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‘거울 속 대칭’도 합동과 같나요?

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분야	기하
교과단원	초등 5학년 〈도형의 합동〉, 중등 1학년 〈작도와 합동〉

이런 경우를 합동이 아니라고 하면 문제가 생깁니다. 두 도형에서 동일한 위치의 각의 크기가 서로 같고 대응하는 변의 길이가 서로 같으면 합동이라고 정의하였으니 두 도형은 당연히 합동입니다. 즉, 두 도형의 각 점을 적당히 대응시키면 분명히 모든 대응각의 크기도 같고 모든 대응변의 길이도 같게 만들 수 있으니 말입니다. 그런데 평면에서 평행이동이나 대칭이동을 시켜도 포개어지지 않으니 이를 어찌해야 할까요? 사실, 공간에서는 하나의 도형을 움직여 회전시키면 다른 도형과 겹쳐집니다. 이런 것을 어떤 용어를 사용하여 표현하면 좋을까요? 이것을 평면도형이 아닌 입체도형으로서 거울에 비친 두 도형의 관계로 생각하면 어떨까요? 왼손과 오른손의 관계와 같이 말입니다.

왼손과 오른손

합동이라고는 하지만 겹쳐지지 않습니다.

왼손을 공간 안에서 움직여서 오른손을 만들 수 없는 것은 당연하지요. 왼손을 거울에 비추면 오른손을 만들 수 있지만, 그것은 실제 존재하는 것이 아니라, 있는 것처럼 보일 뿐입니다. 물리에서는 이것을 허상^각주1) 이라고 하지요. 이와 같은 것은 ‘거울상 비대칭’이라고 합니다.

우리가 정육면체를 거울에 비추면 역시 정육면체가 되어 원래의 도형과 겹쳐지는 ‘거울 대칭’과는 달리 다음 그림과 같이 두 도형이 도저히 같아지지 않는 두 도형을 ‘거울상 비대칭’이라고 합니다.

거울 대칭(정육면체)

거울상 비대칭(오른쪽 나선과 왼쪽 나선)

실상
한 물체의 각 점에서 나온 빛이 렌즈나 거울 따위에서 굴절 · 반사한 다음 다시 모여서 이루는 실제의 상. 물체가 볼록 렌즈나 오목 렌즈의 초점 밖에 놓일 때에만 생긴다.

다면체 중에서 정다면체^각주2) 는 모두 거울 대칭입니다. 또한 준정다면체(아르키메데스 입체)는 13개가 있는데 각각 육팔면체, 십이이십면체, 깎은 정사면체, 깎은 정육면체, 깎은 정팔면체, 깎은 정십이면체, 깎은 정이십면체, 부풀린 육팔면체, 깎은 육팔면체, 부풀린 십이이십면체, 깎은 십이이십면체, 다듬은 정육면체, 다듬은 정이십면체입니다. 그런데 다듬은 육팔면체는 다듬은 정육면체와 거울상 대칭이고, 다듬은 십이이십면체도 다듬은 정이십면체와 거울상 대칭이기 때문에 넓게 생각하면 이들도 준정다면체라고 할 수 있으므로 합하면 모두 15개가 됩니다.

아래 그림은 다듬은 육팔면체와 다듬은 십이이십면체인데 그중 아래의 두 가지는 거울상 비대칭입니다. 이런 다면체는 각각 합동이지만 서로 겹칠 수 없습니다.

다듬은 육팔면체

꼭짓점 48개, 모서리 72개, 면 26개(정사각형 12개＋정육각형 8개＋정팔각형 6개)

다듬은 십이이십면체

꼭짓점 120개, 모서리 180개, 면 62개(정사각형 30개＋정육각형 20개＋정십각형 12개)

이 세상의 물체들은 대개 거울상 비대칭입니다. 특히 생물은 대칭인 것 같으면서도 미묘하게 비대칭인 경우가 많습니다. 예를 들면 엄마가 아기를 안아 재울 때 아기 머리를 왼팔 쪽으로 가게 하는 경우가 압도적으로 많다고 합니다. 그 이유는 아기는 태어나기 전에 듣던 엄마의 심장 소리를 들으면 심리적으로 안정되어 잘 자는데, 머리가 왼쪽으로 가도록 안으면 엄마 심장 소리를 더 잘 들을 수 있기 때문이라고 하네요. 정말 신기하지 않나요?

잠자는 아이

생물에서도 거울 대칭과 다른 거울상 비대칭이 있나요?

귤이나 오렌지의 껍질에는 작은 주머니들이 있고 그 안에 액체가 들어 있다. 불 앞에서 껍질을 눌러 그 주머니를 터뜨리면 액체가 튀어 나오면서 타는 것을 볼 수 있는데 이 액체의 주성분은 리모넨(limonene)이라는 기름이다. 이 리모넨 역시 거울 비대칭인 분자인데, 거북이처럼 엎드려 머리만 쳐들고 있는 모양으로 생각할 수 있다. 거북이 머리를 쳐들지 않았으면 리모넨은 거울 대칭인 분자이다. 생물에서 주로 볼 수 있는 것은 D-리모넨이고, 드물게 L-리모넨도 볼 수 있다. 이 두 물질은 화학적인 성분은 똑같지만 우리의 코나 혀에서 다른 방식으로 반응하기 때문에 향이나 맛이 전혀 다르다. 보통 D-리모넨은 오렌지에, L-리모넨은 레몬에 들어 있어서 그 두 과일의 향이 다른 것으로 알려져 있다. 레몬 기름도 주성분은 D-리모넨이고 L-리모넨이 약간 들어 있는 정도이다. 송진과 비슷한 향에 쓴 맛이 나는 것은 L-리모넨 때문이다.

오렌지의 D-리모넨

레몬의 L-리모넨

각주

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이동흔집필자 소개

‘수학은 우리의 힘’이라는 믿음 아래 우리의 삶이 수학으로 윤택해지는 그날을 기다리며 교육 현장을 발로 뛰고 있다. 2010년 ‘사단법인 전국수학교사모임’ 회장을 맡았으며, 세계수학교육자대회 대..펼쳐보기

‘수학은 우리의 힘’이라는 믿음 아래 우리의 삶이 수학으로 윤택해지는 그날을 기다리며 교육 현장을 발로 뛰고 있다. 2010년 ‘사단법인 전국수학교사모임’ 회장을 맡았으며, 세계수학교육자대회 대한민국 조직위원, 국가수리과학연구소 수학대중화 사업단 조직위원, 수학문화축전 기획 및 준비위원 등의 활동에도 활발히 참여하고 있다. 현재 고등학교 교사로 재직하고 있다.‘수학은 우리의 힘’이라는 믿음 아래 우리의 삶이 수학으로 윤택해지는 그날을 기다리며 교육 현장을 발로 뛰고 있다. 2010년 ‘사단법인 전국수학교사모임’ 회장을 맡았으며, 세계수학교육자대회 대..

출처

101가지 중고등수학 질문사전|저자이동흔|cp명북멘토도서 소개

중, 고등 수학 교과서를 꿰뚤는 모든 질문에 답하다! 전국수학교사모임 선생님과 여러 현직 선생님들이 던진 수학에 대한 101가지 기발한 질문과 그에 대한 답변들을 소개..펼쳐보기

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