우리 반 학생 중에 내 생일과 같은 친구들이 있나요? 생일이 같은 친구가 있다면 왠지 더 가깝게 지낼 수 있을 것 같은데 ······. 같은 반에서 꼭 내 생일과 같은 친구는 만나기 어려워도 생일이 서로 같은 친구들은 종종 있던데요? 왜 그런가요?

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신나는 체육 시간이었어요. 그런데 소민이네 담임 선생님이 임신을 하셔서 당분간 옆 반 친구들과 함께 체육 수업을 하기로 했습니다. 옆 반 친구들과 함께하는 첫 체육 시간에 선생님께서 다른 반 친구들에게 자기소개를 하는 시간을 갖자고 하셨어요. 자기소개를 할 때는 이름과, 생일, 그리고 별명과 좋아하는 것을 반드시 포함해서 하라고 말씀하셨어요. 두 시간에 걸쳐서 첫 시간엔 우리 반 친구 30명이 자기소개를 했고, 다음 시간에 옆 반 친구 31명이 자기소개를 했답니다. 그런 데 참 신기한 일이 생겼어요. 서로 생일이 같은 친구가 세 쌍이나 나왔지 뭐예요? 1년이 365일이고, 두 반 모두 합해서 61명이니까, 대략 계산해 봐도 생일이 같은 두 사람이 있을 확률이이 안 될 것 같은데, 세 쌍이라면, ··· 이거 엄청난 우연의 일치가 아닌가요?

생일이 같을 확률의 계산

이 문제는 생일역설^각주1) 이라는 이름으로 잘 알려진 문제입니다. 자세히 살펴보면 자신의 생일과 같은 ‘어떤 특정한 생일이 같은 경우’가 아니고, ‘생일이 같은 친구가 있기만 하면 된다.’는 말이기 때문에 ‘적어도 두 학생의 생일이 일치하는가?’ 하는 문제와 같습니다. 그래서 생각보다는 두 학생의 생일이 일치할 확률이 매우 높습니다.

이런 경우에 확률을 공부한 사람들은 여사건의 확률^각주2) 을 이용합니다. 즉, ‘61명의 모든 학생의 생일이 다를 확률’을 구하여 1에서 뺍니다.

1년이 365일이라면 먼저 두 학생이 생일이 다를 확률은 두 번째 소개한 학생의 생일이 첫 번째 소개한 학생의 생일과 다르면 되므로입니다. 세 번째 소개한 학생의 생일이 앞서 소개한 두 학생의 생일과 다를 확률은가 되지요.

따라서 세 학생의 생일이 모두 다를 확률은입니다. 이와 같은 방법으로 계산을 계속하면 61명의 학생의 생일이 모두 다를 확률은

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이므로 계산하면 약 0.0059가 됩니다. 다시 말해 60명 중 적어도 두 학생이 생일이 같을 확률은 1－0.0059＝0.9941, 즉 99%가 넘는답니다.

참고로 전체 사람 수에 따라 생일 같은 학생이 있을 확률을 계산해 보면, 10명 중에는 약 12%, 20명 중에는 약 41%, 30명 중에는 약 71%가 되고요. 100명일 경우에는 99.99996%가 되어 거의 100%가 됩니다. 100명의 학생이 모여 있다면, 그중 생일이 같은 학생이 반드시 있다는 얘기지요. 참 신기하지요?

따라서, 체육 시간에 같이 수업을 하는 친구들 중 생일이 같은 친구가 3쌍이 나온다는 것은 충분히 있을 수 있는 일이랍니다.

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