Sua principal contribuição foi a modernaanálise funcional. Ele desenvolveu uma teoria sistemática de análise funcional, onde antes havia apenas resultados individuais, que mais tarde se encaixam em uma nova teoria.[2]
Nascido no então território doImpério Austro-Húngaro, Banach freqüentou oensino primário emCracóvia e saiu de lá em 1902, para fazer o ensino secundário no Henryk Sienkiewicz Gymnasium No 4. Por sorte, na sua classe estudavaWitold Wilkosz, que acabaria por se tornar um professor de matemática. A escola não tinha um professor de matemática bom, e, em 1906, Wilkosz foi para um ginásio (colégio) melhor. Mesmo assim, Banach continuou no mesmo ginásio, apesar de manter sempre contato com Wilkosz.
Depois de terminar a escola, foi paraLviv (hoje naUcrânia) e ingressou na faculdade deengenharia na Universidade Técnica da cidade. Como estava sozinho, pois seu pai disse que depois da escola ele estaria por si só, Banach teve que se manter virando tutor, o que tomou muito de seu tempo. Ele se graduou em 1914, mas por causa daPrimeira Guerra Mundial, Banach acabou saindo de Lviv.
Banach não serviu para oexército russo, pois não era capacitado fisicamente — tinha uma visão ruim no olho esquerdo. O trabalho dele então foi construir estradas, mas também Banach passou um tempo em Cracóvia dando aulas em escolas. Também frequentou palestras matemáticas naUniversidade Jaguelónica em Cracóvia e, apesar de não se ter certeza, acredita-se que ele frequentou palestras deZaremba.
Monumento a Stefan Banach em Cracóvia
Então em 1916 uma grande oportunidade teria grande impacto na vida de Banach.Hugo Steinhaus, que estava servindo o exército, iria pegar uma correspondência em Lviv. No entanto ele morava em Cracóvia e teria que andar pelas ruas desta cidade para ir até à Universidade. Neste caminho Steinhaus teria ouvido as palavras "medida deLebesgue". Era Banach com seu amigo,Otto Nikodym. Então Steinhaus passou a ter contato com eles regularmente a acabou por fundar com os dois amigos uma "sociedade matemática".
Steinhaus contou-lhes sobre um problema no qual estava trabalhando sem sucesso. Depois de um tempo Banach teve uma idéia para ocontraexemplo requerido e contou a Steinhaus, e eles realizaram um trabalho em conjunto e apresentaram a Zaremba para publicação. A guerra acabou atrasando a publicação. Banach apareceu pela primeira vez no boletim da Academia de Cracóvia em 1918. Junto com Steinhaus, Banach produziu muitos trabalhos matemáticos. Não é possível saber se ele faria o mesmo sem ter conhecido Steinhaus. Além disso, foi através de Steinhaus que Banach conheceu sua mulher, Lucja Braus, com a qual casou em 1920.
A Sociedade Matemática de Cracóvia foi estabelecida em 1919 por iniciativa de Steinhaus. Zaremba presidiu a cerimônia inaugural e foi eleito o primeiro presidente da sociedade. Banach fez palestras nessa sociedade e continuou a produzir trabalhos matemáticos. Em 1920 a Sociedade Matemática de Cracóvia se tornouSociedade Matemática da Polônia.
Em 1920 foi oferecido a Banach um cargo de assistente deAntoni Łomnicki na Universidade Técnica de Lviv. Lá ele fez palestras de matemática e tentou submeter a sua tese dedoutorado sob a supervisão de Łomnicki. Não era o modo normal, mas ele não tinha qualificações matemáticas universitárias.
Em 1922 a Universidade Jan Kazimierz em Lviv deu a Banach a suahabilitação (grau acadêmico semelhante ao delivre docente noBrasil) pela tese sobre teoria da medida.
Em 1924 Banach foi promovido a professor titular e passou o ano acadêmico 1924-1925 emParis. Noentre-guerras Banach continuou a produzir importantes trabalhos, escrevendo livros didáticos de álgebra, geometria e aritmética para o ensino secundário. Ele também contribuiu para a divulgação da matemática, lançando em 1929 o jornalStudia Mathematica junto com Steinhaus, tornando-se os dois os primeiros editores, tendo como política o foco em análise funcional e tópicos relacionados.
Outra publicação importante foi a série deMathematical Monographs (monografias matemáticas), sob a redação de Banach e Steinhaus em Lviv eKnaster,Kuratowski,Mazurkiewicz, eSierpinski emVarsóvia. O primeiro livro da sérieThéorie des Opérations Linéaires(Teoria das operações lineares) foi escrito por Banach e apareceu em 1932. Em 1936 Banach realizou uma conferência noCongresso Internacional de Matemáticos emOslo.
Outra influência grande de Banach é devida a Kuratowski ter sido indicado para a Universidade Técnica de Lviv em 1927 e lá trabalhou até 1934. Banach colaborou com Kuratowski e eles realizaram trabalhos em conjunto no período.
Banach tinha um método diferente de realizar seus trabalhos, ele gostava de fazê-los junto com seus amigos emcafés.
Em 1939, Banach conseguiu a presidência da Sociedade Matemática da Polônia. Quando aSegunda Guerra Mundial estourou, as tropas soviéticas invadiram Lviv. Mas como Banach tinha boas relações com os matemáticos da União Soviética, indo os visitar às vezes, ele conseguiu se manter no cargo e foi bem tratado nessa nova administração, além de se tornardeão na Faculdade de ciências da universidade, já com o nomeUniversidade Ivan Franko. Mas a guerra não mudou muito a vida de Banach, que continuava com suas pesquisas, escrevendo seus livros didáticos, dando palestras e indo a cafés.Sobolev eAleksandrov visitaram Banach em 1940 em Lviv, enquanto este freqüentava conferências na União Soviética. Quando aAlemanha Nazi invadiu a União Soviética, Banach, que estava em Kiev, saiu imediatamente de lá e retornou para sua família em Lviv.
A ocupação nazista de Lviv em junho de 1941 fez com que a vida de Banach ficasse difícil lá, durante esta época muitos acadêmicos poloneses foram mortos, até seu supervisorAntoni Łomnicki foi morto em um dia de massacre -3 de julho de 1941. Banach chegou a ser preso sob suspeita de traficar moeda da Alemanha mas foi solto um tempo depois. A vida de Banach tornou-se cuidar depiolhos com doenças infecciosas noInstituto Alemão até o fim da ocupação nazista de Lviv em 1944.
Quando os soviéticos retomaram o local, Banach aumentou sua lista de contatos. ConheceuSobolev, mas já muito doente, apesar de nos relatos de Sobolev dizer que, apesar dessa grave doença, Banach ainda continuava bem vivaz.
Banach pretendia ir a Cracóvia depois da guerra para se tornar o presidente da área de matemática naUniversidade Jagieloniana mas morreu em Lviv em 1945 decâncer de pulmão.
Entre os vários trabalhos de Banach destacam-se a sua contribuição para a teoria das séries ortogonais e inovações nateoria de medida e integração, mas a sua contribuição mais importante foi naanálise funcional. Dos trabalhos publicados por ele, oThéorie des opérations linéaires (1932; “Teoria dasoperações lineares”) é o mais importante. Também considerada de grande importância na época, aThéorie de Sept Reverse (1934, "Teoria do sete reverso") acabou sendo considerada incompleta na década seguinte. "Ele, junto com assistentes, resumiu conceitos e teoremas da análise funcional e o tornaram um sistema compreensível. Na tentativa de generalizarequações integrais Banach também introduziu o conceito de espaços vetoriais normados, também chamadosEspaço de Banach, além de provar vários teoremas dessa área. Suas aplicações ajudaram em muitos estudos na análise funcional por um longo tempo.
Entre os teoremas que têm o seu nome, encontram-se:
