Movatterモバイル変換

[0]ホーム

Hopp til innhold

Kvantemekanikk

Rediger lenker

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

(Omdirigert fra «Kvantefysikk»)

Den tyske fysikerMax Planck gjorde begrepet "kvant" kjent i 1901 ved sin forklaring av egenskapene tilvarmestråling.

Kvantemekanikk er enteori ifysikken som beskriver og forklarer egenskapene tilatomer,elementærpartikler og kreftene mellom dem. Den gir dermed en forståelse av hvordanmaterien er oppbygd og danner dermed grunnlaget for allkjemi. Samtidig kan teorien gi en forståelse av forholdene fra det innerste avatomkjerner til de første brøkdeler av et sekund etterBig Bang. På grunn av sine mange forskjellige anvendelser blir den også mer generelt omtalt somkvantefysikk.

I motsetning tilklassisk fysikk hvor materien er bygget opp av diskrete punktpartikler som beveger seg deterministisk ifølgeNewtons lover ogelektromagnetisk stråling erbølger som befinner seg overalt og beskrives vedMaxwells ligninger, vil partikler i kvantemekanikken også ha bølgeegenskaper og stråling ha partikkelegenskaper. Det ble først påvist avMax Planck gjennom hans studier avsort stråling i 1900 og benyttet avAlbert Einstein i 1905 til å forklare denfotoelektriske effekten. Den viser at lys består av partikkellignendekvant ellerfotoner.

Bølgeegenskapene til partikler ble foreslått i 1923 avLouis de Broglie og formalisert medbølgeligningen tilErwin Schrödinger i 1926. En diskret, algebraisk og ekvivalent formulering av denne nye kvantemekanikken var funnet avWerner Heisenberg året før og kalles vanligvis formatrisemekanikk. Fellesbetegnelsenkvantemekanikk var innført avMax Born allerede i 1924.

En enhetlig beskrivelse av både partikler og stråling ble etablert i årene som fulgte og omtales somkvantefeltteori. For hver partikkeltype eller form av stråling finnes det tilsvarende, kontinuerligefelt som eksisterer overalt og er beskrevet ved klassiskebølgeligninger. Når dekvantiseres, vil kvantene være diskrete partikler som for eksempel fotoner,elektroner ellerkvarker. Da disse feltteoriene kan formuleres i overenstemmelse med Einsteinsspesielle relativitetsteori, vil de automatisk også beskrive de tilsvarendeantipartikler. Det ble først vist avPaul Dirac i 1928 og markerer avslutningen på kvantemekanikkens etableringsfase.

Storparten av fundamental forskning i fysikk og kjemi i dag kan sies å være nye anvendelser av kvantemekanikk. Den har hatt stor betydning for den teknologiske utvikling da all moderneelektronikk og utvikling av nye, syntetiske material er basert på dens prinsipper. Det samme kan man si omsuperledning og dagens utvikling av nyekvantedatamaskiner.

Plancks kvant

[rediger |rediger kilde]

Ved inngangen til 1900-tallet varMaxwells teori forelektromagnetisk stråling generelt akseptert. Selv om den ikke kunne gi noen forklaring på diskretelinjespekter i lys fra forskjellige substanser eller alle egenskapene vedvarmestråling, mente de fleste at dette ikke var et problem ved den elektromagnetiske teorien, men hadde sin grunn i en manglende forståelse av materiens oppbygning. Man visste atatomene inneholdtelektroner etter at de var oppdaget avJ.J. Thomson i 1897 og den forklaringHendrik Lorentz på samme tid hadde gitt av den normaleZeeman-effekten.^[1]

Begynnelsen til det som senere fikk navnetkvantemekanikk, ble skapt avMax Planck på slutten av året 1900. For å forklare nye målinger av energien i varmestråling ved enda lengrebølgelengder enn tidligere, måtte han anta at atomene i veggene som omsluttet strålingen, absorberer og emmiterer denne i diskrete porsjoner som han ga navnetkvant. For stråling medfrekvensν, er energien til et slikt kvant gitt ved formelen

E=h\nu

hvor konstantenh som han måtte innføre, siden er blitt omtalt somPlancks konstant. Den opptrer i alle forbindelser der kvantemekanikken er gjeldende. Selv om vekselvirkningen med materien skjer på denne diskrete måten, mente Planck at selve strålingen fortsatt måtte betraktes som kontinuerlige bølger styrt av Maxwells ligninger.^[2]

Einsteins foton

[rediger |rediger kilde]

Vedfotoelektriske effekt blir elektroner slått ut av lys som treffer en metallflate.

Vekselvirkningen mellom lys og materie kommer direkte til uttrykk i denfotoelektriske effekten hvor elektron blir slått ut av metalliske overflater ved absorpsjon avultraviolett lys. Dette fenomenet gaEinstein i 1905 en radikal forklaring ved å videreføre Plancks antagelse om diskrete energikvant i en slik prosess. Han viste vedtermodynamiske argument atPlancks strålingslov kan forstås på en måte der energien i strålingen er fordelt i rommet på en diskontinuerlig måte. Mer presist, med hans egne ord består den av

.. einer endlichen Zahl in Raumpunkten lokalisierten Energiequanten, welche sich bewegen, ohne sich zu teilen, und nur als Ganze absorbiert und erzeugt werden können.
A. Einstein, 1905.^[3]

Dette er første beskrivelse av hva som fra 1926 skulle ble kalt etfoton. I motstrid med Plancks overbevisning mente Einstein at Maxwells teori for elektromagnetisk stråling ikke lenger kan benyttes, i alle fall ikke i denne sammenheng.^[1]

Videre betraktninger av emisjon og absorpsjon av lys basert påstatistisk mekanikk førte Einstein i 1909 til å konkludere med at et foton medbølgelengdeλ =c /ν harimpuls

p={h \over \lambda }

De er derfor masseløse partikler som følger fra hansspesiell relativitetsteori daE = pc.

Samme år viste han ved lignende betraktninger atfluktuasjoner i energien til varmestrålingen består av to ledd som viser at den kan beskrives som en gass av partikler som samtidig har både egenskaper som klassiske partikler og bølger. Dette var første uttrykk forbølge-partikkel dualisme som i kvantemekanikken også gjelder for massive partikler.

I en serie med forelesninger i nyere tid harRichard Feynman sagt at lys ganske enkelt består av fotoner. Den konklusjonen er han kommet frem til ved å betrakte lys som sendes mot en flate som består av veldig småfotoceller. Når lysintensiteten blir tilstrekkelig lav, vil disse tennes én og én og ikke flere samtidig. Det viser at energien i strålingen befinner seg i små, lokaliserte pakker. Hvert slikt masseløst foton er en partikkel bortsett fra at den beveger seg ifølge kvantemekanikkens lover istedenfor klassisk mekanikk. Det forklarer at lys som inneholder mange fotoner, kan fremvise de klassiske bølgefenomenene sominterferens ogdiffraksjon.^[4]

Atommodeller

[rediger |rediger kilde]

To år etter atErnest Rutherford oppdaget at hvertatom har enkjerne som inneholder storparten av dets masse og er mye mindre enn dets størrelse, kunneNiels Bohr i 1913 forklare de diskrete frekvensene i lyset frahydrogenatomet ved bruk av sinatommodell. Denne la også grunnlaget for en forståelse av mer kompliserte atom.^[1]

Modellen var basert på to radikale antagelser:

1) Elektronet kan bevege seg i stasjonære sirkelbaner med konstant energi uten å emittere lys.

2)DreieimpulsenL = mrv til elektronet i en bane med radiusr og hastighetv kan bare ta diskrete verdier

L=n{h \over 2\pi }

hvorkvantetalletn kun kan ta diskrete verdiern = 1, 2, 3 og så videre.

I tillegg gjorde han bruk av Plancks oppdagelse om emisjon og absorpsjon av lys i diskrete kvant. For atomet betyr det at ved elektronets overgang fra en bane med energiE til en annen bane med energiE' , sendes det ut et foton med frekvensν som er bestemt ved betingelsen

E-E'=h\nu

Allerede i 1914 visteFranck-Hertz eksperimentet at atomene inneholder slike diskrete energitilstander.

Den første antagelsen ble beholdt i den senere videreføring av kvantemekanikken hvor den tilsvarer eksistensen av stasjonærekvantetilstander. Derimot viste den andre antagelsen seg snart å være utilstrekkelig for å forstå mer detaljerte egenskaper ved atomene.^[5]

Bohr-Sommerfelds kvantisering

[rediger |rediger kilde]

Elektronet i hydrogenatomet blir holdt på plass ved den elektriskeCoulomb-kraften fra atomkjernen på samme måte somplanetenes gang er styrt avtyngdekraften fraSolen. Begge disse krefter varierer på samme måte med avstanden slik at også et elektron burde kunne bevege seg i enellipsebane på tilsvarende måte som en planet ifølgeKeplers lover.

I Sommerfelds utvidelse avBohrs modell forhydrogenatomet er noen av banene ogsåellipser.

Arnold Sommerfeld foreslo i 1916 å inkludere slike ellipsebaner blandt de stasjonære banene for elektronet i H-atomet. Han ble nødt til å innføre en mer generell kvantisering av disse banene basert påkanoniske impulser ianalytisk mekanikk. For hver koordinatq_i som beskriver en partikkels posisjon, finnes det en tilsvarende konjugert impulsp_i. Sommerfeld antok at disse kunne bare ta diskrete verdier gitt ved integralbetingelsen

\oint \!dq_{i}\,p_{i}=n_{i}h

hvorn_i er heltalligekvantetall. For en sirkulær bane i planet gitt ved en asimutal vinkelφ som varierer fra 0 til 2π , er den konjugerte impulsen dreieimpulsenL. I dette spesielle tilfellet gir betingelsen dermed2π L =nh som er i overensstemmelse med hva Bohr hadde antatt. Disse mer generelle kvantebetingelsene blir derfor omtalt somBohr-Sommerfeld-kvantisering.^[6]

Når ett elektron beveger seg i tre dimensjoner omkring atomkjernen, vil det i denne atommodellen til Sommerfeld nå beskrives ved tre kvantetall. De benevnes vanligvisn,k ogm hvor energien til de stasjonære banene er gitt ved «hovedkvantetallet»n på samme måte som i Bohrs modell. Det «asimutale kvantetallet» bestemmer dreieimpulsen til disse banene og tar verdienek = 1, 2, 3, ..,n avhengig av hvor ellipseformet banen er. Til slutt avgjør det «magnetiske kvantetallet»m ellipsebanens orientering i rommet.

Hastigheten til elektronene i et atom har en størrelsesorden som er prosenter avlyshastigheten. Derfor vil effekter fraspesiell relativitetsteori tas med i en nøyaktig beskrivelse av deresbevegelse. Det kan gjøres ved denne mer generelle kvantiseringen, og Sommerfeld lyktes å forklare på denne måten en del av den observertefinstrukturen i spektra til flere atomer.

Detaljert forståelse av egenskapene til atomer med mange elektroner ble langsomt etablert spesielt ved studier av denkarakteristiske røntgenstrålingen fra tyngre atomer og fraZeeman-effekten til atomer i ytremagnetfelt. Det gjorde det klart at denne halvklassiske kvantefysikken måtte erstattes av en ny kvantemekanikk.^[7]

Heisenbergs matrisemekanikk

[rediger |rediger kilde]

Heisenberg sammen medNiels Bohr i 1936 på hans institutt i København.

Etter sitt samarbeid medHendrik Kramers i 1924-25 vedBohrs institutt i København for å forståopptisk dispersjon, varHeisenberg kommet frem at det ville være nytteløst å avdekke egenskapene til atomer ved detaljerte beskrivelser av deres klassiske baner. Man måtte i stedet konsentrere seg om deresspektrallinjer med målbare frekvenser og intensiteter. Frekvensen tilfotonet som sendes ut ved en overgang mellom to tilstanderm ogn måtte være gitt ved Bohrs formel

\hbar \omega _{mn}=E_{m}-E_{n}

Likedan måtte intensiteten være gitt ved nye, dynamiske størrelserx_mn som erstatter koordinatene til elektronene som foretok en slik overgang. De er i alminnelighetkomplekse tall som må oppfylle $x_{mn}^{*}=x_{nm}$ . På samme måte må den klassiske impulsenp til en partikkel erstattes med tilsvarende variablep_mn. Istedenfor kontinuerlige variablex ogp vil derfor den nye kvantemekanikken inneholde en uendelig mange, diskrete variable.^[8]

Max Born påpekte at disse nye variable kunne kombineres på samme måte som gjelder vedmatrisemultiplikasjon. Det er derfor naturlig å betraktex_mn ogp_mn som komponenter av matriser ${\hat {x}}$ og ${\hat {p}}$ . Generelt vil produktet ${\hat {x}}{\hat {p}}$ ikke være likt med ${\hat {p}}{\hat {x}}$ da det ikke erkommutativt. Derimot må disse to variable oppfylle den fysiske betingelsen

[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar

når man definerer «kommutatoren» mellom to variable ${\hat {A}}$ og ${\hat {B}}\;$ som $[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$ . Alle observerbare variable ellerobservable vil beskrives ved slike matriser som må være «hermitiske», det vil si at matriseelementene oppfyller $A_{mn}^{*}=A_{nm}$ og skrives som ${\hat {A}}^{\dagger }={\hat {A}}.$ Den hermitisk konjugerte av et produkt bytter om på rekkefølgen av faktorene som sees fra kommutatoren mellom ${\hat {x}}$ og ${\hat {p}}.$

Heisenbergs kvantemekanikk omtales ofte sommatrisemekanikk. Han benyttet den selv til å beregne de kvantiserte energiene til enharmonisk oscillator og utarbeidet approksimative resultat for en oscillator med et potensial som ikke er helt harmonisk. Sammen med Born og hans assistentPascual Jordan ble denne nye formalismen videre utviklet.^[7]

Kvantedynamikk

[rediger |rediger kilde]

En partikkel i det tredimensjonale rommet har en klassisk posisjonsvektorx = (x₁,x₂,x₃) som kvantemekanisk vil beskrives ved tre matriser ${\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3})$ som kommuterer med hverandre. Tilsvarende vil impulsen beskrives ved tre kommuterende matriser ${\hat {\mathbf {p} }}=({\hat {p}}_{1},{\hat {p}}_{2},{\hat {p}}_{3}).$ Derimot kommuterer ikke koordinatvariable med impulsvaiable, men er gitt ved kommutatoren

[{\hat {x}}_{a},{\hat {p}}_{b}]=i\hbar \,\delta _{ab}

hvorKroneckers deltasymbol inngår på høyre side. Det er denne fundamentale antagelsen som definerer den nye kvantemekanikken.

Omtrent samtidig med at Born, Heisenberg og Jordan utarbeidet dens konsekvenser, gaPaul Dirac den et fundament basert på klassiskHamilton-mekanikk. I hans formulering ble ikke de dynamiske variable betraktet som matriser, men abstrakte, ikke-kommuterende objekt som han kalte «q-tall» elleroperatorer i motsetning til de klassiske, reelle «c-tall». De fundamentale kommutatorene er da gitt mellom koordinatene ${\hat {x}}_{a}$ og dereskanonisk konjugerte impulser ${\hat {p}}_{a}.$ En kvantemekanisk kommutator mellom to dynamisk variable ${\hat {A}}=A({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {p} }})$ og ${\hat {B}}=B({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {p} }})$ skal ha samme form som den klassiskePoisson-klammen ved at

[{\hat {A}},{\hat {B}}]\rightarrow i\hbar \,[\!A(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ),B(\mathbf {x} ,\mathbf {p} )]_{PB}

hvor høyresiden kan regnes ut på vanlig vis ved derivasjon. Denne sammenhengen mellom kvantemekanikk og klassisk mekanikk er et matematisk uttrykk forBohrs korrespondanseprinsipp som Heisenberg benyttet på en ganske annen måte i sitt arbeid.^[8]

Bevegelsen til en partikkel med massem som beveger seg i et potensialV(x) kan nå finnes ved å ta utgangspunkt i den klassiskeHamilton-funksjonen. Kvantemekanisk gir den opphav tilHamilton-operatoren

{\hat {H}}={{\hat {\mathbf {p} }}^{2} \over 2m}+V({\hat {\mathbf {x} }})

som bestemmer hvordan partikkelen beveger seg med tiden. Denne dynamiske utviklingen er nå gitt ved operatorligningene

i\hbar {d{\hat {\mathbf {x} }} \over dt}=[{\hat {\mathbf {x} }},{\hat {H}}],\;\;i\hbar {d{\hat {\mathbf {p} }} \over dt}=[{\hat {\mathbf {p} }},{\hat {H}}]

De har samme form som de klassiske Hamilton-ligningene uttrykt ved Poisson-klammer. En observabel som kommuterer med Hamilton-operatoren, vil forbli konstant under denne dynamiske utviklingen.

Derivasjon av produkt med tidsavhengige observable følger i det enkleste tilfellet fra regelen

{d \over dt}({\hat {A}}{\hat {B}})={d{\hat {A}} \over dt}{\hat {B}}+{\hat {A}}{d{\hat {B}} \over dt}

Den inverse av operatören ${\hat {A}}$ skrives som $1/{\hat {A}}={\hat {A}}^{-1}$ og er definert ved at ${\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}=1.$ Ved å derivere begge sidene av denne sammenhengen, finner man at

{d \over dt}{\hat {A}}^{-1}=-{\hat {A}}^{-1}{d{\hat {A}} \over dt}{\hat {A}}^{-1}

På tilsvarende vis blir $({\hat {A}}{\hat {B}})^{-1}={\hat {B}}^{-1}{\hat {A}}^{-1}.$ Denne reversering av rekkefølgen skjer også ved hermitsik konjugering av slike produkt.

Når potensialet som partikkelen beveger seg i, kun avhenger av avstandenr til origo, sies det å væresentralsymmetrisk. Klassisk er denne avstanden gitt vedr² =x_ax_a når man summerer over de to like indeksene. Ved å benytte identiteten $[{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]={\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}]+[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}},$ finner man nå kommutatoren

[{\hat {\mathbf {p} }},{\hat {r}}^{2}]={\hat {x}}_{a}[{\hat {\mathbf {p} }},{\hat {x}}_{a}]+[{\hat {\mathbf {p} }},{\hat {x}}_{a}]{\hat {x}}_{a}=-2i\hbar {\hat {\mathbf {x} }}

Dette kan videreutvikles til å gi $[{\hat {\mathbf {p} }},{\hat {r}}^{n}]=-ni\hbar {\hat {r}}^{n-2}{\hat {\mathbf {x} }}\,$ som man kan ta som gyldig for alle verdier avn, positive og negative. Generelt har man at

[{\hat {\mathbf {p} }},V({\hat {r}})]=-i\hbar V'({\hat {r}}){{\hat {\mathbf {x} }} \over {\hat {r}}}

hvor impulsoperatoren virker som derivasjonsoperatoren ${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \partial /\partial {\hat {\mathbf {x} }}$ i en kommutator. Denne formelle ekvivalensen kan forenkle mange praktiske beregninger med disse kvantemekaniske variable.^[9]

Kvantisering av dreieimpuls

[rediger |rediger kilde]

Når partikkelen har en impulsp, har den samtidig endreieimpuls $\mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p}$ om origo. Kvantemekanisk gir det opphav til matrisene $\,{\hat {\mathbf {L} }}={\hat {\mathbf {x} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}.$ Fra definisjonen avvektorproduktet kan man skrive de tre komponentene som ${\hat {L}}_{a}=\varepsilon _{abc}{\hat {x}}_{b}{\hat {p}}_{c}$ ved bruk avLevi-Civita-symbolet og summerer over de to like indeksene på høyre side.

Ved direkte utregning finner man kommutatoren $[{\hat {L}}_{a},{\hat {x}}_{b}]=i\hbar \,\varepsilon _{abc}{\hat {x}}_{c}$ og den tilsvarende $[{\hat {L}}_{a},{\hat {p}}_{b}]=i\hbar \,\varepsilon _{abc}{\hat {p}}_{c}$ som er typisk for kommutatoren med alle vektoroperatorer. Kombineres disse to uttrykkene, får man $[{\hat {L}}_{a},{\hat {L}}_{b}]=i\hbar \,\varepsilon _{abc}{\hat {L}}_{c}$ som alternativt kan skrives som

{\hat {\mathbf {L} }}\times {\hat {\mathbf {L} }}=i\hbar \,{\hat {\mathbf {L} }}.

Denne matematiske sammenhengen gir grunnlaget for allkvantisering av spinn hvor man medspinn mener ikke bare orbital dreieimpuls som er benyttet her, men alle sammenhenger hvor man har tre variable som oppfyller ${\hat {\mathbf {S} }}\times {\hat {\mathbf {S} }}=i\hbar \,{\hat {\mathbf {S} }}.$ Da slike spinnmatriser ikke kommuterer med hverandre, kan de ikke diagonaliseres samtidig. Men da kommutatoren mellom én av dem og det totale spinnet ${\hat {\mathbf {S} }}^{2}={\hat {S}}_{1}^{2}+{\hat {S}}_{2}^{2}+{\hat {S}}_{3}^{2}$ er null, kan egenverdiene til disse to bestemmes. Man finner da

{\hat {\mathbf {S} }}^{2}=s(s+1)\hbar ^{2}

hvorkvantetallets kan ta verdiene 0, 1/2, 1, 3/2, 2 og så videre. Kvantemekanisk er derfor spinn alltid kvantisert og kan generelt ta halvtallige verdier. For vanlig, orbital dreieimpuls opptrer bare heltallige verdier.^[2]

For en partikkel i et sentralpotensialV(r) er det orbitale spinnet en bevart størrelse. Det følger fra kommutatoren

[{\hat {L}}_{a},{\hat {\mathbf {p} }}^{2}]=[{\hat {L}}_{a},{\hat {p}}_{b}{\hat {p}}_{b}]=i\hbar \,\varepsilon _{abc}({\hat {p}}_{b}{\hat {p}}_{c}+{\hat {p}}_{c}{\hat {p}}_{b})=0

da Levi-Civita-symbolet er antisymmetrisk i alle sine indekser. I tillegg er

[{\hat {L}}_{a},V({\hat {r}})]=\varepsilon _{abc}[{\hat {x}}_{b}\,{\hat {p}}_{c},V({\hat {r}})]=\varepsilon _{abc}{\hat {x}}_{b}[{\hat {p}}_{c},V({\hat {r}})]=-i\hbar \,\varepsilon _{abc}{{\hat {x}}_{b}{\hat {x}}_{c} \over {\hat {r}}}V'({\hat {r}})=0

av samme grunn. Dermed er kommutatoren med Hamilton-operatoren $[{\hat {\mathbf {L} }},{\hat {H}}]=0$ og den kvantiserte dreieimpulsen forblir konstant.

Vanligvektoranalyse kan opplagt ikke uten videre benyttes for slike ikke-kommuterende variable. For eksempel finner man fra den fundamentale kommutatoren at

{\hat {\mathbf {x} }}\cdot ({\hat {\mathbf {p} }}\times {\hat {\mathbf {L} }})={\hat {\mathbf {L} }}^{2}\!,\;{\text{mens}}\;\;({\hat {\mathbf {p} }}\times {\hat {\mathbf {L} }})\cdot {\hat {\mathbf {x} }}={\hat {\mathbf {L} }}^{2}+2i\hbar \,{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {x} }}

For en partikkel i et generelt potensial finnes det derfor ingen enkel måte å beregne de kvantemekaniske egenskapene i denne formuleringen av teorien.^[10]

Hydrogenatomet

[rediger |rediger kilde]

Den nye kvantemekanikken ville ikke ble akseptert før den kunne forklarelinjespektret tilhydrogen minst like godt som iBohrs atommodell. Allerede høsten 1925 lyktesWolfgang Pauli med det ved å gjøre bruk av den spesielleRunge-Lenz-vektoren. Den opptrer itopartikkelsystem som blir holdt sammen av etCoulomb-potensial på formenV(r ) = -k/r hvork er en konstant avhengig av de elektriske ladningene til partiklene. Hamilton-operatoren forhydrogenatomet er derfor

{\hat {H}}={{\hat {\mathbf {p} }}^{2} \over 2m}-{k \over {\hat {r}}}

På samme måte som den bevarte dreieimpulsen $\mathbf {L}$ blir en vektoroperator $\,{\hat {\mathbf {L} }},$ blir Runge-Lenz-vektoren $\mathbf {A}$ en tilsvarende vektoroperator ${\hat {\mathbf {A} }}.$ Den kan kvantiseres på lignende måte som dreieimpulsen ved å gjøre bruk av de nye kommutatorene $[{\hat {L}}_{a},{\hat {A}}_{b}]=i\hbar \,\varepsilon _{abc}{\hat {A}}_{c}$ og $[{\hat {A}}_{a},{\hat {A}}_{b}]=-2m{\hat {H}}i\hbar \,\varepsilon _{abc}{\hat {L}}_{c}.$ Energien til atomet kan dermed finnes fra sammenhengen

{\hat {\mathbf {A} }}^{2}=m^{2}k^{2}+2m{\hat {H}}({\hat {\mathbf {L} }}^{2}+\hbar ^{2})

som er den samme som i klassisk mekanikk når man ser bort fra det siste leddet med Plancks konstant. Dette gir de kvantiserte energinivåene

E=-{m \over 2\hbar ^{2}}{k^{2} \over (2j+1)^{2}}

hvor spinnkvantetalletj = 0, 1/2, 1, 3/2 og så videre. Medk =e²/4π ε₀ er dette i full overensstemmelse medBohrs resultat der hovedkvantetalletn = 2j + 1 = 1, 2, 3 og så videre.^[11]

Omtrent samtidig med at Pauli gjennomførte denne beregningen, klarte ogsåDirac å utlede samme resultat for hydrogenatomet ved bruk av sin operatorformulering. Han gjorde ingen eksplisitt bruk av Runge-Lenz-vektoren, men forenklet i stedet problemet ved å beskrive den klassiske bevegelsen til elektronet i et plan. Kvantiseringen involverer dermed færre operatorer og kan igjen gjøres rent algebraisk.^[12]

Schrödingers bølgemekanikk

[rediger |rediger kilde]

Erwin Schrödinger var professor vedUniversitetet i Zürich da han høsten 1925 ga et kollokvium omde Broglies forslag om å beskrive partikler sommateriebølger. Dette var basert på den duale beskrivelsen av lys sombølger og samtidig også somfotoner. Hvis det samme gjelder for en vanlig partikkel med energiE og impulsp, kan den derfor på denne måten tilordnes enfrekvensν =E/h og enbølgelengdeλ =p/h derh erPlancks konstant. Etter kollokviet fikk Schrödinger den kommentaren at hvis dette var riktig, så måtte det også finnes enbølgeligning som beskriver partikkelen. Noen få uker senere hadde han utarbeidet en slik ligning. De første anvendelser av denne nyeSchrödinger-ligningen og dens begrunnelse ble. publisert i flere artikler på begynnelsen av 1926. Løsning av ligningen tilsvarte en beregning av partikkelens eller systemetskvantetilstander som i Heisenbergs matrisemekanikk kun var antatt å finnes. Diskrete kvantefenomen kunne nå forklares ved en kontinuerlig «bølgemekanikk».^[1]

Enbølge med en bestemt frekvensν vil oppfylleHelmholtz-ligningen

(\nabla ^{2}+k^{2})\psi (\mathbf {r} )=0

hvorψ eramplituden ogk = 2π /λ erbølgetallet. Hvis denne skal beskrive en partikkel med massem som beveger seg i et potensialV =V(r), er bølgelengden ifølge de Broglie gitt ved impulsenp. Denne finnes fra partikkelens totale energiE =p²/2m +V. På denne måten fant Schrødinger sin opprinnelige ligning

\nabla ^{2}\psi +{8\pi ^{2}m \over h^{2}}(E-V)\psi =0

Da den har lignende form som mange andrepartielle differensialligninger som var kjente på den tiden, fantes det flere veletablerte metoder for hvordan den kunne løses. Allerede i sitt første arbeid viste Schrödinger hvordan den kunne anvendes påhydrogenatomet og gi kvantiserte verdier for energienE i overensstemmelse medBohrs formel.^[8]

Operatorer og egenverdier

[rediger |rediger kilde]

Den tidsuavhengigeSchrödinger-ligningen kan skrives som

{\Big [}-{\hbar ^{2} \over 2m}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}+V(\mathbf {r} ){\Big ]}\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )

der nå den reduserte Planck-konstantenħ =h/2π inngår. På venstre side kan man betrakte

{\hat {H}}=-{\hbar ^{2} \over 2m}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}+V(\mathbf {r} )

som en «energioperator» som. virker på enbølgefunksjonψ(r). Den fremkommer fra den klassiskeHamilton-funksjonen og omtales derfor somHamilton-operatoren. Da tar ligningen formen ${\hat {H}}\psi =E\psi ,$ og de tillatte energiene sies å væreegenverdier til denne operatoren. De tilsvarende bølgefunksjonene er operatorensegenfunksjoner. I dette tilfellet gir disse funksjonene en matematisk beskrivelse av kvantetilstander med bestemt energi.^[2]

Ved å definere en «impulsoperator» som ${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}$ med komponenter ${\hat {p}}_{a}=-i\hbar {\partial \over \partial x_{a}},$ kan Hamilton-operatoren i dette tilfellet skrives som

{\hat {H}}={{\hat {\mathbf {p} }}^{2} \over 2m}+V(\mathbf {r} )

Det gjør det mulig å finne denne direkte fra det klassiske uttrykket for energien til partikkelen hvor denkinetiske delen uttrykkes ved partikkelens impuls.

I denne bølgemekanikken vil en partikkel med en bestemt impulsp beskrives av en bølgefunksjon som er en egenfunksjon av impulsoperatoren. Den må derfor tilfredsstille ${\hat {\mathbf {p} }}\psi =\mathbf {p} \psi$ og er derfor gitt ved den enkledifferensialligningen

-i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}\psi _{\mathbf {p} }(\mathbf {r} )=\mathbf {p} \,\psi _{\mathbf {p} }(\mathbf {r} )

Den har som løsning $\psi _{\mathbf {p} }(\mathbf {r} )=Ae^{i\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} /\hbar }$ hvorA er en konstant. Bølgefunksjonen for en partikkel med bestemt impuls er derfor enkompleks funksjon. Den inneholder ingen informasjon om partikkelens posisjon i overensstemmelse medHeisenbergs uskarphetsrelasjon. Men funksjonen er vanligvis ikke en egenfunksjon for Hamilton-operatoren. Det er tilfelle kun for frie partikler hvor potensialetV = 0. En bunden partikkel har ikke noen veldefinert impuls, men vil likevel ha bestemte energier. Dette kan lett illustreres ved å betrakte løsninger av Schrödinger-ligningen i enkle,1-dimensjonale eksempel.^[13]

Kanoniske kommutatorer

[rediger |rediger kilde]

Impulsoperatoren ${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}$ virker på alle funksjoner som står på den høyre siden av den som ved vanligderivasjon. Da er for eksempel

{\partial  \over \partial x}xf(x)=f(x)+x{\partial  \over \partial x}f(x)

som kan skrives på den litt mer abstrakt formen

{\partial  \over \partial x}x-x{\partial  \over \partial x}=1

En videreføring av denne skrivemåten er å tenke seg en «enhetsoperator» som kan virke på enhver funksjon og gir samme funksjon tilbake som resultat. Likedan kan man tenke seg en «posisjonsoperator» ${\hat {x}}$ som virker på en funksjonf (x ) og gir dermedxf (x ) tilbake.For impulsoperatoren ix-retning gjelder derfor sammenhengen $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar$ hvorkommutatoren av to operatorer er definert som $[{\hat {a}},{\hat {b}}]={\hat {a}}{\hat {b}}-{\hat {b}}{\hat {a}}.$

Med en ekstra koordinaty vil nå samme betraktning gi $[{\hat {y}},{\hat {p}}_{x}]=[{\hat {x}},{\hat {p}}_{y}]=0.$ Da rekkefølgen av to partielle derivasjoner∂_x =∂ /∂x og∂_y =∂ /∂y fritt kan byttes om, vil på lignende vis kommutatoren $[{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y}]=0.$ Avgjørende for all kvantisering er dekanoniske kommutatorene

[{\hat {x}}_{a},{\hat {p}}_{b}]=i\hbar \,\delta _{ab}

hvorKronecker-delta på høyre side er null hvis indeksene er forskjellige og lik med én når de er like.^[2]

Når partikkelens impuls er gitt ved virkningen av en operator, vil også densdreieimpuls $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ beskrives av en vektoroperator med komponenter

{\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}&=-i\hbar (y\partial _{z}-z\partial _{y}),\;\;{\hat {L}}_{y}=-i\hbar (z\partial _{x}-x\partial _{z}),\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar (x\partial _{y}-y\partial _{x}).\end{aligned}}

De kommuterer ikke seg imellom, men oppfyller den kanoniske kommutatoren

[{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}]=i\hbar {\hat {L}}_{z}

pluss de to andre som fremkommer ved syklisk ombytte av operatorene.Egenverdiene til kun én av dem kan derfor bestemmes. Vanligvis velges den å være dreieimpulsen omz-aksen. Ved direkte utregning finner man at $[{\hat {L}}_{z},{\hat {\mathbf {L} }}^{2}]=0$ slik at også egenverdiene til den totale dreieimpulsen ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}={\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}$ kan finnes. Dette er helt i overensstemmelse med hva som ble funnet fra Heisenbergsmatrisemekanikk noen få måneder tidligere og leder til den nå vanligekvantisering av dreieimpuls.

Sentralsymmetrisk potensial

[rediger |rediger kilde]

Når en partikkel beveger seg i et potensialV(r ) som bare avhenger av avstandenr til et sentrum, er det rotasjonssymmetrisk om dette punktet. Det er derfor naturlig å benyttekulekoordinater (r, θ, φ) istedenfor kartesiske koordinater (x, y, z) i Schrödinger-ligningen. Ved å bruke den klassiske identiteten $(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )^{2}=r^{2}p^{2}-(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} )^{2},$ kan man i den kinetiske energien benytte at

\mathbf {p} ^{2}=p_{r}^{2}+{1 \over r^{2}}\mathbf {L} ^{2}

hvor den radielle komponenten er $p_{r}=(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} )/r.$ Kvantemekanisk blir den en operator som kan finnes fra sammenhengen ${\hat {\mathbf {p} }}^{2}=-\hbar ^{2}\nabla ^{2}$ og uttrykket forLaplace-operatoren i kulekoordinater. Det gir

{\hat {p}}_{r}^{2}=-{\hbar ^{2} \over r^{2}}{\partial  \over \partial r}\left(r^{2}{\partial  \over \partial r}\right)=-\hbar ^{2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}+{2 \over r}{\partial  \over \partial r}\right)

samt operatoren som bestemmer den totale dreieimpulsen

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}=-\hbar ^{2}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial  \over \partial \theta }\right)+{1 \over \sin ^{2}\theta }{\partial ^{2} \over \partial \phi ^{2}}\right]

Vedkvantisering finner man dens egenfunksjoner som ersfærisk harmoniske funksjonerY_ℓm(θ,φ). Egenverdiene følger fra

{\hat {\mathbf {L} }}^{2}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )

hvor kvantetallet ℓ = 0, 1, 2, 3 og så videre. Heltalletm ligger i intervallet- ℓ ≤m ≤ ℓ og tar derfor2ℓ + 1 forskjellige verdier. Energien til partikkelen blir uavhengig av dette «magnetiske kvantetallet».^[13]

Schrödinger-ligningen kan nå forenkles ved å skrive den fulle bølgefunksjonen som

\psi (\mathbf {r} )=R(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )

Den radielle delen av denne funksjonen må derfor være en løsning av den ordinæredifferensialligningen

\left[-{\hbar ^{2} \over 2m}\left({d^{2} \over dr^{2}}+{2 \over r}{d \over dr}\right)+{\ell (\ell +1)\hbar ^{2} \over 2mr^{2}}+V(r)\right]R(r)=ER(r).

En videre forenkling kan gjøres ved å innføre funksjonenu(r) =r R(r), Det sentralsymmetriske egenverdiproblemet blir da redusert til å finne løsninger av ligningen

-{\hbar ^{2} \over 2m}{d^{2}u \over dr^{2}}+V_{eff}(r)u(r)=Eu(r)

hvor det effektive potensialet er

V_{eff}(r)=V(r)+{\ell (\ell +1)\hbar ^{2} \over 2mr^{2}}

Det siste leddet skyldes dreieimpulsen til partikkelen og virker som ensentrifugalkraft som holder den borte fra origo ir = 0. I nærheten av dette punktet dominerer leddet og betyr at den radielle funksjonen varierer somu(r) ≈r^ℓ+1 i dette området.^[14]

Allerede i sitt første arbeid kunne Schrödinger løse denne radielle ligningen for Coulomb-potensialet som opptrer ihydrogenatomet. Dette gjorde det klart at denne bølgemekaniske formuleringen av kvantefysikken kunne anvendes i langt større grad enn den abstrakte matrisemekanikken til Heisenberg.

Eksempel: Sfærisk kassepotensial

[rediger |rediger kilde]

En bundet partikkel i et atom for eksempel befinner seg per definisjon i et endelig område av rommet. Den må derfor kvanemeaknisk beskrives av en bølgefunksjon som går mot null ved store avstander. Den enkleste illustrasjon av en slik situasjon er en partikkel som kun kan bevege seg i én dimensjon mens den befinner seg i et uendelig dyptkassepotensial. Mer realistisk er å anta at partikkelen kan bevege seg fritt i alle tre dimensjoner innenfor en avstandr <a fra origo hvora er radius til et uendelig dypt kassepotensialet.

Inne i kassen hvor potensialetV(r) = 0, er de radielle bølgefunksjonene med dreieimpuls ℓ = 0 enklest å finne. Differensialligningen for disses-tilstandene er

{d^{2}u_{0} \over dr^{2}}+k^{2}u_{0}(r)=0

hvor størrelsenk bestemmer partiklens energi ved sammenhengenE =ħ²k²/2m. Den er bestemt ved kravet at bølgefunksjonen må være null utenfor kassen. Da den samtidig må være kontinuerlig gjennom dens overflater =a, måu₀(ka) = 0. Denne grensebvtingelsen gir nå den entydige løsningen

u_{0}(r)=\sin kr

med de kvantiserte verdienek =n π /a. Dermed hars-tilstandene energiene

E_{0n}={\hbar ^{2} \over 2ma^{2}}(\pi n)^{2}

hvorn = 1, 2, 3 etc virker som et radielt kvantetall. Tilstandene kan betegnes som 1s, 2s og så videre. Dette er samme resultat som for løsningen i et éndimensjonalt kassepotensial med samme utstrekning.^[13]

FunksjonenR₀(r) =u₀/r er den sfæriskeBessel-funksjonenj₀(kr) av laveste orden. Løsning av Schrödinger-ligning for ℓ > 0 er på tilsvarende vis gitt ved mer kompliserte Bessel-funksjonerj_ℓ(kr). Energiene til disse tilstanden må dermed tilfredsstille grensebetingelsenj_ℓ(ka) = 0. Det betyr atk =x_ℓn /a hvorx_ℓn ern-te nullpunkt til Bessel-funksjonenj_ℓ(x), De kvantiserte energiene for partikkelen i dette potensialet er derfor

E_{\ell n}={\hbar ^{2} \over 2ma^{2}}x_{\ell n}^{2}

For de lavestep-tilstandene med ℓ = 1 er nullpunktenex₁₁ = 4.49 ogx₁₂ = 7.73. Derfor har 1p-tilstanden en energi mellom 1s og 2s, mens 2p ligger over 2s. På tilsvarende vis betyrx₂₁ = 5.76 ogx₃₁ = 6.99 at tilstanden 1d med ℓ = 2 ligger like under 2s-tilstanden, mens 1f ligger like over denne.^[14]

Når det sfæriske kassepotensialet modifiseres til et tredimensjonalt, harmonisk oscillatorpotensialV(r) =mω²r²/2, kan dekvantiserte energiene beregnes eksakt. De blir

E_{\ell n_{r}}=\hbar \omega (2n_{r}+\ell +3/2)

hvorn_r = 0, 1, 2, ... er et radielt kvantetall. Energinivåene er bestemt av kombinasjonenn = 2n_r + ℓ og vil derfor generelt være degenererte. Det gjelder ikke for grunntilstanden med energi 3ħω/2 og kvantetall ℓ =n_r = 0. Likedan består det første, eksisterte energinivå 5ħω/2 entydig av tilstanden ℓ = 1,n_r = 0. Derimot inneholder nivået 7ħω/2 både tilstanden ℓ = 2,n_r = 0 og ℓ = 0,n_r = 1. Denne degenerasjonen av energinivåene stemmer overens med hva som finnes ved å løse Schrödinger-ligningen for dette potensialet ved bruk avkartesiske koordinater. Det skyldes at det mekaniske systemet har en ekstra symmetri ut over rotasjonssymmetrien som allerede er benyttet ved løsningen. Noe tilsvarende gjelder også forCoulomb-potensialet som har en bevartRunge-Lenz-vektor.

Interpretasjon av bølgefunksjon

[rediger |rediger kilde]

Da Schrödinger lanserte sin bølgemekanikk i 1926, mente han at bølgefunksjonenψ(r) for et elektron i et atom var et uttrykk for hvordan dets ladning var fordelt inni atomet. Mer nøyaktig, hvise er elektronets ladning, så ere |ψ |² den elektriske ladningstettheten i atomet. Det bundne elektronet kunne ikke beskrives som en enkel bølge, men måtte i stedet betraktes som en «bølgepakke» sammensatt av mange bølger. Denne beskrivelsen eller mentale bilde av bølgefunksjonen møtte motstand fra flere hold. Ikke uventet var Heisenberg meget kritisk.^[2]

Det ble snart klart at å betrakte bølgefunksjonen som enbølge i klassisk fysikk var villedende. For eksempel hvis man betrakter Schrödinger-ligningen forto partikler,

{\Big [}{{\hat {\mathbf {p} }}_{1}^{2} \over 2m_{1}}+{{\hat {\mathbf {p} }}_{2}^{2} \over 2m_{2}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}){\Big ]}\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})=E\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})

så beskriver ikke funksjonen $\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})$ noen bølge i det tredimensjonale rommet eller to bølger som følger hver av partiklene i dette rommet. I alminnelighet kan man kun si at det er en kompleks funksjon i et seksdimensjonalt rom.

Eksperimentene tilDavisson,Germer ogGeorge Thomson viste at ett elektron hadde bølgeegenskaper underkrystalldiffraksjon. Men dette interferensfenomenet var vanskelig å kombinere med bildet av et elektron som en partikkel hvis elektriske ladning skulle splittes opp på denne måten.

Deninterpretasjon av bølgefunksjonen som er blitt stående, komMax Born med allerede i 1926. Den var inspirert av Einstein som hadde foreslått at en klassisk, elektromagnetisk bølge kunne betraktes som en «pilotbølge» som styrte et foton. Ut fra denne analogien mente Born at den kvantemekaniske bølgefunksjonen $\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots )$ kan betraktes som en «sannsynlighetsamplitude» i. den forstand at det absolutte kvadrat

P(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots )=\psi ^{*}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots )\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots )

er proporsjonal medsannsynligheten for å finne den første partikkelen i posisjonr₁, den andre i punktetr₂ og så videre.^[8]

For én partikkel som.benyttes for eksempel i etdobbeltspalteeksperiment, vil bølgefunksjon bli ensuperposisjon $\psi _{1}(\mathbf {r} )+\psi _{2}(\mathbf {r} )$ . Sannsynligheten for å detektere partikkelen bak spalten blir da

{\begin{aligned}P(\mathbf {r} )&=|\psi _{1}(\mathbf {r} )+\psi _{2}(\mathbf {r} )|^{2}\\&=|\psi _{1}(\mathbf {r} )|^{2}+|\psi _{2}(\mathbf {r} )|^{2}+\psi _{1}^{*}(\mathbf {r} )\psi _{2}(\mathbf {r} )+\psi _{2}^{*}(\mathbf {r} )\psi _{1}(\mathbf {r} )\end{aligned}}

hvor de to siste leddene gir den kvantemekaniskebølgeinterferensen. Selv om partikkelen beskrives som en bølge som strekker seg over hele rommet, vil den bak spalten kun detekteres i diskrete punktr og må derfor oppfattes som en partikkel. Man kan ikke forutsi i hvilket punkt dette vil skje, bare sannsynligheten for at en slik observasjon kan gjøres.

Et annet, viktig spørsmål er hvor man skal sette grensen mellom klassisk fysikk og fenomener som må beskrives kvantemekanisk. Hvis man antar at også makroskopiske system som en innestengt katt i en kasse, kan befinne seg i forskjellige kvantetilstander og superposisjoner av slike, blir man konfrontert med grunnleggende paradokser som ennå ikke er helt avklart. Et godt eksempel på et slikt system erSchrödingers katt. Spesielt i mer populær litteratur blir slike problemstillinger den dag i dag mye diskutert.^[15]

Tidsavhengig Schrödinger-ligning

[rediger |rediger kilde]

Hvordan et kvantesystem forandrer seg med tiden, ble først undersøkt av Schrödinger i ett senere arbeid. Det kan ikke da lenger ha en konstant energi og vil i stedet kunne gå fra en stasjonær tilstand til en annen. På den måten vil en tidsavhengig beskrivelse kunne forklare kvanteoverganger som for eksempel når et atom plutselig sender ut et foton.

I en stasjonær tilstand har systemet en bestemt energiE og kan beskrives ved en egenfunksjon av den tidsuavhengige ligningen ${\hat {H}}\psi =E\psi .$ Denne bølgefunksjonen har samtidig en frekvensω =E/ħ og vil ha en tidsavhengighet som må være på formen $\exp(-i\omega t).$ Den stasjonære Schrödinger-ligningen kan derfor skrives på den ekvivalente formen

{H}({\hat {\mathbf {p} }},\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\partial  \over \partial t}\Psi (\mathbf {r} ,t)

når den tidsavhengig bølgefunksjonen skrives som $\Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }.$ Denne formen av ligningen er det nå naturlig å benytte for et kvantesystem som er i en vilkårlig tilstand og ikke nødvendigvis i en egentilstand av Hamilton-operatoren. Den kalles derfor for den tidsavhengige Schrödinger-ligningen.^[13]

Dens innhold kan illustreres ved å betrakte et system som ved tident = 0 er i en superposisjon av to tilstander. De betegnes som $\psi _{1}(\mathbf {r} )$ og $\psi _{2}(\mathbf {r} )$ og begge antas å være egentilstander av Hamilton-operatoren med energier henholdsvisE₁ ogE₂. I utgangspunktet er systemet da i tilstanden

\Psi (\mathbf {r} ,t=0)=C_{1}\psi _{1}(\mathbf {r} )+C_{2}\psi _{2}(\mathbf {r} )

hvorC_1,2 er konstanter som bestemmer sannsynlighetene for at systemet er i den første eller andre tilstanden ved tident = 0. Denne superposisjonen er ikke en egentistand av Hamilton-operatoren. Systemets videre utvikling med tiden er likevel gitt som

\Psi (\mathbf {r} ,t>0)=C_{1}\psi _{1}(\mathbf {r} )e^{-iE_{1}t/\hbar }+C_{2}\psi _{2}(\mathbf {r} )e^{-iE_{2}t/\hbar }

og vises direkte ved derivasjon å oppfylle den tidsavhengige Schrödinger-ligningen. Sannsynligheten for å finne partikkelen i et bestemt punkt vil nå variere med tiden. I dette tilfellet vil det utgjøre en oscillasjon med frekvens (E₁ -E₂)/ħ som oppstår fra produktet mellom de to leddene i funksjonen.

Den tidsavhengige Schrödinger-ligningen har samme form som differensialligningen som definerereksponentialfunksjonen. Derfor kan også tidsutviklingen finnes mer direkte fra

{\begin{aligned}\Psi (t)&=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\Psi (0)\\&=\left[1+\left(-{it \over \hbar }{\hat {H}}\right)+{1 \over 2!}\left(-{it \over \hbar }{\hat {H}}\right)^{2}+\cdots \right]\Psi (0)\end{aligned}}

så lenge Hamilton-operatoren er uavhengig av tiden. Det vil ikke være tilfelle hvis for eksempel den inneholder et potensial som varierer med tiden. En slik situasjon har man for et atom som vekselvirker med lys. Da kan tidsutviklingen vanligvis kun beregnes medperturbasjonsteori.

I kvantemekanikken har den tidsavhengige Schrödinger-ligningen en helt sentral betydning. Dens form er uavhengig av om den beskriver én eller mange partikler, om disse er ikke-relativistiske eller relativistiske eller om Hamilton-operatoren er eksplisitt tidsavhengig eller ikke. Uansett system har den alltid den samme form

i\hbar {\partial  \over \partial t}\Psi (t)={\hat {H}}\Psi (t)

hvor de detaljerte egenskapene til systemet opptrer i Hamilton-operatoren ${\hat {H}}.$ Denne generelle gyldighet holder ikke bare for systemer bestående av partikler, men også forkvanteelektrodynamikk og andrekvantefeltteorier.^[10]

Dirac-formalisme

[rediger |rediger kilde]

Heisenbergs matrisemekanikk og Schrödingers bølgemekanikk viste seg snart å være to forskjellige, men ekvivalente fremstillinger av samme kvantemekanikk. Dette kan enklest vises ved bruk avbra-ket-notasjonen som ble utviklet avPaul Dirac og basert pålineær algebra i etHilbert-rom. En kvantetilstand er en «ket-vektor» $|\Psi \rangle$ i dette rommet. Den duale eller adjungerte vektor $\langle \Psi |$ kalles en «bra-vektor» og inngår i etreelt indreprodukt $\langle \Psi |\Psi \rangle >0.$ For to forskjellige vektorer $|\Psi _{i}\rangle$ og $|\Psi _{j}\rangle$ er det definert slik at $\langle \Psi _{i}|\Psi _{j}\rangle =\langle \Psi _{j}|\Psi _{i}\rangle ^{*}.$ Er produktet lik null, sies vektorene å være «ortogonale» i forhold til hverandre.^[16]

For et kvantesystem med etN-dimensjonalt Hilbert-rom ${\cal {{H}_{N}}}$ kan det introduseres etbasissystem $|1\rangle ,|2\rangle ,\ldots ,|N\rangle$ slik at hver vektor kan skrives som

|\Psi \rangle =\sum _{n=1}^{N}\psi _{n}|n\rangle

hvor dekomplekse tallene $\psi _{n}$ er vektorens komponenter. Basisvektorene er lineært uavhengige av hverandre og utgjør et «fullstendig sett» av vektorer. De er ortogonale til hverandre, og det er mest hensiktsmessig å velge dem med samme lengde eller norm. Da er $\langle m|n\rangle =\delta _{mn}$ hvorKronecker-deltaet på høyre side er null for forskjellige vektorer og én når indeksene er de samme. Man har da en «ortonormert» basis.

Komponentene til en vektor $|\Psi \rangle$ er nå gitt som $\psi _{n}=\langle n|\Psi \rangle .$ Det indre produkt mellom denne vektoren og en annen vektor $|\Phi \rangle$ med komponenter $\phi _{n}=\langle n|\Phi \rangle$ blir dermed

\langle \Psi |\Phi \rangle =\sum _{n=1}^{N}\psi _{n}^{*}\phi _{n}

og kan ta hvilken som helst verdi. Det omtales også ofte somprojeksjonen av den ene vektoren på den andre.^[13]

Operatorer og hermitisitet

[rediger |rediger kilde]

Uttrykket for en generell vektor kan omformes til

|\Psi \rangle =\sum _{n}\psi _{n}|n\rangle =\sum _{n}|n\rangle \langle n|\Psi \rangle

Det er derfor naturlig å betrakte summen

{\hat {I}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|

med produkter av vektorene i et fullstendig sett som en «identitetsoperator». Den kan virke på hvilken som helst vektor og dermed gi nøyaktig den samme vektoren. Vanligvis settes den derfor ganske enkelt lik med ${\hat {I}}=1.$ En generell operator kan skrives på formen

{\hat {A}}=\sum _{m,n}A_{mn}|m\rangle \langle n|

og vil I alminnelighet resultere i en annen vektor $|\Psi '\rangle$ i det samme Hilbert-rommet. Det følger fra

{\begin{aligned}{\hat {A}}|\Psi \rangle &=\sum _{m,n}A_{mn}|m\rangle \langle n|\Psi \rangle =\sum _{m,n}A_{mn}\psi _{n}|m\rangle \\&=|\Psi '\rangle =\sum _{m}\psi '_{m}|m\rangle \end{aligned}}

der den nye vektoren har de transformerte komponentene $\psi '_{m}=\sum _{n}A_{mn}\psi _{n}.$ Produktet av to operatorer er vanligvis avhengig av deres rekkefølge. Dette uttrykkes ved dereskommutator

[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}

som i alminnelighet er en ny operator. Den inverse ${\hat {A}}^{-1}$ av en operator ${\hat {A}}$ er definert ved at ${\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}.$ Derfor er den inverse av et produkt gitt ved produktet av de inverse i motsatt rekkefølge da

({\hat {A}}{\hat {B}})^{-1}{\hat {A}}{\hat {B}}={\hat {B}}^{-1}{\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}{\hat {B}}={\hat {B}}^{-1}{\hat {B}}={\hat {I}}.

De komplekse koeffisientene $A_{mn}=\langle m|{\hat {A}}|n\rangle$ utgjør komponentene til operatoren ${\hat {A}}.$ Tilsammen utgjør de en $N\times N$ matrise. Denhermitisk adjungerte matrisen $A^{\dagger }$ med element $A_{mn}^{\dagger }=A_{nm}^{*}$ definerer en hermitisk adjungert operator ${\hat {A}}^{\dagger }.$ Den har derfor den viktige egenskapen

\langle \Phi |{\hat {A}}|\Psi \rangle ^{*}=\langle \Psi |{\hat {A}}^{\dagger }|\Phi \rangle

Hermitisk adjungering er en utvidelse av vanlig,kompleks konjugasjon. Operasjonen kan også virke på en ket-vektor og gi den tilsvarende bra-vektor eller omvendt. Mer generelt gjelder

({\hat {A}}|\Psi \rangle )^{\dagger }=\langle \Psi |{\hat {A}}^{\dagger }

En operator som er lik sin hermitisk adjungerte, sies å være «selvadjungert» eller ganske enkelthermitisk. De spiller en sentral rolle i kvantemekanikken.^[17]

Egenvektorer og egenverdier

[rediger |rediger kilde]

Når en operator ${\hat {A}}$ virker på en tilstand eller vektor $|\Psi \rangle$ og resultatet er en vektor i samme retning slik at

{\hat {A}}|\Psi \rangle =a|\Psi \rangle ,

sies vektoren å være enegenvektor til denne operatoren. Talleta vil i alminnelighet være komplekst og kalles enegenverdi til operatoren. Men i det tilfellet at operatoren er hermitisk, er egenverdien et reelt tall. Det følger fra en multiplikasjon med den adjungerte brå-vektoren $\langle \Psi |$ fra venstre som gir $\langle \Psi |{\hat {A}}|\Psi \rangle =a\langle \Psi |\Psi \rangle .$ Begge de to indreproduktene her er nå reelle og derfor er også egenverdiena reell.

En operator kan generelt ha flere forskjellige egenverdier. De tilsvarende egenvektorene vil da være ortogonale. Det følger fra de to egenverdiligningene

{\hat {A}}|\Psi _{m}\rangle =a_{m}|\Psi _{m}\rangle ,\;\;\;{\hat {A}}|\Psi _{n}\rangle =a_{n}|\Psi _{n}\rangle

Her kan den første ligningen multipliseres med $\langle \Psi _{n}|$ fra venstre. Når man så benytter samtidig den andre ligningen på formen $\langle \Psi _{n}|{\hat {A}}=a_{n}\langle \Psi _{n}|,$ ser man at $(a_{m}-a_{n})\langle \Psi _{n}|\Psi _{m}\rangle =0.$ Hvis de to egenverdiene er forskjellige, må derfor indreproduktet av de tilsvarende egenvektorene være lik med null.^[17]

På lignende måte er det lett å vise at hvis en vektor $|\Psi \rangle$ er samtidig egenvektor til to forskjellige operatorer ${\hat {A}}$ og ${\hat {B}},$ må disse operatorene kommutere med hverandre, det vil si $[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0.$ En egentilstand kan derfor karakteriseres ved egenverdiene til alle operatorer som kommuterer med hverandre. Hvis derimot de to operatorene ikke kommuterer med hverandre, kan de ikke måles eller bestemmes samtidig. Gjøres det, vil resultatet være beheftet med en usikkerhet som matematisk kan uttrykkes vedHeisenbergs uskarphetsrelasjon.

Et grunnleggende teorem ilineær algebra er at alle egenvektorene til en hermitisk operator utgjør et «fullstendig sett». Det betyr at de kan benyttes som basisvektorer i det tilsvarende Hilbert-rommet. Hver slik operator gir derfor et gangspunkt for å konstruere en tilsvarende basis i dette rommet. Det muliggjør også transformasjoner mellom matriserepresentasjoner av operatorer i forskjellige basissystem.

Kvantemekanikkens postulater

[rediger |rediger kilde]

Klassisk mekanikk er basert på forskjellige lover. De kan være utformet på forskjellig vis, men beskriver de samme fysiske fenomen. Eksempel på slike ulike formuleringer kan væreNewtons bevegelseslover ellerHamiltons virkningsprinsipp.

På samme måte er kvantemekanikk basert på noen få antagelser.^[17] Disse kan summeres opp i tre grunnleggende postulat:

For hver observerbar størrelseA ellerobervabel finnes det en tilsvarende, hermitisk operator ${\hat {A}}.$ En måling av denne størrelsen vil gi en av operatorens egenverdier. Den viktigste operatoren erHamilton-operatoren ${\hat {H}}$ hvis egenverdier er systemets mulige energier.
Resultatet av en måling av en eller flere observable til et kvantesystem ved tident er kodet inn i en tilstandsvektor $|\Psi \rangle =|\Psi ,t\rangle$ i Hilbert-rommet for systemet. Så lenge vektoren ikke er en egentilstand av den observable ${\hat {A}},$ vil en måling av denne gi et midlere resultat $\langle {\hat {A}}\rangle =\langle \Psi |{\hat {A}}|\Psi \rangle$ når tilstanden er normert som $\langle \Psi |\Psi \rangle =1.$
Tilstandsvektoren til systemet forandrer seg med tiden ifølge den tidsavhengigeSchrödinger-ligningen

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i\hbar {\partial  \over \partial t}|\Psi ,t\rangle ={\hat {H}}|\Psi ,t\rangle

Størrelsen til alle resulterende kvanteeffekter er bestemt av den redusertePlanck-konstantenħ =h/2π som Dirac innførte.

Observasjon og målinger

[rediger |rediger kilde]

Begrepene oberservasjon og måling av en observabel ${\hat {A}}$ brukes ofte om hverandre. Ved én enkelt måling tilordnes en verdi til denne størrelsen som er en av operatorens egenverdier $a_{m}$ bestemt ved egenverdiligningen ${\hat {A}}|m\rangle =a_{m}|m\rangle .$ Dette representerer en observasjon og betyr i praksis en forandring i en makroskopisk, klassisk størrelse som kan registrere og lagre verdien. Direkte etter observasjonen befinner kvantesystemet seg i egentilstanden $|n\rangle$ og vil videre utvikle seg med tiden på en deterministisk måte gitt ved Schrödinger-ligningen.^[10]

På et senere tidspunkt befinner systemet seg i en ny tilstand $|\Psi \rangle$ som i alminnelighet ikke er noen egentilstand til den samme operatoren. En ny måling vil derfor kanskje gi en annen egenverdi. Men operatorens egenvektorer danner et fullstendig sett slik at man generelt har $|\Psi \rangle =\sum _{n}\psi _{n}|n\rangle$ med $\psi _{n}=\langle n|\Psi \rangle .$ Da vil

\langle \Psi |{\hat {A}}|\Psi \rangle =\sum _{n}\psi _{n}\langle \Psi |{\hat {A}}|n\rangle =\sum _{n}a_{n}|\psi _{n}|^{2}

Hvis man nå benytter normeringen $\langle \Psi |\Psi \rangle =1$ som betyr at

\sum _{n}|\psi _{n}|^{2}=1,

kan man betrakte $P_{n}=|\psi _{n}|^{2}$ som sannsynligheten for at systemet $|\Psi \rangle$ er i egentilstanden $|n\rangle .$ Av denne grunn kalles det komplekse tallet $\psi _{n}=\langle n|\Psi \rangle$ forsannsynlighetsamplituden for at dette skal være tilfelle. Uttrykket $\langle \Psi |{\hat {A}}|\Psi \rangle$ gir derfor den midlere verdi for den observable ${\hat {A}}$ når systemet er i en vilkårlig tilstand $|\Psi \rangle .$ Den kalles også forforventningsverdien.^[16]

En måling av denne midlere verdien er ganske omstendelig. Mens hver enkeltmåling gir en egenverdi, vil forventningsverdien kreve atman disponerer over et stort antall identiske system som tilberedes i eksakt samme tilstand. Den midlere verdien av et stort antall målinger av samme observabel på disse systemene, som hver for seg gir en egenverdi, vil da gi dens forventningsverdi $\langle {\hat {A}}\rangle$ utregnet som i vanligsannsynlighetsregning.

Tidsutvikling og Heisenberg-bilde

[rediger |rediger kilde]

For et stasjonært system er Hamilton-operatoren uavhengig av tiden. Den tidsavhengige Schrödinger-ligningen kan da integreres direkte til å gi tilstandsvektoren ved et senere tidspunkt. Resultatet kan skrives som $|\Psi ,t\rangle ={\hat {U}}(t)|\Psi ,0\rangle$ hvor

{\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }

er «tidsutviklingsoperatoren». Mens denne bringer systemet fremover i tid, vil den inverse operatoren

{\hat {U}}^{-1}(t)={\hat {U}}(-t)=e^{i{\hat {H}}t/\hbar }

bringe det bakover i tid. Da Hamilton-operatoren er hermitisk, vil dette også være lik med den adjungerte operatoren ${\hat {U}}^{\dagger }(t).$ Det betyr at den oppfyller ${\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}={\hat {U}}{\hat {U}}^{\dagger }={\hat {I}}.$ En slik operator sies å væreunitær. For tidsutviklingsoperatoren betyr det rent fysisk at systemet vil forbli i en eller annen kvantetilstand i det samme Hilbert-rommet.^[18]

Hvis man betrakter et veldig kort tidsromτ , så vil ikke systemet forandres så mye. Tidsutviklingsoperatoren kan da skrives som

{\hat {U}}(\tau )={\hat {I}}-{i \over \hbar }{\hat {H}}\tau +\cdots

Fra denne sammenhengen ser man at Hamilton-operatoren får systemet til å forandre seg i korte øyeblikk eller at den er engenerator for slike forandringer. En endelig forandring over en tidt =nτ kan så bygges opp avn små transformasjoner etterfulgt av hverandre eller ${\hat {U}}(t)={\hat {U}}(\tau ){\hat {U}}(\tau )\cdots {\hat {U}}(\tau ).$ I grensen hvorτ blir tilstrekkelig liten har man da

{\hat {U}}(t)=\left({\hat {I}}-{i \over \hbar }{\hat {H}}{t \over n}\right)^{n}=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }

ut fra definisjonen aveksponentialfunksjonen i grensen dern blir veldig stor.

Denne fremstilling av tidsutviklingen er gjort i det som kalles «Schrödinger-bildet». Den skyldes at tilstandsvektoren for systemet varierer med tiden. Forventningsverdien av en operator

\langle {\hat {A}}\rangle (t)=\langle \Psi ,t|{\hat {A}}|\Psi ,t\rangle =\langle \Psi ,0|e^{i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {A}}\,e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }|\Psi ,0\rangle

vil dermed også variere med tiden. Formen til dette uttrykket kan også beskrives som om tilstanden til systemet ikke forandrer seg, men at det er operatoren som blir tidsavhengige. Man sier da at man har en fremstilling i «Heisenberg-bildet» hvor tilstandsvektoren er konstant $|\Psi \rangle _{H}=|\Psi ,0\rangle ,$ og operatorene varierer med tiden som

{\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {A}}\,e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }

Den samme forventningsverdien kan derfor skrives alternativt som $\langle {\hat {A}}\rangle (t)=\;_{H}\langle \Psi |{\hat {A}}_{H}(t)|\Psi \rangle _{H}.$

Ved derivasjon finnes den differensielle formen

{\begin{aligned}i\hbar {d \over dt}{\hat {A}}_{H}(t)&=-e^{i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {H}}{\hat {A}}e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }+e^{i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {A}}{\hat {H}}e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\\&=[{\hat {A}}_{H}(t),{\hat {H}}]\end{aligned}}

for tidsutvikling av en operator i Heisenberg-bildet. Det er den samme loven som Heisenberg kom frem til i sitt arbeid som grunnlamatrisemekanikken.^[18]

Stasjonære tilstander og energibasis

[rediger |rediger kilde]

En stasjonær tilstand med energiE er definert å ha den enkle tidsavhengigheten

|E,t\rangle =|E\rangle e^{-iEt/\hbar }

hvor tilstanden $|E\rangle$ må være en egentilstand av Hamilton-operatoren ${\hat {H}}.$ For et vilkårlig sett avN ortonormerte basisvektorer kan den da skrives som

|E\rangle =\sum _{n=1}^{N}u_{n}|n\rangle

hvor $u_{n}=\langle n|E\rangle$ nå er sannsynlighhetsamplituden for å finne systemet $|E\rangle$ I tilstand $|n\rangle .$ Egenverdiligningen ${\hat {H}}|E\rangle =E|E\rangle$ i denne basisen tar dermed formen

\sum _{n=1}^{N}H_{mn}u_{n}=Eu_{m}

hvor tallene $H_{mn}=\langle m|{\hat {H}}|n\rangle$ er matriseelementene av Hamilton-operatoren. Disse ligningene for de ukjente sannsynlighhetsamplitudene utgjør nå etlineært ligningssett som kun har løsninger for bestemte verdier avE. De er dermedegenverdierE_n til Hamilton-operatoren og kan finnes ved ådiagonalisere den tilsvarendeN ×N dimensjonell matrisen.^[16]

Tidsutviklingen til en vilkårlig tilstand $|\Psi \rangle$ følger fra den tidsavhengige Schrödinger-ligningen. Sannsynligheten for at denne tilstanden skal befinne seg i basistilstanden $|m\rangle$ ved tident er gitt ved amplituden $\psi _{m}(t)=\langle m|\Psi ,t\rangle .$ Dennes forandring med tiden følger derfor fra

i\hbar {\partial  \over \partial t}\langle m|\Psi ,t\rangle =\langle m|{\hat {H}}|\Psi ,t\rangle

Ved her å sette inn enhetsoperatoren ${\hat {I}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|,$ tar denne ligningen formen

i\hbar {d\psi _{m} \over dt}=\sum _{n=1}^{N}H_{mn}\psi _{n}(t)

som utgjør et sett avN lineære differensialligninger av første orden.^[16] De kan nå formelt løses ved å første uttrykke tilstanden $|\Psi \rangle$ i energibasisen $|E_{n}\rangle$ som egenvektorene til Hamilton-operatoren danner. Det gir

|\Psi \rangle =\sum _{n=1}^{N}C_{n}|E_{n}\rangle

hvor koeffisienteneC_n spesifiserer tilstanden. Den har nå en tidsutvikling

|\Psi ,t\rangle =e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }|\Psi \rangle =\sum _{n=1}^{N}C_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar }|E_{n}\rangle

Dermed kan den generelle løsningen av den tidsavhengige Schrödinger-ligningen skrives som

\psi _{m}(t)=\langle m|\Psi ,t\rangle =\sum _{n=1}^{N}C_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar }\langle m|E_{n}\rangle

og inneholder eksplisitt egenverdiene til Hamilton-operatoren. I tillegg avhenger den av sannsynlighetsamplitudene $\langle m|E_{n}\rangle$ som erm-komponentene til de tilsvarende egenvektorene.

I Heisenbergs første arbeid om matrisemekanikk benyttet han en slik energibasis hvor Hamilton-operatoren var representert ved en diagonal matrise.^[9]

Eksempel: Hydrogenmolekyl

[rediger |rediger kilde]

Et system med bare to tilstander vil gi en enkel illustrasjon av denne kvantemekaniske formalismen. Hamilton-operatoren er da representert ved en 2×2 matrise og systemets tidsutvikling kan lett beregnes. For å være mer konkret, kan man tenke seg et ioniserthydrogenmolekyl. Det har ett elektron som er påvirket av toproton som man kan tenke seg ligger i ro. I den enkleste beskrivelsen av dette systemet tenker man seg at elektronet kan befinne seg ved det ene eller det andre protonet. Det tilsvarer å innføreN = 2 basistilstander $|1\rangle$ og $|2\rangle .$ En mer detaljert fremstilling av molekylet ville krevd en enda større basis, men dette minimale valget vil likevel gi nyttig informasjon om dets kvantefysikk.^[19]

Den tidsavhengige Schrödinger-ligningen gir nå de to ordnære differensialligningene

{\begin{aligned}i\hbar {d\psi _{1} \over dt}&=H_{11}\psi _{1}+H_{12}\psi _{2}\\i\hbar {d\psi _{2} \over dt}&=H_{21}\psi _{1}+H_{22}\psi _{2}\end{aligned}}

Da Hamilton-operatoren er hermitisk, må de to elementeneH₁₁ =E₁ ogH₂₂ =E₂ være reelle. I tillegg må man ut fra symmetrien til systemet ha at de er like store,E₁ =E₂ =E₀. De ikke-diagonale elementeneH₁₂ ogH₂₁ er av samme grunn komplekst konjugerte av hverandre, men kan velges reelle med den hensiktsmessige verdien -A ved et passende valg av basisvektorer. Hamilton-operatoren for dette systemet blir på denne måten representert ved matrisen

H={\begin{pmatrix}E_{0}&-A\\-A&E_{0}\end{pmatrix}}

hvor bådeE₀ ogA antas å være positive størrelser. De ikke-diagonale elementene betyr at hvis elektronet befinner seg ved ett proton, har det en viss sannsynlighet for å hoppe over til det andre.^[19]

Elektronet kan være nær det ene eller det andre protonet i hydrogenmolekylet. Det tilsvarer de to kvantetilstandene $|1\rangle$ og $|2\rangle .$

{\displaystyle |1\rangle } — Elektronet kan være nær det ene eller det andre protonet i hydrogenmolekylet. Det tilsvarer de to kvantetilstandene $|1\rangle$ og $|2\rangle .$

Egenverdiene til systemet kan nå finnes direkte ved å legge sammen eller ved å trekke de to ligningene fra hverandre. Det gir atψ₁ +ψ₂ er amplituden for en egentilstand med energiE₀ -A. Den tilsvarende egenvektorer er $|E_{+}\rangle =|1\rangle +|2\rangle .$ Likedan representererψ₁ -ψ₂ en egenvektor $|E_{-}\rangle =|1\rangle -|2\rangle$ med egenverdiE₀ +A. De utgjør de to stasjonære tilstandene for systemet. Hvis elektronet starter ut i en av disse tilstandene, vil sannsynligheten for at det forblir i samme tilstand, ikke forandre seg med tiden.

Hvis derimot elektronet i utgangspunktet ikke befinner seg i en energetisk egentilstand, vil sannsynligheten for å bli værende i denne, variere ettersom tiden går. Det kan man for eksempel se ved å anta at elektronet ved tident = 0 befinner seg i posisjon $|1\rangle .$ Løsning av de to ligningene gir da

\psi _{1}(t)=e^{-iE_{0}t/\hbar }\cos At/\hbar ,\;\;\;\;\psi _{2}(t)=ie^{-iE_{0}t/\hbar }\sin At/\hbar

Sannsynligheten for å være ved det ene eller ved det andre protonet vil da variere som $P_{1}=|\psi _{1}(t)|^{2}=\cos ^{2}\!At/\hbar$ og $P_{2}=|\psi _{2}(t)|^{2}=\sin ^{2}\!At/\hbar .$ Elektronet vil oscillere mellom de to protonene med en frekvens som er gitt ved det ikke-diagonale elementetA. Systemet er unitært i den forstand at $P_{1}+P_{2}=1$ og uttrykker bevarelse av sannsynlighet.

Den stasjonære tilstanden $|E_{+}\rangle$ representerer enbunden tilstand da den har lavere energi enn om elektronet sitter bundet til bare én av protonene. Tilstanden er symmetrisk i de to protonene og man kan ikke med sikkerhet si om elektronet er på det ene eller andre av disse. Det befinner seg på et vis mellom dem og holder molekylet sammen. I denne tilstanden er det plass til enda et elektron som gir et sterkere bundet, nøytralt hydrogenmolekyl. På grunn avPaulis eksklusjonsprinsipp vil et tredje elektron måtte plasseres i den energetisk høyere tilstanden $|E_{-}\rangle$ . Et negativt ladet hydrogenmolekyl vil dermed være ustabilt i overensstemmelse med hva som er kjent fra detskjemi.^[20]

Posisjonsbasis

[rediger |rediger kilde]

Hvis man betrakter en partikkel som kan klassisk kan befinne seg på et av en mengde diskrete punkterx₁,x₂, ..,x_N i et større molekyl eller i en krystall, kan en man i en kvantemekanisk beskrivelse benytte et tilsvarende sett med basisvektorer $|x_{1}\rangle ,|x_{2}\rangle ,\ldots |x_{N}\rangle$ . De er ortonormerte på den måten at $\langle x_{i}|x_{j}\rangle =\delta _{ij}$ når man på høyre side benytter etKronecker-delta. Identitetsoperatoren i denne basisen er dermed

{\hat {I}}=\sum _{n=1}^{N}|x_{n}\rangle \langle x_{n}|

En vilkårlig tilstandsvektor $|\psi \rangle$ kan da representeres vedN sannsynlighetsamplituder $\psi _{n}=\langle x_{n}|\psi \rangle$ som generelt vil variere med tiden.

Av større betydning er å betrakte en partikkel som kan bevege seg på en rett linje med en koordinat. Kalles denne forx, vil man da innføre kvantemekaniske basistilstander $|x\rangle .$ De må da betraktes som egenvektorer til en posisjonsoperator ${\hat {x}}$ slik at ${\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle .$

Da koordinatenx varierer kontinuerlig , vil det tilsvarende Hilbert-rommet dermed få uendelig mange dimensjoner. Som for det diskrete tilfellet er det nå naturlig å definere identitetsoperatoren ved integralet

{\hat {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }\!dx\,|x\rangle \langle x|

som har et abstrakt innhold, men kan benyttes på en konkret måte. For eksempel, en tilstand $|x'\rangle .$ kan skrives som

|x'\rangle ={\hat {I}}|x'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\!dx\,|x\rangle \langle x|x'\rangle

For at dette sal være konsistent, må man derfor ha den kontinuerlige normeringen

\langle x|x'\rangle =\delta (x-x')

som uttrykkes vedDiracs deltafunksjon. For en vilkårlig funksjonf(x ) er den definert ved integralet

\int _{-\infty }^{\infty }\!dx\,f(x)\delta (x-a)=f(a)

Den bidrar bare i punktetx =a og er null ellers. Denne singulære egenskapen er ikke noe problem i praktiske anvendelser av funksjonen. På samme måte vil representasjon av operatorer i denne basisen gi opphav til matriser med kontinuerlige indekser. Likevel vil den formelle strukturen av Diracs kvantemekanikk ble bevart uten særlige forandringer.^[17]

Når partikkelen befinner seg i en generell tilstand $|\psi \rangle$ , er sannsynlighetsamplituden for at den befinner seg i posisjonx gitt ved projeksjonen

\psi (x)=\langle x|\psi \rangle

Dette erbølgefunksjonen til partikkelen og kan betraktes som komponenten av tilstandsvektoren ix-retning.

Translasjoner og impuls

[rediger |rediger kilde]

For partikler som kan bevege seg på en åpen linje, kan vi fritt velgeorigo hvor vi vil. Det tilsvarer at i stedet for basisvektorene $|x\rangle$ kan vi benytte et nytt sett

|x'\rangle =|x+a\rangle ={\hat {T}}(a)|x\rangle

som finnes ved bruk av «translasjonsoperatoren» ${\hat {T}}(a).$ På samme måte somtidsutviklingsoperatoren ${\hat {U}}(t)$ foretar en forflytning av systemet i tid, vil translasjonsoperatoren forflytte systemet i rommet. Den må på samme måte være en unitær operator som kan skrives på den generelle formen

{\hat {T}}(a)=e^{-i{\hat {p}}a/\hbar }

hvor ${\hat {p}}$ er en hermitisk operator. Den er generator for infinitesimale eller veldig korte translasjoner i rommet.^[18]

Under en endelig translasjon vil bølgefunksjonen forandres til

\psi (x+a)=\langle x+a|\psi \rangle =\langle x|e^{i{\hat {p}}a/\hbar }|\psi \rangle

I grensen dera → 0, er derfor forandringen generelt gitt ved

{\begin{aligned}&\psi (x)+a{\partial \psi  \over \partial x}=\langle x|{\hat {I}}+{i \over \hbar }{\hat {p}}a|\psi \rangle \\&=\psi (x)+{i \over \hbar }a\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle \end{aligned}}

På denne måten kommer man frem til det viktige resultatet

\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\partial  \over \partial x}\langle x|\psi \rangle

for denne generatoren. Da den er en hermitisk operator, vil den ha reelle egenverdier. Skriver man de tilsvarende egenvektorene som $|p\rangle$ med ${\hat {p}}|p\rangle =p|p\rangle ,$ vil bølgefunksjonen $\psi _{p}(x)=\langle x|p\rangle$ for denne egentilstanden oppfylle den enkle differensialligningen

p\,\psi _{p}(x)=-i\hbar {\partial  \over \partial x}\psi _{p}(x)

Gravstein tilMax Born og hans kone iGöttingen.

Løsningen kan skrives som den plane bølgen

\psi _{p}(x)=\langle x|p\rangle =e^{ipx/\hbar }

når man setter dens amplitude til å være lik med én. Dette er bølgefunksjonen for en fri partikkel med impulsp. Generatoren ${\hat {p}}$ for translasjoner langsx-aksen er derfor impulsoperatoren for samme retning.^[18]

Ut fra dette ser man at Schrödingers bølgemekanikk oppstår som fremstilling av en mer generell kvantemekanikk hvor man har valgt å benytte en koordinatbasis. Generelt har man nå at

\langle x|{\hat {p}}^{n}|\psi \rangle =(-i\hbar \partial _{x})^{n}\langle x|\psi \rangle

og derfor

\langle x|F({\hat {x}},{\hat {p}})|\psi \rangle =F(x,-i\hbar \partial _{x})\langle x|\psi \rangle

Hvis ${\hat {F}}=F({\hat {x}},{\hat {p}})$ er en hermitisk operator, er rekkefølgen til operatorene ${\hat {x}}$ og ${\hat {p}}$ viktig der de opptrer sammen. Dette kan tydeliggjøres ved å regne ut amplituden

\langle x|{\hat {x}}{\hat {p}}|\psi \rangle =x\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-ix\hbar \partial _{x}\psi

Sammenlignes den med den tilsvarende amplituden

\langle x|{\hat {p}}{\hat {x}}|\psi \rangle =-i\hbar \partial _{x}(x\psi )=-i\hbar (\psi +x\partial _{x}\psi ),

finnes nå ved subtraksjon at kommutatoren

[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar

da det funne resultat må være gyldig for alle funksjoner $\psi (x).$ Det var Heisenberg som kom frem til denne sammenhengen i sitt første arbeid om matrisemekanikk, men det varMax Born som innså dens kanoniske betydning. Den er risset inn på hans gravstein iGöttingen.

Impulsbasis

[rediger |rediger kilde]

Egenvektorene $|p\rangle$ til impulsoperatoren ${\hat {p}}$ danner et fullstendig sett og kan benyttes som en ny basis i Hilbert-rommet. Den er nå normert på en tilsvarende måte som for posisjonsbasisen. Det følger fra innsettelse av en enhetsoperator som gir

{\begin{aligned}\langle p'|p\rangle &=\langle p'|{\hat {I}}|p\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\!dx\,\langle p'|x\rangle \langle x|p\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\!dx\,e^{i(p-p')x/\hbar }\\&=2\pi \hbar \,\delta (p'-p)\end{aligned}}

når man benytter standardintegralet som definererdelta-funksjonen.

På lignende måte kan innføre en bølgefunksjon i dette impulsrommet som representasjon av en tilstand $|\psi \rangle .$ Den kan defineres ved komponenten ${\bar {\psi }}(p)=\langle p|\psi \rangle$ og er en projeksjonen av tilstandsvektoren på basisvektoren. Sammenhengen med den tilsvarende bølgefunksjonen i koordinatrommet følger nå på samme vis fra

{\bar {\psi }}(p)=\int _{-\infty }^{\infty }\!dx\,\langle p|x\rangle \langle x|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\!dx\,\psi (x)\,e^{-ipx/\hbar }

som viser at de er hverandresFourier-transformerte. Den inverse transformasjonen er derfor

\psi (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\!{dp \over 2\pi \hbar }{\bar {\psi }}(p)\,e^{ipx/\hbar }

som igjen følger fra definisjonen av delta-funksjonen.

Mens impulsoperatoren kan her behandles som et vanlig tall, vil posisjonsoperatoren ${\hat {x}}$ virke som enderivasjon. Det følger fra

\langle p|{\hat {x}}|x\rangle =x\langle p|x\rangle =xe^{-ipx/\hbar }=i\hbar \partial _{p}\langle p|x\rangle

som gir mer generelt for en vilkårlig tilstand at

\langle p|{\hat {x}}|\psi \rangle =i\hbar \partial _{p}\langle p|\psi \rangle

Posisjonsoperatoren kan derfor erstattes med derivasjonsoperatoren $i\hbar \partial _{p}$ når den virker på bølgefunksjoner i impulsrommet.

Tre dimensjoner

[rediger |rediger kilde]

For å lokalisere en partikkel som kan bevege seg i et tredimensjonalt rom, kan man brukekartesiske koordinater. Dens posisjon er da gitt ved vektoroperatoren

{\hat {\mathbf {x} }}=\sum _{a=1}^{3}{\hat {x}}_{a}\mathbf {e} _{a}.

med ortonormerte basisvektorer $\mathbf {e} _{a}\cdot \mathbf {e} _{b}=\delta _{ab}.$ Den har egentilstander $|\mathbf {x} \rangle =|x\rangle |y\rangle |z\rangle$ slik at ${\hat {\mathbf {x} }}|\mathbf {x} \rangle =\mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle .$ Normeringen tas over fra én dimensjon og er derfor

\langle \mathbf {x} |\mathbf {x} '\rangle =\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')

når man skriver $\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')=\delta (x-x')\delta (y-y')\delta (z-z').$ Enhetsoperatoren I tre dimensjoner er derfor

{\hat {I}}=\int \!d^{3}x\,|\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {x} |

når man benytter denne normeringen.^[18]

Operatoren for translasjonen $\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x} '=\mathbf {x} +\mathbf {a} \;$ er

{\hat {T}}(\mathbf {a} )=e^{-i{\hat {\mathbf {p} }}\cdot \mathbf {a} /\hbar }

hvor ${\hat {\mathbf {p} }}$ er impulsoperatoren I tre dimensjoner. Dens egentilstander $|\mathbf {p} \rangle$ får nå normeringen

\langle \mathbf {p} '|\mathbf {p} \rangle =(2\pi \hbar )^{3}\delta (\mathbf {p} '-\mathbf {p} )

og kan representeres ved bølgefunksjonen

\psi _{\mathbf {p} }(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} |\mathbf {p} \rangle =e^{i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} /\hbar }

i koordinatrommet. På tilsvarende vis er en generell tilstand $|\psi \rangle$ representert ved bølgefunksjon

\psi (\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} |\psi \rangle

Den er relatert til en ekvivalent bølgefunksjon ${\bar {\psi }}(\mathbf {p} )=\langle \mathbf {p} |\psi \rangle$ i impulsrommet ved Fourier-integralet

\psi (\mathbf {x} )=\int \!{d^{3}p \over (2\pi \hbar )^{3}}{\bar {\psi }}(\mathbf {p} )\,e^{i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} /\hbar }

Impulsoperatoren ${\hat {\mathbf {p} }}$ er representert ved $-i\hbar \partial _{\mathbf {x} }$ i koordinatrommet hvor $\partial _{\mathbf {x} }$ ernabla-operatoren ${\boldsymbol {\nabla }}$ med komponenter $(\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}).$ Egenverdiligningen ${\hat {H}}|\psi \rangle =E|\psi \rangle$ med Hamilton-operatoren

{\hat {H}}={{\hat {\mathbf {p} }}^{2} \over 2m}+V({\hat {\mathbf {x} }})

gir dermed den tidsuavhengige Schrödinger-ligningen

{\Big [}-{\hbar ^{2} \over 2m}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}+V(\mathbf {x} ){\Big ]}\psi (\mathbf {x} )=E\psi (\mathbf {x} )

når den blir representert i det tredimensjonale koordinatrommet.

På tilsvarende vis er posisjonsoperatoren ${\hat {\mathbf {x} }}$ representert ved $i\hbar \partial _{\mathbf {p} }$ i impulsrommet som også kan benyttes til å gi en ny representasjon av Schrödinger-ligningen. Derimot vil den kanoniske kommutator i tre dimensjoner alltid være

[{\hat {x}}_{a},{\hat {p}}_{b}]=i\hbar \,\delta _{ab}

uansett hvordan disse to konjugerte operatorene blir representert.

Rotasjoner og dreieimpuls

[rediger |rediger kilde]

Under rotasjon med en vinkelφ omz-aksen vil de to andre koordinatene forandres til

{\begin{aligned}x\rightarrow x'&=x\cos \phi -y\sin \phi \\y\rightarrow y'&=x\sin \phi +y\cos \phi \end{aligned}}

Når dreievinkelen blir tilstrekkelig litenδφ, kan man settecosφ = 1 ogsinφ =δφ. Koordinatforandringene blir dermedδx =x' - x = -yδφ ogδy =y' - y =xδφ. Ved å benytte enhetsvektorene_z langsz-aksen, kan denne forandringen skrives mer kompakt somδ r =δφ e_z × r. Generelt kan derfor effekten av den samme rotasjonen om en vilkårlig enhetsvektorn skrives

\delta \mathbf {r} =\mathbf {r} '-\mathbf {r} =\delta \phi \,\mathbf {n} \times \mathbf {r}

Det er derfor naturlig å betrakteδφ n =δ φ som en vektoriell vinkel som også angir retningen til rotasjonsaksen.

På samme måte som en klassisk translasjon av en posisjonsvektor fører til en tilsvarende translasjonsoperator, vil en rotasjon kvantemekanisk være gitt ved en rotasjonsoperator ${\hat {R}}$ definert ved

|\mathbf {r} \rangle \rightarrow |\mathbf {r} '\rangle ={\hat {R}}({\boldsymbol {\phi }})|\mathbf {r} \rangle

for en endelig rotasjon ${\boldsymbol {\phi }}=\phi \,\mathbf {n} .$ Operatoren må være unitær og vil derfor ha formen

{\hat {R}}({\boldsymbol {\phi }})=\exp(-{i \over \hbar }{\hat {\mathbf {L} }}\cdot {\boldsymbol {\phi }})

hvor $\;{\hat {\mathbf {L} }}\;$ er en hermitisk operator som genererer infinitesemale rotasjoner. Da vil bølgefunksjon $\psi (\mathbf {r} )=\langle \mathbf {r} |\psi \rangle$ gå over til å bli

\psi (\mathbf {r} +\delta \mathbf {r} )=\langle \mathbf {r} '|\psi \rangle =\psi (\mathbf {r} )+{i \over \hbar }\langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {L} }}\cdot \delta {\boldsymbol {\phi }}|\psi \rangle

Da denne lille forandringen er

{\begin{aligned}\delta \psi (\mathbf {r} )&=\psi (\mathbf {r} ')-\psi (\mathbf {r} )=\delta \mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\psi \\&=(\delta {\boldsymbol {\phi }}\times \mathbf {r} )\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\psi =\delta {\boldsymbol {\phi }}\cdot (\mathbf {r} \times {\boldsymbol {\nabla }})\psi ,\end{aligned}}

kommer man frem til det viktige resultatet

\langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {L} }}|\psi \rangle =-i\hbar \,\mathbf {r} \times {\boldsymbol {\nabla }}\psi (\mathbf {r} )

Selv om det er her utledet i koordinatbasis, er likevel dreieimpulsoperatoren ${\hat {\mathbf {L} }}={\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}$ alltid generatoren for rotasjoner.^[14]

Aktive transformasjoner

[rediger |rediger kilde]

Når rotasjonsoperatoren ${\hat {R}}({\boldsymbol {\phi }})$ utledes som her ved å ta den virke på basisvektorene, sies transformasjonen å værepassiv. I dette bildet påvirkes ikke tilstandsvektoren $|\psi \rangle$ av operasjonen. Men vektoren vil ha nye komponenter i den transformerte basisen

\psi (\mathbf {r} ')=\langle \mathbf {r} '|\psi \rangle =\langle \mathbf {r} |{\hat {R}}(-{\boldsymbol {\phi }})|\psi \rangle

da ${\hat {R}}^{\dagger }({\boldsymbol {\phi }})={\hat {R}}^{-1}({\boldsymbol {\phi }})={\hat {R}}(-{\boldsymbol {\phi }}).$ Denne sammenhengen kan alternativt forstås som at den samme transformasjonen virker på selve tilstandsvektoren og dreier den i motsatt retning $-{\boldsymbol {\phi }}.$ Enaktiv rotasjon med rotasjonsvinkel ${\boldsymbol {\phi }}$ vil da være

|\psi \rangle \rightarrow |\psi '\rangle ={\hat {R}}({\boldsymbol {\phi }})|\psi \rangle

Den påvirker ikke basisvektorene slik at komponentene til den roterte tilstandsvektoren blir

\psi '(\mathbf {r} )=\langle \mathbf {r} |\psi '\rangle =\langle \mathbf {r} |{\hat {R}}({\boldsymbol {\phi }})|\psi \rangle

uttrykt i de opprinnelige koordinatene. Denne nye funksjonen har den spesielle egenskapen at $\;\psi '(\mathbf {r'} )=\psi (\mathbf {r} ).$ Det er en konsekvens av det unitære kravet ${\hat {R}}^{\dagger }{\hat {R}}={\hat {I}}$ og gjelder også for translasjoner i rommet. For de fleste anvendelser av kvantemekanikken benyttes slike aktive transformasjoner.

Videre utvikling

[rediger |rediger kilde]

Men de grunnleggende idéene til kvantemekanikken kom fra beskrivelsen av enkelte partikler, skyldtes dens videre utvikling en utvidet forståelse av egenskapene til mange identiske partikler. Allerede i 1924 hadde den indiske fysikerSatyendra Nath Bose vist hvordanPlancks teori forvarmestrålingen kunne forklares ved å benytte en ny opptelling av kvantetilstandene for et slikt system.Einstein forsto med en gang at denne nyekvantestatistikken også kan benyttes for massive partikler og kalles nå forBose-Einstein-statistikk. Den er tett knyttet tilbølgemekanikken og var det problemet Schrödinger arbeidet med da han utviklet sin bølgeligning. Partikler som beskrives ved denne typestatistisk mekanikk kalles nå forbosoner.^[1]

Spinn-1/2 og fermioner

[rediger |rediger kilde]

For å forklare oppbyggingen av detperiodiske systemet og egenskapene tilkarakteristisk røntgenstråling innførteWolfgang Pauli i 1925 sitteksklusjonsprinsipp for elektroner. Det sa at kun ett elektroner kan befinne seg i samme kvantetilstand når man tar hensyn til detsspinn-1/2 som ble oppdaget senere samme år.

Basert på dette prinsippet beregnetEnrico Fermi i 1926 de statistiske egenskapene til et stort antall elektroner bundet i et tredimensjonalt,harmonisk oscillator potensial. Lignende betraktninger avPaul Dirac som benyttet at bølgefunksjonen for et slikt system må være antisymmetrisk, førte tilFermi-Dirac statistikk. Den gjelder for partikler med halvtallig spinn ellerfermioner, mens Bose-Einstein statistikk må anvendes for partikler med heltallig spinn.^[14]

Andrekvantisering

[rediger |rediger kilde]

En helt ny måte å beskrive kvantesystemer med mange partikler ble klarlagt av Dirac i 1927 da han viste hvordan detelektromagnetiske feltet kan kvantiseres. På denne måten blebølge–partikkel-dualiteten mellom et foton som på den ene siden kan omtales som en partikkel og samtidig beskrives som en bølge, bedre forstått. Denne første feltkvantisering blir i dag vanligvis omtalt somkvantisert strålingsteori som etter hvert utviklet seg til dagenskvanteelektrodynamikk.

Da det ikke lenger var posisjonen og impulsen til en partikkel som kvantiseres, men det klassiskeMaxwell-feltet styrt avMaxwells ligninger, ble denne utvidelsen omtalt som enandrekvantisert teori. Da er ikke lenger antall partikler konstant, men de kan oppstå og forsvinne i forskjellige prosesser. Når et foton for eksempel blir sendt ut fra et atom ved en overgang fra et energinivå til et lavere nivå, så blir fotonet skapt i det øyeblikket. Det eksisterte ikke i atomet på et tidligere tidspunkt. Teorien vil derfor inneholdekreasjon og annihilasjonsoperator som adderer eller fjerner partikler fra systemet.^[1]

Omtrent på samme tid utvikletPascual Jordan ogOskar Klein en tilsvarende beskrivelse for ikke-relativistiske partikler. Deres bølgeligning vil da være den tidsavhengige Schrödinger-ligningen hvor bølgefunksjonen må betraktes som enfelt-funksjon for disse identiske bosonene.

Sammen medEugene Wigner viste Jordan noen måneder senere hvordan også ikke-relativistiske fermioner kan beskrives på denne måten. Ved utsendelse av lys fra et atom, er det da ikke bare et foton som blir skapt, men et elektron blir fjernet fra en tilstand i atomet og et nytt elektron blir skapt i en ny tilstand med lavere energi.

Relativistisk kvantemekanikk

[rediger |rediger kilde]

Da Schrödinger utviklet sin kvantemekaniske bølgeligning, ville han at den skulle være i overensstemmelse med Einsteinsspesielle relativitetsteori. Ved å anvende den på hydrogenatomet kom han frem tilBohrs formel for energinivåene, men også med mindre,relativistiske korreksjoner til disse. De viste seg å ikke stemme med målte verdier. Han forkastet derfor denne relativistiske bølgeligningen som senere har fått navnetKlein-Gordon-ligningen og publiserte bare den ikke-relativistiske Schrödinger-ligningen.^[8]

Et annet og viktigere problem med den relativistiske bølgeligningen var at den ikke kunne gi en positiv sannsynlighetstetthet. Grunnen var at den i tillegg til de andrederiverte med hensyn på de romlige koordinatene, også inneholdt en andrederivert med hensyn på tiden. Denne observasjon fikk Dirac til å søke etter en relativistisk bølgeligning som var lineær i de førstederiverte med hensyn på alle fire koordinater. Resultatet ble hans relativistiskeDirac-ligning som ble publisert i 1928. Den viste seg også å girelativistiske korreksjoner til energinivåene i hydrogenatomet som var i overensstemmelse med observasjonene.^[21]

I tillegg ble det klart at ligningen til Dirac automatisk beskriver partikler medspinns = 1/2 som man allerede visste elektronet måtte ha. Dette spinnet koblet også til et ytremagnetfelt med engyromagnetisk faktorg = 2. Denne verdien er dobbelt så stor som den klassiske og var tidligere et mysterium.

Men både Klein-Gordon-ligningen og Dirac-ligningen ga opphav til nye problem. Det første ble påvist avOskar Klein i 1929 da han beregnet spredning av elektroner mot en tilstrekkelig høypotensialbarriere. Han kom da frem til at det ble reflektert flere partikler enn det ble sendt inn, noe som synes å stride mot bevarelse av sannsynlighet i kvantemekanikken. Dette problemet er i ettertid blitt kalt forKleins paradoks.^[21]

Det andre problemet var at begge disse relativistiske bølgeligningene forutsa frie partikler som kunne ha negative energier. Slike løsninger kan ikke aksepteres i klassisk fysikk. Dirac argumenterte med at alle disse uønskete tilstandene var fylt opp i en negativ bakgrunn eller «sjø» i overensstemmelse med Paulis eksklusjonsprinsipp for elektroner. En eksitasjon av et slikt elektron med negativ energi til en tilstand med positiv energi, ville skape et «hull i sjøen» som kunne observeres som en partikkel med positiv ladning. Han trodde først at det kunne være etproton, menRobert Oppenheimer påpekte i 1930 at da ville hydrogenatomet bli ustabilt ved at elektron og proton kunne annihihilere hverandre. Året etter konkluderte Dirac med at løsningene med negativ energi må beskrive elektronetsantipartikkel som må ha samme masse og motsatt ladning. Vel ett år senere blepositronet oppdaget ikosmisk stråling.^[1]

Kvantefeltteori

[rediger |rediger kilde]

Problemene rundt Kleins paradoks og partikler med negativ energi skyldes at både Klein-Gordon-ligningen og Dirac-ligningen var blitt benyttet som om de skulle gi en relativistisk beskrivelse av kun én partikkel. Tilstedeværelse av antipartikler kan generelt ikke unngås. Ligningene er ikke bølgeligninger på like fot med den ikke-relativistiske Schrödinger-ligningen, men dermot bevegelsesligninger for relativistiske felt. Mens Klein-Gordon-ligningen beskriver etbosonfelt for partikler med spinns = 0, gjelder Dirac-ligningen forfermionfelt med spinns = 1/2.

Den første kvantisering av Maxwell-feltet for fotoner ble gjort av Dirac i 1927. Året etterpå viste Jordan og Pauli hvordan dette var konsistent med spesiell relativitetsteori. Den første, systematiske kvantisering av felt for massive partikler ble lansert av Heisenberg og Pauli i 1929. Dermed var en ikke-kovariantkvanteelektrodynamikk etablert hvor både partikler og det elektromagnetiske feltet var kvantiserte. Det var nå mulig å beregnespredningstverrsnittet for relativistiskCompton-spredningsom kan uttrykkes vedKlein-Nishinas formel.^[22]

Relativistisk kvanteelektrodynamikk omhandlet de første årene bare fotoner og elektroner. I 1932 publiserteEnrico Fermi en mer pedagogisk fremstilling av teorien som fikk stor betydning.^[23] Samme år blenøytronet påvist som en fri partikkel. Tidligere hadde man indirekte betraktet det i atomkjernen som en bunden tilstand av et proton og et elektron. Vedbetahenfall ble elektronet sendt ut sammen med etnøytrino, og nøytronet gikk over til å bli et proton. Hvis nå elektronet likevel ikke fantes bundet i atomkjernen, ble spørsmålet hvor det kom fra i denne prosessen. Svaret kom medFermis vekselvirkning som inneholderkvantefeltoperatorer for elektronet og nøytrinoet. Begge må da tenkes skapt fra intet. Denne forklaringen som stemte i detalj med nøyaktige observasjoner, kom Fermi med allerede i 1933 og styrket troen på at relativistiskkvantefeltteori ville gi en korrekt beskrivelse av egenskapene til også andreelementærpartikler.

I de følgende årene ble det konstatert at kvantefeltteoriene ga divergent resultat for de fleste prosesser når man foretok beregninger til høyere orden iperturbasjonsteori. Først etterandre verdenskrig ble disse nye problemene forstått og løst med en fremgangsmåte som nå omtales somrenormalisering. Siden er det blitt utviklet kvantefeltteorier for alle elementærpartiklene. Det har gjort det mulig å beregne deres egenskaper og vekselvirkninger i full overennsstemmelse med alle observasjoner. Disse teoriene utgjør det som i dag omtales somStandardmodellen.^[22]

Feynmans veiintegral

[rediger |rediger kilde]

Etterandre verdenskrig utvikletRichard Feynman en ny formulering av kvantemekanikken som på noen måter var mer generell enn den som tidligere var etablert avHeisenberg ogSchrödinger. Den tok sitt utgangspunkt i den klassiskeLagrange-funksjonen istedenforHamilton-funksjonen som den kvantemekaniskeHamilton-operatoren bygger på. Denne gir energien til systemet og peker dermed ut en bestemt retning i det firedimensjonaleMinkowski-rommet. Av den grunn kan dette gi vanskeligheter med å bevare overensstemmelse medEinsteins spesielle relativitetsteori. Derimot er Lagrange-funksjonen enskalar størrelse slik at disse problemene med relativistisk invarians ikke er tilstede i Feynmans formulering.

Basert på Lagrange-funksjonen for et system kan detsklassiske virkning beregnes. Feynman viste at denne kunne benyttes til å gi hver mulig tidsutvikling som et system kunne ha, en kvantemekanisk sannsynlighetsamplitude. Den totale amplituden for en overgang fra en tilstand til en annen, ville da være gitt ved summen av alle enkeltamplitudene for hver slik vei. I den kontinuerlige grensen går denne summen over til etveiintegral. Dette kan formuleres både for ikke-relativistiske partikler og relativistiske kvantefeltteorier.^[24]

De første årene ble Feynmans veiintegral lite brukt i konkrete beregninger. Men i det arbeidet som var forbundet med å etablere Standardmodellen for elementærpartiklene, viste det seg snart at denne alternative formuleringen hadde store fordeler. I dag er det denne som dominerer alle teoretisk betraktninger på dette feltet.^[25]

Se også

[rediger |rediger kilde]

Referanser

[rediger |rediger kilde]

^^a ^b ^c ^d ^e ^f ^gA. Pais,Inward Bound, Oxford University Press, England (1986).ISBN 0-19-851971-0.
^^a ^b ^c ^d ^eD. Bohm,Quantum Theory, Dover Books, New York (1989).ISBN 0-486-65969-0.
^A. Einstein,Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt, Annalen der Physik322 (6), 132-148 (1905).PDF
^R.P. Feynman,Photons - Corpuscles of Light, forelesning ved universitetet i Auckland (1979).
^H. Kragh,Niels Bohr and the Quantum Atom, Oxford University Press, Oxford (2012).ISBN 0-19-965498-0.
^A. Sommerfeld,Atombau und Spektrallinien, Verlag von Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig (1919).
^^a ^bM. Born,Atomic Physics, Blackie & Son Limited, Glasgow (1962).
^^a ^b ^c ^d ^eM. Longair,Quantum Concepts in Physics, Cambridge University Press, England (2014).ISBN 978-1-107-01709-2.
^^a ^bM. Born,Problems of Atomic Dynamics, MIT Press, Massachusetts (1970).ISBN 0-262-52019-2. Forelesninger vedMIT 1925-26.
^^a ^b ^cS. Weinberg,Lectures on Quantum Mechanics, Cambridge University Press, England (2015).ISBN 978-1-107-11166-0.
^W. Pauli,Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik, Zeitschrift für Physik36 (5), 336–363 (1926).PDF
^P.A.M. Dirac,Quantum mechanics and a preliminary investigation of the hydrogen atom, Proc. Roy. Soc.A110, 561-579 (1926).
^^a ^b ^c ^d ^eD.J. Griffiths,Quantum Mechanics, Pearson Education International, Essex (2005).ISBN 1-292-02408-9.
^^a ^b ^c ^dA.S. Davydov,Quantum Mechanics, Pergamon Press, London (1965).
^P. Ball,Beyond Weird, Penguin Random House, London (2018).ISBN 978-1-84792457-5.
^^a ^b ^c ^dR.P. Feynman,Lectures on Physics, Volume III,Caltech (1964).Online versjon
^^a ^b ^c ^dP.A.M. Dirac,The Principles of Quantum Mechanics, Oxford at the Clarendon Press, Oxford (1947).
^^a ^b ^c ^d ^eE. Merzbacher,Quantum Mechanics, John Wiley & Sons, New York (1961).
^^a ^bR.P. Feynman,Other Two-State Systems, Feynman Lectures atCaltech (1964).
^P.W. Atkins,Physical Chemistry, Oxford University Press, Oxford (1988).ISBN 0-19-855186-X.
^^a ^bJ.D. Bjorken and S.D. Drell,Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Company, New York (1964).
^^a ^bS.S. Schweber,QED and the Men Who Made It, Princeton University Press, New Jersey (1994).ISBN 0-691-03327-7.
^E. Fermi,Quantum Theory of Radiation, Reviews of Modern Physics4 (1), 87–132 (1932).PDF
^ R.P. Feynman and A.R. Hibbs,Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill Book Company, New York (1965).
^ M.E. Peskin and D.V. Schroeder,An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley, Reading MA (1995).ISBN 0-201-50397-2.

Eksterne lenker

[rediger |rediger kilde]

Kvantefysisk abrakadabra - artikkel fra forskning.no 5.10.05
Den knøttlille fysikken- artikkel fra forskning.no 20.4.13
Veritasium,Something Strange Happens When You Trust Quantum Mechanics, YouTube video som forklarer hvorforFeynmans veiintegral gir en ny forståelse av virkelighten.

v d r Fagområder innenfysikk
Akustikk ·Astrofysikk ·Kondenserte fasers fysikk ·Elektromagnetisme ·Geofysikk ·Mekanikk ·Klassisk mekanikk ·Kontinuumsmekanikk ·Kvantemekanikk ·Termodynamikk ·Kjernefysikk ·Optikk ·Partikkelfysikk ·Psykofysikk ·Kvantefeltteori ·Relativitetsteorien (spesiell ·generell)
Kategori

Oppslagsverk/autoritetsdata	Store norske leksikon·Store Danske Encyklopædi·Encyclopædia Britannica·Stanford Encyclopedia of Philosophy·Brockhaus Enzyklopädie·Nationalencyklopedin·GND·LCCN·BNF·BNF (data)·SUDOC·NDL·NKC·BNE·BBC Things

Hentet fra «https://no.wikipedia.org/w/index.php?title=Kvantemekanikk&oldid=25050477»

Kategori:

Kvantemekanikk

Skjulte kategorier:

[8]ページ先頭