Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Przejdź do zawartości
Wikipediawolna encyklopedia
Szukaj

Kombinacja liniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Wikipedia:Weryfikowalność
Ten artykuł należy dopracować:
od 2012-03 →zweryfikować treść idodać przypisy,
→napisać/poprawić definicję,
→poprawić styl – powinien być encyklopedyczny.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się wdyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon{{Dopracować}} z tego artykułu.

Kombinacja liniowa – jedno z podstawowych pojęćalgebry liniowej i powiązanych z nią działówmatematyki.

Definicja

[edytuj |edytuj kod]

NiechV{\displaystyle V} będzieprzestrzenią liniową nadciałemK.{\displaystyle K.} Niechx1,…,xn{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} będzie skończonym układem wektorów przestrzeniV{\displaystyle V} i niechα1,…,αn{\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}} będzie skończonym układem skalarów ciałaK.{\displaystyle K.}

Kombinacją liniową układu wektorówx1,…,xn{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} o współczynnikachα1,…,αn{\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}} nazywa się wektor:

x=∑i=1nαixi=α1x1+…+αnxn{\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}=\alpha _{1}x_{1}+\ldots +\alpha _{n}x_{n}}[1][2][3][4].

O wektorzex{\displaystyle x} mówi się również, żewyraża się liniowo przez układx1,…,xn{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}[1].

Uwaga

Określenieskończony układ wektorów można rozumieć jako skończony zbiór wektorów, jednak ze względu na iteracyjny charakter pojęcia, wygodnie jest również traktować go jakoukład indeksowany wektorów(xi)i=1n,{\displaystyle (x_{i})_{i=1}^{n},} czyli po prostu jakociąg.

Pojęcie liniowej kombinacji można uogólnić na dowolne, niekoniecznie skończone zbiory (układy) wektorów.

Niech(xi)i∈I{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} będzie dowolnym układem wektorów przestrzeniV{\displaystyle V} i niech(αi)i∈I{\displaystyle (\alpha _{i})_{i\in I}} będzie układem skalarów ciałaK,{\displaystyle K,} przy czymαi≠0{\displaystyle \alpha _{i}\neq 0} dla skończonej ilości wskaźnikówi∈I.{\displaystyle i\in I.}

Kombinacją liniową układu wektorów(xi)i∈I{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} o współczynnikach(αi)i∈I{\displaystyle (\alpha _{i})_{i\in I}} nazywa się wektor:

x=∑i∈Iαixi{\displaystyle x=\sum _{i\in I}\alpha _{i}x_{i}}[5]

Przykłady

[edytuj |edytuj kod]

Wektory w przestrzeni euklidesowej

[edytuj |edytuj kod]

NiechK{\displaystyle K} będzie ciałemR{\displaystyle \mathbb {R} }liczb rzeczywistych, a przestrzeń liniowaV{\displaystyle V} będzieprzestrzenią euklidesowąR3.{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.} Rozpatrzmy wektory

e1:=(1,0,0),e2:=(0,1,0){\displaystyle \mathbf {e_{1}} :=(1,0,0),\;\mathbf {e_{2}} :=(0,1,0)} oraze3:=(0,0,1).{\displaystyle \mathbf {e_{3}} :=(0,0,1).}

Wówczasdowolny wektor zR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} jest kombinacją liniową wektorówe1,e2,e3.{\displaystyle \mathbf {e_{1},e_{2},e_{3}} .}

Aby się o tym przekonać, należy wziąć dowolny wektor(a1,a2,a3){\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})} zR3;{\displaystyle \mathbb {R} ^{3};} wtedy:

(a1,a2,a3)=(a1,0,0)+(0,a2,0)+(0,0,a3)=a1(1,0,0)+a2(0,1,0)+a3(0,0,1)=a1e1+a2e2+a3e3.{\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1},a_{2},a_{3})&=(a_{1},0,0)+(0,a_{2},0)+(0,0,a_{3})\\&=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)\\&=a_{1}\mathbf {e_{1}} +a_{2}\mathbf {e_{2}} +a_{3}\mathbf {e_{3}} .\end{aligned}}}

Funkcje

[edytuj |edytuj kod]
 Zobacz też:funkcja i przestrzeń funkcyjna.

NiechV{\displaystyle V} będzie przestrzeniąrzeczywistychfunkcji ciągłych o wartościachzespolonychC(R,C).{\displaystyle C(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ).}

Rozważmy wektory (funkcje)f,g{\displaystyle f,g} określone wzorami

f(t):=eit,g(t):=e−it,{\displaystyle f(t):=e^{it},\quad g(t):=e^{-it},}

gdziee{\displaystyle e} jestpodstawą logarytmu naturalnego, ai{\displaystyle i} tojednostka urojona.

Niektóre z kombinacji liniowychf{\displaystyle f} orazg{\displaystyle g} mają postać:

cosh⁡t=12eit+12e−it,{\displaystyle \cosh t={\tfrac {1}{2}}e^{it}+{\tfrac {1}{2}}e^{-it},}
2sin⁡t=−ieit+ie−it.{\displaystyle 2\sin t=-ie^{it}+ie^{-it}.}

Z drugiej stronyfunkcja stała równa3{\displaystyle 3} nie jest kombinacją liniowąf{\displaystyle f} ig.{\displaystyle g.}

Rzeczywiście, gdyby była, to dla pewnych skalarów zespolonycha,b{\displaystyle a,b} byłoby:

aeit−be−it=3{\displaystyle ae^{it}-be^{-it}=3}

dla wszystkich liczb rzeczywistycht.{\displaystyle t.} Ale podstawieniat=0{\displaystyle t=0} it=π{\displaystyle t=\pi } dają równaniaa+b=3{\displaystyle a+b=3} oraza+b=−3,{\displaystyle a+b=-3,} co prowadzi do sprzeczności.

Wielomiany

[edytuj |edytuj kod]
 Zobacz też:wielomian i pierścień wielomianów.

NiechK{\displaystyle K} będzie dowolnym ciałem, aV{\displaystyle V} będzie zbiorem wszystkich wielomianów o współczynnikach z tego ciała. Rozważmy wektory (wielomiany):

p1:=1,p2:=x+1,p3:=x2+x+1.{\displaystyle p_{1}:=1,\quad p_{2}:=x+1,\quad p_{3}:=x^{2}+x+1.}

Przypuśćmy, że wielomianx2−1{\displaystyle x^{2}-1} jest kombinacją liniowąp1,p2,p3{\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}} tzn.:

x2−1=a1(1)+a2(x+1)+a3(x2+x+1){\displaystyle x^{2}-1=a_{1}(1)+a_{2}(x+1)+a_{3}(x^{2}+x+1)}

W celu znalezienia wartości współczynnikówa1,a2,a3{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}} wymnożyć wielomiany przez te współczynniki i zgrupować wg potęgx:{\displaystyle x{:}}

1x2+0x+(−1)=a3x2+(a2+a3)x+(a1+a2+a3).{\displaystyle 1x^{2}+0x+(-1)=a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3}).}

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie w nich współczynniki są sobie równe, a więc

a3=1,a2+a3=0,a1+a2+a3=−1.{\displaystyle a_{3}=1,\quad a_{2}+a_{3}=0,\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}=-1.}

Jedynym rozwiązaniem tegoukładu równań liniowych jest trójka

a1=−1,a2=−1,a3=1.{\displaystyle a_{1}=-1,\quad a_{2}=-1,\quad a_{3}=1.}

Stąd jest to jedyny możliwy sposób uzyskania kombinacji liniowej za pomocą tych współczynników.

Z kolei przypuszczenie, że wielomianx3−1{\displaystyle x^{3}-1} jest kombinacją liniowąp1,p2,p3{\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}} prowadzi do równości:

1x3+0x2+0x+(−1)=0x3+a3x2+(a2+a3)x+(a1+a2+a3).{\displaystyle 1x^{3}+0x^{2}+0x+(-1)=0x^{3}+a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3}).}

W tym przypadku przyrównanie odpowiadających sobie współczynników daje fałszywą równość

0=1.{\displaystyle 0=1.}

Stąd nie można przedstawićx3−1{\displaystyle x^{3}-1} jako kombinacji liniowej wektorówp1,p2,p3.{\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}.}

Liniowa niezależność

[edytuj |edytuj kod]
 Osobny artykuł:liniowa niezależność.
 Osobny artykuł:liniowo niezależny układ wektorów.
 Osobny artykuł:liniowo zależny układ wektorów.

JeżeliS{\displaystyle S} jestukładem wektorówliniowo niezależnych irozpina całą przestrzeńV,{\displaystyle V,} to nazywa się gobazą tej przestrzeni.

Kombinacje afiniczne, stożkowe i wypukłe

[edytuj |edytuj kod]
 Osobne artykuły:kombinacja afiniczna, kombinacja stożkowa i kombinacja wypukła.

Można zdefiniować inne powiązane z kombinacją liniową pojęcia poprzez narzucenie ograniczeń na współczynniki kombinacji liniowej:kombinację afiniczną,kombinację stożkową,kombinację wypukłą i związane z nimi pojęcia zbiorów zamkniętych ze względu na te operacje.

Rodzaj kombinacjiOgraniczenia na współczynnikiNazwa zbioruModel przestrzeni
Kombinacja liniowabrakpodprzestrzeń liniowaRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Kombinacja afiniczna∑ai=1{\displaystyle \sum a_{i}=1}podprzestrzeń afinicznahiperpłaszczyzna afiniczna
Kombinacja stożkowaai⩾0{\displaystyle a_{i}\geqslant 0}stożek wypukłyćwiartka/oktant
Kombinacja wypukłaai⩾0{\displaystyle a_{i}\geqslant 0} oraz∑ai=1{\displaystyle \sum a_{i}=1}zbiór wypukłysympleks

Ponieważ powyższe są działaniami bardziejograniczającymi, to dawać będą one więcej zbiorów zamkniętych ze względu na nie, stąd podzbiory afiniczne, stożki wypukłe i zbiory wypukłe sąuogólnieniami podprzestrzeni liniowych: podprzestrzeń liniowa jest zarazem podprzestrzenią afiniczną, stożkiem afinicznym i zbiorem wypukłym, ale zbiór wypukły nie musi być podprzestrzenią liniową, afiniczną lub stożkiem wypukłym.

Pojęcia te pojawiają się często, jeżeli możliwe jest wybranie określonej, lecz nie dowolnej, kombinacji liniowej obiektów: przykładoworozkłady prawdopodobieństwa są zamknięte ze względu na kombinacje wypukłe (tworzą zbiór wypukły), ale nie są ze względu na kombinacje stożkowe, czy afiniczne (czy liniowe), amiary dodatnie są zamknięte ze względu na kombinacje stożkowe, ale nie kombinacje afiniczne, czy liniowe – stądmiary ze znakiem definiuje się jako liniowe domknięcie.

Kombinacje liniowe i afiniczne mogą być zdefiniowane nad dowolnym ciałem (czy pierścieniem), ale kombinacje stożkowe i wypukłe wymagają pojęcia „dodatniości” i dlatego mogą być zdefiniowane tylko nadciałem uporządkowanym (lubpierścieniem uporządkowanym), zwykle nad liczbami rzeczywistymi.

Jeżeli dopuści się wyłączniemnożenie przez skalar, lecz nie dodawanie wektorów, otrzymuje się (niekoniecznie wypukły)stożek; często zawęża się definicję poprzez ograniczenie domnożenia przez skalary dodatnie.

Wszystkie te pojęcia są zwykle definiowane jako podzbiory danej przestrzeni liniowej (z wyjątkiemprzestrzeni afinicznych, które uważa się za „przestrzenie liniowe bez początku”), a nie poprzez ich niezależną aksjomatyzację.

Przypisy

[edytuj |edytuj kod]
  1. ↑abBolesław Gleichgewicht,Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004,ISBN 978-83-89020-35-2; s. 87.
  2. ↑Axler 2014 ↓, s. 28.
  3. ↑Cohn 1994 ↓, s. 9.
  4. ↑Jacek Komorowski,Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978; s. 21, Definicja I.2.1.
  5. ↑Białynicki-Birula 1976 ↓, s. 50.

Bibliografia

[edytuj |edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj |edytuj kod]
Algebra liniowa
Wektory i działania
na nich
Układy wektorów
i ich macierze
Wyznaczniki i miara
układu wektorów
Przestrzenie liniowe
Iloczyny skalarne
Pojęcia zaawansowane
Pozostałe pojęcia
Powiązane dyscypliny
uczeni według
daty narodzin
XVI wiek
XVII wiek
XVIII wiek
XIX wiek
XX wiek

Encyklopedie internetowe (wyrażenie matematyczne):
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Kombinacja_liniowa&oldid=74718820”
Kategoria:
Ukryte kategorie:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp