Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

コンテンツにスキップ
Wikipedia
検索

差集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）
出典検索?: "差集合" – ニュース ·書籍 ·スカラー ·CiNii ·J-STAGE ·NDL ·dlib.jp ·ジャパンサーチ ·TWL(2016年2月)

（さしゅうごう、英:set difference）とは、ある集合の中から別の集合に属する要素を取り去って得られる集合のことである[1]。特に、全体集合U を固定して、U からその部分集合A の要素を取り去って得られる集合をA の補集合という[2]。

定義

[編集]
差集合B −A のベン図による視覚化（左がA、右がB。）:
B∖A  =  Ac∩B{\displaystyle B\setminus A~~=~~A^{c}\cap B}
差集合A −B のベン図による視覚化（左がA、右がB。）:
A∖B  =  A∩Bc{\displaystyle A\setminus B~~=~~A\cap B^{\mathrm {c} }}

集合B から集合A に属する元を間引いて得られる集合を

B∖A,B∖A{\displaystyle B\setminus A,\quad B\smallsetminus A}

またはB −A と表現し、B からA を引いた差、差集合あるいはB におけるA の（相対）補集合と呼ぶ。記号を用いて書けば、

x∈B∖A⟺x∈B∧x∉A,{\displaystyle x\in B\setminus A\iff x\in B\land x\notin A,}

すなわち

B∖A={x∣x∈B∧x∉A}={x∈B∣x∉A}{\displaystyle {\begin{aligned}B\setminus A&=\{x\mid x\in B\land x\notin A\}\\&=\{x\in B\mid x\notin A\}\end{aligned}}}

が差集合の定義である。これはA ∩B とは限らない場合にも定義される。後述の（絶対）補集合の言葉で書けば、B∖A{\displaystyle B\setminus A} とは、B におけるA ∩B の補集合である。なお、一般に集合の差は交換法則を満たさない：

A∖B≠B∖A.{\displaystyle A\setminus B\neq B\setminus A.}

これらが等しくなるのは、A =B のとき、またそのときに限る。

注意

[編集]

集合A,B が加法「＋」を持つ代数系（特に加法群）の部分集合であるとき、B −A は集合{b −a |a ∈A,b ∈B} と紛らわしいので、この記法を使用する場合は注意が必要である。

また、LaTeXで入力するとき、差集合としてはB \backslash A (B∖A{\displaystyle B\backslash A}) ではなくB \setminus A (B∖A{\displaystyle B\setminus A}) を用いるか[3][4]、B \smallsetminus A (B∖A{\displaystyle B\smallsetminus A}) を用いる[5][4]。

例

[編集]
  • P ={1, 3, 5, 7, 9}　(10 以下の奇数の集合)
  • Q ={2, 3, 5, 7}　(10 以下の素数の集合)

このとき

P∖Q={1,9}{\displaystyle P\smallsetminus Q=\{1,9\}}

であり、

Q∖P={2}{\displaystyle Q\smallsetminus P=\{2\}}

である。

補集合

[編集]
補集合のベン図による視覚化（左がA、右がB。）:
Ac  =  ∅c∖A{\displaystyle A^{c}~~=~~\emptyset ^{c}\setminus A}

全体集合や普遍集合[注釈 1]などと呼ばれる（大きな）集合U を固定して、その部分集合についてのみ考えているとき（例えば、U が自然数全体、実数全体やある位相空間であるときなど）U の部分集合A について、

U∖A{\displaystyle U\smallsetminus A}

をA の（絶対）（ほしゅうごう）[注釈 2]といい、U が了解されている文脈では単に

のように表す。

注意

[編集]

P の補集合をP c で表す場合、おおくはP がP の閉包（closure）を表す。逆に、P が補集合を表しているような文脈では、P c でP の閉包を記すことがある。

ド・モルガンの法則

[編集]

P,Q をある集合の部分集合とするとき、

(P∪Q)c=Pc∩Qc(P∩Q)c=Pc∪Qc{\displaystyle {\begin{aligned}(P\cup Q)^{\mathrm {c} }&=P^{\mathrm {c} }\cap Q^{\mathrm {c} }\\(P\cap Q)^{\mathrm {c} }&=P^{\mathrm {c} }\cup Q^{\mathrm {c} }\end{aligned}}}


が成り立つことが分かる[6]。これはもっと一般化できて、{Pλ}λ∈Λ をある基礎となる集合の部分集合の族とするときに、

(⋃λ∈ΛPλ)c=⋂λ∈ΛPλc(⋂λ∈ΛPλ)c=⋃λ∈ΛPλc{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }P_{\lambda }\right)^{\mathrm {c} }&=\bigcap _{\lambda \in \Lambda }P_{\lambda }^{\mathrm {c} }\\\left(\bigcap _{\lambda \in \Lambda }P_{\lambda }\right)^{\mathrm {c} }&=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }P_{\lambda }^{\mathrm {c} }\end{aligned}}}

が成り立つ。これらをド・モルガンの法則という。

この法則は、対応する論理記号の性質（特に双対性）を反映したものである。詳しくは記号論理学の項目を参照。

関連項目

[編集]

注釈

[編集]
  1. ^英:universe
  2. ^英:complement

出典

[編集]
  1. ^「差集合」『ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典』。https://kotobank.jp/word/%E5%B7%AE%E9%9B%86%E5%90%88。コトバンクより2022年2月15日閲覧。 
  2. ^「補集合」『ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典』。https://kotobank.jp/word/%E8%A3%9C%E9%9B%86%E5%90%88。コトバンクより2022年2月15日閲覧。 
  3. ^Knuth, D. (1986). The TeXbook. Addison–Wesley. p. 436. ISBN 0-201-13447-0 
  4. ^ab小田忠雄「数学の常識・非常識：由緒正しいTeX入力法」（PDF）『数学通信』第4巻第1号、1999年5月、95–112頁。 
  5. ^“Users’ guide to the fonts (for version 2.2d)”. CTAN. p. 20. 2023年11月7日閲覧。
  6. ^丹下基生『SGCライブラリ-163　例題形式で探求する集合・位相(連続写像の織りなすトポロジーの世界)』サイエンス社、2020年、p.6

参考文献

[編集]
基本
演算
関係
性質
写像
順序
濃度
公理化
研究者
カテゴリカテゴリ
「https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=差集合&oldid=103040452」から取得
カテゴリ:
隠しカテゴリ:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp