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数学的帰納法で成り立つと言えることが無限で成り立つとは言えないことへの分からなさ。
これがなぜか論理的でもありながらわかりやすく(これが重要)教えてくれる人がいないから数学が嫌いになるんだよね。
たとえば一般項がan=Σ[k=1,n]k^-2だと証明しても、n=無限ではπ/6。一般項自体は有理数の形になっているのに無限の場合は無理数になるから成り立たないってことだ。
と、具体例を押し付けられても結局なんで論理的にそんなことが言えるのかの「わかりやすい」説明は見つからない。ちょっと深く理解しようと思ったら数理論理の難解な羅列の資料しかなくて投げるしかない。
この数列anを集合としてみたときは言い換えれば自然数全体の集合Nを添え字集合とした{an}n∈Nと書けるはず。
任意の自然数で成り立つと証明した以上添え字nは自然数全体を走らなければならないはず。
一方A1、A２…An…という集合を要素を持つ集合、つまり{An}n∈Nの要素全ての和集合は刃ッと帰納法で成り立つと言えることが無限で成り立つとは言えないことへの分からなさ。
これがなぜか論理的でもありながらわかりやすく(これが重要)教えてくれる人がいないから数学が嫌いになるんだよね。
たとえば一般項がan=Σ[k=1,n]k^-2だと証明しても、n=無限ではπ/6。一般項自体は有理数の形になっているのに無限の場合は無理数になるから成り立たないってことだ。
と、具体例を押し付けられても結局なんで論理的にそんなことが言えるのかの「わかりやすい」説明は見つからない。ちょっと深く理解しようと思ったら数理論理の難解な羅列の資料しかなくて投げるしかない。
この数列anを集合としてみたときは言い換えれば自然数全体の集合Nを添え字集合とした{an}n∈Nと書けるはず。
任意の自然数で成り立つと証明した以上添え字nは自然数全体を走らなければならないはず。
一方A1、A２…An…という集合を要素を持つ集合、つまり{An}n∈Nの要素全ての和集合は∩[n=1,∞]Anと記述される。
もしこのAnが任意の自然数nについてAn⊂An+1の関係を持つ閉区間であるとすれば∩[n=1,∞]Anは一点になるという定理がある。
そのようなAnの具体例にAn=[-1/n,1/n]がある。位相数学では{∩[n=1,k]An|k<∞}なんていう集合を考えることがあるが、Anが先述のものだとした場合、この集合(族)に∩[n=1,∞]An=0は含まれないことになっている。
なぜなら∩[n=1,∞]Anは無限個の集合の和集合だが、{∩[n=1,k]An|k<∞}に含まれる任意の要素は有限個の集合の和集合だから、ということになっている。添え字に関する条件k<∞を満たさない∩[n=1,k]Anすなわち∩[n=1,∞]An含まれないことになっているというイメージ。
一方で添え字に関する条件k<∞に対していかなる自然数でも正しいのだから、任意の自然数Nに関する∩[n=1,N]ANはこの集合に含まれるはず。
この図式は任意の自然数nについてあることが成り立っていると主張する数学的帰納法と同じにしか見えない。
つまり任意のaNは{an}n∈Nに含まれるし逆に{an}n∈Nの要素でaNではない要素は存在しない。
このaNが実は∈について言っていたANなら、数学的帰納法で任意の自然数N(<∞)で依存する形([-1/N,1/N]など)で表されると証明された全てのANの集合の別の表現はただちに{AN}N∈自然数、になる。
そしてこの集合の要素全ての和集合をとったら、定義からそれは∪[N=1,∞]ANになると思う。N<∞という条件を満たす集合だけ集めてその和集合をとったのに、矛盾しているように思う。
もう一つはっきりおかしさをあげられる例はイプシロンエヌ論法。
どんなに小さなεをとったとしても、あるN以上のnで満たすべき不等式が成り立つことが言えればいいということだけど、このあるNは結局いかなるときでも絶対に「任意の自然数のうちのどれか」だよね。
εを小さくとればとるほどNも大きくなるけど、結局N<∞のなかで閉じているといいうことは帰納法と同じだと思う。
この論法で有限の自然数のなかで閉じていないというなら、帰納法だって項番号が無限のときでも成り立っていないとおかしい、と感じるのは自然な疑問だと思う。
なぜ自然数のなかでの閉じた議論にしか見えない論法が無限大に飛ばしたときの極限の論法として通用すると言えるのか、というおかしさ。
結局自分を含めこのような無限に対して数学的な正しい扱い方を理解できる程度の論理的思考力を持つ人さえ数学科じゃなければ本当に少ないと思う。どんなに教えられても一笑理解できない人も全く稀ではないと思う。
そんな人が政治家としてもっともらしい論理的に見える何かを吐いて政策決定をしたり裁判官として人を裁いている立場にかなり混じっているはずだ。
我々はいかにも感情論に見えることを言うと最初から相手にされないから、感情語をできるだけ取り除いて接続詞とか使って論理的な主張を発信しようと努めている。
しかし無限さえ正しく扱えない人が本当に論理的に整合性があることを言えているとは思えないんだよね。
たぶん、論理記号を出鱈目に並べたものと本質的に差が無い「音の並び/文字の並び」をぶつけあっているだけになっている場合が大半かもしれない。ようは本当に鳴き声の応酬をしているだけ。
いやー虚無感がすごいわ。
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