어느 날 철수와 영희는 홀짝 게임을 하기로 했습니다. 규칙은 간단합니다. 상대방의 손 안에 든 구슬의 수가 홀인지 짝인지를 맞추는 게임인데 홀인지 짝인지를 맞추면 내기에 건 만큼 받고, 틀리면 내기에 건 만큼 잃는 거죠. 그렇다면, 누가 더 유리할까요? 밑천이 많은 철수가 더 유리할까요? 영희가 유리할까요? 아니면, 특별히 유리한 사람은 없을까요?

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초기 자본의 차이는 승률에 어떤 영향을 미칠까?

영희는 구슬 10개, 철수는 영희보다 1000배 더 많은 10000개를 밑천(초기 자본)으로 가지고 있다고 생각해 봅시다.

영희가 10개, 철수가 10000개를 걸고 게임을 시작한다면 홀이 나올 확률이, 짝이 나올 확률이로 서로 같으므로 영희가 이길 확률과 철수가 이길 확률도로 서로 같습니다.

그런데, 조금만 생각해 보면 철수는 10000개를 모두 걸 필요가 없다는 것을 알게 됩니다. 철수가 이긴다면 어차피 영희가 가진 돈과 같은 10개만 걸어도 충분하니까요. 만일 첫 게임에서 철수가 진다면 철수의 밑천은 9990개가 되고, 영희는 20개가 되겠죠. 그럼, 두 번째 게임에서 철수는 20개를 겁니다. 철수가 이긴다면 영희의 밑천 20개를 모두 따게 되고 게임은 끝이 납니다. 두 번째 게임에서도 철수가 진다면 이제 철수의 밑천은 9970개가 되고 영희의 밑천은 40개가 됩니다.

이제 세 번째 게임에서 철수는 얼마를 걸까요? 맞습니다. 바로 영희의 밑천과 같은 40개를 겁니다. 물론 이번에도 영희가 이기고 철수가 진다면 철수는 다시 돈을 걸어야 하겠지만 만일 철수가 이긴다면 영희는 갖고 있던 돈을 모두 잃게 됩니다. 철수가 져서 다시 돈을 걸어야 한다면 영희가 가진 밑천만큼의 돈을 다시 겁니다. 이와 같은 방법으로 철수가 계속 돈을 건다면 영희는 철수가 가진 밑천이 모두 없어질 때까지 한 번도 지지 않고 이겨야만 최후의 승리를 얻게 됩니다.

철수는 밑천이 충분하기 때문에 여러 번 연속해서 지더라도 게임을 계속할 수 있지만 영희는 철수가 가진 밑천이 모두 떨어지기 전에는 단 한번만 져도 승리는 철수의 차지가 됩니다. 이와 같이 초기 자본이 10개에 불과한 영희가 승리할 확률은 초기 자본이 10000개인 철수가 승리할 확률과 같지 않습니다. 철수와 영희가 가진 초기 자본의 차이가 크면 클수록 영희에게는 더 불리한 것이지요.

겉으로 보기엔 확률이이고 절차가 공정해 보이는 간단한 게임이지만 처음 가지고 있는 초기 자본의 차이가 게임 결과에 큰 영향을 미치는 것을 알 수 있습니다. 초기 자본을 많이 가진 철수가 게임을 계속할 수 있는 기회가 많고, 따라서 이길 수 있는 기회도 많아지게 되기 때문이죠.

영희가 승리할 확률은?

그렇다면 영희가 철수를 이길 수는 없을까요? 만일 이길 수 있다면 영희가 승리할 확률은 얼마일까요?

철수의 밑천이 다 떨어질 때까지 영희가 계속해서 게임을 이긴다면 결국 영희가 승리하게 될 겁니다. 그때 철수가 거는 돈은 처음에는 10개, 두 번째는 20개, 세 번째는 40개, 네 번째는 80개, ···와 같이 계속해서 두 배씩 늘어나게 되는데 이를 다 더해서 10000개가 넘을 때 영희가 승리하게 됩니다. 10×(1＋2＋2²＋···＋2⁹)＝10230이므로 영희가 연속으로 10번을 이기면 영희가 딴 구슬이 10000개를 넘게 됩니다.

이를 확률로 구해 봅시다. 영희가 첫 게임에서 이길 확률은, 두 번째 게임까지 연속으로 이길 확률은이고, 연속해서 10번 이길 확률은이 됩니다. 따라서 영희가 연속으로 10번을 이기고 승리할 확률은입니다.

한편, 철수는 10번 중 단 한 번만 이기면 되고 이는 영희가 이길 확률과 더해져서 1이 됩니다. 즉, 철수가 이길 확률은 1－, 즉입니다. 엄청난 차이지요? 이처럼 밑천이 적은 사람이 밑천이 많은 사람을 이길 확률은 매우 작으며, 밑천의 차이가 크면 클수록 더 작아진다는 것을 알 수 있답니다.

수학과 같은 주제의 항목을 볼 수 있습니다.