Prawdopodobieństwo – w znaczeniu potocznym szansa na wystąpienie jakiegoś zdarzenia[1], natomiast wmatematycznej teorii prawdopodobieństwa rodzina miar służących do opisu częstości lub pewności tego zdarzenia.
W rozumieniu potocznym wyraz „prawdopodobieństwo” odnosi się do oczekiwania względem rezultatu zdarzenia, którego wynik nie jest znany (niezależnie od tego, czy jest ono w jakimś sensiezdeterminowane, miało miejsce w przeszłości, czy dopiero się wydarzy); w ogólności należy je rozumieć jako pewną miarę przewidywalności bądźpewności względem zjawiska (przy danej o nimwiedzy), co umożliwia ocenę potencjalnie związanego z nimryzyka.
Istnieje wiele matematycznych interpretacji pojęcia prawdopodobieństwa[2], między innymi tzw.[3]:
obiektywne (częstościowe), jako obiektywną częstość zdarzenia w dużej liczbie prób losowych,
subiektywne (bayesowskie, od nazwiskaT. Bayesa), jako reprezentację subiektywnej pewności, uzyskanej na podstawie dotychczasowej wiedzy i zaobserwowanych danych.
Teoria prawdopodobieństwa, nazywana również rachunkiem prawdopodobieństwa, jest ugruntowanym działemmatematyki, który wyrósł z rozważań dotyczących gier losowych w XVII wieku i został sformalizowany orazzaksjomatyzowany jako osobna dziedzina matematyki na początku XX wieku. Z punktu widzeniafilozofii matematyki w swojej aksjomatycznej postacitwierdzenia matematyczne dotyczące teorii prawdopodobieństwa niosą ze sobą tę samą pewnośćepistemologiczną, co wszystkie inne twierdzenia matematyczne. Innąaksjomatyzację pojęcia prawdopodobieństwa w duchu bayesowskiego obiektywizmu podałRichard Threlkeld Cox, która przedstawiana jest często w postacitwierdzenia Coxa.
Christiaan Huygens pierwszy naukowo opisał prawdopodobieństwo
Początków rachunku prawdopodobieństwa należy upatrywać whazardzie: obserwacja różnego rodzajugier losowych doprowadziła do sformułowania pierwszych stwierdzeń i wniosków natury formalnej dotyczących możliwości i szans zajścia zdarzeń. Pierwsze ścisłe uwagi dotyczące prawdopodobieństwa wymieniali ze sobą w swojej korespondencji (1654)Pierre de Fermat iBlaise Pascal, stymulowani przez pytaniaKawalera de Méré. Z koleiChristiaan Huygens (1657) jako pierwszy opisał zagadnienie z naukowego punktu widzenia.Jakob Bernoulli w swoim dzieleArs Conjectandi (pośmiertnie, 1713) iAbraham de Moivre wDoctrine of Chances (1718) traktują przedmiot jako dział matematyki.
To podejście doprowadziło do sformułowania przezPierre’a Simona de Laplace’aklasycznej definicji prawdopodobieństwa (1812). Mimo tego, iż tłumaczyła ona wiele interesujących wtedy zagorzałych graczy zjawisk, a ponadto dawała poprawne odpowiedzi, to zawiera ona zasadniczybłąd logiczny. Odwołuje się ona do możliwości wyodrębnienia tzw. zdarzeń elementarnych, które mają być „jednakowo możliwe”, czyli „jednakowo prawdopodobne” – definiens odwołuje się do definiendum, jest to więc przykładbłędnego koła w definiowaniu.
Definicja Laplace’a nie może też być stosowana w przypadku (potencjalnie)nieskończenie długich ciągów zdarzeń. Z problemem tym próbowano sobie poradzić na kilka sposobów. Jednym z nich była tzw.definicja częstotliwościowaRicharda von Misesa (1931), który zaproponował zdefiniowanie prawdopodobieństwa jakogranicę ciąguczęstości serii zdarzeń, czyli niejakoekstrapolowanie uzyskiwanych rezultatów doświadczalnych na przypadek nieskończony. Definicja ta również jest uważana za błędną, gdyż nie mówi ona nic o warunkach istnienia wspomnianej granicy; formalizacją tej zgodnej zintuicją definicji są różnorodne wersjeprawa wielkich liczb.
Definicja geometryczna okazała się niejako najlepszym z powyższych pomysłów, gdyż korzystając z nowo powstałejteorii miary iteorii całkowania opracowanej przez Henriego Léona Lebesgue’a uogólniających pojęcia długości, pola powierzchni i objętości,Andriej Nikołajewicz Kołmogorow (1933) podał pierwsząaksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa, która została szeroko przyjęta jako właściwe określenie tego pojęcia. Z tego punktu widzenia paradoks Bertranda jest źle zaadresowanym pytaniem: definicja Kołmogorowa nie rozstrzyga, który z modeli jest lepszy, lecz umożliwia wyznaczenie prawdopodobieństwa zgodnie z wybranym; pewne rozwiązanie paradoksu przedstawiłEdwin Thompson Jaynes.
Alternatywnym do wspomnianej wyżej aksjomatyzacji sposobem wprowadzania formalnej teorii prawdopodobieństwa może byćalgebraiczna aksjomatyzacja zwanaalgebrą zmiennych losowych opisana przez Melvina Dale’a Springera w 1977 roku, choć nie jest to jedyna możliwość.
Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia nazywa sięstosunek liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu do liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych należących do zbioru Definicja ta zakłada więc niewprost, iż wszystkie zdarzenia elementarne wzajemnie się wykluczają, a ich wystąpienia równie możliwe. Innymi słowy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia to liczba
Niżej przedstawiona definicja w przypadku jednowymiarowym (dla podzbiorów naprostej), jednak uogólnia się ona wprost na przypadek dwu- oraz trójwymiarowy (płaszczyzna ipole powierzchni). Nomenklatura nie odbiega od przyjętej wyżej w definicji klasycznej i częstotliwościowej.
Niech oznacza podzbiór prostej, przy czym
może być to zbiórnieskończony (tzn. może posiadać nieskończenie wiele elementów, np. odcinek na prostej),
musi byćograniczony, tzn. musi mieć skończoną długość
W ten sposób zdarzenia będą mieć skończonąmiarę[b].
Jeżeli przyjąć, że oznacza sumę długości wszystkichrozłącznych odcinków składających się na dany zbiór, toprawdopodobieństwo można określić, zupełnie jak w definicji klasycznej, wzorem
Definicja częstościowa (in. częstotliwościowa), sformułowana przezRicharda von Misesa, oparta jest na definicji Laplace’a, z tym iż może być dowolnym (niekoniecznie skończonym) zbiorem. Liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu w doświadczeniach (próbach) oznacza się iloraz nazywa sięczęstością zdarzenia
Prawdopodobieństwem zdarzenia nazywa się wtedy liczbę będącągranicąciągu częstości przy liczbie prób rosnącej do nieskończoności, tzn.
Jedynym niedostatkiem definicji Buffona było nieprecyzyjne określenie zdarzeń, którym można przypisać prawdopodobieństwo: nie było jasne, jaką postać mogą przyjmować zbiory odpowiadające zdarzeniom, a przez to, czy możliwe jest wskazanie ich długości[c]. Kluczem było wyraźne podanie założeń:
zdarzenia elementarne muszą być elementami tzw.sigma-ciała, utworzonego na danym zbiorze zdarzeń
Niech dany będzie pewien zbiór zdarzeń elementarnych.Prawdopodobieństwem nazywa się dowolną funkcję przypisującą zdarzeniom wartości zprzedziału jednostkowego, dla której oraz dla dowolnego przeliczalnego ciąguzdarzeń parami wykluczających się[e]. Zdarzenia nie są dowolnymi podzbiorami zbioru czyli elementami rodziny wszystkich podzbiorów zbioru lecz elementami rodziny która tworzy (w domyśle: jak największą)niepustąrodzinę zdarzeń w która jest zamknięta na braniezdarzeń przeciwnych iprzeliczalnychalternatyw zdarzeń (intuicyjnie: dla każdego zdarzenia istnieje zdarzenie będące jegonegacją, a dla dowolnej, co najwyżej przeliczalnej, liczby zdarzeń istnieje zdarzenie będące ichalternatywą)[f][g]. Zrezygnowanie z możliwości określenia prawdopodobieństwa dla wszystkich zdarzeń wynika z problemów formalnych pojawiających się podczas rozpatrywania dość „patologicznych” ich przypadków[h].
Algebra zmiennych losowych – wychodząc nie od zdarzeń, lecz odzmiennych losowych – umożliwia rachunki symboliczne ułatwiające znajdowanierozkładów prawdopodobieństwa,wartości oczekiwanych,wariancji,kowariancji itp. dla sum, iloczynów, czy ogólniejszych funkcji zmiennych losowych. Rozkłady prawdopodobieństwa wyznaczone są poprzez przypisanie wartości oczekiwanej każdej zmiennej losowej; przestrzeń mierzalna i miara prawdopodobieństwa z kolei powstają jako wynik zastosowania ugruntowanychtwierdzeń reprezentacyjnych analizy[i]. Ponadto podejście to nie czyni formalizacji nieskończeniewymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa trudniejszymi niż skończeniewymiarowych.
O zmiennych losowych[j] zakłada się, iż mają następujące własności:
Powyższe warunki czynią ze zmiennych losowych przemienną*-algebrę zespoloną. Samosprzężoną zmienną losową tj. spełniającą nazywa sięrzeczywistą. Operatorwartości oczekiwanej na wspomnianej algebrze definiuje się jako znormalizowaną, dodatniąformę liniową, tzn.
Prawdopodobieństwo jest w tym przypadku interpretowane jako miara pewności, jaką można przypisać różnym hipotezom – modelowanej matematycznie jakorozkład prawdopodobieństwa.
W definicji klasycznej zdarzeniu polegającemu na wylosowaniu nieparzystej liczby oczek na symetrycznejkości sześciennej sprzyjają trzy spośród wszystkich sześciu równie prawdopodobnych możliwości (zdarzeń elementarnych), zatem podobnie
Przyjmując, iż rzutmonetą może zakończyć się wyłącznie na dwa sposoby[l]: wyrzuceniem orła albo reszki[m], to zakładając, że te dwa zdarzenia elementarne są równie prawdopodobne można skorzystać z klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Wtedy jest dwuelementowy, zatem Ponadto tak zdarzenie jak i zdarzenie są zbiorami jednoelementowymi, tzn. dla lub co oznacza, że prawdopodobieństwo wyrzucenia tak orła, jak i reszki wynosi czyli iż zdarzenia te istotnie są równie prawdopodobne. W przypadku rzutu dwoma monetami przestrzeń zdarzeń elementarnych jest czteroelementowa, podczas gdy każde ze zdarzeń można uzyskać tylko na jeden sposób, skąd Z kolei prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wyrzuceniu co najmniej jednego orła wynosi gdyż zdarzeniu sprzyjają zdarzenia elementarne
Wykonując doświadczenie polegające na stukrotnym rzucie monetą, można uzyskać orła w przypadkach, zaś w tysiąckrotnym – przykładowo rzutów zakończyło się wyrzuceniem orła. Oznacza to, że częstość wypadania orła była zmienna i wynosiła odpowiednio oraz Kontynuowanie w nieskończoność doświadczenia przekonałoby niezbicie eksperymentatora, iż moneta jest symetryczna, w przypadku gdy równo połowa rzutów zakończyłaby się wyrzuceniem orła, bądź wprost przeciwnie, gdyby ostateczny wynik nie podzieliłby się równo między orła i reszkę. Intuicję tę próbuje oddać definicja von Misesa: stosunek liczby wyrzuconych orłów do liczby wszystkich prób przy kontynuowaniu doświadczenia w nieskończoność – jeżeli to moneta będzie symetryczna. Tego rodzaju rozumowanie rodzi problemy natury poznawczej: prawdopodobieństwo dane jesta posteriori, a niea priori, co uniemożliwia jakiekolwiek przewidywanie szans zajścia zdarzenia.
Wyrzucenie symetryczną monetą razy z rzędu reszki nie oznacza bynajmniej, że bardziej prawdopodobne będzie wyrzucenie w rzucie orła (tzw. „prawo serii”[7]), czy też reszki (przełamanie serii[n]). Z drugiej strony czy wyrzuciwszy razy reszkę w rzutach można mieć uzasadnione zastrzeżenia co do symetryczności monety, tzn. czy istotnie w każdym rzucie prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi?
Prawdopodobieństwo losowego[o] wybrania punktu z przedziału zawartego w przedziale oznaczanego jako zdarzenie jest równe stosunkowi możliwości wybrania punktu z pierwszego przedziału do wybrania punktu z drugiego, przy czym szanse te są intuicyjnie proporcjonalne do ich długości. Skoro długość przedziału wynosi to geometryczne prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi
Doświadczenie losowego rzucania monetą w nieskończoność można sformalizować za Kołmogorowem przy pomocyprzestrzeni probabilistycznej: wynikiem doświadczenia jest losowyciąg elementów oznaczających dwa możliwe wyniki pojedynczej próby, tzn.[p]. Zdarzeniami są dowolne ciągi skończone tych elementów[q]: istotnie, zbiór wszystkich tego rodzaju ciągów spełnia definicję rodziny ze sformułowania Kołmogorowa[r]. Nieskończone ciągi złożone z elementów nie są więc uważane za zdarzenia.
Jeżeli prawdopodobieństwo wylosowania orła i reszki w jednym rzucie wynosi odpowiednio oraz (gdzie wyżej przyjmowano)[s] to na przestrzeni zdarzeń[r] można określićmiarę prawdopodobieństwa zgodnie z aksjomatami Kołmogorowa w następujący sposób: prawdopodobieństwo zaobserwowania danego ciągu[t] jest dane wzorem gdzie są odpowiednio liczbami wystąpień oraz w ciągu[u]. Przy takim sformułowaniu prawdopodobieństwo wylosowania nieskończenie długiego ciągu zdarzeń jest równe zeru, gdyżgranica ciągu dąży do zera wraz z dążącym do nieskończoności (ze względu na ograniczenie); innymi słowy jest ono zaniedbywalne[v]. Okazuje się więc, że nieskończone ciągi rzutów monetą nie są konieczne do rozpatrywania tego doświadczenia i to właśnie jest powodem wykluczenia ich z rodziny wszystkich zdarzeń[w]. Niemniej nadal można powiedzieć, że niektóre rodzaje nieskończonych ciągów rzutów są dużo bardziej prawdopodobne od innych, o czym mówiasymptotyczna zasada ekwipartycji[8][9].
Powyższy model można również oprzeć na definicji geometrycznej, rozważającprzedział jednostkowy: wynik pierwszego rzutu odpowiada lewemu (orzeł) lub prawemu (reszka) podprzedziałowi[x], a kolejne rzuty – kolejnym podprzedziałom poprzednio wybranych podprzedziałów wybieranym jak przy pierwszym rzucie; nieskończone ciągi odpowiadają punktom, które mają zerową długość, czyli są zaniedbywalne zupełnie jak miało to miejsce w poprzednim przypadku.
↑Być może lepsze są nazwy, w których brak wyrazu „zdarzenie”, np. „możliwość”, „przypadek”, czy „wynik”, gdyż nie prowadzą one do błędnego przeświadczenia, iż zdarzenia elementarne są zdarzeniami (zdarzenia elementarne, jako elementy, składają się na zdarzenia, które są zbiorami; zob. zbiór i podzbiór). Chcąc uzyskać zdarzenie, które zawierałoby wyłącznie wybrane zdarzenie elementarne należy wziąćzbiór jednoelementowy
↑W istocie wymaga się tu bardziej możliwości określenia długości, która ma być skończona. W domyśle przyjmuje się, że jest ona określana za pomocą tzw.miary Jordana, o ile nie zostanie zaznaczone wyraźnie inaczej; zob.kolejną sekcję.
↑Przykładowo problematyczny jest zbiórliczb wymiernych należących doodcinka jednostkowego. Zgodnie z definicjąmiary Jordana na prostej mierzenie tego zbioru odbywa się poprzez wypełnienie go „od dołu” i pokrycie „od góry” skończoną liczbą odcinków o ustalonej długości. Z jednej strony „pokrycie od góry” tego nieskończonego zbioru zawsze prowadzi do pokrycia nimi całego odcinka jednostkowego, gdyż punkty wymierne są na nimgęsto rozmieszczone, a więc zbiór ten ma jednostkową miarę zewnętrzną; z drugiej strony punkty niewymierne również są na nim gęsto rozmieszczone, co oznacza, żedopełnienie mierzonego zbioru również pokrywa w całości odcinek jednostkowy – „wypełnienie od dołu” będące różnicą miary całego odcinka i miary dopełnienia ma więc miarę zerową. Miara zbioru liczb wymiernych na odcinku jednostkowy w sensie Jordana jest więc nieokreślona, choć intuicyjnie zbiór ten powinien mieć miarę zerową, gdyż jest tylko przeliczalny w przeciwieństwie do jego dopełnienia.
↑Podana niżej definicja przenosi się niemal bez zmian naalgebry Boole’a.
↑W szczególności rodzina może pokrywać się z co ma np. miejsce w przypadkuprzeliczalnym iskończonym; uogólnia ona więc wszystkie poprzednie definicje.
↑Rodzinę o podanych własnościach nazywa sięσ-ciałem podzbiorów zbioru
↑Wprzestrzeni euklidesowej istnieją zbiory, np.zbiór Vitalego, dla których określenie ichmiary Lebesgue’a jest niemożliwe; rozpatrywanie σ-ciała wyklucza tego rodzaju zbiory z dyskursu, dając przy tym wystarczająco bogaty zestaw zbiorów mierzalnych użyteczny do wszelkich zastosowań; ponieważ konstrukcja zbiorów niemierzalnych wymaga użycia szczególnych środków (aksjomat wyboru), bywa, iż w popularnym ujęciu pomija się te dywagacje,de facto rozmywając precyzję definicji Kołmogorowa do nieformalnej definicji Buffona.
↑Aby uzyskać wystarczający stopień ogólności można ograniczyć się do przestrzeni określonych na zbiorze zmiennych losowych o wszystkich momentach skończonych. Klasa ta jest zamknięta ze względu na mnożenie (zob. dalej) i wszystkie jej elementy mają skończonyślad (lub wartość oczekiwaną). Można by ograniczyć się dalej, do przestrzeni (istotnie) ograniczonych zmiennych losowych (zob.przestrzenie Lebesgue’a), ale traci się w ten sposób traci ważne przykłady zmiennych losowych, w szczególnościzmienne gaussowskie. Wybór oznacza jednak rezygnację z jakiejś części struktury analitycznej, w szczególności w przeciwieństwie do wskazana przestrzeń nie jestBanacha, jednakże w przypadku podejścia algebraicznego wydaje się to być rozsądną ceną.
↑W językualgebr von Neumanna warunek ten (wraz z będącym odpowiednikiem unormowania prawdopodobieństwa Kołmogorowa) oznacza, że jest stanem.
↑W tym momencie nie jest jasne co właściwie oznacza termin „losowo”: w ujęciu Kołmogorowa oznaczałoby to w tym przykładzie „zgodnie zrozkładem jednostajnym”.
↑Na zbiorze istniejenaturalnatopologia nazywanatopologią iloczynową; jej elementami są skończone ciągi elementów – pozostałe (nieskończone) ciągi można uważać w niej za nieistotne. Zbiory ciągów skończonych są nazywanezbiorami cylindrycznymi w tej topologii.
↑Formalnie jest ciągiem gdzie wspomniana notacja jest używana w celu zachowania spójności z poprzednimi przykładami. Można ją sformalizować przyjmując, że zdarzenia opisywane są przez słowa nad alfabetem (zob.język formalny).
↑Załuski, Wojciech Zbigniew: Skłonnościowa interpretacja prawdopodobieństwa. Ośrodek Badań Interdyscyplinarnych przy Wydziale Filozoficznym Papieskiej Akademii Teologicznej, 2008. (pol.). Brak numerów stron w książce
