Kvyat is in Ufa gebore en het in Moskou grootgeword. Hy het op 10-jarige ouderdom met mededingende kartingwedrenne begin voordat hy in 2007 na Italië verhuis het om 'n professionele loopbaan te volg. Nadat hy verskeie internasionale kartingtitels gewen het, is Kvyat in 2010 na junior formules bevorder.Hy was suksesvol in Formule Renault, waar hy die naaswenner naStoffel Vandoorne in die Eurocup was en die Alpe-reeks gewen het, beide in 2012 vir Koiranen.
Kvyat het in 2011 aan dieToyota Racing Series vir die Victory Motor Racing-span deelgeneem, waar hy vyfde in die kampioenskap geëindig het met een oorwinning by Manfield en vyf ander podiumplekke.
Na twee wedrenne in die Eurocup Formule Renault 2.0 vir die span Koiranen Bros. Motorsportspan in 2010, het Kvyat vir hierdie span in die Eurocup en die Formule Renault 2.0 NEC gejaag, saam met sy Red Bull JuniorspanmaatCarlos Sainz jr. het Kvyat tweede in die kampioenskap na Sainz in die NEC geëindig met 7 oorwinnings. In die Eurocup het hy derde geëindig na Robin Frijns en Sainz met twee oorwinnings.
Aan die einde van 2012 is aangekondig dat Kvyat in die GP3-reeks vir die span vanMW Arden sou jaag. Hy het weer die spanmaat van Sainz en ook van Robert Vișoiu geword.[2] Na 'n redelike begin van die seisoen het hy sy eerste podiumplek by dieHungaroring en sy eerste oorwinning bySpa-Francorchamps behaal, waarby hy 'n tweede oorwinning by dieAutodromo Nazionale Monza en 'n derde by dieYas Marina-renbaan gevoeg het. Met hierdie laaste oorwinning het hy Facu Regalia verbygesteek en die kampioenskap verseker.
Kvyat het toe in 2013 na die GP3-reeks gevorder en die titel in sy debuutseisoen saam met Arden gewen. As lid van die Red Bull Junior-span sedert 2010, het Kvyat in 2014 by Toro Rosso geteken, waar hy sy Formule Een-debuut by dieAustraliese Grand Prix gemaak het en negende geëindig het om die destydse jongste puntemaker op 19-jarige ouderdom te word. Kvyat is in 2015 tot die seniorspan vanRed Bull bevorder, waar hy sy eerste podiumplek by die2015 Hongaarse Grand Prix behaal het, en sy spanmaatDaniel Ricciardo dwarsdeur die seisoen geklop het.
Ten spyte daarvan dat hy sy plek by Red Bull vir 2016 behou het en nog 'n podiumplek in China behaal het, is Kvyat vervang deurMax Verstappen na 'n omstrede botsing metSebastian Vettel tydens die2016 Russiese Grand Prix. Kvyat het vir sy 2017-veldtog by Toro Rosso gebly voordat hy aan die einde van die seisoen vrygestel is en 'n reserwebestuurder virFerrari geword het. Hy het in 2019 na Toro Rosso teruggekeer – later herdoop na AlphaTauri – om saam metAlexander Albon enPierre Gasly te jaag, en het sy derde loopbaanpodiumplek by die reëngeteisterde2019 Duitse Grand Prix behaal. Kvyat is aan die einde van die2020-seisoen deurYuki Tsunoda vervang en het as die suksesvolste Russiese renjaer in Formule Een-geskiedenis vertrek; hy het drie podiumplekke en een vinnigste rondte oor ses seisoene behaal.