2010년에 월드컵이 열렸습니다. 월드컵 축구나, WBC(야구 월드컵) 등이 시작되기 전 대진표를 짜기 위해 조 추첨 하는 모습을 TV로 보았는데요. 최악의 조 추첨 결과가 안 되길 기도하는 마음으로 가슴 졸이며 바라보았습니다. 여기에서 말하는 최악의 조 편성은 수학적으로 어떻게 분석할 수 있나요?

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조 편성의 확률

월드컵 조 추첨은 ‘제비뽑기의 원리’로 진행이 됩니다. 여기서 월드컵 조 추첨 방식을 알아볼까요?

남아공 월드컵의 경우 1번 시드부터 4번 시드까지 4개의 시드에 32개국이 먼저 배정되고, 다시 4개 시드의 32개국이 A조부터 H조까지 8개의 조에 분배됩니다. 이때 1번 시드를 탑(Top)시드라고 하며 FIFA랭킹과 활약 등을 고려하여 개최국을 포함한 상위 8개 국가를 배정하는데 이들을 A조부터 H조까지 모두 다른 조가 되도록 하여 아주 심한 ‘죽음의 조’가 나오지 않게 합니다.

2번 시드에는 아프리카 5개국과 남미 3개국을 배정하고, 3번 시드에는 톱시드에 포함되지 않은 유럽팀, 4번 시드에는 아시아 4개국과 북중미 3개국, 오세아니아 1개국을 배정하여 조 추첨을 하는데 이때 같은 시드의 나라들은 같은 조에는 들어가지 않습니다. 예를 들어, A조를 추첨한다면 1번 시드에서는 개최국인 남아공이 배정되고 2번 시드부터 4번 시드까지 차례로 추첨을 하여 A조를 편성합니다.

몇 가지 문제

이제 확률을 구하는 몇 가지 문제를 풀어 보겠습니다.

처음 우리가 구할 확률은 한국이 A조에 들어갈 확률입니다. A부터 F까지 8개의 조 중에서 한국이 A조에 들어갈 확률은 얼마일까요?

어떤 사건 A가 일어날 확률은

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로 구해지므로 4번 시드 8개 국가 중 한국이 A조에 편성될 확률은입니다.

만일, 아직 한국이 조 편성 되지 않은 채 A조부터 F조까지 조 편성이 끝나고 G조와 H조만 남았다고 할 때 한국이 G조가 될 확률은 얼마일까요?

즉, 4번 시드에서 남은 국가 수는 2이므로 한국이 G조가 될 확률은입니다.

이번에는 북한이 3번 시드에 배정되어 있고 한국이 4번 시드에 배정되어 있다고 가정했을 때 북한과 한국이 같은 조에 편성될 확률은 얼마일까요?

북한이 A조에 편성될 확률은이고 한국이 A조에 편성될 확률도이므로 북한과 한국이 같은 조에 편성될 확률은입니다. 이와 같이 두 사건이 동시에 발생하는 확률을 계산하는 방법을 확률의 곱의 법칙이라고 합니다.

이제 4번 시드에 한국과 북한이 같이 배정되어 있는데 한국이 A조가 되었을 때, 북한이 B조가 되는 경우의 확률을 구하여 봅시다.

앞에서 보았듯이 한국이 A조가 되는 것은입니다. 이제 B조를 추첨할 차례인데요. 4번 시드에서 남아 있는 국가는 한국을 제외한 7개 국가이므로 북한이 B조가 되는 확률은입니다. 이처럼 한 사건A가 일어났을 때 다른 사건B가 일어날 확률을 ‘사건A가 일어났을 때 사건B가 일어날 조건부확률’이라고 합니다.

이처럼 월드컵 조 추첨에는 재미있는 제비뽑기의 확률이 숨어 있습니다.

그리고 실제로는 남아공 월드컵에서 한국은 B조에 편성되어 사상 처음 스스로의 힘으로 16강에 올랐고 북한은 G조에 편성되어 16강에는 들지 못했습니다.

수학과 같은 주제의 항목을 볼 수 있습니다.