションについてなのですが、既にあれこれ批判されまくってますよね。
でも皆、なんかちょっと芯食ってないっていうかね。
自分ほど「星野源が嫌い歴」長い人間もなかなかいないと思うんで書きますわ。
もう25年も前になります。SAKEROCKを2000年に見たときから「あー、うんうん。これは無理」と思ってましたから。
あのですね、彼の本質的に嫌われてる所は「人それぞれの間合いの＜お気持ち＞の部分をハックしてコントロールしようとしてくる所」なの！
学生時代に料理店でバイトしていた時に思ったことなんだが、料理人が料理出して客に「まずい」って言われたり沢山残された時、絶対料理人の人は「おれが悪かったのかな？」みたいな感じで、更に残った料理を必ずひとくち食べてたんですよ。なるほどと思いましたね。
そんな感じで、星野源さんは「うちで踊ろう」でMAD作られた時に不快感を示してた時もそうなんだが、五感に委ねるものを作っておきながら、感じ方を制限してくるところがある。「こっちの感じ方が違うかも？」とかないんかな。
あと、後出しで「本当はこう伝えたかった」とかじゃんじゃん言ってきて、紅白の時もそうでしたが最初に批判が起きた時に「そこまでの情報」で自分の内外に気持ちをフォローしてるファンを振り回したり梯子外したりするんですよね。
しょっぱすぎる料理作って黙ってそのまま出して、苦情が来てから「本当はこれは白ワインと合わせて欲しかったので塩味が強いんです、水を飲みながらではちょっと💦」とか後から言ったら★1でしょ。
しかも隣の席の常連さんとかが「まぁまぁ、これは日本酒と合わせるとちょうどいいんだよ！」とか言った後にそういうこと言う。
それ言ったら誰も幸せにならんでしょみたいな。
じゃあ先に言いなさいよみたいな。
SAKEROCK時代から「細野さん、細野さん」ってめっちゃ言ってたのはまぁ、正直鬱陶しかったけど当時は細野さんもぜんぜん売れてなくて元気なかったから、若手の人がフックアップするのはいいことだと思ってましたよ。
だけどさー！？
ソロになってからカクバリズムの角張さんを「俺の曲になんでタイアップ取ってこれないんだ！」ってめちゃくちゃ詰めてたらしいじゃないですか。
なんでそういうこと言うの？？？
いや「命懸けてでも成功してやるぞ」っていうモードになったのはよく分かるけど、「レーベルに言えよ！！！」でしかねーのよ！！！
しかも細野さんからの〜山下達郎に近づいていく感じが、もう本当にしんどかったですよね。
まあ「源くん、源くん」とか、ちょっと満更でもなさそうなヤマタツもダサかったけど。
それで「POP」とか言うけどさ、細野さんもヤマタツも、わかりやすい売れから距離を置いたり、置かれたりしていじけながらボヤきながらも趣味嗜好を貫いてやってきたから趣味が良いね！ってなってきたわけなので、お寺の線香じゃないんだから「そこに近づくから俺も趣味が良い」とは絶対にならないし、そういう「俺もそっち側っす」みたいなのは、お前が決めるんじゃなくてリスナーが決めるから、どうかやめてください。
そこでまだ、自分のルーツであるチャゲアスと対談とか、玉置浩二とか井上陽水とかに行くなら「おっ、なるほどな。ポップってそういうことか」ってなるけど、「そっち側（サブカルとして馬鹿にされまくってた時代もなんとかやってきた人）」を大事にしてる人にとっては、すごい無神経に感じるわけです。
だけどさ、ASKAさんがあんな感じだから、ちょっと話したぐらいで遠巻きに見守ってるでしょ。ルーツっていうならもっとベタベタしろや。
そういう所が本当に嫌。イメージ売りしたいのと、パイセンとのシナジーづくりでセンス良くアップデート（）は両立しないっって。
意外に思われるかもしれないけれど、2000年代の細野さんとかはマジで人気なくてある時期までオワコン扱いされてて、ライブもチケット売りきれない時とかたくさんあったんですよ。
ヤマタツも今は伝説的に語られてるけど、2010年代まではマジでゴミレコード扱いで。
HARD OFFで「ForYou」っていう1980年代の名盤が「¥108」っていう値札をジャケにビターンと直貼りされて5,6枚適当に混ざってたこともあるんですよ。
（それだけ売れたから在庫がダブついているということでもある。それにForYouは2010年代後半に人気が再急騰して2020年代にはメルカリで1万円で取引され、まさかの「発売から40年後に中国でブート盤が作られる」という謎の現象が起きた。
そういうことがあるから面白いのに、星野源さんは器用なので「余白に委ねない」から飛び抜けないという印象がある。
KIRINJIはまだ「キリンジ」時代の貯金があるからやってけてるけど、当時の余白がなければ9割スッカスカミュージックなのである。
今回のアルバムGenも「なんかよくわからないけどこの人と衝動でやるぜ！」というワクワク感がない。
メンツを見て想像通りの「いい感じ」でしかなく、冒険がもうできないキョロ充が作った音楽に聴こえた）
細野さんはまだわかるが「ヤマタツ＝センスが良くて売れている人」みたいにされるのは表層的ですっごくしんどい。
だって売れない時期も地道に遠くを見てやっていた人だし、そういう職人的なとこ含めてファンは好きなわけで、長年お世話になったカクバリズムに対していきなり「俺の曲になんでタイアップ持ってこれねえんだ」とか、短期的に結果を上げようとする人に近づいて欲しくないんですわ。半ばセルフでジャニーズの傘を持ってきたヤマタツ見習えって。（ダメですけど）そういうベットができないんでしょ？
その短絡的な「POP観」と「ここらへんピックアップして仲良くなれる俺、センスいいだろ？」が耐えられません。
音楽に対して後出ししたり、「うちで踊ろう」でMAD作られて怒ったり、今回の「街の掲示板や銭湯に広告出しました、ユニークでしょ」みたいなのも全部「音楽というものの【聴く人の自由】に委ねる部分をコントロールしてこようとする（ノイズを入れてくる）」から嫌がられてるんだよね。
星野源さんは、真剣に売れるためには、話題つくるにはどうしたらいいのか？を一生懸命考えて、沢山媒体にも露出して本当に頑張っていると思う。
音楽というのは、コカ・コーラとか、ヨーグルトとか消費財の売り出し方とは違うんですよ。
「オイコスでもダノンでも明治ブルガリアヨーグルトでもどれでもいいけど、健康にいいってCMで見たから買うわ」じゃなくて「この人だから聴く」みたいなとこあんですよ。
よく「〇〇からしか接種できない栄養分がある」って言うじゃないすか。音楽ってあれなんですよね。ちょっと中毒性というか。
星野源さんからしか接種できないものは今、ケレン味ばっかりになってて、素直に推しづらいじゃん。
やっぱりストーリーが大事にされる、長い目で見るものであって、最先端なことがいいわけじゃないんですよねー。
そうじゃなかったらこんなに昔の喫茶店とか、80年代のものが、Y2Kが人気にならないでしょ。
みんなちゃんとその当時の良さを再定義してるから「そうだよね、いいよね」っていう気持ちを共有しあってファンダムが出来るのに、星野源さんはそういうストーリーを毎回バズを狙いすぎて、ブツ切れにさせるわけですよ。
それは「その時その時のみんなの正解」を真剣に考えすぎて、しかも器用だから表面的には整えられるんだけど「本来の星野源さんらしくはない」から違和感が出るし、嘘っぽいからみんなに感づかれて「なんか嫌かも…」みたいになっちゃう訳です。
例えば今回の街の掲示板広告問題は、みんながゆるく見守ったり、必要な情報がある人は真剣に見たり、広告出す人もお金もセンスも無い中真剣にA4ペラ1を掲示するという、公共というみんながちょっとずつ譲り合いながら保たれているエリアにズカズカ入っていくから嫌われるんですわ。
小さい公園で「ここボール禁止じゃないよね？じゃあ、狭いけど今から全力で野球の試合をします！」みたいに宣言して朝から声出ししたら、危なくなくても近所の人にムカつかれて警察来るじゃん。
そういう嫌われ方をしているよね。
音楽でもそうで、「どうしてもここでこれやりたいんでやってます！今は理解されないかもだけどこれはどう考えてもイイと思ってるので！」みたいなリリースじゃなくて、「これとこれを何％で足していったらいい感じになる。俺は器用なのでそれをやってのける」みたいな、感情の領域にマーケティングかけられてる感じが昔からどうしても拭えなくて、それがソロになってどんどん大きくなって無理になっていった。
商材としてはクリーンで扱いやすいのかもしれないけど、音楽という非日常や謎の化学反応を楽しむ、というパーソナルな領域をコントロールしようとしすぎて養殖魚みたいな音楽になっており、「自分が聴かないでも誰かが聴くんだろう、自分は嫌だけど」という領域に達している。
「足し算、掛け算だと0が出たら上に行けないし、下手したら大事故になるので減点方式というか、引き算できる所を消し込んでる」という印象がある。
「粒子細かめにするとお互いに大変だから、最大公約数で作っておいたので、自然数のみんなにわかりやすくしておきました」みたいな。
そしてつまんねぇ方法で生活にまで割り込んできてもう許さん！」って無意識でなってる人多いんじゃないでしょうか？
いやいいですよ別に。そういうやり方をしている限り、自分には響かないから。
NHKにやたら推されて出てるのもキツかった（2010年代以降のNHK・Eテレのセンスは常に最悪だと思っている派の）人間からすると、自分の街に「しめしめ♡」みたいなテンションであんなことされたらマジギレだよ。うちの街じゃなくて本当に良かった。
「俺の音楽をなんとしても聴かせたい」という気持ちは分かるが、やんわり距離を取っている人たちは「うっすら無理」だから距離を取っているので、そこをなんとかハックして近づこうとしてこないでいただきたい。
こういうこと言うと“繊細な人を叩いてる”と思われそうだけど、“繊細さの演出”が強者の武器になってる瞬間が一番しんどいのです。
どうして世の中は、ここまでまでにも低次元な話題で満たされているんだろう？
天気、芸能、噂話、表層的な政治のやりとり。知性の対流はどこに消えた？
人間は有限な脳リソースを持っているのに、その99％がどうでもいい入力で埋め尽くされてる現実は、もはや精神的な浪費だ。
例えば、なぜ誰も「グロタンディーク宇宙」を話題にしない？あれはもはや数学という言語を超えて、存在論そのものに接続するスキームだ。
集合論の上に成り立つ古典的な数学構造から自由になろうとした、その大胆さと深淵さは、まるで物理法則の背後にある数学的美の亡霊を追いかけるようなものだ。
それとも、「カルツァ＝クライン理論」を掘り下げた上で、「コンパクト化の自由度」が我々の時空構造に与える哲学的意味について会話できる人間はもう絶滅したのか？
量子重力理論の融合問題、特にループ量子重力と超弦理論のアプローチの根本的差異を語れる人と飲みに行きたいんだよ、俺は。
物質が本質的に情報だという観点から、ブラックホール情報パラドックスが意味するのは「情報の保存則の破れ」なのか、それとも我々が持っている「情報とは何か」という定義の方が間違っているのか。
こういう問いこそが、文明の核心にあるべきだろう？
人間が文明を築いて以来、我々は「どこから来て、どこへ行くのか」を形式体系で問おうとしてきた。
自然数に対して加法と乗法を定義し、ペアノ公理系を構築し、それが完全でも無矛盾でもないことをゲーデルが証明した時点で、真理は証明可能性の外に存在することが明らかになった。
この衝撃から回復するどころか、世間はますます計算可能なもの、アルゴリズムで消費できるものにしか興味を持たなくなった。
何のために意識は進化したのか？それが単なる環境適応の副産物だと片付けるには、意識が認識する数学的対象の精緻さがあまりにも過剰だ。
なぜラマヌジャンは夢の中で未知の関数恒等式を発見できたのか？なぜヒルベルト空間のような抽象概念が、量子力学の基礎としてこれほど自然に振る舞うのか？
この「抽象と現実の接続」が偶然である可能性は、論理的にほとんどゼロに近い。
俺が求めているのは、「真に知的な対話」だ。知識をなめらかな面として持っているだけの人間ではなく、それを自己組織化的に再構築できるような構造的知性。
話題がトポス理論からエントロピー最大化原理に移行しても違和感なくついてこれるような、そんな会話。
少なくとも「その場のノリ」とか「空気を読む」なんていう神経消耗ゲームよりは、よほど脳が報酬系を刺激されるはずだ。
いつになったら、街角のカフェで「カテナリー曲線の最小作用原理が、実は一般相対論と繋がってるって知ってた？」なんて会話が自然に聞こえる社会になるんだろうな。
投稿する質問は全て3行でまとめるようにすれば要点書く力が上達するんじゃないですかねとか何様？
そいつら自身こちらが書いたものを短くまとめたものをあげてないのに、他人には短くまとめろっていうの説得力がなさすぎでしょ？
かりにできたとしても、自分で自分の文章をチェックするのに比べて他人の文章をチェックする方がよほど粗を見つけやすいわけで、
他人の文章をチェックするのと同じような感覚で相手にさも簡単に自分の文章を簡単に直せるでしょとか言うのは想像力の欠如。
もちろん回答者という立場で短文書いてるというだけでは話にならない。
質問者と回答者で提示する情報量は全く違ってくるものだからな。回答者は極論問われたことにはいかいいえで答えるだけで回答として成立するからな。
ようは想像力がない。込み入った状況に基づく複雑な悩みを抱えたことがない馬鹿なんだよな。
数えることを学ぶときに無限に遭遇し、永遠に数え続けることができることに気づきます。
それほど独創的な観察ではないですが、いつでも1を足してさらに大きな数を得ることができるため、数えることに終わりがないことが、無限の重要な性質です。
無限にはさまざまな種類があるため、それほど単純ではありません。 1、2、3 などの自然数の量は「可算無限」と呼ばれる最も単純な種類の無限にすぎません。
正式には、自然数から他の集合への1対1の写像(注:勝間さんではありません)がある場合、この集合は自然数と同様に無限であることを意味し、同じ種類の無限です。
実数の場合、その写像が存在しないので、より大きな無限となります。
さて、無限に演算を定義するとどうなるでしょうか。無限大に1を加えても無限大になります。自然数のある数を無限大で割るとゼロになります。
つまり無限大に1を加算すると、結果は同じ種類の無限大になることを意味します。
これらの関係を方程式として記述する場合には問題が起こってしまうことがよく知られます。
無限大を無限大で割ったり、無限大にゼロを乗算したりする場合はさらに意味不明になります。
実際には数学者は無限に対処する方法をよく知っています。ただ注意しなければならないのは、その無限がどこから来たのかを追跡することです。
たとえばxが無限大になると無限大になるxsquareのような関数があるとします。
無限大がどこから来るのかがわかっていれば、もう一方から1を引くこともできます。
たとえば、1/イプシロン、1/イプシロン二乗、イプシロンの対数などの用語がある場合があります。
しかし2つの項が同じ無限大であり、イプシロンの同じ関数であることがわかっている場合は、数値と同様に加算または減算できます。
物理学では通常、これを行う目的は計算の最後にそれらがすべて互いに打ち消し合い、すべてが理にかなっていることを示すことです。
したがって数学的には無限は興味深いですが問題はありません。数学に関して言えば、無限をうまく処理する方法を知っています。
数学的な意味で存在します。つまりその特性を分析してそれについて話すことができるという意味です。
科学的には、観察を説明する必要がある場合にのみ、自然理論の要素が「存在する」と言えるからです。
そして無限を測定することができないので、観察するものを記述するために実際には無限を必要としません。
無限大は測定できないという問題は、ゼロの問題と密接に関係しています。
たとえば、点の数学的抽象化を考えてみましょう。物理学者は点粒子を扱うときに常にこれを使用します。点のサイズはゼロです。
しかし、実際にサイズがゼロであることを示すには、無限に正確に測定する必要があります。
したがって、測定精度が許容するものよりも小さいことしか示せません。
宇宙や時空のような一見無害なものであっても。空間の数学を書き留めた瞬間、そこにはギャップがないと想定します。
無限に多くの無限の小さな点で構成された完全に滑らかな連続体であると仮定します。
数学的にはこれは扱いやすいため便利な仮定です。そしてそれはうまく機能しているようです。
それがほとんどの物理学者があまり心配していない理由です。彼らは無限を有用な数学的ツールとして使用しているだけです。
おそらく物理学で無限とゼロを使用すると間違いが生じるのは、これらの仮定が科学的に正当化されていないためです。
そしてこれは、宇宙や量子力学の理解に役割を果たす可能性があります。
ジョージエリス、ティムパーマー、ニコラス ギシンなどの一部の物理学者が、無限を使用せずに物理学を定式化する必要があると主張したのはこのためです。
量子力学における観測者問題についてはよく知られるように、人間の主観性が量子実験の結果に重要な役割を果たしている。
ドイツの物理学者ヴェルナー・ハイゼンベルクによる有名な引用がある。
「私たちが観察するのは現実そのものではなく、私たちの質問の方法にさらされた現実です。」
例えば有名なダブルスリット実験では、スリットの後ろに検出器を置かなければ電子は波として現れるが、検出器を置くと粒子として表示される。
したがって実験プロトコルの選択は、観察する行動パターンに影響する。これにより、一人称視点が物理学の不可欠な部分になる。
さて、数学にも一人称視点の余地はあるか。一見すると、答えは「いいえ」のように見える。
ヒルベルトが言ったように、数学は「信頼性と真実の模範」のようである。
それはすべての科学の中で最も客観的であり、数学者は数学的真理の確実性と時代を超越した性質に誇りを持っている。
ピタゴラスが生きていなかったら、他の誰かが同じ定理を発見しただろう。
さらに定理は、発見時と同じように、今日の誰にとっても同じことを意味し、文化、育成、宗教、性別、肌の色に関係なく、今から2,500年後にすべての人に同じ意味があると言える。
さて、ピタゴラスの定理は、平面上のユークリッド幾何学の枠組みに保持される直角三角形に関する数学的声明である。しかし、ピタゴラスの定理は、非ユークリッド幾何学の枠組みでは真実ではない。
何が起こっているのか?
この質問に答えるには、数学的定理を証明することの意味をより詳しく調べる必要がある。
定理は真空中には存在しない。数学者が正式なシステムと呼ぶものに存在する。正式なシステムには、独自の正式な言語が付属している。
つまり、アルファベットと単語、文法は、意味があると考えられる文章を構築することを可能にする。
その言語には、「点」や「線」などの単語と、「点pは線Lに属する」などの文章が含まれる。
次に正式なシステムのすべての文のうち、有効または真実であると規定した文を区別する。これらは定理である。
それらは2つのステップで構築されれる。まず、最初の定理、証明なしで有効であると宣言する定理を選択する必要がある。これらは公理と呼ばれる。
公理からの演繹は、すべての数学がコンピュータで実行可能な印象を生む。しかし、その印象は間違っている。
公理が選択されると、正式なシステムで定理を構成するものに曖昧さがないのは事実である。
これは実際にコンピュータでプログラムできる客観的な部分である。
例えば平面のユークリッド幾何学と球の非ユークリッド幾何学は、5つの公理のうちの1つだけで異なる。他の4つは同じである。
しかしこの1つの公理(有名な「ユークリッドの5番目の仮定」)はすべてを変える。
ユークリッド幾何学の定理は、非ユークリッド幾何学の定理ではなく、その逆も同様。
ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の場合、答えは明確である。これは、単に説明したいものに対応している。
数学は広大であり、どのように公理を選択するかという問題は、数学の基礎に深く行くと、はるかに感動的になる。
すべての数学的オブジェクトは、いくつかの追加構造を備えたセットと呼ばれるものであるということだ。
たとえば自然数のセット1,2,3,4,...は加算と乗算の演算を備えている。
集合論は特定の正式なシステムによって記述される。Ernst ZermeloとAbraham Fraenkelと、選択の公理と呼ばれる公理の1つに敬意を表して、ZFCと呼ばれる。
今日の数学者は、すべての数学を支える集合論の正式なシステムとしてZFCを受け入れている。
彼らは、無限の公理と呼ばれるZFCの公理の1つを含めることを拒否する。
言い換えれば、有限主義者の正式なシステムは、無限の公理のないZFCである。
無限大の公理は、自然数の集合1,2,3,4,...が存在すると述べている。すべての自然数に対してより大きな数があるという声明(「ポテンシャル無限大」と呼ばれる)よりもはるかに強い声明である。
有限主義者は、自然数のリストは決して終わらないことに同意するが、いつでも自然数の集合の有限の部分集合のみを考慮することに限定する。
彼らは一度にまとめたすべての自然数の合計が実在することを受け入れることを拒否する。
この公理を取り除くと、有限主義者が証明できる定理はかなり少なくなる。
正式なシステムを判断し、どちらを選択するかを決定することができるいくつかの客観的な基準...なんてものはない。
「時間と空間を超越した何かを象徴しているので無限大が大好きだ」と言えば無限大の公理を受け入れることができる。
ゲーデルの第二不完全性定理は、十分に洗練された正式なシステム(ZFC等)は、自身の一貫性を証明することができないと述べている。
数学者は、今日のすべての数学の基礎であるZFCが確固たる基盤にあるかどうかを実際に知らない。
そしておそらく、決して知ることはない。
なぜなら、ゲーデルの第二の不完全性定理によって、より多くの公理を追加することによってZFCから得られた「より大きな」正式なシステムにおけるZFCの一貫性を証明することしかできなかったから。
一貫性を証明する唯一の方法は、さらに大きな正式なシステムを作成することだけだ。
数学を行うためにどの公理を選択すべきかについて、実際には客観的な基準がないことを示唆している。
要するに、数学者が主観的に選んでいるというわけである。自由意志に任せて。
公理のための主観的な基準というのは、より豊かで、より多様で、より実りある数学に導くものを選ぶという人は多い。
これは自然主義と呼ぶ哲学者ペネロペ・マディが提唱する立場に近い。
特定の公理のセットを選択する行為は、量子物理学の特定の実験を設定する行為に似ている。
それには固有の選択肢があり、観察者を絵に導く。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13293425613
みたいな主張、ようは「数学的に証明されたら感覚的なことではない。感覚じゃない事実なことを示すために証明するんだ」みたいな主張に対する違和感から始まってんだよね、元増田は。
いや、定義自体が、人間にインプットされた「同一/非同一」とか「書き換える」みたいな原始的な観念/身体感覚に依存してる部分が多少なりともあって、このプリセットが全人類で同一か確認する術が不可知なのだから、
「感覚をあいまいなもとみなし、そこから『全く』逃れるために証明するんだ」という考え方は、誤りだろって突っ込みたい動機から始まってるんだよね。全くじゃなく、程度問題だろ、全く感覚の影響を排除できてるというのは思い上がりだろっていう。もちろん厳密であろうと努力する態度は尊いと思うよ。
