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はてなキーワード:ネイピア数とは
1/nの確率である事象が発生する検証をn回行った時その事象が発生する確率はいくつになるでしょうか。具体的な例と計算を交えながら、nを増やしていくとどうなるの教えてください
n 回の試行で少なくとも 1 回事象が発生する確率についてですね。具体的な例と計算を交えながら、そして n を増やした場合の挙動について説明します。
まず、ある事象が 1/n の確率で発生するという状況を考えます。このとき、1回の試行でその事象が発生しない確率は 1−1/n です。
n 回の試行すべてでその事象が発生しない確率は、各試行が独立であるため、それぞれの確率を掛け合わせることで求められます。
P(n回すべてで事象が発生しない)=(1− 1/n)^n
したがって、n 回の試行で少なくとも 1 回その事象が発生する確率は、全体の確率から「n 回すべてで事象が発生しない確率」を引くことで求められます。
P(n回で少なくとも1回事象が発生)=1−(1−1/n)^n
いくつか具体的な n の値で計算してみましょう。
n=1 の場合
計算: 1−(1−1/1) ^1=1−0^1=1
n=2 の場合
確率は 1/2 です。
計算: 1−(1−1/2)^2=1−(1/2)^2=1−1/4=3/4=0.75
n=3 の場合
確率は 1/3 です。
計算: 1−(1−1/3)^3=1−(2/3) ^3=1−8/27≈1−0.296=0.704
計算: 1−(1−1/10)^10=1−(9/10)=10=1−0.3486...≈0.651
計算: 1−(1−1/100)^100=1−(99/100)^100≈1−0.3660...≈0.634
n を限りなく大きくしていくと、この確率はある定数に収束します。その定数はネイピア数 e を用いて表されます。
lim_(n→∞)(1−1/n)^n=1/e
となります。ここで、e は約 2.71828 です。
したがって、n 回の試行で少なくとも 1 回事象が発生する確率の極限は、
lim_(n→∞)(1−(1−1/n)^n=1−1/e≈1−1/2.71828≈1−0.36788≈0.63212
となります。
つまり、n を増やしていくと、その事象が少なくとも1回発生する確率は約 63.2% に収束していきます。
これは、直感に反するかもしれませんが、n が大きくなると1回あたりの発生確率は小さくなるものの、試行回数が増えるため、結果として「まったく発生しない」確率が一定の値に収束し、「少なくとも1回発生する」確率もまた一定の値に収束するという興味深い現象です。
英語の略字を日本語に変換していちいち説明したらわかりにくすぎる。
「e」はネイピア数とは呼ばれるけど、じつは「Euler（オイラー）」のEだろ？
たしかに「e」はあちこちで使われるから、この分野ではネイピア数と呼びたいのはわかるんだけど、そこらへんちゃんと説明してないだろ。
「logarithmus」って、ラテン語の「logos（比率）」と「arithmos（数）」の造語なんだろ？どこが「対数」なんだ？
式中にlogと書いてあれば「ログ」「ロガリズム」とか読むしか無いんだからいちいち「対数」と呼ぶ必要ないだろ
「logarithmus naturalis」の略が「ln」なんだろ？日本語に翻訳したらたしかに自然対数だけど
そもそもここで言う「日本語で言う自然の定義はなんだよ」ってなるだろ。
e^(ln(x)) = x
ln(e^x) = x
